Kinematyka - Notatki - Mechanika - Część 3, Notatki z Mechanika

Pobierz Kinematyka - Notatki - Mechanika - Część 3 i więcej Notatki w PDF z Mechanika tylko na Docsity! 5.3.4. Ruch obrotowy Ruch bry y sztywnej nazywamy obrotowym, je!eli istnieje jedna prosta zwi"zana z bry ", której punkty w czasie ruchu pozostaj" w spoczynku. Za ó!my, !e osi" obrotu jest o# . Dla u atwienia rozwa!a$ przyjmiemy uk ad wspó rz%dnych zwi"zany z bry " tak, aby o# z z pokrywa a si% z osi" z uk adu nieruchomego oraz aby jego pocz"tek O znajdowa si% w punkcie O, jak na rys. 5.9. Poniewa! wersor k = const, co wynika z pokrywania si% osi z osi" obrotu, jego pochodna wzgl%dem czasu jest równa zeru. Zatem z wyra!enia: z 0 td d ! "! k k wynika, !e wektor # le!y na osi obrotu. Z osi" obrotu pokrywa si% równie! wektor przy#pieszenia k"towego $. W tej sytuacji wektory te mo!na zapisa& w nast%puj"cy sposób: x x y y z=z O=O r=r M # $ % % Rys. 5.9. Ruch obrotowy bry y sztywnej wokó sta ej osi obrotu kk!kk ''oraz zz ! ! #! #! . (5.37) Je!eli k"t mi%dzy osiami sta " x i ruchom" x oznaczymy przez %, to zale!no#& % = %(t) jest równaniem ruchu obrotowego bry y wokó sta ej osi. Mo!na wykaza& [9], !e pochodna wzgl%dem czasu k"ta obrotu % jest modu em pr%dko#ci k"towej, a druga pochodna modu em przy#pieszenia k"towego: 2 2 td d td d ' , td d % ! # ! % !# . (5.38) Z rysunku 5.9 wida&, !e promie$ wodz"cy punktu M jest równy r , poniewa! . Tym samym r r OO ! !O 0 v a ! !O Oi0 0 . Uwzgl%dniwszy powy!sze zale!no#ci we wzorach na pr%dko#& (5.32) i przy#pieszenie (5.33) punktu w ruchu ogólnym, otrzymamy wzory na pr%dko#& i przy#pieszenie dowolnego punktu bry y w ruchu obrotowym wokó sta ej osi obrotu: r v "! , (5.39) docsity.com & 'r r!a ""( "! . (5.40) Przy#pieszenie mo!na zapisa& w postaci: & 'r r!a )( "! r #* 2 . (5.41) Dla ilustracji wektory pr%dko#ci przedstawimy na rys. 5.10. . an= # x (# x r ) r=r as= $ x r #(#.r ) -#2r v = # x r a # $ O l M ) Rys. 5.10. Sk adowe pr%dko#ci i przy#pieszenia w ruchu obrotowym bry y Na podstawie wzorów (5.39), (5.40) i (5.41) oraz rys. 5.10 mo!emy sformu owa& nast%puj"ce wnioski: a) Pr%dko#& jest prostopad a do p aszczyzny przechodz"cej przez o# obrotu l i punkt M, czyli jest styczna do okr%gu zakre#lonego przez punkt M. b) Przy#pieszenie punktu M ma dwie sk adowe: styczn" do toru punktu M, równ" r!a "!s , nazywan" przy#pieszeniem stycznym, i normaln", równ" & r a ' ""!n , prostopad " do r v "!i , czyli skierowan" do #rodka krzy- wizny toru punktu M, nazywan" przy#pieszeniem normalnym lub do#rodkowym. c) Przy#pieszenie normalne mo!na roz o!y& na sk adow" równoleg " do osi obrotu & r ' ) i sk adow" skierowan" do obranego punktu O równ" . r #* 2 Gdy punkt odniesienia przyjmiemy w #rodku okr%gu zakre#lonego przez punkt M, wtedy sk adowa przy#pieszenia normalnego równoleg a do osi obrotu b%dzie równa zeru, , a przy#pieszenie normalne . W tym & ' 0! ) r ra #*! 