Pobierz Kinematyka - Notatki - Mechanika - Część 1 i więcej Notatki w PDF z Mechanika tylko na Docsity! 5.1. Uwagi ogólne Jak ju powiedziano w punkcie 1.1, kinematyka zajmuje si! ruchem cia" materialnych bez uwzgl!dniania przyczyn (si") ten ruch wywo"uj#cych, czyli kinematyka zajmuje si! wy"#cznie matematycznym opisem ruchu bez uwzgl!dniania praw fizycznych. Ruchem mechanicznym cia"a nazywamy zmian! jego po"o enia w czasie wzgl!dem innego cia"a uwa anego za nieruchome. Wynika z tego, e rozpatruj#c ruch jakiego$ cia"a, nale y najpierw ustali%, wzgl!dem jakiego innego cia"a b!dziemy go opisywa%. Cia"o, wzgl!dem którego rozpatrujemy ruch, b!dziemy uwa a% za nieruchome i nazwiemy je cia"em odniesienia. Dla analitycznego opisu ruchu z cia"em tym mo emy sztywno zwi#za% prostok#tny uk"ad wspó"rz!dnych, który nazwiemy uk"adem odniesienia. Wtedy po"o enie dowolnego punktu w przestrzeni okre$limy za pomoc# trzech wspó"rz!dnych prostok#tnych. Z powy szego wynika, e ruch jest poj!ciem wzgl!dnym i e jego charakter b!dzie zale a" od uk"adu odniesienia, wzgl!dem którego rozpatrujemy ruch cia"a. Najcz!$ciej za nieruchomy uk"ad odniesienia przyjmujemy milcz#co uk"ad zwi#zany z Ziemi# i wzgl!dem niego badamy ruch innych cia". Jednak do badania np. ruchu kuli ziemskiej wzgl!dem S"o&ca takie za"o enie nie wystarczy i za uk"ad nieruchomy nale y przyj#% uk"ad zwi#zany ze S"o&cem. Jak ju mówili$my, w kinematyce b!dziemy si! zajmowa% badaniem zmian po"o enia cia" z up"ywem czasu. W mechanice klasycznej Newtona przyjmujemy, e czas jest niezale ny od wyboru uk"adu odniesienia i e jest taki sam dla wszystkich punktów przestrzeni i nie zale y od ich ruchu. Tak zdefiniowany czas nazywamy czasem absolutnym, który w przybli eniu odzwierciedla rzeczywisty czas fizyczny. Jednak, jak wynika z mechaniki relatywistycznej, b"#d zwi#zany z takim przybli eniem nie ma praktycznego znaczenia dla pr!dko$ci ma"ych w porównaniu z pr!dko$ci# $wiat"a. Ruch cia"a b!dziemy uwa ali za znany, je eli potrafimy w ka dej chwili czasu okre$li% po"o enie i ruch dowolnego punktu tego cia"a. W pierwszej kolejno$ci zajmiemy si! kinematyk# punktu, a nast!pnie bry"y. docsity.com 5.2.1. Tor, pr dko!" i przy!pieszenie punktu Rozpatrzmy ruch punktu materialnego wzgl dem przyj tego uk!adu odniesienia uwa"anego za nieruchomy. Aby pozna# ruch tego punktu, w ka"dej chwili musimy mie# mo"liwo$# wyznaczenia miejsca, w którym si ten punkt znajduje. Do okre$lenia po!o"enia dowolnego punktu M (rys. 5.1) w ka"dej chwili wzgl dem nieruchomego punktu O wystarczy podanie wektora r o pocz%tku w punkcie O i ko&cu w rozwa"anym punkcie M. z L y x O r M hodograf wektora wodz%cego wektor wodz%cy Rys. 5.1. Opis po!o"enia punktu za pomoc% wektora wodz%cego Wektorow% funkcj czasu !r r" t (5.1) nazywamy wektorem wodz cym. Wektor ten mo"emy zapisa# analitycznie w prostok%tnym uk!adzie wspó!rz dnych x, y, z za pomoc% jego wspó!rz dnych w postaci funkcji wektorowej: ! ! ! !r r i j k" " # #t x t y t z t (5.2) lub równowa"nych trzech równa& skalarnych ! ! !x x t y y t z z t" " ", , . (5.3) Równanie (5.1) lub (5.2) nazywamy wektorowym równaniem ruchu, a trzy równania (5.3), równowa"ne