Docsity
Docsity

Przygotuj się do egzaminów
Przygotuj się do egzaminów

Studiuj dzięki licznym zasobom udostępnionym na Docsity


Otrzymaj punkty, aby pobrać
Otrzymaj punkty, aby pobrać

Zdobywaj punkty, pomagając innym studentom lub wykup je w ramach planu Premium


Informacje i wskazówki
Informacje i wskazówki

Kinematyka - Notatki - Mechanika - Część 4, Notatki z Mechanika

W notatkach omawiane zostają zagadnienia z fizyki: kinematyka; ruch unoszenia, względny i bezwzględny,

Typologia: Notatki

2012/2013

Załadowany 15.03.2013

guns_pistols
guns_pistols 🇵🇱

4.5

(13)

79 dokumenty

Podgląd częściowego tekstu

Pobierz Kinematyka - Notatki - Mechanika - Część 4 i więcej Notatki w PDF z Mechanika tylko na Docsity! O 22 BA 1 hb r b v ! "" . (d) Przy pieszenie punktu B przedstawimy w postaci sumy geometrycznej przy pieszenia punktu A i przy pieszenia punktu B wzgl!dem A (wzór 5.70): n BA s BAAB aaaa ##" . (e) Przy pieszenie punktu A jest równe przy pieszeniu normalnemu, poniewa" przy pieszenie k#towe korby OA jest równe zeru. Warto $ tego przy pieszenia raa 2O n AA "" . Sk%adowa przy pieszenia normalnego a punktu B wzgl!dem A pokrywa si! z kierunkiem korbowodu AB i jest skierowana w stron! punktu A (rys. 5.23b), a jej warto $ BA n O22 2 1 n BA hb br ba ! " " . (f) Przy pieszenie styczne a punktu B wzgl!dem A jest prostopad%e do korbowodu AB. Warto $ tego przy pieszenia wyra"a wzór: BA s b&a 1 s BA " . (g) W powy"szym wzorze jest przy pieszeniem k#towym korbowodu AB. Przy pieszenie to nie jest znane, dlatego nie znamy warto ci przy pieszenia stycznego . Drug# niewiadom# w równaniu (e) jest warto $ przy pieszenia ca%kowitego suwaka . W celu wyznaczenia tych niewiadomych przyjmiemy w punkcie B prostok#tny uk%ad wspó%rz!dnych x, y i zrzutujemy wektory przy pieszenia na osie x i y. Otrzymamy: 1& a BA s aB .cosasina=0 ,sinacosaaa s BA n BA s BA n BAAB $!$ $!$!!"! Po rozwi#zaniu tego uk%adu równa' i uwzgl!dnieniu (b) otrzymujemy: % & % & . hb br 1ra , hb bhr a 2 O 2 3 22 2 B 2 O 2 3 22 2 s BS ' ' ' ( ) * * * + , ! #" ! " Warto $ przy pieszenia k#towego korbowodu AB % & 2 O 2 3 22 2s BA 1 hb hr b a & ! "" . docsity.com 5.4.1. Ruch unoszenia, wzgl dny i bezwzgl dny Przy omawianiu ruchu punktu lub bry y zak adali!my, "e punkt lub bry a porusza y si# wzgl#dem uk adu odniesienia x, y, z uwa"anego za nieruchomy. Mo"na rozpatrzy$ taki przypadek, "e wspomniany uk ad odniesienia b#dzie si# porusza wzgl#dem innego uk adu, uwa"anego wtedy za nieruchomy. Wówczas ruch punktu lub bry y nazywamy ruchem z o"onym. x z x z y y rO r O r L Lw M O Rys. 5.24. Ruch z o"ony punktu Ruch punktu lub bry y wzgl#dem uk adu nieruchomego nazywamy ruchem bezwzgl dnym, a ruch tego samego punktu lub bry y wzgl#dem uk adu ruchomego ruchem wzgl dnym. Ruch ruchomego uk adu odniesienia wzgl#dem nieruchomego nazywamy ruchem unoszenia. W dalszej cz#!ci rozpatrzymy jedynie ruch z o"ony punktu. Niech punkt M porusza si# w sposób dowolny, nie zwi%zany ani z nieruchomym uk adem odniesienia x, y, z, ani z ruchomym x y z, , (rys. 5.24). Je"eli ruch tego punktu b#dzie obserwowany przez dwóch obserwatorów ! jednego zwi%zanego z uk adem nieruchomym x, y, z, a drugiego zwi%zanego z uk adem ruchomym ! to ka"dy z obserwatorów b#dzie „widzia ” ruch punktu M w inny sposób (inny tor, pr#dko!