Kinematyka: wektor położenia, prędkość i przyspieszenie punktu, ruch jednostajnie zmienny i inne, Skrypty z Fisica

Pobierz Kinematyka: wektor położenia, prędkość i przyspieszenie punktu, ruch jednostajnie zmienny i inne i więcej Skrypty w PDF z Fisica tylko na Docsity! 2. Kinematyka Wektor położenia Wektorem położenia lub wektorem wodzącym r  punktu P nazywamy wektor, którego początek znajduje się w początku układu współrzędnych, natomiast koniec wyznacza położenie punktu P (Rys. 2.1.). Rys. 2.1. Wektor położenia we współrzędnych kartezjańskich Składowymi wektora położenia r  są współrzędne zyx ,, punktu P :  zyxkzjyixr   , (2.1) a jego długość określa wyrażenie .222 zyxrr   (2.2) Gdy punkt P przemieszcza się w przestrzeni, to wektor wodzący r  , a zatem i jego składowe są funkcjami czasu. Prędkość punktu Prędkość chwilowa v  punktu w ruchu postępowym zdefiniowana jest przez pochodną wektora wodzącego r  po czasie:     t trttr t r t r v tt          00 limlim d d , (2.3) gdzie r   jest zmianą wektora wodzącego w czasie t . Uwzględniając definicję (2.1), prędkość punktu możemy zapisać w postaci:  zyx vvvv   , 222 zyx vvvvv   , (2.4) x y z O )( ttr   r   )(tr  ),,( zyxP )(tv  i  j  k  gdzie v jest długością wektora v  , natomiast t z v t y v t x v zyx d d , d d , d d  (2.5) są składowymi wektora prędkości odpowiednio na kierunku zyx ,, . Prędkość średnia v  punktu w skończonym przedziale czasu t zdefiniowana jest przez stosunek zmiany wektora wodzącego r   do czasu t , w którym ta zmiana nastąpiła:     t trttr t r v         . (2.6) Przyspieszenie punktu Przyspieszenie chwilowe a  punktu w ruchu postępowym zdefiniowane jest przez pochodną wektora prędkości v  po czasie:     t tvttv t v t v a tt          00 limlim d d . (2.7) Uwzględniając relacje (2.4), (2.5), przyspieszenie punktu możemy zapisać w postaci:  zyx aaaa   , 222 zyx aaaaa   , (2.8) gdzie a jest długością wektora a  , natomiast 2 2 2 2 2 2 d d d d , d d d d , d d d d t z t v a t y t v a t x t v a zz y y x x  (2.9) są składowymi wektora przyspieszenia odpowiednio na kierunku zyx ,, . Droga Drogą przebytą przez ciało jest suma elementarnych odcinków dróg sd przebytych w określonym odstępie czasu od 0t do t :      t t t t t t t t tt t t tvtvt t r rss 0 0 0 00 ddd d d dd    . (2.10) Ruch jednostajnie zmienny W ruchu jednostajnie zmiennym ( )consta  zależność prędkości v  oraz wektora wodzącego r  od czasu ma odpowiednio postać:  00 ttavv   , (2.11) Rozwiązanie: Przyjmując, że strzał został oddany w momencie 00 t , znajdziemy położenie początkowe pocisku  hr 00   oraz jego początkową prędkość   sincos 000 vvv   . Pocisk porusza się pod wpływem stałego przyspieszenia ziemskiego  gg  0  , więc jego prędkość v  oraz położenie r  będą określone przez równania (2.11), (2.12). Uwzględniając warunki początkowe znajdziemy: tgvv   0 , 2 00 2 1 tgtvrr   , lub po rozpisaniu na składowe:       ,0sincos 00 tgvvvv yx           200 0 2 1 sincos0 tgtvvhyx   . Wektory są sobie równe, jeżeli ich składowe są sobie równe. Porównując odpowiednie składowe wektora prędkości i położenia otrzymamy: cos0vvx  , gtvvy  sin0 , cos0tvx  , 2 0 2 1 sin gttvhy   . Równania te pozwalają wyznaczyć poszukiwane wielkości. W najwyższym położeniu pocisku składowa prędkości 0yv , skąd czas, po którym zostanie osiągnięta ta wysokość wyniesie gvtH /sin0  . Maksymalne wzniesienie pocisku będzie więc równe:     g v htyH H 2 sin 2 0  . Czas lotu pocisku Lt określa warunek 0y , który sprowadza się do