Docsity
Docsity

Przygotuj się do egzaminów
Przygotuj się do egzaminów

Studiuj dzięki licznym zasobom udostępnionym na Docsity


Otrzymaj punkty, aby pobrać
Otrzymaj punkty, aby pobrać

Zdobywaj punkty, pomagając innym studentom lub wykup je w ramach planu Premium


Informacje i wskazówki
Informacje i wskazówki

Kinematyka - Notatki - Mechanika - Część 1, Notatki z Mechanika

W notatkach omawiane zostają zagadnienia z fizyki: kinematyka; tor, prędkość i przyśpieszenie punktu.

Typologia: Notatki

2012/2013

Załadowany 15.03.2013

guns_pistols
guns_pistols 🇵🇱

4.5

(13)

79 dokumenty

Podgląd częściowego tekstu

Pobierz Kinematyka - Notatki - Mechanika - Część 1 i więcej Notatki w PDF z Mechanika tylko na Docsity! 5.1. Uwagi ogólne Jak ju powiedziano w punkcie 1.1, kinematyka zajmuje si! ruchem cia" materialnych bez uwzgl!dniania przyczyn (si") ten ruch wywo"uj#cych, czyli kinematyka zajmuje si! wy"#cznie matematycznym opisem ruchu bez uwzgl!dniania praw fizycznych. Ruchem mechanicznym cia"a nazywamy zmian! jego po"o enia w czasie wzgl!dem innego cia"a uwa anego za nieruchome. Wynika z tego, e rozpatruj#c ruch jakiego$ cia"a, nale y najpierw ustali%, wzgl!dem jakiego innego cia"a b!dziemy go opisywa%. Cia"o, wzgl!dem którego rozpatrujemy ruch, b!dziemy uwa a% za nieruchome i nazwiemy je cia"em odniesienia. Dla analitycznego opisu ruchu z cia"em tym mo emy sztywno zwi#za% prostok#tny uk"ad wspó"rz!dnych, który nazwiemy uk"adem odniesienia. Wtedy po"o enie dowolnego punktu w przestrzeni okre$limy za pomoc# trzech wspó"rz!dnych prostok#tnych. Z powy szego wynika, e ruch jest poj!ciem wzgl!dnym i e jego charakter b!dzie zale a" od uk"adu odniesienia, wzgl!dem którego rozpatrujemy ruch cia"a. Najcz!$ciej za nieruchomy uk"ad odniesienia przyjmujemy milcz#co uk"ad zwi#zany z Ziemi# i wzgl!dem niego badamy ruch innych cia". Jednak do badania np. ruchu kuli ziemskiej wzgl!dem S"o&ca takie za"o enie nie wystarczy i za uk"ad nieruchomy nale y przyj#% uk"ad zwi#zany ze S"o&cem. Jak ju mówili$my, w kinematyce b!dziemy si! zajmowa% badaniem zmian po"o enia cia" z up"ywem czasu. W mechanice klasycznej Newtona przyjmujemy, e czas jest niezale ny od wyboru uk"adu odniesienia i e jest taki sam dla wszystkich punktów przestrzeni i nie zale y od ich ruchu. Tak zdefiniowany czas nazywamy czasem absolutnym, który w przybli eniu odzwierciedla rzeczywisty czas fizyczny. Jednak, jak wynika z mechaniki relatywistycznej, b"#d zwi#zany z takim przybli eniem nie ma praktycznego znaczenia dla pr!dko$ci ma"ych w porównaniu z pr!dko$ci# $wiat"a. Ruch cia"a b!dziemy uwa ali za znany, je eli potrafimy w ka dej chwili czasu okre$li% po"o enie i ruch dowolnego punktu tego cia"a. W pierwszej kolejno$ci zajmiemy si! kinematyk# punktu, a nast!pnie bry"y. docsity.com 5.2.1. Tor, pr dko!" i przy!pieszenie punktu Rozpatrzmy ruch punktu materialnego wzgl dem przyj tego uk!adu odniesienia uwa"anego za nieruchomy. Aby pozna# ruch tego punktu, w ka"dej chwili musimy mie# mo"liwo$# wyznaczenia miejsca, w którym si ten punkt znajduje. Do okre$lenia po!o"enia dowolnego punktu M (rys. 5.1) w ka"dej chwili wzgl dem nieruchomego punktu O wystarczy podanie wektora r o pocz%tku w punkcie O i ko&cu w rozwa"anym punkcie M. z L y x O r M hodograf wektora wodz%cego wektor wodz%cy Rys. 5.1. Opis po!o"enia punktu za pomoc% wektora wodz%cego Wektorow% funkcj czasu !r