2n docsity.com 5.3.5. Ruch rubowy W punkcie 5.3.2 wykazano, e pr!dko"# dowolnego punktu M bry$y w ruchu ogólnym jest sum% dwóch sk$adowych: a) pr!dko"ci , która jest pr!dko"ci% punktu O (bieguna), v O b) pr!dko"ci wynikaj%cej z ruchu obrotowego bry$y z pr!dko"ci% k%tow% wokó$ tego bieguna. r! ! ! Po zmianie bieguna na inny nie zmieni si! pr!dko"# k%towa , zmianie ulegnie natomiast pr!dko"# bieguna oraz k%t " zawarty pomi!dzy wektorami (rys. 5.12). W zwi%zku z tym nasuwa si! pytanie, czy istnieje taki biegun redukcji C, w którym k%t b!dzie równy zeru, czyli wektor v O ! v O Oi v! C b!dzie równoleg$y do wektora pr!dko"ci k%towej #. Wyka emy, e dla wszystkich punktów C le %cych na prostej l wektory te b!d% do siebie równoleg$e. Znajdowanie takich punktów C, dla których w ka dej chwili czasu wektor vC jest równoleg!y do wektora , nazywamy sprowadzaniem ruchu ogólnego bry!y do ruchu "rubowego. ! C i, OO Punkt C le y na prostej l równoleg$ej do wektora , nazywanej chwilow# osi# ruchu "rubowego. ! O O vO # C rC rCrO # vC " l Rys. 5.12. Ruch "rubowy bry$y Dla wyznaczenia pr!dko"ci ruchu "rubowego vC i po$o enia chwilowej osi l ruchu "rubowego, , za$o ymy, e znane s% wektory r . Pr!dko"# punktu C zgodnie z równaniem (5.32) mo emy wyrazi# wzorem: $ r OC !v COC r!vv !%$ . (5.43) Po pomno eniu powy szego wzoru skalarnie przez ! otrzymamy: & ' !r!!v!v ( !%($( COC . (a) Je eli iloczyn mieszany wyst!puj%cy w tym wzorze przedstawimy zgodnie ze wzorem (2.31), to zauwa ymy, e jest on równy zeru. docsity.com & ' & ' 0CC $!( $( ! !!r!r! . W tej sytuacji równanie (a) upraszcza si! do postaci !v!v ($( OC . Poniewa wektory po lewej stronie tego równania s% równoleg$e, na podstawie definicji iloczynu skalarnego mo na napisa#: #Cv !v ($ O . (b) St%d modu$ pr!dko"ci vC punktu C !v ($ OCv )#. (5.44) Pr!dko"# vC punktu C otrzymamy po pomno eniu powy szego wzoru przez wektor jednostkowy #)# o kierunku osi l & '!!vv ($ OC )#2 . (5.45) W celu wyznaczenia wektora porównamy stronami wzory (5.43) i (5.45) na pr!dko"# v rC C. Otrzymamy wtedy równanie wektorowe: & '!!vr!v ($ !% OCO )#2. Po przeniesieniu pr!dko"ci na praw% stron! i sprowadzeniu do wspólnego mianownika mamy: v O $ ! Cr! [ & ' *( !!vO #2 v O ] )#2 lub $ ! Cr! [ & ' & '!!v!v! (*( OO ] )#2. W porównaniu ze wzorem (2.34) $atwo zauwa y#, e wyra enie wyst!puj%ce w nawiasie kwadratowym po prawej stronie tego równania jest rozwini!ciem podwójnego iloczynu wektorowego. Zatem równanie to mo emy zapisa# w taki sposób: $ ! Cr! [ & 'O !! v!! ] )#2 . (5.46) W powy szym równaniu wektorowym jest tylko jedna niewiadoma rC . &atwo zauwa y#, e rozwi%zanie ogólne tego równania ma posta#: & 'OC !$ v!r )#2 + + , (5.47) ! docsity.com gdzie + jest dowoln% wielko"ci% dodatni% lub ujemn%. Wzór ten opisuje po$o enie wszystkich punktów C le %cych na prostej równoleg$ej do pr!dko"ci k%towej . Jest to wi!c szukane równanie chwilowej osi l ruchu "rubowego w uk$adzie ruchomym (zwi%zanym z bry$%). W uk$adzie wspó$rz!dnych równanie to mo emy zapisa# w postaci trzech równowa nych parametrycznych równa' skalarnych: ! x y z, , , , , - , , , . / +#% # #*# $ +#% # #*# $ +#% # #*# $ . vv z , vv y , vv x z2 xOyyOx C y2 zOxxOz C x2 yOzzOy C (5.48) Na rysunku 5.12 widzimy, e po$o enie ka dego punktu C chwilowej osi ruchu "rubowego w uk$adzie nieruchomym wyznacza promie' wodz%cy r, który mo na przedstawi# w postaci sumy wektorów . Po uwzgl!dnieniu wzoru (5.47) wektorowe równanie chwilowej osi ruchu "rubowego w uk$adzie nieruchomym b!dzie mia$o posta#: r r O i C & 'OOCOC !