równania kwadratowego:   0sin 2 1 0 2        htvtg LL  . Dodatnim rozwiązaniem tego równania jest poszukiwany czas H h 0v  x v  g  y r  j  i   L g h g v g v tL 2sinsin 2 00         . Zasięg lotu wyznacza równanie:   cos0 LL tvtxL  . Uwzględniając dane liczbowe otrzymamy: m691H , s23,6Lt , m3860L . Przykład 2.2. Bęben wirówki obraca się z częstotliwością Hz1801 f . Po odcięciu zasilania, bęben wykonuje 530n obrotów ruchem jednostajnie opóźnionym zmniejszając częstotliwość obrotów do Hz802 f . Obliczyć czas hamowania, w którym następuje opisana redukcja obrotów i przyśpieszenie kątowe bębna. Obliczyć czas, po którym bęben się zatrzyma. Rozwiązanie: Ruch bębna odbywa się ze stałym przyspieszeniem kątowym. Czasową zależność prędkości kątowej  i drogi kątowej  pokonanej przez bęben opisują więc równania (2.16), (2.17). Przyjmując, że w momencie odcięcia zasilania 00 t , 00  , 10 2 f  , znajdziemy: tf   12 , 2 1 2 1 2 ttf   , gdzie  jest przyspieszeniem kątowym. Oznaczając czas hamowania przez  , otrzymamy układ dwóch równań z dwoma niewiadomymi  i  :     12 22 ff ,   2 1 2 1 22   fn . Rozwiązując powyższy układ równań znajdziemy: 21 2 ff n   ,  2122 ff n    . Czas c , po którym bęben całkowicie się zatrzyma otrzymamy z warunku zerowania się prędkości kątowej:   02 1  cc f  , skąd   12 f c  . Podstawiając dane liczbowe otrzymamy: s4,1 , rad/s154 , s7,2c Przykład 2.3. Ciało porusza się pod wpływem siły hamującej z przyspieszeniem proporcjonalnym do jego prędkości: bva  , gdzie b jest dodatnim współczynnikiem hamowania. Znaleźć zależność prędkości v od czasu t oraz drogę cs przebytą przez ciało do momentu jego zatrzymania. Przyjąć, że w momencie 00 t , początkowa prędkość ciała i początkowa droga wynosiły odpowiednio   00 vtv  i   000  sts . Rozwiązanie: Przyspieszenie ciała jest z definicji pochodną prędkości po czasie: bv t v a  d d . Elementarna, względna zmiana prędkości ciała w czasie dt będzie więc określona relacją: tb v v d d  . Całkując obustronnie powyższy związek po czasie otrzymamy:   tbv v d d , 1ln Cbtv  , gdzie 1C jest stałą całkowania. Prawa część tego zapisu przedstawia uwikłaną zależność prędkości od czasu. W szczególności, równanie to spełnione jest dla momentu 00 t , w którym prędkość ciała wynosi 0v . Umożliwia to znalezienie stałej całkowania 01 ln vC  i w konsekwencji - funkcyjnej zależności prędkości od czasu:   btevtv  0 . Elementarną droga ds przebytą przez ciało w elementarnym czasie dt przedstawia wyrażenie:   tevttvs btddd 0  . Całkując obustronnie powyższe równanie otrzymamy zależność drogi od czasu:   tevs btdd 0 ,   2 0 Ce b v ts bt   , gdzie 2C jest stałą całkowania. W szczególności, równanie to spełnione jest dla momentu 00 t , w którym przebyta droga   000  sts . Warunek ten pozwala obliczyć stałą całkowania bvC /02  i w konsekwencji zależność drogi od czasu:    bte b v ts  10 . Z zależności prędkości ciała od czasu wynika, że prędkość ta spadnie do zera po czasie teoretycznie nieskończenie długim. Przebyta przez ciało droga od momentu 00 t do momentu zatrzymania będzie więc równa:   b v e b v s bt t c 00 1lim    . 2.19. Ciało, początkowo spoczywające w początku układu współrzędnych, zaczyna porusza się ruchem niejednostajnie zmiennym z przyspieszeniem ctba  . Obliczyć prędkość ciała, położenie oraz przebytą przez ciało drogę po upływie s 6t  , gdy: a) 32 m/s 1c,m/s2b  , b) 32 m/s 1c,m/s2b  . 