r" t (5.1) nazywamy wektorem wodz cym. Wektor ten mo"emy zapisa# analitycznie w prostok%tnym uk!adzie wspó!rz dnych x, y, z za pomoc% jego wspó!rz dnych w postaci funkcji wektorowej: ! ! ! !r r i j k" " # #t x t y t z t (5.2) lub równowa"nych trzech równa& skalarnych ! ! !x x t y y t z z t" " ", , . (5.3) Równanie (5.1) lub (5.2) nazywamy wektorowym równaniem ruchu, a trzy równania (5.3), równowa"ne wektorowemu, skalarnymi lub algebraicznymi równaniami ruchu. docsity.com v1 O1 $v $ $ v t v2 a v " d dt hodograf pr dko$ci Rys. 5.3. Przy$pieszenie punktu Wielko$ci% charakteryzuj%c% zmian pr dko$ci w czasie jest wektor $v/$t o kierunku przyrostu pr dko$ci $v. Je"eli przyrost czasu $t b dzie d%"y! do zera, to w granicy otrzymamy pochodn% pr dko$ci v wzgl dem czasu, nazywan% przy$pieszeniem a punktu M: lim t 0$ $ $% " " v v a t d dt . Przy"pieszenie punktu jest pochodn pr!dko"ci wzgl!dem czasu albo drug pochodn wektora wodz cego wzgl!dem czasu. a v " " d dt d dt 2 2 r k . (5.9) Kierunek przy$pieszenia jest styczny do hodografu pr dko$ci v. W prostok%tnym uk!adzie wspó!rz dnych x, y, z przy$pieszenie a mo"emy zapisa# w nast puj%cy sposób: a i j" # #a a ax y z . (5.10) W celu wyznaczenia wspó!rz dnych przy$pieszenia zró"niczkujemy wzgl dem czasu pr dko$# wyra"on% wzorem (5.6): a v i j" " # # d dt dv dt dv dt dv dt x y z k . (5.11) Po uwzgl dnieniu zale"no$ci (5.7) wspó!rz dne przy$pieszenia b d% opisane zale"no$ciami: a dv dt d x dt a dv dt d y dt a dv dt d z dt x x y y z z" " " " " " 2 2 2 2 2 2 , , . (5.12) docsity.com Z powy"szych wzorów wynika, "e wspó!rz dne przy$pieszenia punktu w nieruchomym prostok%tnym uk!adzie wspó!rz dnych s% pierwszymi pochodnymi wzgl dem czasu wspó!rz dnych pr dko$ci lub drugimi pochodnymi wzgl dem czasu odpowiednich wspó!rz dnych tego punktu. Znaj%c wspó!rz dne przy$pieszenia, jego modu! obliczymy ze wzoru: a a a ax y" # # 2 2 z 2 . (5.13) docsity.com 5.2.2. Pr dko!" i przy!pieszenie punktu w naturalnym uk#adzie wspó#rz dnych W poprzednim punkcie wyznaczyli my wspó!rz"dne pr"dko ci v i przy pieszenia a w prostok#tnym uk!adzie wspó!rz"dnych x, y, z. Na podstawie takiego post"powania nie mo$na ustali%, jak porusza si" punkt wzgl"dem toru L i jak zmieniaj# si" modu!y i kierunki wektorów pr"dko ci v i przy pieszenia a w funkcji przebytej drogi l. W celu udzielenia odpowiedzi na postawione pytanie przyjmijmy w punkcie M lokalny uk!ad wspó!rz"dnych prostok#tnych o osiach s, n, b o kierunkach odpowiednio stycznym s, normalnym n i binormalnym b do krzywej w rozwa$anym punkcie M (rys. 5.4). Kierunki osi s, n, b takiego uk!adu wspó!rz"dnych b"d# okre lone odpowiednio wersorami es, en i eb. Tak zdefiniowane wersory es, en i eb wyznaczaj# w ka$dym punkcie linii (toru) L prawoskr"tny uk!ad wspó!rz"dnych, który nazywamy uk adem naturalnym. z y x r(l) M O s b es en eb L n Rys. 5.4. Ruch punktu w naturalnym uk!adzie wspó!rz"dnych Wyka$emy, $e je$eli dane jest wektorowe równanie toru w funkcji drogi l mierzonej wzd!u$ toru: !r r" l , (5.14) to wersory te s# opisane wzorami: e r e r e e ess n b d dl d dl " " ", ,# 2 2 n $ , (5.15) gdzie # jest promieniem krzywizny w punkcie M. docsity.com lim M M#% # !M N & jest promieniem krzywizny, czyli promieniem ko#a %ci%le stycznego w rozpatrywanym punkcie. Ostatecznie modu# drugiej pochodnej wektora wodz!cego r wzgl"dem drogi l jest równy odwrotno%ci promienia krzywizny, nazywanej krzywizn! w rozwa anym punkcie: d dl 2 2 1r ! & . (5.16) Wersor osi normalnej en otrzymamy przez podzielenie wektora (a) o kierunku normalnej przez jego modu# (5.16): e r r r r n d dl d dl d dl d dl ! ! ! 