Pobierz Kinematyka punktu - Notatki - Mechanika i więcej Notatki w PDF z Mechanika tylko na Docsity!
5.2.1. Tor, prędkość i przyśpieszenie punktu
Rozpatrzmy ruch punktu materialnego względem przyjętego układu odniesienia uważanego za nieruchomy. Aby poznać ruch tego punktu, w każdej chwili musimy mieć możliwość wyznaczenia miejsca, w którym się ten punkt znajduje. Do okre- ślenia położenia dowolnego punktu M (rys. 5.1) w każdej chwili względem nieru- chomego punktu O wystarczy podanie wektora r o początku w punkcie O i końcu w rozważanym punkcie M.
z (^) L
y
x
O
r
M
hodograf wektora wodzącego
wektor wodzący
Rys. 5.1. Opis położenia punktu za pomocą wektora wodzącego
Wektorową funkcję czasu
r = r ( t (^) ) (5.1)
nazywamy wektorem wodzącym. Wektor ten możemy zapisać analitycznie w prostokątnym układzie współrzędnych x, y, z za pomocą jego współrzędnych w postaci funkcji wektorowej:
r = r ( (^) t (^) ) = x t( ) i + y t( ) j +z t( ) k (5.2)
lub równoważnych trzech równań skalarnych
x = x t ( ) , y = y t( ) , z =z t( ). (5.3)
Równanie (5.1) lub (5.2) nazywamy wektorowym równaniem ruchu , a trzy równania (5.3), równoważne wektorowemu, skalarnymi lub algebraicznymi rów- naniami ruchu.
Gdy punkt M będzie się poruszał, wektor r będzie zmieniał z upływem czasu swoją wartość i kierunek, a koniec tego wektora zakreśli krzywą L, którą będziemy nazywać torem punktu lub hodografem wektora wodzącego r. Jak już powiedziano w p. 2.3.7, hodograf rozpatrywanej funkcji wektorowej to linia zakreślona przez końce wektorów, których początki znajdują się w jednym punkcie. W czasie ruchu punktu M wektor wodzący r tego punktu będzie zmieniał swoją wartość i kierunek. Załóżmy, że w chwili czasu t 1 położenie punktu M 1 wyznacza wektor wodzący r 1 = r (t 1 ), a w chwili t 2 = t 1 + ∆t punkt zajmuje położenie M 2 wy- znaczone przez wektor wodzący r 2 = r (t 2 ), jak na rys. 5.2. Widzimy, że po upływie czasu ∆t = t 2 – t 1 wektor wodzący uzyskał przyrost ∆ r = r 2 – r 1. Iloraz ∆ r /∆t jest wektorem współliniowym z wektorem ∆ r , czyli jest skierowany wzdłuż cięciwy M 1 M 2. Jeżeli przyrost czasu ∆t będzie dążył do zera, to w granicy otrzymamy po- chodną wektora r względem czasu:
lim ∆t 0
r r v t
d dt
nazywaną prędkością punktu. Oznacza to, że prędkością punktu nazywamy pochodną względem czasu wektora wodzącego tego punktu:
v
r
d dt
O
z
y
x
r 1
r 2
L^ M^1
M (^2)
∆ r ∆ ∆
r t
v = d r dt
Rys. 5.2. Prędkość punktu
Łatwo zauważyć, że jeżeli punkt M 2 dąży do punktu M 1 , to cięciwa M 1 M 2 dąży do stycznej do toru w punkcie M 1. Wynika stąd, że prędkość punktu jest styczna do toru punktu M, czyli styczna do hodografu wektora wodzącego r.
w granicy otrzymamy pochodną prędkości v względem czasu, nazywaną przyśpie- szeniem a punktu M:
lim ∆t 0
v v a t
d dt
Przyśpieszenie punktu jest pochodną prędkości względem czasu albo drugą pochodną wektora wodzącego względem czasu.
