Pobierz Kinematyka bryły - Notatki - Mechanika - Część 3 i więcej Notatki w PDF z Mechanika tylko na Docsity!
a # a O "! r % $^2 r. (5.60)
We wzorach (5.59) i (5.60) pr dko!" i przy!pieszenie pocz#tku uk$adu ruchomego
otrzymamy, obliczaj#c odpowiednio pierwsze i drugie pochodne wektora wodz#cego wzgl dem
czasu:
v (^) O a (^) O O r O
v
r O #^ O^ #^ O^ i " O
d dt
dx dt
dy dt
j , (5.61)
a
r O #^ O^ #^ O^ i " O
d dt
dx dt
dy dt
2 2
2 2
2 j. (5.62)
Pr dko!" k#tow# $ i przy!pieszenie k#towe & mo%na zapisa" analogicznie jak w ruchu obrotowym (wzór 5.37):
! #& z k #$ k oraz # 'z k # ' k. (5.63)
Modu$y tych przy!piesze(, podobnie jak w ruchu obrotowym (5.63), b d# równie% odpowiednimi pochodnymi k#ta obrotu ' wzgl dem czasu:
2
2
d t
d
dt
d
dt
d '
Ze wzorów (5.63) wynika, %e pr dko!" k#towa $ i przy!pieszenie k#towe & s# wektorami o znanym kierunku. W tej sytuacji mo%na je uwa%a" za skalary, podobnie jak w statyce moment si$y wzgl dem osi i moment p$askiego uk$adu si$. Ze wzorów (5.59) i (5.60) na pr dko!" v i przy!pieszenie a mo%na wyci#gn#" nast puj#ce wnioski: a) Pr dko!" dowolnego punktu bry$y w ruchu p$askim jest sum# pr dko!ci post powej
dowolnego bieguna
v (^) O O i pr dko!ci wynikaj#cej z chwilowego obrotu bry$y wokó$ tego bieguna:
!! r.
b) W ruchu p$askim przy!pieszenie dowolnego punktu bry$y jest sum# przy!pieszenia
dowolnego bieguna
a (^) O O i przy!pieszenia wynikaj#cego z chwilowego obrotu bry$y wokó$ tego
bieguna:! r % $^2 r.
Wyprowadzone wzory na pr dko!" i przy!pieszenie dowolnego punktu M bry$ w ruchu p$askim przedstawimy w postaci bardziej przydatnej do rozwi#zywa- nia równa( z kinematyki ruchu p$askiego. Za$o%ymy, %e znana jest pr dko!" v A punktu A i chwilowa pr dko!" obrotowa $, a chcemy obliczy" pr dko!" i przy!pieszenie dowolnego punktu B bry$y (rys. 5.17). Gdy pocz#tek uk$adu ruchomego przyjmiemy w punkcie A, a wektor o pocz#tku w punkcie A i ko(cu w punkcie B oznaczymy jako AB = r AB, to na podstawie wzoru (5.59) pr dko!" punktu B bry$y
v B # v A"!! r AB lub v B# v A" v BA, (5.65)
gdzie
v BA #!! r AB (a)
i jest pr dko!ci# punktu B wzgl dem punktu A, której wektor jest prostopad$y do wektora r AB, wynikaj#c# z chwilowego obrotu bry$y wokó$ punktu A z pr dko!ci# k#tow# $. Zatem jej modu$ obliczymy ze wzoru:
vBA = $ rAB. (b)
Podobnie na podstawie wzoru (5.60) przy!pieszenie punktu B (rys. 5.18) mo%emy zapisa" w nast puj#cy sposób:
a B # a A"! r AB AB
%$^2 r
albo a (^) B # a (^) A " a BA. (5.66)
Przy!pieszenie jest przy!pieszeniem punktu B wzgl dem punktu A spowodowanym chwilowym
obrotem bry$y wokó$ bieguna A:
a (^) BA
a BA #! r AB AB
% $^2 r. (c)
v A v A
v BA v B
r AB A (^) B
Rys. 5.17. Wyznaczanie pr dko!ci punktu B bry$y sztywnej metod# superpozycji
$
a A^ a A
a B
a BA
r AB A (^) B
a sBA
a (^) BAn
Rys. 5.18. Wyznaczanie przy!pieszenia punktu B bry$y sztywnej metod# superpo- zycji
Z powy%szego wzoru wynika, %e przy!pieszenie to mo%emy roz$o%y" na dwie sk$adowe:
przy!pieszenie styczne a sBA^ i przy!pieszenie normalne a (^) BAn.
a (^) BA # a sBA" a BAn , (5.67)
gdzie
AB
s
a BA #! r AB. (5.68)
n 2
oraz a BA#$ r
Modu$y tych przy!piesze( s# nast puj#ce:
AB
n 2 AB BA
s
a BA # 'r , a #$r. (5.69)
Wektor przy!pieszenia stycznego a jest skierowany prostopadle do wektora r , czyli ma taki
sam kierunek jak wektor pr dko!ci (rys. 5.17), a wektor przy!pieszenia normalnego
(do!rodkowego) jest skierowany wzd$u% prostej AB w stron punktu A.