2 2 2 2 2 2 2 21 & & . Dla wyprowadzenia wzorów na pr"dko%$ v i przy%pieszenie a punktu M przedstawimy wektor wodz!cy r(t) w postaci funkcji z#o onej: r(t) = r[l(t)]. Z definicji pr"dko%ci i ze wzoru (2.51) na obliczanie pochodnej funkcji z#o onej mamy: v r r ! ! d dt d dl dl dt . W powy szym wzorze pierwsza pochodna jest wyliczonym wersorem es osi stycznej s, a druga modu#em pr"dko%ci równym pochodnej drogi wzgl"dem czasu: v dl dt ! . (5.17) Zatem pr"dko%$ przedstawia wzór: v e! v s . (5.18) Otrzymali%my zatem potwierdzenie, e pr"dko%$ punktu jest styczna do toru. Przy%pieszenie obliczymy, licz!c pochodn! pr"dko%ci wzgl"dem czasu. Korzystaj!c ze wzoru na pochodn! iloczynu, otrzymamy: a e e e e e r s s s s s! ' ! ' ! ' dv dt v d dt dv dt v d dl dl dt dv dt v d dt 2 2 2 . docsity.com Po podstawieniu do tego wzoru zale no%ci na wersor normalnej: d dl 2 2 r en! & otrzymujemy wzór na przy%pieszenie punktu M w naturalnym uk#adzie wspó#rz"dnych: a e s! ' dv dt v2 & en n (5.19) lub a a as! ' . (5.20) Z otrzymanego wzoru wynika, e przy%pieszenie w rozwa anym uk#adzie wspó#rz"dnych s, n, b ma dwie sk#adowe: styczn! as i normaln! an (skierowan! do %rodka krzywizny) i le y w p#aszczy&nie %ci%le stycznej sn. Modu#y tych sk#adowych s! nast"puj!ce: a dv dt a v s n! !, 2 & , (5.21) a warto%$ przy%pieszenia ca#kowitego obliczymy ze wzoru: a a as! ' 2 n 2 . (22) Ze wzorów (5.21) wida$, e przy%pieszenie styczne as jest miar! zmiany pr"dko%ci i jest równe zeru, gdy modu# pr"dko%ci b"dzie sta#y, z kolei przy%pieszenie normalne an jest miar! zakrzywienia toru. W ruchu prostoliniowym przy%pieszenie normalne jest równe zeru. W ruchu punktu po krzywej p#askiej znane s! kierunki sk#adowych przy%pieszenia albo ich wyznaczenie nie nastr"cza wi"kszych trudno%ci, poniewa wektory obu sk#adowych przy%pieszenia b"d! le a#y w p#aszczy&nie ruchu. W przypadku ruchu przestrzennego punktu przy obliczaniu omawianych sk#adowych przy%pieszenia mog! si" pojawi$ trudno%ci natury matematycznej. docsity.com Przyk ad 5.1. Punkt porusza si" w p#aszczy&nie xy zgodnie z równaniami ruchu: x t! ( ' (4 1 32 , y = t . Wyznaczy$ równanie toru, pr"dko%$, przy%pieszenie styczne normalne i ca#kowite oraz promie' krzywizny dla czasu t1 = 0,5 s. Przyj!$ wymiary w metrach, a czas w sekundach. Rozwi zanie. W celu wyznaczenia równania toru punktu nale y z równa' ruchu wyeliminowa$ parametr t (czas). Po wyznaczeniu z drugiego równania ruchu czasu i podstawieniu do pierwszego otrzymujemy: ) *y x2 9 4 1! ( ( . Równanie to przedstawia parabol". Wspó#rz"dne pr"dko%ci punktu wyznaczymy ze wzorów (5.7), a jej modu# ze wzoru (5.8). v dx dt t dy dt x ! ! ( ! ! (8 3, vy , ) * sm5259 2 1 64tva,9t64vvv 2 1 22 y 2 x /!!'+ , - . / 0!'!'! . Wspó#rz"dne przy%pieszenia i jego warto%$ wyliczymy ze wzorów (5.12) i (5.13): a dv dt dv dt x x y! ! ( ! !8 0, a y , a a a m sx y! ' ! ' ! 2 2 64 0 8 / 2 . Przy%pieszenie styczne obliczymy z pierwszego wzoru (5.21): a dv dt t t t t s ! ! ' ! ' 2 64 2 64 9 64 64 92 2 , ) *a t m ss 1 2 2 64 1 2 64 1 2 9 32 25 6 4! 0 /. - ,+ ' ! ! , / . W celu wyznaczenia przy%pieszenia normalnego przekszta#cimy wzór (5.22) do postaci: docsity.com