a
v = =
d dt
d dt
2 2
r
k
Kierunek przyśpieszenia jest styczny do hodografu prędkości v. W prostokątnym układzie współrzędnych x, y, z przyśpieszenie a możemy za- pisać w następujący sposób: a = a (^) x i + a (^) y j +az. (5.10)
W celu wyznaczenia współrzędnych przyśpieszenia zróżniczkujemy względem czasu prędkość wyrażoną wzorem (5.6):
a
v = = i + j +
d dt
dv dt
dv dt
dv dt
x y^ z (^) k. (5.11)
Po uwzględnieniu zależności (5.7) współrzędne przyśpieszenia będą opisane zależ- nościami:
a
dv dt
d x dt
a
dv dt
d y dt
a
dv dt
d z dt
x
x y
y z = = = = = z=
2 2
2 2
2 , , 2. (5.12)
Z powyższych wzorów wynika, że współrzędne przyśpieszenia punktu w nieru- chomym prostokątnym układzie współrzędnych są pierwszymi pochodnymi wzglę- dem czasu współrzędnych prędkości lub drugimi pochodnymi względem czasu odpowiednich współrzędnych tego punktu. Znając współrzędne przyśpieszenia, jego moduł obliczymy ze wzoru:
a = a (^) x^2 + a (^2) y+a z^2. (5.13)
5.2.2. Prędkość i przyśpieszenie punktu w naturalnym układzie współrzędnych
W poprzednim punkcie wyznaczyliśmy współrzędne prędkości v i przyśpiesze- nia a w prostokątnym układzie współrzędnych x, y, z. Na podstawie takiego postę-
powania nie można ustalić, jak porusza się punkt względem toru L i jak zmieniają się moduły i kierunki wektorów prędkości v i przyśpieszenia a w funkcji przebytej drogi l. W celu udzielenia odpowiedzi na postawione pytanie przyjmijmy w punk- cie M lokalny układ współrzędnych prostokątnych o osiach s, n, b o kierunkach odpowiednio stycznym s, normalnym n i binormalnym b do krzywej w rozważanym punkcie M (rys. 5.4). Kierunki osi s, n, b takiego układu współ- rzędnych będą określone odpowiednio wersorami e s, e n i e b. Tak zdefiniowane wersory e s, e n i e b wyznaczają w każdym punkcie linii (toru) L prawoskrętny układ współrzędnych, który nazywamy układem naturalnym.
z
y
x
r (l) M
O
s
b
e s
e n
e b
L
n
Rys. 5.4. Ruch punktu w naturalnym układzie współrzędnych
Wykażemy, że jeżeli dane jest wektorowe równanie toru w funkcji drogi l mie- rzonej wzdłuż toru: r = r ( l) , (5.14)
to wersory te są opisane wzorami:
e
r e
r s n e^ b e^ s e
d dl
d dl
= , = ρ , =
2 2 ×^ n,^ (5.15)
gdzie ρ jest promieniem krzywizny w punkcie M. W tym celu przedstawmy fragment linii L w płaszczyźnie ściśle stycznej sn widzianej od strony strzałki osi binormalnej b (rys. 5.5). Na torze (linii) obierzmy punkt M i drugi M′ tak, aby długość ∆l drogi mierzona po łuku MM′ była niewiel- ka. Jeżeli weźmiemy granicę ilorazu przyrostu wektora wodzącego ∆ r i przyrostu drogi ∆l
Kierunek tego wektora będzie normalny do krzywej w punkcie M, ponieważ jeżeli punkt M′ będzie się zbliżał do punktu M, to kąt między przyrostem ∆ e s i wersorem e s będzie dążył do kąta prostego. Można to też wykazać analitycznie. Wiadomo, że iloczyn wersora pomnożonego skalarnie przez siebie będzie równy jedności:
e (^) s ⋅ es = 1.
Po zróżniczkowaniu tej zależności względem czasu mamy:
e
e (^) s s
d dt
⋅ = 0 lub e
e s^ ⋅^ s =
d dl
dl dt
a po podzieleniu przez dl/dt
e
e e
r s ⋅^ s^ =^ s ⋅^ =
d dl
d dl
2 2 0.
Z powyższego wynika, że druga pochodna wektora wodzącego względem drogi jest wektorem prostopadłym do osi stycznej s. Wyznaczymy obecnie moduł drugiej pochodnej wektora wodzącego r wzglę- dem drogi l. Z rysunku 5.5 można zauważyć, że dla małych przyrostów ∆ r trójkąt e s ∆ e s e ′ s i trójkąt N M M′ są podobne. Możemy zatem napisać:
e r
s (^) = es MN
Wiadomo także, że gdy ∆l będzie dążyć do zera, to długość przyrostu ∆ r będzie dążyć do długości łuku ∆l, czyli ⏐∆ r ⏐ = ∆l. Powyższą równość zapiszemy zatem w postaci:
∆ ∆
e (^) s es l MN
a po obliczeniu granicy tej równości mamy:
lim ∆l 0
e (^) s e (^) s r es l
d dl
d dl MN MN
2 2
ρ
ponieważ z geometrii analitycznej wiadomo, że granica:
lim M ′→M
M N′ =ρ
jest promieniem krzywizny, czyli promieniem koła ściśle stycznego w rozpatrywa- nym punkcie.
Ostatecznie moduł drugiej pochodnej wektora wodzącego r względem drogi l jest równy odwrotności promienia krzywizny, nazywanej krzywizną w rozważanym punkcie:
d dl
2 2
r 1
ρ
Wersor osi normalnej en otrzymamy przez podzielenie wektora (a) o kierunku normalnej przez jego moduł (5.16):
e
r
r
r r n
d dl d dl
d dl d dl
2 2 2 2
2 2 2 1 2 ρ
ρ (^).