2.20. Przyspieszenie punktu materialnego poruszającego się prostoliniowo dane jest równaniem: a) 2m/s3a , b) 2m/s3ta  , c) 22 m/s3ta  . Obliczyć zależność drogi i prędkości od czasu oraz przedstawić je na wykresie. W chwili st 1 punkt ten znajdował się m3 na prawo od początku układu współrzędnych i poruszał się z prędkością m/s3 w lewo. 2.21. Ciało porusza się po linii prostej ze zmiennym przyspieszeniem 23ta  . W momencie s2t  ciało znajdowało się w odległości m10d  od początku układu odniesienia i miało prędkość m/s10v  . Jakie było średnie przyspieszenie i średnia prędkość w tym okresie? 2.22. Prędkość ciała opisana jest równaniem:    m/s)3exp(4sin53 tttv   . Wyrazić wartość przyspieszenia, jako funkcję czasu t . Obliczyć wartość początkową przyspieszenia dla 0t . Obliczyć wartości wektorów przyspieszenia średniego i chwilowego tego ciała w pierwszej sekundzie ruchu. 2.23. Położenie ciała zmienia się zgodnie z równaniem:  2643 ttr  . Znaleźć wartości wektorów prędkości i przyspieszenia w chwili początkowej 0t . Jaki kąt tworzyły wówczas te wektory między sobą? 2.24. Ruch punktu opisują dwa równania: 1 2 1 btax  i 2 2 2 btay  , gdzie 2 1 m/s2,0a , 2 2 m/s15,0a , m05,01 b , m03,02 b . Wyznaczyć prędkość średnią oraz wartość i kierunek prędkości oraz przyspieszenia po upływie czasu s5t . 2.25. Położenie ciała opisuje równanie:     m25,0sin 3ttAtx   . Obliczyć prędkość ciała 1v po upływie pierwszej sekundy ruchu oraz średnią prędkość v w czasie tej sekundy. Prędkość początkowa ciała wynosiła m/s 20 v . 2.26. Wektor położenia ciała zmienia się zgodnie z równaniem:       jtyitxtr   , gdzie:   battx  2 ,   dctty  , 2m/s 8a , m 4b , m/s2c , m 1d . Obliczyć prędkość średnią pomiędzy momentami s 21 t i s 42 t ruchu oraz chwilowe prędkości w momentach 1t i 2t . Jakie są wartości tych prędkości? Jakim ruchem porusza się to ciało wzdłuż osi x i y ? 2.27. Zależność czasową prędkości ciała opisuje równanie   jbtiattv   2 , gdzie 3m/s 2a , 2m/s2b . Ile wynosi prędkość tego ciała w chwilach s 11 t i s 32 t ? Jaka jest prędkość średnia w tym przedziale czasu? Ile wynoszą chwilowe i średnie przyspieszenia? 2.28. Punkt materialny uczestniczy jednocześnie w dwóch ruchach opisanych równaniami: cbtatx  2 , cbtaty 342 2  . Wyznaczyć prędkość i przyśpieszenie tego punktu. W jakich jednostkach muszą być wyrażone stałe cba ,, ? 2.29. Zbadać ruch punktu materialnego, który zmienia swoje położenie zgodnie z równaniem:  tx 3cos5 . W szczególności określić, jaki kąt tworzą ze sobą wektory położenia, prędkości i przyspieszenia w dowolnym momencie czasu. Powtórzyć obliczenia, gdy  tx 3sin5 . 2.30. Zbadać ruch punktu materialnego, który zmienia swoje położenie zgodnie z równaniami:  tax 1cos ,  tby 2sin  . Rozważyć przypadki: a) 1/s,m2 21  ba , b) 2/s,s/1,m1,m2 21  ba , c) 1/s,s/3,m2,m1 21  ba . 2.31. Przyspieszenie punktu materialnego poruszającego się prostoliniowo dane jest równaniem:   )sin( tta  . Jakie było początkowe położenie i prędkość tego punktu, jeżeli w pierwszej sekundzie ruchu spoczywało ono w początku układu odniesienia? 2.32. Prędkość ciała zmienia się w czasie zgodnie z równaniem:     kjtittv  3cos52   . Jaki kąt tworzyły wektory położenia i przyspieszenia w chwili początkowej, jeżeli w pierwszej sekundzie ruchu ciało miało położenie   kjitr   ? 2.33. Położenie ciała zmienia się zgodnie z równaniem:       jtittr   cos5sin5  . Jaki jest kąt pomiędzy wektorem r  i v  oraz r  i a  w chwili początkowej 0t , a jaki w pierwszej sekundzie ruchu? 