$, przy!pieszenie). x y z, , Tor, jaki zakre!li punkt M w uk adzie nieruchomym, nazywamy torem bezwzgl dnym L, a w uk adzie ruchomym torem wzgl dnym Lw. Ka"dy z punktów toru wzgl#dnego, zatem i punkt znajduj%cy si# w tym samym miejscu co punkt M, zakre!li pewien tor Lu. Ruch tego punktu wzgl#dem uk adu nieruchomego nazywamy ruchem unoszenia punktu M w rozwa"anej chwili. docsity.com td d td d td d td d td d wO vr%r %vv a # &# &#!! . (e) Pochodna a v !O Od dt (f) jest przy!pieszeniem punktu O , a pochodna & % ! td d (g) przy!pieszeniem k#towym bry$y. Wyst puj#c# we wzorze (e) pochodn# wektora r wzgl dem czasu obliczyli!my ju% przy wyprowadzaniu wzoru na pr dko!" punktu M. Jest ona dana wzorem (d). W celu obliczenia pochodnej pr dko!ci wzgl dnej wzgl dem czasu zró%niczkujemy wzór (5.81) oraz wykorzystamy zale%no!ci (5.31): v w $ % $ % $ % ! & # & # & #! ! # # # # # ! k%j%i%a kji kji v w td zd td yd td xd td d td zd td d td yd td d td xd td zd td yd td xd td d w 2 2 2 2 2 2 www dt zd dt yd dt xd v%akji%a &#!' ( ) * + , # # &#! , (h) gdzie aw jest przy!pieszeniem wzgl dnym punktu M: a i jw ! # # d x dt d y dt d z dt 2 2 2 2 2 2 k . (5.85) Po uwzgl dnieniu we wzorze (e) oznacze& (f) i (g) oraz wzoru (h) otrzymamy przy!pieszenie a punktu M. $ % !&### &&# &#! wwwO v%avr%%r&aa $ % wwO 2 v%ar%%r&a &## &&# &#! . (5.86) Pierwsze trzy wyrazy w tym wzorze znamy z ruchu ogólnego bry$y jako przy!pieszenie dowolnego punktu bry$y (wzór 5.33), a wi c jest to przy!pieszenie unoszenia a : u $ %r%%r&aa &&# &#! Ou . (5.87) docsity.com Z kolei podwojony iloczyn wektorowy pr dko!ci k#towej i pr dko!ci wzgl dnej jest przy!pieszeniem znanym jako przy pieszenie Coriolisa: v w wC 2 v%a &! . (5.88) Tak wi c przy!pieszenie bezwzgl dne a punktu M w ruchu z$o%onym jest równe sumie trzech przy!piesze&: unoszenia , wzgl dnego a i Coriolisa : a u w aC a a a a! # #u w C . (5.89) Przy!pieszenie Coriolisa jest dodatkowym przy!pieszeniem wynikaj#cym z ruchu obrotowego uk$adu unoszenia. Mo%na udowodni" [9], %e jest ono wywo$ane zmian# wektora pr dko!ci wzgl dnej wskutek jego obrotu z pr dko!ci# k#tow# oraz zmian# wektora pr dko!ci unoszenia spowodowan# przemieszczaniem si punktu M z pr dko!ci# wzgl dn# . v w v u v w Z w$asno!ci iloczynu wektorowego wynika, %e przy!pieszenie Coriolisa b dzie równe zeru w trzech przypadkach: a) gdy - = 0, wtedy ruch unoszenia jest ruchem post powym, b) gdy wektory pr dko!ci k#towej - i pr dko!ci wzgl dnej punktu M s# v w równoleg$e, c) gdy pr dko!" wzgl dna punktu M w pewnej chwili jest równa zeru. v w W zagadnieniach technicznych najcz !ciej przyjmujemy, %e uk$ad odniesienia zwi#zany z Ziemi# jest nieruchomy. Tym samym pomijamy przy!pieszenie Coriolisa dzia$aj#ce na obiekty poruszaj#ce si wzgl dem Ziemi, np. pojazdy, a wywo$ane jej obrotem wokó$ w$asnej osi. Takie post powanie jest usprawiedliwione, poniewa% przy!pieszenie to jest bardzo ma$e [11]. Jednak przy!pieszenie Coriolisa towarzyszy wielu zjawiskom wyst puj#cym w przyrodzie, wywo$anym obrotem kuli ziemskiej. Do zjawisk tych nale%# przyk$adowo kierunki pr#dów morskich i wiatrów. Przyk#ad 5.7. Pozioma rurka obraca si wokó$ pionowej osi z, przechodz#cej przez jej !rodek (rys. 5.25a), zgodnie z równaniem ruchu: , gdzie czas t jest wyra%ony w sekundach, a k#t . w radianach. Wewn#trz rurki porusza si punkt M zgodnie równaniem: 2t1t10 /!. 0 1cm3tsin15sOM / !! . Obliczy pr!dko" i przy"pieszenie bezwzgl!dne punktu M dla czasu t s1 1! . docsity.com M x y x y y s " O M z vM vw s # O M vu # s $ O au s au n aw ac a) b) c) Rys. 5.25. Wyznaczenie pr!dko"ci i przy"pieszenia punktu M w ruchu z#o$onym Rozwi zanie. Punkt M porusza si! ruchem z#o$onym z ruchu unoszenia wywo#anego obrotem rurki i ruchu wzgl!dnego wzgl!dem rurki. Pr!dko" bezwzgl!dn% punktu M obliczymy ze wzoru (5.84): v v vM u w! % . (a) Warto" pr!dko"ci unoszenia punktu M wynikaj%ca z ruchu obrotowego rurki & ' & ' t 3 sint30150t 3 sin15t210sv u (! (!#! , gdzie # jest warto"ci% pr!dko"ci k%towej rurki: ) *1st210 dt d ((! " !# . Warto" pr!dko"ci wzgl!dnej punktu M t 3 cos5t 3 cos 3 15 dt ds v w ! +!! . Wektory pr!dko"ci unoszenia i pr!dko"ci wzgl!dnej zaznaczono na rys. 5.25b przedstawiaj%cym rurk! w rzucie z góry. Dla czasu t s1 1! otrzymujemy: docsity.com