BA
s AB v (^) BA a (^) BAn Po podstawieniu zale%no!ci (5.67) do wzoru (5.66) przy!pieszenie punktu B mo%emy zapisa" w postaci:
a (^) B # a (^) A " a (^) BAs " a BAn. (5.70)
Podczas praktycznego rozwi#zywania zada( nie wszystkie wielko!ci wyst puj#ce we wzorze (5.70) b dzie mo%na obliczy" bezpo!rednio. Bardzo cz sto niewiadomymi b d# modu$y przy!piesze(
. Je%eli wzór (5.70) potraktujemy jako równanie wektorowe o dwóch niewiadomych, to
wiadomo, %e dla wektorów le%#cych w jednej p$aszczy)nie dwie niewiadome mo%na wyznaczy"
a (^) B i a sBA
Z powy%szych rozwa%a( oraz z otrzymanych wzorów wynikaj# nast puj#ce wnioski:
a) Ruch p$aski bry$y mo%na sprowadzi" do toczenia si bez po!lizgu centroidy ruchomej po nieruchomej. b) Ruch p$aski bry$y mo%na w ka%dej chwili rozpatrywa" jako chwilowy ruch obrotowy wokó$ chwilowego !rodka obrotu.
-.
C
A (^) B v A
v B
$
Rys. 5.20. Wyznaczanie chwilowego !rodka obrotu
Ze wzoru (5.73) wynika, %e chwilowy !rodek obrotu C le%y na prostej prostopad$ej do wektora pr dko!ci v dowolnego punktu M bry$y. Zatem do wyznaczenia chwilowego !rodka obrotu wystarczy znajomo!" kierunków pr dko!ci dwóch punktów bry$y. B dzie on le%a$ w miejscu przeci cia prostych prostopad$ych do kierunków pr dko!ci punktów A i B (rys. 5.20). Maj#c ju% wyznaczony punkt C, warto!ci pr dko!ci punktów A i B obliczymy ze wzoru (5.74): vA = $ AC i vB = $ BC. (d)
Dla znanej warto!ci vA z pierwszego wzoru obliczymy chwilow# pr dko!" obrotow# $:
$ # v AC
A ,
a nast pnie mo%emy wyznaczy" modu$ pr dko!ci v B punktu B. Na podstawie rys. 5.20 po uwzgl dnieniu wzorów (d) mo%emy napisa":
tg- =
v AC
A # $ AC
AC
= $ oraz tg. =
v BC
B # $ BC
BC
Wynika st#d wniosek, %e z chwilowego !rodka obrotu wektory pr dko!ci wszystkich punktów bry$y wida" pod tym samym k#tem - = ..
Twierdzenie o rzutach pr#dko"ci
Rzuty wektorów pr!dko ci dwóch punktów bry"y sztywnej na prost# przechodz#c# przez te punkty s# równe.
. r B
r A
r AB
v A
v B
O
A (^) B
Rys. 5.21. Rzuty pr dko!ci dwóch punktów bry$y sztywnej na prost# AB
Dowód Na rysunku 5.21 zaznaczono wektory pr dko!ci v A i v B dwóch punktów A i B bry$y sztywnej, a promienie $#cz#ce nieruchomy punkt O z tymi punktami przez r A i r B. Wektor r AB $#cz#cy punkt A z punktem B w czasie ruchu bry$y mo%e zmienia" swój kierunek,
ale jego d$ugo!" pozostaje sta$a: r AB # rAB # const. Zatem iloczyn skalarny
r AB (^) / r AB # rAB 2 #const. (e)
Po zró%niczkowaniu tego wyra%enia wzgl dem czasu otrzymamy:
dt
d
dt
d AB
AB AB
r AB / r " r / r
lub d d t
r AB (^) / r AB# 0 , (f)
poniewa% pochodna prawej strony równania (e) jest równa zeru. Z rysunku wida", %e:
r B # r A" r AB , sk#d r AB # r B% r A.
Po zró%niczkowaniu tego wyra%enia wzgl dem czasu mamy:
d d t
d d t
d d t
r AB (^) r (^) B r A
%.
Ale pochodne promieni wodz#cych punktów A i B s# równe pr dko!ciom tych punktów v A i v B, czyli d d t
r AB (^) # v (^) B % v A.
Podstawiwszy powy%sz# zale%no!" do równania (f) otrzymujemy:
- v^ B %^ v^ A +/^ r^ AB #^0 lub^ v^ B /^ r^ AB #^ v^ A / r AB,
a po rozpisaniu iloczynów skalarnych
v rB ABcos. # v (^) A rABcos -.
Po skróceniu przez rAB mamy: vBcos. = vAcos-. (5.75)
Iloczyny wyst puj#ce w tej równo!ci s# odpowiednio rzutami wektorów pr dko!ci v A i v B na prost# $#cz#c# punkty A i B. Tym samym udowodnili!my twierdzenie o rzutach wektorów pr dko!ci dwóch punktów bry$y sztywnej na prost# $#cz#c# te punkty. Na podstawie tego twierdzenia mo%na w $atwy sposób oblicza" pr dko!" w niektórych prostych zadaniach z kinematyki ruchu p$askiego.