2.34. Chłopiec o masie kg50m zeskakuje z płotu o wysokości m2h . Jaka jest wartość i kierunek przyspieszenia, z jakim porusza się chłopiec w trakcie zeskoku? Czy w trakcie spadania chłopca na Ziemię, Ziemia również „spada” na chłopca? Jeśli tak, to jakie jest przyspieszenie Ziemi oraz jaką drogę przebędzie chłopiec i Ziemia zanim się zetkną? Masa Ziemi kg1098,5 24ZM . 2.35. Ciało spada z wysokości h . Obliczyć całkowity czas spadku i prędkość końcową ciała? Jak długo będzie trwał spadek do wysokości kh / , gdzie 1k i jaka będzie wówczas prędkość ciała? 2.36. Po wrzuceniu kamienia do studni, słychać po czasie s 3t jak wpada on do wody. Jak głęboka jest studnia? Prędkość dźwięku w powietrzu wynosi m/s 330v . 2.37. Ciało A spada swobodnie z wysokości m 160h . Z punktu leżącego o m 40h wyżej rzucono jednocześnie ciało B , nadając mu taką prędkość początkową, że oba ciała spadły jednocześnie na ziemię. Obliczyć prędkość początkową ciała B . 2.38. Ciało spadające swobodnie ma w punkcie A prędkość cm/s 10Av , a w punkcie B prędkość cm/s 25Bv . Określić odległość AB . Na jakiej wysokości nad punktem A znajduje się punkt, z którego ciało to zaczęło spadać? 2.39. Od rakiety wznoszącej się pionowo do góry, w chwili, gdy ma ona prędkość m/s 4000 v , odrywa się na wysokości km 10h jeden z niepotrzebnych już zbiorników paliwa. Znaleźć czas t , po którym zbiornik ten opadnie na ziemię. Jaka była maksymalna wysokość, na jakiej znajdował się zbiornik? Opory powietrza pominąć. 2.40. Ciało swobodnie spadające przebyło w ostatniej sekundzie drogę m1,23s . Z jakiej wysokości spadło ciało? 2.41. Koszykarz wyskoczył pionowo na wysokość m1 . Ile czasu trwał cały skok? Jak długo koszykarz przebywał: a) w szczytowych cm10 i na dolnych cm10 , b) w szczytowych cm25 i na dolnych cm25 , c) w szczytowych cm50 i na dolnych cm50 ? 2.42. Znaleźć największą wysokość h oraz zasięg s wyrzuconego z procy pod kątem 030 względem poziomu kamienia. Początkowa prędkość kamienia m/s 120 v . 2.43. Pocisk o prędkości początkowej m/s7500 v ma trafić w cel leżący na tym samym poziomie w odległości km 20d . Znaleźć kąt, pod jakimi należy wystrzelić pocisk oraz czas jego lotu. 2.44. Bramkarz wykopuje piłkę z prędkością pv pod kątem  do poziomej murawy boiska. W momencie kopnięcia piłka znajduje się na wysokości h nad murawą boiska. Na jakiej wysokości y nad murawą boiska piłka przeleci nad zawodnikiem stojącym w odległości d od bramkarza. 2.45. Z jaką minimalna prędkością musi się wybić z miejsca student o masie kg 70m , aby przeskoczyć rów o szerokości m 3l ? 2.46. Z wieży o wysokości m125h wyrzucono poziomo kamień. Jaka była początkowa prędkość kamienia, jeśli upadł on w odległości m10s od podstawy wieży? Jaka była jego prędkość końcowa? 2.47. Na poziomym stole leży wiatrówka. Na przeciwległej ścianie znajdującej się w odległości m6d od wylotu lufy oznaczono punkt leżący na przedłużeniu osi lufy. Wiatrówka wyrzuca pocisk z prędkością m/s42v . W którym punkcie pocisk uderzy w ścianę? 2.48. Strzelec chce trafić do tarczy znajdującej się w odległości m100d z karabinu wystrzeliwującego pociski z prędkością m/s500v . Pod jakim kątem musi być podniesiona względem poziomu lufa karabinu, aby kula trafiła w cel? Gdzie trafiłaby kula gdyby lufa była umieszczona poziomo? 2.49. Ze szczytu zbocza, nachylonego pod kątem  60 do poziomu, wystrzelono poziomo pocisk z prędkością 0v . Jaka powinna być prędkość tego pocisku, aby wpadł on do włazu bunkra znajdującego się w odległości m200d od szczytu? 