Dla wyprowadzenia wzorów na prędkość v i przyśpieszenie a punktu M przed- stawimy wektor wodzący r (t) w postaci funkcji złożonej: r (t) = r [l(t)]. Z definicji prędkości i ze wzoru (2.51) na obliczanie pochodnej funkcji złożonej mamy:
v = d r^ = r dt
d dl
dl dt
W powyższym wzorze pierwsza pochodna jest wyliczonym wersorem e s osi stycz- nej s, a druga modułem prędkości równym pochodnej drogi względem czasu:
v
dl dt
Zatem prędkość przedstawia wzór: v = v e s. (5.18)
Otrzymaliśmy zatem potwierdzenie, że prędkość punktu jest styczna do toru. Przyśpieszenie obliczymy, licząc pochodną prędkości względem czasu. Korzy- stając ze wzoru na pochodną iloczynu, otrzymamy:
2
2 2
dl
d
v
dt
dv
dt
dl
dl
d
v
dt
dv
dt
d
v
dt
dv r
e
e
e
e
a = es + s = s + s = s +.
Po podstawieniu do tego wzoru zależności na wersor normalnej:
d dl
2 2
r e (^) n
ρ
y (^2) ( x )
Równanie to przedstawia parabolę. Współrzędne prędkości punktu wyznaczymy ze wzorów (5.7), a jej moduł ze wzoru (5.8).
v
dx dt
t
dy x (^) dt = = − 8 , v (^) y = = − 3 ,
( ) 9 25 5 m s
v v v 64 t 9 ,avt 64
2 1
2 2 y
2
x ⎟ + = = /
Współrzędne przyśpieszenia i jego wartość wyliczymy ze wzorów (5.12) i (5.13):
a
dv dt
dv x (^) dt = x^ = − 8 , a = y= 0 y ,
a = a (^) x^2 + a (^) y^2 = 64 + 0 = 8 m / s^2.
Przyśpieszenie styczne obliczymy z pierwszego wzoru (5.21):
a dv dt
t t
t t
s =^ =^
a (^) s ( t (^1) ) 2 m s 2
⎝⎜^
⎠⎟^
W celu wyznaczenia przyśpieszenia normalnego przekształcimy wzór (5.22) do postaci:
a (^) n = a 2 −as^2.
Po podstawieniu do tego wzoru wyliczonych wyżej wartości liczbowych otrzyma- my przyśpieszenie normalne w chwili t 1 :
a (^) n ( t (^1) ) ( ) m s = 82 − 6 4, 2 =4 8, /^2.
Promień krzywizny obliczymy z drugiego wzoru (5.21):
5 ,2 m
a
v
2
n
2
Przykład 5.2. Dane są kinematyczne równania ruchu punktu M w prostokąt- nym układzie współrzędnych:
x = 2 − 3 t − 6 t − 3 t− 2
(^2) , y = 3 3 t (^2) ,
gdzie x i y są podane w metrach, a czas w sekundach. Wyznaczyć równanie toru, promień krzywizny, prędkość, przyśpieszenie styczne, normalne i całkowite. Tor oraz składowe prędkości i przyśpieszenia dla chwili początkowej t = 0 przedstawić na rysunku.
Rozwiązanie. Jeżeli drugie równanie ruchu pomnożymy stronami przez − i dodamy do pierwszego, to otrzymamy równanie toru w postaci:
y = x+
x (^0)
y
x
v 0 a
v 0x
v 0y a y
a x
B
A O
M
y 0
Rys. 5.6. Prędkość i przyśpieszenie punktu we współrzędnych prostokątnych na płasz- czyźnie
Jest to równanie prostej, która odcina na osi odciętych odcinek OA = 4 m i na osi rzędnych odcinek OB = 2 m (rys. 5.6). Położenie punktu M na prostej (torze) dla chwili początkowej t = 0 wyznaczymy z równań ruchu: x 0 = 2 , y 0 = 3. Ponieważ
promień krzywizny jest równy nieskończoności ( ρ =∞), przyśpieszenie normalne
jest równe zeru:
a
v n =^ =
2 0 ρ
Współrzędne prostokątne prędkości i przyśpieszeń oraz ich moduły obliczymy tak jak w poprzednim przykładzie. Prędkość:
y
O A
C
B
r
x
y
O A
C
B
r
D x
e ϕ
a) b)
Rys. 5.7. Wyznaczenie ruchu trzpienia AB
Po podstawieniu do tej zależności, zgodnie z treścią zadania, ϕ =ωt =πt otrzy-
mamy równanie ruchu punktu A:
x (^) A = e cos t π + r 2 −e^2 sin 2 πt. (a)
Prędkość punktu A otrzymamy po obliczeniu pochodnej tego równania względem czasu:
2 r e sin t
e sin tcos t
e sin t+
dt
dx
v
2 2 2
2 A A
r esin t
sin 2 t
e
e sin t 2 2 2
2
= −π π− (b)
Po zróżniczkowaniu powyższego wzoru względem czasu i uporządkowaniu wyra- zów otrzymamy przyśpieszenie:
r e sin t r e sin t
sin 2 t
2 cos 2 t r esin t e
e
a e cos t+
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
A.^ (c)
Po podstawieniu do wzorów (b) i (c) t 1 = 0,5 s otrzymamy wartość prędkości i przyśpieszenia dla tego czasu:
2 2
2 2 A 1 A 1
2 r e
e
v t e ,a t
