Pobierz Kinematyka - Notatki - Mechanika - Część 4 i więcej Notatki w PDF z Mechanika tylko na Docsity! O 22 BA 1 hb r b v ! "" . (d) Przy pieszenie punktu B przedstawimy w postaci sumy geometrycznej przy pieszenia punktu A i przy pieszenia punktu B wzgl!dem A (wzór 5.70): n BA s BAAB aaaa ##" . (e) Przy pieszenie punktu A jest równe przy pieszeniu normalnemu, poniewa" przy pieszenie k#towe korby OA jest równe zeru. Warto $ tego przy pieszenia raa 2O n AA "" . Sk%adowa przy pieszenia normalnego a punktu B wzgl!dem A pokrywa si! z kierunkiem korbowodu AB i jest skierowana w stron! punktu A (rys. 5.23b), a jej warto $ BA n O22 2 1 n BA hb br ba ! " " . (f) Przy pieszenie styczne a punktu B wzgl!dem A jest prostopad%e do korbowodu AB. Warto $ tego przy pieszenia wyra"a wzór: BA s b&a 1 s BA " . (g) W powy"szym wzorze jest przy pieszeniem k#towym korbowodu AB. Przy pieszenie to nie jest znane, dlatego nie znamy warto ci przy pieszenia stycznego . Drug# niewiadom# w równaniu (e) jest warto $ przy pieszenia ca%kowitego suwaka . W celu wyznaczenia tych niewiadomych przyjmiemy w punkcie B prostok#tny uk%ad wspó%rz!dnych x, y i zrzutujemy wektory przy pieszenia na osie x i y. Otrzymamy: 1& a BA s aB .cosasina=0 ,sinacosaaa s BA n BA s BA n BAAB $!$ $!$!!"! Po rozwi#zaniu tego uk%adu równa' i uwzgl!dnieniu (b) otrzymujemy: % & % & . hb br 1ra , hb bhr a 2 O 2 3 22 2 B 2 O 2 3 22 2 s BS ' ' ' ( ) * * * + , ! #" ! " Warto $ przy pieszenia k#towego korbowodu AB % & 2 O 2 3 22 2s BA 1 hb hr b a & ! "" . docsity.com 5.4.1. Ruch unoszenia, wzgl dny i bezwzgl dny Przy omawianiu ruchu punktu lub bry y zak adali!my, "e punkt lub bry a porusza y si# wzgl#dem uk adu odniesienia x, y, z uwa"anego za nieruchomy. Mo"na rozpatrzy$ taki przypadek, "e wspomniany uk ad odniesienia b#dzie si# porusza wzgl#dem innego uk adu, uwa"anego wtedy za nieruchomy. Wówczas ruch punktu lub bry y nazywamy ruchem z o"onym. x z x z y y rO r O r L Lw M O Rys. 5.24. Ruch z o"ony punktu Ruch punktu lub bry y wzgl#dem uk adu nieruchomego nazywamy ruchem bezwzgl dnym, a ruch tego samego punktu lub bry y wzgl#dem uk adu ruchomego ruchem wzgl dnym. Ruch ruchomego uk adu odniesienia wzgl#dem nieruchomego nazywamy ruchem unoszenia. W dalszej cz#!ci rozpatrzymy jedynie ruch z o"ony punktu. Niech punkt M porusza si# w sposób dowolny, nie zwi%zany ani z nieruchomym uk adem odniesienia x, y, z, ani z ruchomym x y z, , (rys. 5.24). Je"eli ruch tego punktu b#dzie obserwowany przez dwóch obserwatorów ! jednego zwi%zanego z uk adem nieruchomym x, y, z, a drugiego zwi%zanego z uk adem ruchomym ! to ka"dy z obserwatorów b#dzie „widzia ” ruch punktu M w inny sposób (inny tor, pr#dko!$, przy!pieszenie). x y z, , Tor, jaki zakre!li punkt M w uk adzie nieruchomym, nazywamy torem bezwzgl dnym L, a w uk adzie ruchomym torem wzgl dnym Lw. Ka"dy z punktów toru wzgl#dnego, zatem i punkt znajduj%cy si# w tym samym miejscu co punkt M, zakre!li pewien tor Lu. Ruch tego punktu wzgl#dem uk adu nieruchomego nazywamy ruchem unoszenia punktu M w rozwa"anej chwili. docsity.com td d td d td d td d td d wO vr%r %vv a # &# &#!! . (e) Pochodna a v !O Od dt (f) jest przy!pieszeniem punktu O , a pochodna & % ! td d (g) przy!pieszeniem k#towym bry$y. Wyst puj#c# we wzorze (e) pochodn# wektora r wzgl dem czasu obliczyli!my ju% przy wyprowadzaniu wzoru na pr dko!" punktu M. Jest ona dana wzorem (d). W celu obliczenia pochodnej pr dko!ci wzgl dnej wzgl dem czasu zró%niczkujemy wzór (5.81) oraz wykorzystamy zale%no!ci (5.31): v w $ % $ % $ % ! & # & # & #! ! # # # # # ! k%j%i%a kji kji v w td zd td yd td xd td d td zd td d td yd td d td xd td zd td yd td xd td d w 2 2 2 2 2 2 www dt zd dt yd dt xd v%akji%a &#!' ( ) * + , # # &#! , (h) gdzie aw jest przy!pieszeniem wzgl dnym punktu M: a i jw ! # # d x dt d y dt d z dt 2 2 2 2 2 2 k . (5.85) Po uwzgl dnieniu we wzorze (e) oznacze& (f) i (g) oraz wzoru (h) otrzymamy przy!pieszenie a punktu M. $ % !