2.50. Z podnóża wzniesienia nachylonego do poziomu pod kątem  wystrzelono z armaty pocisk z prędkością początkową 0v , pod kątem  do poziomu. Znaleźć współrzędne x i y punktu, w którym pocisk uderzy w zbocze wzniesienia. 2.51. Z balonu na uwięzi, znajdującego się na wysokości m375h , oddano strzał w górę pod kątem  45 do poziomu i jednocześnie oddano strzał w kierunku przeciwnym. Prędkość początkowa wystrzelonych pocisków była taka sama i wynosiła m/s700 v . W jakiej odległości, jeden od drugiego, obydwa pociski spadną na ziemię? 2.71. Koło o promieniu cm 10r obraca się ze stałym przyspieszeniem kątowym 2rad/s 14,3 . Obliczyć prędkość kątową, liniową, przyspieszenie styczne, normalne i całkowite punktów leżących na obwodzie koła w drugiej sekundzie ruchu. 2.72. Punkt zatacza okrąg o promieniu cm10r z przyśpieszeniem dośrodkowym 2cm/s250a . Obliczyć okres tego ruchu. 2.73. Ile razy na minutę musi ruchomy punkt zatoczyć okrąg o promieniu cm15r , aby przyśpieszenie dośrodkowe tego ruchu osiągnęło wartość 2cm/s60a ? 2.74. Koło zamachowe zwiększa prędkość kątową z rad/s201  do rad/s242  w czasie s 4t . Oblicz przyśpieszenie styczne punktów koła w odległości cm6r od osi obrotu. 2.75. Punkt materialny porusza się po obwodzie okręgu o promieniu m 1r ze stałym przyspieszeniem stycznym. Jaka będzie wartość przyspieszenia dośrodkowego w chwili s 51 t , jeżeli w chwili s 102 t punkt pokona drogę m 50s ? 2.76. Punkty A i B zataczają okręgi o promieniach r i R . W jakim stosunku są okresy ich ruchu, jeżeli przyśpieszenia dośrodkowe są równe?. 2.77. Punkt materialny porusza się po obwodzie okręgu o promieniu cm 20r z przyspieszeniem stycznym 2cm/s 5sa . Po jakim czasie t od chwili rozpoczęcia ruchu, przyspieszenie normalne na będzie 2n razy większe od przyspieszenia stycznego? 2.78. Ile wynosi stosunek wartości przyspieszenia dośrodkowego do wartości przyspieszenia stycznego sn aa , jeżeli kąt pomiędzy kierunkiem wektora przyspieszenia wypadkowego a kierunkiem wektora prędkości liniowej wynosi  30 ? 2.79. Jaka jest wartość prędkości liniowej v oraz składowej przyspieszenia dośrodkowego na ciał znajdujących się na powierzchni Ziemi, wynikających z jej ruchu obrotowego? Obliczenia wykonać dla ciał znajdujących się: a) na równiku, b) na szerokości geograficznej  60 . Promień Ziemi km 6370ZR . 2.80. Samochód wjeżdża w zakręt o długości m 600s i promieniu krzywizny km 1r z prędkością km/h 540 v i pokonuje go w czasie s 30t . Obliczyć prędkość v oraz przyspieszenie wypadkowe a po pokonaniu zakrętu. 2.81. Rowerzysta porusza się po torze kołowym o promieniu r . Przyspieszenie liniowe rowerzysty wynosi a . Po jakim czasie t przyspieszenie dośrodkowe na będzie, co do wartości, równe przyspieszeniu stycznemu sa ? W momencie 0t prędkość początkowa rowerzysty wynosiła 00 v . 2.82. Motocyklista porusza się po okręgu o promieniu m50r . Przebyta przez niego droga określona jest równaniem: 22,010 tts  . Wyznaczyć prędkość, przyspieszenie styczne, normalne i wypadkowe motocyklisty w s51 t ruchu. 2.83. Przyspieszenie normalne punktu materialnego poruszającego się po okręgu o promieniu m 4r jest funkcją czasu: 2321 ttan  . Wyznaczyć przyspieszenie styczne tego punktu po czasie s 61 t . 2.84. W gwint o skoku h znajdujący się na walcu o średnicy d włożono kulkę o masie m . Z jakim przyspieszeniem a należy ciągnąć za nić obracającą walec, aby kulka opadała swobodnie? 2.85. Na śrubie o średnicy d i skoku h znajduje się nakrętka. Z jakim przyspieszeniem kątowym  należy obracać śrubę, aby nakrętka opadała swobodnie? h a 