wektorowemu, skalarnymi lub algebraicznymi równaniami ruchu. docsity.com v1 O1 $v $ $ v t v2 a v " d dt hodograf pr dko$ci Rys. 5.3. Przy$pieszenie punktu Wielko$ci% charakteryzuj%c% zmian pr dko$ci w czasie jest wektor $v/$t o kierunku przyrostu pr dko$ci $v. Je"eli przyrost czasu $t b dzie d%"y! do zera, to w granicy otrzymamy pochodn% pr dko$ci v wzgl dem czasu, nazywan% przy$pieszeniem a punktu M: lim t 0$ $ $% " " v v a t d dt . Przy"pieszenie punktu jest pochodn pr!dko"ci wzgl!dem czasu albo drug pochodn wektora wodz cego wzgl!dem czasu. a v " " d dt d dt 2 2 r k . (5.9) Kierunek przy$pieszenia jest styczny do hodografu pr dko$ci v. W prostok%tnym uk!adzie wspó!rz dnych x, y, z przy$pieszenie a mo"emy zapisa# w nast puj%cy sposób: a i j" # #a a ax y z . (5.10) W celu wyznaczenia wspó!rz dnych przy$pieszenia zró"niczkujemy wzgl dem czasu pr dko$# wyra"on% wzorem (5.6): a v i j" " # # d dt dv dt dv dt dv dt x y z k . (5.11) Po uwzgl dnieniu zale"no$ci (5.7) wspó!rz dne przy$pieszenia b d% opisane zale"no$ciami: a dv dt d x dt a dv dt d y dt a dv dt d z dt x x y y z z" " " " " " 2 2 2 2 2 2 , , . (5.12) docsity.com Z powy"szych wzorów wynika, "e wspó!rz dne przy$pieszenia punktu w nieruchomym prostok%tnym uk!adzie wspó!rz dnych s% pierwszymi pochodnymi wzgl dem czasu wspó!rz dnych pr dko$ci lub drugimi pochodnymi wzgl dem czasu odpowiednich wspó!rz dnych tego punktu. Znaj%c wspó!rz dne przy$pieszenia, jego modu! obliczymy ze wzoru: a a a ax y" # # 2 2 z 2 . (5.13) docsity.com 5.2.2. Pr dko!" i przy!pieszenie punktu w naturalnym uk#adzie wspó#rz dnych W poprzednim punkcie wyznaczyli my wspó!rz"dne pr"dko ci v i przy pieszenia a w prostok#tnym uk!adzie wspó!rz"dnych x, y, z. Na podstawie takiego post"powania nie mo$na ustali%, jak porusza si" punkt wzgl"dem toru L i jak zmieniaj# si" modu!y i kierunki wektorów pr"dko ci v i przy pieszenia a w funkcji przebytej drogi l. W celu udzielenia odpowiedzi na postawione pytanie przyjmijmy w punkcie M lokalny uk!ad wspó!rz"dnych prostok#tnych o osiach s, n, b o kierunkach odpowiednio stycznym s, normalnym n i binormalnym b do krzywej w rozwa$anym punkcie M (rys. 5.4). Kierunki osi s, n, b takiego uk!adu wspó!rz"dnych b"d# okre lone odpowiednio wersorami es, en i eb. Tak zdefiniowane wersory es, en i eb wyznaczaj# w ka$dym punkcie linii (toru) L prawoskr"tny uk!ad wspó!rz"dnych, który nazywamy uk adem naturalnym. z y x r(l) M O s b es en eb L n Rys. 5.4. Ruch punktu w naturalnym uk!adzie wspó!rz"dnych Wyka$emy, $e je$eli dane jest wektorowe równanie toru w funkcji drogi l mierzonej wzd!u$ toru: !r r" l , (5.14) to wersory te s# opisane wzorami: e r e r e e ess n b d dl d dl " " ", ,# 2 2 n $ , (5.15) gdzie # jest promieniem krzywizny w punkcie M. docsity.com lim M M#% # !M N & jest promieniem krzywizny, czyli promieniem ko#a %ci%le stycznego w rozpatrywanym punkcie. Ostatecznie modu# drugiej pochodnej wektora wodz!cego r wzgl"dem drogi l jest równy odwrotno%ci promienia krzywizny, nazywanej krzywizn! w rozwa anym punkcie: d dl 2 2 1r ! & . (5.16) Wersor osi normalnej en otrzymamy przez podzielenie wektora (a) o kierunku normalnej przez jego modu# (5.16): e r r r r n d dl d dl d dl d dl ! ! ! 