Przyk$ad 5.5. Ko(ce pr ta AB !lizgaj# si po dwóch wzajemnie prostopad$ych p$aszczyznach (rys.
5.22a). Koniec A porusza si z pr dko!ci# v (^) A # 10 cm / si przy!pieszeniem a. Obliczy"
pr dko!" i przy!pieszenie ko(ca B oraz przy!pieszenie k#towe pr ta AB w po$o%eniu jak na rys. 5.22a, je%eli d$ugo!" pr ta AB = b = 20 cm.
A #^15 cm^ /^ s^2
B
Rozwi#zanie. Pr dko!" punktu B obliczymy, rozpatruj#c ruch pr ta AB jako chwilowy ruch obrotowy wokó$ chwilowego !rodka obrotu. Znamy pr dko!" ko(ca A pr ta i kierunek pr dko!ci ko(ca B, która jest skierowana wzd$u% prostej OB. Chwilowy !rodek obrotu C znajduje si na przeci ciu prostopad$ych do kierunków wektorów pr dko!ci v (^) A i v (rys. 5.22b). Oznaczywszy przez
Warto!" przy!pieszenia stycznego a (^) BAs wyra%a pierwszy wzór (5.69):
a sBA # ' b. (f)
Tego przy!pieszenia nie mo%emy obliczy" bezpo!rednio, poniewa% nie znamy warto!ci przy!pieszenia
k#towego & pr ta. Znamy jedynie kierunek przy!pieszenia , które jest prostopad$e do pr ta AB.
Poza tym znamy kierunek przy!pieszenia ca$kowitego , który jest zgodny z prost# OB. Wynika z
tego, %e w wektorowym równaniu (e) mamy dwie niewiadome ᆃwarto!ci przy!pieszenia i a. Po
przyj ciu w punkcie B prostok#tnego uk$adu wspó$rz dnych x, y i zrzutowaniu równania (e) na osie tego uk$adu otrzymamy dwa równania algebraiczne z dwoma niewiadomymi.
a sBA a (^) B a sBA B
a a a a a a
B AB
n BA
s
A BA
n BA
s
cos45 cos45 , sin45 sin.
o o
0 o^ o
Po rozwi#zaniu tego uk$adu równa( oraz wykorzystaniu wzoru (f) otrzymujemy:
a * +
a a BAs^ A^ BA cm^ s
n
sin sin
o o
5 3 2 2 /^2
a a a
cm s
B AB
n BA
" s # / " " /
cos45 cos
o o 10 1 2
5 2 2 3 /^2
o *^ +^1
n o A BA
s
BA 322 s
bsin
a a sin
b
a
Przyk$ad 5.6. Korba OA mechanizmu korbowo-suwakowego przedstawionego na rys. 5.23a
obraca si ze sta$# pr dko!ci# k#tow# o warto!ci $O wokó$ punktu O. Na ko(cu B korbowodu AB
znajduje si suwak, który porusza si po prowadnicy DE znajduj#cej si w odleg$o!ci h od punktu O. Dla po$o%enia przedstawionego na rysunku obliczy" pr dko!" i przy!pieszenie suwaka B oraz przy!pieszenie k#towe korbowodu, je%eli d$ugo!" korby OA = r, a korbowodu AB = b.
v B
v BA
$ 1
B
v A
h
r
$o A
b
O
D E
a)
& (^1) $ 1
a BAs
a BAn
a B a A
a A y
x
B
A
$o
b
O
h
D E
b) r
v A
Rys. 5.23. Wyznaczenie pr dko!ci i przy!pieszenia punktu B mechanizmu korbowo- -suwakowego
Rozwi#zanie. Wektor pr dko!ci punktu A jest prostopad$y do korby OA, a suwaka B jest skierowany wzd$u% prowadnicy DE (rys. 5.23a). Pr dko!" punktu B obliczymy ze wzoru (5.65):
v (^) B # v (^) A " v BA,
gdzie jest pr dko!ci# punktu B wzgl dem punktu A wynikaj#c# z chwilowego obrotu
korbowodu AB wokó$ punktu A z pr dko!ci# k#tow#
v (^) BA
$ 1. Wektor pr dko!ci jest prostopad$y do
korbowodu, jego warto!"
v (^) BA
v BA # $ 1 b, (a)
a warto!" pr dko!ci punktu A
v A # $O r.
Z rysunku mamy:
2 2
2 2
b h
h
,tg =
b
b h
,cos =
h
b
sin =
Zatem z zale%no!ci geometrycznych wynikaj#cych z rys. 5.23a otrzymujemy:
b h
rb
b h
b
v
cos
v
v
b h
rh
b h
h
v v tg v
A 2 2 2 2 O
A BA
B A A 2 2 2 2 O
(c)
Ze wzoru (a) wyznaczamy pr dko!" k#tow#:
