Pobierz Kinematyka - Notatki - Mechanika - Część 2 i więcej Notatki w PDF z Mechanika tylko na Docsity!
a (^) n a 2 !as^2.
Po podstawieniu do tego wzoru wyliczonych wy ej warto!ci liczbowych otrzymamy przy!pieszenie normalne w chwili t 1 :
a n " t 1 # " # m s
82! 6 4, 2 4 8, /^2.
Promie" krzywizny obliczymy z drugiego wzoru (5.21): Przyk ad 5.2. Dane s# kinematyczne równania ruchu punktu M w prostok#tnym uk$adzie wspó$rz%dnych:
x 2! 3 t! 6 t! t!
(^2) , y = 3 3 t 2 ,
gdzie x i y s# podane w metrach, a czas w sekundach. Wyznaczy& równanie toru, promie" krzywizny, pr%dko!&, przy!pieszenie styczne, normalne i ca$kowite. Tor oraz sk$adowe pr%dko!ci i przy!pieszenia dla chwili pocz#tkowej t = 0 przedstawi& na rysunku.
Rozwi zanie. Je eli drugie równanie ruchu pomno ymy stronami przez i dodamy do pierwszego, to otrzymamy równanie toru w postaci:
y x $
x 0
y
x
v 0 a
v 0x
v 0y a y
a x
B
A O
M
y 0
Rys. 5.6. Pr%dko!& i przy!pieszenie punktu we wspó$rz%dnych prostok#tnych na p$aszczy'nie
Jest to równanie prostej, która odcina na osi odci%tych odcinek OA = 4 m i na osi rz%dnych odcinek OB = 2 m (rys. 5.6). Po$o enie punktu M na prostej (torze) dla
chwili pocz#tkowej t = 0 wyznaczymy z równa" ruchu: x 0 2 , y 0 = 3. Poniewa
promie" krzywizny jest równy niesko"czono!ci ( & %), przy!pieszenie normalne
jest równe zeru:
a
v n
2 0 &
Wspó$rz%dne prostok#tne pr%dko!ci i przy!piesze" oraz ich modu$y obliczymy tak jak w poprzednim przyk$adzie. Pr%dko!&:
v (^) " # " #
dx dt
t
dy dt x!^ 3 1^ $^4!^ $ t
, vy 1 4 , (a)
" # " # 5 " 1 +4t
1 4 t =
v v^2 x $ v^2 y 3 1 $ 4 t^2 $ $^2 #. (b)
Przy!pieszenie:
a
dv dt
dv x (^) dt
x (^)! 12 , a y! 6 y ,
a a (^) x^2 $ a (^) y^2 12 2 $ 62 6 5 m / s^2.
Przy!pieszenie styczne:
a a
dv dt s ' m^ s
5 4 6 5 /^2.
Z otrzymanych wyników widzimy, e punkt M porusza si% po prostej ze sta$ym przy!pieszeniem skierowanym tak jak na rysunku. Pr%dko!ci w chwili pocz#tkowej otrzymamy po podstawieniu do wzorów (a) i (b) t = 0.
v (^0) x 3 0 y m
! , v! , v 0 5 / s.
Przyk ad 5.3. Trzpie" AB (rys. 5.7a) jest dociskany do mimo!rodu w kszta$cie tarczy ko$owej o promieniu r tak, e ca$y czas pozostaje z nim w kontakcie. O! obrotu mimo!rodu przechodzi przez punkt O oddalony od !rodka tarczy C o OC =
e. Mimo!ród obraca si% wokó$ osi obrotu ze sta$# pr%dko!ci# k#tow#.
Wyznaczy& pr%dko!& i przy!pieszenie trzpienia dla czasu t
( ) s! 1 1 = 0,5 s, je^ eli o! trzpienia pokrywa si% z osi# x tak jak na rysunku.
Po podstawieniu do wzorów (b) i (c) t 1 = 0,5 s otrzymamy warto!& pr%dko!ci i przy!pieszenia dla tego czasu:
" # " # 2 2
2 2 A 1 A 1
2 r e
e
v t e ,a t
5.3.1. Zmiana uk adów odniesienia
Z ka d! bry"! sztywn! mo emy zwi!za# uk"ad wspó"rz$dnych opisuj!cy ruch tej bry"y w przestrzeni. Dlatego w dalszym ci!gu w kinematyce bry"y b$dziemy si$ zajmowa# g"ównie wzajemnym ruchem uk"adów wspó"rz$dnych. Znaj!c ruch uk"adu wspó"rz$dnych x , y , z (rys. 5.8) sztywno zwi!zanego z bry"! (uk"adu ruchomego) wzgl$dem nieruchomego uk"adu odniesienia x, y, z, b$dziemy mogli obliczy# pr$dko%# i przy%pieszenie wszystkich punktów bry"y. W dalszej ko- lejno%ci wyprowadzimy zale no%ci geometryczne pomi$dzy tymi uk"adami wspó"rz$dnych.
y i
z
x
z
y
x
r O
r
r
i M
k^ j
O
j
k O
Rys. 5.8. Wyznaczenie zale no%ci pomi$dzy uk"adami wspó"rz$dnych
W tym celu ustalmy zale no%ci pomi$dzy wspó"rz$dnymi w obu uk"adach tego samego punktu M. W pierwszej kolejno%ci rozpatrzmy zale no%ci pomi$dzy wersorami obu uk"adów wspó"rz$dnych. Wersory i , j , k ruchomego uk"adu wspó"rz$dnych
x , y ,z zapiszemy w uk"adzie nieruchomym x, y, z:
i %! i # i " i $! i # j " j $! i # k " k. (a)
Zawarte w nawiasach iloczyny skalarne wersorów s! rzutami wersora odpowiednio na osie x, y, z, s! one równie kosinusami kierunkowymi mi$dzy osi! a osiami x, y, z, które oznaczymy :
i
x p (^) x x , p (^) x y ,px z
! " ! " ! " &'
cosx,z p.
cosx,y p ,
cosx,x p ,
x z
xy
xx
i k
i j
i i (b)
Wektor jest wektorem "!cz!cym pocz!tki obu uk"adów wspó"rz$dnych.
Zapiszemy go analitycznie w uk"adzie wspó"rz$dnych x, y, z:
r O
r (^) O % xO i $ yO j $z (^) O k. (5.26)
Wektor r jest wektorem wodz!cym punktu M w uk"adzie x , y , z. Mo na go
wyrazi# za pomoc! wspó"rz$dnych w tym uk"adzie:
r % x i $ y j $z k. (5.27)
Po podstawieniu wzorów (5.26) i (5.27) do równania (5.25) otrzymamy:
r % r (^) O $ r % x (^) O i $ y (^) O j $ z (^) O k $ x i $ y j $z k. (5.28)
Po zrzutowaniu powy szego wektora na osie uk"adu wspó"rz$dnych x, y, z oraz wykorzystaniu zale no%ci (b) otrzymamy jego wspó"rz$dne w tym uk"adzie wspó"rz$dnych:
z z xp yp zp.
y y xp yp zp ,
x x xp yp zp ,
O xz yz z z
O xy yy zy
O xx yx zx
r k
rj
ri (5.29)
W podobny sposób mo na wyrazi# wspó"rz$dne wektora r w uk"adzie x , y ,z. Analogicznie mo na zapisa# dowolny wektor c dany w jednym uk"adzie wspó"rz$dnych w drugim.
5.3.2. Pr dko!" i przy!pieszenie dowolnego punktu bry#y w ruchu
ogólnym
Dla rozpatrzenia kinematyki bry y przyjmiemy, tak jak w poprzednim punkcie, dwa uk ady wspó rz!dnych prostok"tnych: jeden nieruchomy o osiach x, y, z i pocz"tku w punkcie O, a drugi o osiach x , y , z i pocz"tku w dowolnym punkcie
(biegunie) O , poruszaj"cy si! razem z bry " (rys. 5.8). Wektor wodz"cy dowolnego punktu M bry y w nieruchomym uk adzie wspó rz!dnych x, y, z jest zgodnie ze wzorem (5.25) sum" dwóch wektorów r (^) O i r ,których znaczenie omówiono w p. 5.3.1:
r! r O (^) " r.
Wiadomo z kinematyki punktu, #e pr!dko$% punktu jest pochodn" wektora wodz"cego r wzgl!dem czasu t (wzór 5.4). Zatem szukan" pr!dko$% punktu M wyra#a zale#no$%:
v
r (^) r ! "
d (^) d d t
O d t
Pochodna wektora r O (^) wzgl!dem czasu jest pr!dko$ci" punktuO :
v
r O!^ O^!^ O^ i^ "^ O^ j " O
d dt
dx dt
dy dt
dz dt
k. (a)
Po zró niczkowaniu wzgl!dem czasu wzoru (5.27) otrzymamy:
d dt
dx dt
dy dt
dz dt
x d dt
y d dt
z d dt
r (^)! i " j " k " i (^) " j (^) " k (^). (b)
Poniewa wektor jest wektorem "#cz#cym dwa punkty bry"y sztywnej, wi!c jego modu" jest sta"y,
r r !const , a co za tym idzie, jego wspó"rz!dne s#
wielko$ciami sta"ymi niezale nymi od czasu. Zatem ich pochodne wzgl!dem czasu s# równe zeru.
x , y ,z
dx dt
dy dt
dz dt
Wzór (b) przyjmuje wi!c posta%:
d dt
x d dt
y d dt
z d dt
r (^)! i (^) " j (^) " k (^). (c)
Po zró niczkowaniu wzgl!dem czasu wzoru na pr!dko$% (5.32) otrzymamy przy$pieszenie punktu M:
d t
d
dt
d
dt
d
dt
d O r
r
v v
a!! " # " #. (f)
Po oznaczeniu przy$pieszenia pocz#tku O ruchomego uk"adu wspó"rz!dnych przez
a
v O! O
d dt
(g)
oraz przy$pieszenia k#towego przez
d t
d
!! (h)
i wykorzystaniu wzoru (e) wzór (f) przyjmie ko&cow# posta%:
a! a O "! # r " # % # r &. (5.33)
Wzór ten mo na przedstawi% w nieco innej postaci po rozpisaniu wyst!puj#cego w nim podwójnego iloczynu wektorowego zgodnie z zale no$ci# (2.34):
a! a O "! # r " % ' r &( ' 2 r. (5.34)
Ze wzorów na pr!dko$% (5.32) i przy$pieszenie (5.33) wynika, e aby wyznaczy% pr!dko$% i przy$pieszenie dowolnego punktu M bry"y, nale y zna% cztery wielko$ci wektorowe charakteryzuj#ce ruch ogólny bry"y: a) pr!dko$% v (^) O i przy$pieszenie a (^) O jednego z punktów bry"y O (bieguna), b) pr!dko$% k#tow# $ i przy$pieszenie k#towe bry"y ). Wyprowadzone w tym punkcie wzory na pr!dko$% i przy$pieszenie dowolnego punktu bry"y w ruchu ogólnym wykorzystamy przy omawianiu w nast!pnych punktach tego rozdzia"u szczególnych przypadków ruchu ogólnego bry"y, czyli post!powego, obrotowego, $rubowego, p"askiego i kulistego.
5.3.3. Ruch post powy
Ruch bry y sztywnej nazywamy post!powym, je"eli dowolna prosta sztywno zwi#zana z bry # pozostaje w czasie ruchu stale równoleg a do po o"enia pocz#tkowego.
Z powy szej definicji wynika, e ka da z osi uk!adu wspó!rz"dnych
przedstawionego na rys. 5.8 b"dzie mia!a w ruchu post"powym ten sam kierunek. Podobnie wektor nie zmieni w czasie ruchu swojego kierunku, zatem b"dzie on wektorem sta!ym niezale nym od czasu:
x , y ,z
r! O M r! const,wi"c jego pochodna we wzorze (5.30) b"dzie równa zeru. St#d pr"dko$% dowolnego punktu bry!y wyra a zale no$%:
v
r !! v
d dt
O O.^ (5.35)
Po zró niczkowaniu tego wzoru otrzymujemy przy$pieszenie.
a
r v !!! a
d dt
d dt
O O O
2 2.^ (5.36)
Ze wzorów (5.35) i (5.36) oraz definicji ruchu post"powego wynikaj# nast"puj#ce wnioski: a) Wszystkie punkty bry!y sztywnej w ruchu post"powym maj# te same pr"dko$ci v (^) O i przy$pieszenia a (^) Ow tej samej chwili czasu.
b) Tory wszystkich punktów bry!y maj# ten sam kszta!t. c) Dla opisu ruchu post"powego bry!y wystarczy poda% równanie ruchu jednego
punktu bry!y, np. pocz#tku ruchomego uk!adu wspó!rz"dnych O´, r O! r O " t .#