&### &&# &#! wwwO v%avr%%r&aa $ % wwO 2 v%ar%%r&a &## &&# &#! . (5.86) Pierwsze trzy wyrazy w tym wzorze znamy z ruchu ogólnego bry$y jako przy!pieszenie dowolnego punktu bry$y (wzór 5.33), a wi c jest to przy!pieszenie unoszenia a : u $ %r%%r&aa &&# &#! Ou . (5.87) docsity.com Z kolei podwojony iloczyn wektorowy pr dko!ci k#towej i pr dko!ci wzgl dnej jest przy!pieszeniem znanym jako przy pieszenie Coriolisa: v w wC 2 v%a &! . (5.88) Tak wi c przy!pieszenie bezwzgl dne a punktu M w ruchu z$o%onym jest równe sumie trzech przy!piesze&: unoszenia , wzgl dnego a i Coriolisa : a u w aC a a a a! # #u w C . (5.89) Przy!pieszenie Coriolisa jest dodatkowym przy!pieszeniem wynikaj#cym z ruchu obrotowego uk$adu unoszenia. Mo%na udowodni" [9], %e jest ono wywo$ane zmian# wektora pr dko!ci wzgl dnej wskutek jego obrotu z pr dko!ci# k#tow# oraz zmian# wektora pr dko!ci unoszenia spowodowan# przemieszczaniem si punktu M z pr dko!ci# wzgl dn# . v w v u v w Z w$asno!ci iloczynu wektorowego wynika, %e przy!pieszenie Coriolisa b dzie równe zeru w trzech przypadkach: a) gdy - = 0, wtedy ruch unoszenia jest ruchem post powym, b) gdy wektory pr dko!ci k#towej - i pr dko!ci wzgl dnej punktu M s# v w równoleg$e, c) gdy pr dko!" wzgl dna punktu M w pewnej chwili jest równa zeru. v w W zagadnieniach technicznych najcz !ciej przyjmujemy, %e uk$ad odniesienia zwi#zany z Ziemi# jest nieruchomy. Tym samym pomijamy przy!pieszenie Coriolisa dzia$aj#ce na obiekty poruszaj#ce si wzgl dem Ziemi, np. pojazdy, a wywo$ane jej obrotem wokó$ w$asnej osi. Takie post powanie jest usprawiedliwione, poniewa% przy!pieszenie to jest bardzo ma$e [11]. Jednak przy!pieszenie Coriolisa towarzyszy wielu zjawiskom wyst puj#cym w przyrodzie, wywo$anym obrotem kuli ziemskiej. Do zjawisk tych nale%# przyk$adowo kierunki pr#dów morskich i wiatrów. Przyk#ad 5.7. Pozioma rurka obraca si wokó$ pionowej osi z, przechodz#cej przez jej !rodek (rys. 5.25a), zgodnie z równaniem ruchu: , gdzie czas t jest wyra%ony w sekundach, a k#t . w radianach. Wewn#trz rurki porusza si punkt M zgodnie równaniem: 2t1t10 /!. 0 1cm3tsin15sOM / !! . Obliczy pr!dko" i przy"pieszenie bezwzgl!dne punktu M dla czasu t s1 1! . docsity.com M x y x y y s " O M z vM vw s # O M vu # s $ O au s au n aw ac a) b) c) Rys. 5.25. Wyznaczenie pr!dko"ci i przy"pieszenia punktu M w ruchu z#o$onym Rozwi zanie. Punkt M porusza si! ruchem z#o$onym z ruchu unoszenia wywo#anego obrotem rurki i ruchu wzgl!dnego wzgl!dem rurki. Pr!dko" bezwzgl!dn% punktu M obliczymy ze wzoru (5.84): v v vM u w! % . (a) Warto" pr!dko"ci unoszenia punktu M wynikaj%ca z ruchu obrotowego rurki & ' & ' t 3 sint30150t 3 sin15t210sv u (! (!#! , gdzie # jest warto"ci% pr!dko"ci k%towej rurki: ) *1st210 dt d ((! " !# . Warto" pr!dko"ci wzgl!dnej punktu M t 3 cos5t 3 cos 3 15 dt ds v w ! +!! . Wektory pr!dko"ci unoszenia i pr!dko"ci wzgl!dnej zaznaczono na rys. 5.25b przedstawiaj%cym rurk! w rzucie z góry. Dla czasu t s1 1! otrzymujemy: docsity.com