%$ %$ v!rrrr )#2 + + . (5.49) ! Temu równaniu w uk$adzie nieruchomym b!d% odpowiada$y trzy parametryczne równania. W tym celu wektory wyst!puj%ce w równaniu (5.49) nale y wyrazi# w uk$adzie wspó$rz!dnych x, y, z: , , , - , , , . / +#% # #*# %$ +#% # #*# %$ +#% # #*# %$ . vv zz , vv yy , vv xx z2 xOyyOx OC y2 zOxxOz OC x2 yOzzOy OC (5.50) Wykazali"my tym samym, e ruch ogólny bry$y mo na w dowolnej chwili sprowadzi# do ruchu "rubowego zdefiniowanego na wst!pie tego punktu. Ruch ten jest sum% dwóch ruchów prostych: docsity.com Równania aksoid otrzymamy z równa& chwilowej osi obrotu. W celu otrzymania aksoidy sta"ej ) nale y do równa& (5.49) lub (5.50) wstawi$ funkcje czasu: % & % & % &tit,t OOOO vvrr $$$ (a) wyra one we wspó"rz#dnych uk"adu nieruchomego x, y, z. Podczas zmiany czasu t chwilowa o! zakre!li powierzchni#, któr% nazwali!my aksoid% sta"% ). Podobnie otrzymamy równanie aksoidy ruchomej ) . Nale y w tym celu do równa& (5.47) albo (5.48) podstawi$ dwie z trzech funkcji (a), np. wyra one w ruchomym uk"adzie wspó"rz#dnych ,v !iO x y z, , . W czasie ruchu bry"y obie aksoidy s% do siebie styczne wzd"u chwilowej osi obrotu l. Poniewa wszystkie punkty le %ce na tej osi maj% pr#dko!$ równ% zeru, , ruch bry"y mo na rozpatrywa$ jako ruch spowodowany toczeniem si# bez po!lizgu aksoidy ruchomej ) po aksoidzie nieruchomej ). 0C $v W zale no!ci od rodzaju ruchu bry"y chwilowe osie obrotu mog% zakre!li$ ró ne powierzchnie (aksoidy): a) sto kowe (utworzone z prostych przecinaj%cych si# w jednym punkcie), wtedy ruch chwilowy jest ruchem kulistym, b) walcowe (utworzone z prostych równoleg"ych), wtedy ruch chwilowy jest ruchem p"askim, c) inne. docsity.com 5.3.7. Ruch kulisty Ruchem kulistym nazywamy taki ruch bry y, w czasie którego jeden z punktów z ni! zwi!zanych jest nieruchomy. a v 1r y z z y x x r M O = O Rys. 5.15. Ruch kulisty bry y sztywnej Punkt ten nazywamy !rodkiem ruchu kulistego. Wobec tego pr"dko!# tego punktu b"dzie stale równa zeru, czyli musi on w ka$dej chwili czasu le$e# jednocze!nie na aksoidzie ruchomej i nieruchomej. Zatem obie aksoidy w ruchu kulistym s% tocz%cymi si" po sobie sto$kami o wspólnym wierzcho ku. Dla uproszczenia rozwa$a& pocz%tki O i O uk adów wspó rz"dnych ruchomego i nieruchomego x, y, z przyjmiemy w nieruchomym punkcie bry y (rys. 5.15). Przyj"cie takich uk adów sprawia, $e wektor b"dzie równy zeru, . W tej sytuacji równe zeru b"d% równie$ pr"dko!# i przy!pieszenie punktu x y z, , O r r OO ! !O 0 v O a O O : v a ! !O Oi0 0 , (a) a promie& wodz%cy dowolnego punktu M bry y mo$emy zapisa# tak: r r! . (b) Po uwzgl"dnieniu zale$no!ci (a) i (b) we wzorach (5.32) i (5.33) dla ruchu ogólnego bry y otrzymamy wzory na pr"dko!# v i przy!pieszenie a dowolnego punktu M bry y w ruchu kulistym: r v ! , (5.52) docsity.com