2 2 2 2 2 2 2 21 & & . Dla wyprowadzenia wzorów na pr"dko%$ v i przy%pieszenie a punktu M przedstawimy wektor wodz!cy r(t) w postaci funkcji z#o onej: r(t) = r[l(t)]. Z definicji pr"dko%ci i ze wzoru (2.51) na obliczanie pochodnej funkcji z#o onej mamy: v r r ! ! d dt d dl dl dt . W powy szym wzorze pierwsza pochodna jest wyliczonym wersorem es osi stycznej s, a druga modu#em pr"dko%ci równym pochodnej drogi wzgl"dem czasu: v dl dt ! . (5.17) Zatem pr"dko%$ przedstawia wzór: v e! v s . (5.18) Otrzymali%my zatem potwierdzenie, e pr"dko%$ punktu jest styczna do toru. Przy%pieszenie obliczymy, licz!c pochodn! pr"dko%ci wzgl"dem czasu. Korzystaj!c ze wzoru na pochodn! iloczynu, otrzymamy: a e e e e e r s s s s s! ' ! ' ! ' dv dt v d dt dv dt v d dl dl dt dv dt v d dt 2 2 2 . docsity.com Po podstawieniu do tego wzoru zale no%ci na wersor normalnej: d dl 2 2 r en! & otrzymujemy wzór na przy%pieszenie punktu M w naturalnym uk#adzie wspó#rz"dnych: a e s! ' dv dt v2 & en n (5.19) lub a a as! ' . (5.20) Z otrzymanego wzoru wynika, e przy%pieszenie w rozwa anym uk#adzie wspó#rz"dnych s, n, b ma dwie sk#adowe: styczn! as i normaln! an (skierowan! do %rodka krzywizny) i le y w p#aszczy&nie %ci%le stycznej sn. Modu#y tych sk#adowych s! nast"puj!ce: a dv dt a v s n! !, 2 & , (5.21) a warto%$ przy%pieszenia ca#kowitego obliczymy ze wzoru: a a as! ' 2 n 2 . (22) Ze wzorów (5.21) wida$, e przy%pieszenie styczne as jest miar! zmiany pr"dko%ci i jest równe zeru, gdy modu# pr"dko%ci b"dzie sta#y, z kolei przy%pieszenie normalne an jest miar! zakrzywienia toru. W ruchu prostoliniowym przy%pieszenie normalne jest równe zeru. W ruchu punktu po krzywej p#askiej znane s! kierunki sk#adowych przy%pieszenia albo ich wyznaczenie nie nastr"cza wi"kszych trudno%ci, poniewa wektory obu sk#adowych przy%pieszenia b"d! le a#y w p#aszczy&nie ruchu. W przypadku ruchu przestrzennego punktu przy obliczaniu omawianych sk#adowych przy%pieszenia mog! si" pojawi$ trudno%ci natury matematycznej. docsity.com Przyk ad 5.1. Punkt porusza si" w p#aszczy&nie xy zgodnie z równaniami ruchu: x t! ( ' (4 1 32 , y = t . Wyznaczy$ równanie toru, pr"dko%$, przy%pieszenie styczne normalne i ca#kowite oraz promie' krzywizny dla czasu t1 = 0,5 s. Przyj!$ wymiary w metrach, a czas w sekundach. Rozwi zanie. W celu wyznaczenia równania toru punktu nale y z równa' ruchu wyeliminowa$ parametr t (czas). Po wyznaczeniu z drugiego równania ruchu czasu i podstawieniu do pierwszego otrzymujemy: ) *y x2 9 4 1! ( ( . Równanie to przedstawia parabol". Wspó#rz"dne pr"dko%ci punktu wyznaczymy ze wzorów (5.7), a jej modu# ze wzoru (5.8). v dx dt t dy dt x ! ! ( ! ! (8 3, vy , ) * sm5259 2 1 64tva,9t64vvv 2 1 22 y 2 x /!!'+ , - . / 0!'!'! . Wspó#rz"dne przy%pieszenia i jego warto%$ wyliczymy ze wzorów (5.12) i (5.13): a dv dt dv dt x x y! ! ( ! !8 0, a y , a a a m sx y! ' ! ' ! 2 2 64 0 8 / 2 . Przy%pieszenie styczne obliczymy z pierwszego wzoru (5.21): a dv dt t t t t s ! ! ' ! ' 2 64 2 64 9 64 64 92 2 , ) *a t m ss 1 2 2 64 1 2 64 1 2 9 32 25 6 4! 0 /. - ,+ ' ! ! , / . W celu wyznaczenia przy%pieszenia normalnego przekszta#cimy wzór (5.22) do postaci: docsity.com