Kodowanie liczb całkowitych w systemach komputerowych, Prezentacje z Computer Science

Pobierz Kodowanie liczb całkowitych w systemach komputerowych i więcej Prezentacje w PDF z Computer Science tylko na Docsity!

Architektura komputerów, Informatyka, sem.III

Kodowanie liczb całkowitych

w systemach komputerowych

Architektura komputerów, Informatyka, sem.III

System pozycyjny

Systemy addytywne – znaczenie historyczne

Systemy pozycyjne

r – podstawa systemu liczbowego ( radix )

● (^) A – wartość liczby ● (^) a - cyfra ● (^) i – pozycja cyfry np. −11, dziesiętnie = −1101, dwójkowo A =∑ i =−∞ ∞

r

i i

a

i

Architektura komputerów, Informatyka, sem.III

Podstawa systemu liczbowego

Podstawa systemu r ( radix )

● (^) ma stałą wartość dla wszystkich pozycji cyfry ( fixed-radix ) dziesiętny, szesnastkowy, ósemkowy, dwójkowy ● (^) może mieć różną wartość dla różnych pozycji ( mixed-radix ) czas: godzina, minuta, sekunda r = (24,60,60) kąt: stopnie, minuty, sekundy r = (360,60,60) factoradic r = (... 5!, 4!, 3!, 2!, 1!) = (... 120, 24, 6, 2, 1) 54321 factoradic = 719 dziesiętnie 5×5! + 4×4! + 3×3! + 2×2! + 1×1! = 719 primoradic r = (... 11, 7, 5, 3, 2, 1) 54321 primoradic = 69 dziesiętnie 5×7 + 4×5 + 3×3 + 2×2 + 1×1 = 69 ● (^) nie musi być liczbą naturalną (liczby ujemne, wymierne, zespolone) 54321

- = − 462810 dziesiętnie

Architektura komputerów, Informatyka, sem.III

Cyfry systemu liczbowego

System o podstawie r , który wykorzystuje standardowy

zestaw cyfr [0.. r -1] to system nieredundantny

● (^) dwójkowy → 0, 1 ● (^) dziesiętny → 0... 9 ● (^) szesnastkowy → 0... F

System, który posiada więcej cyfr niż r jest systemem

redundantnym

● (^) dwójkowy → 0,1,2 lub -1,0, ● (^) dziesiętny → 0... 9 ♠, ♣, ♥, ♦

W systemach redundantnych reprezentacja liczby nie

jest unikalna

● (^) dwójkowy [0,1,2]: 1000 = 8 dziesiętnie i 0120 = 8 dziesiętnie

Architektura komputerów, Informatyka, sem.III

Kodowanie liczb całkowitych

W standardowym systemie liczbowym o podstawie r ,

za pomocą n-cyfrowej liczby:

można reprezentować liczby z zakresu [0 ... r

n

-1]

liczba różnych reprezentacji wynosi r

n ● (^) system dwójkowy: 8-bitów, zakres 0...255, różnych liczb 256 ● (^) system piątkowy: 3-cyfry, zakres 0...124, różnych liczb 125

Ile cyfr potrzeba na zapis liczb w zakresie [0 ... max]?

np. do zapisania 50000 liczb w kodzie dwójkowym potrzeba:

log 2 50000 = 15.61 → ( ceil ) → 16 cyfr (bitów) log 2 49999+1 = 16.61 → ( floor ) → 16 cyfr (bitów)

n = ceil [log

r

 max  1 ]= floor [log

r

max ] 1

Architektura komputerów, Informatyka, sem.III

Wybór optymalnej podstawy

Kryteria:

● (^) możliwie krótka reprezentacja (małe n) i mało cyfr (małe r) ● (^) wygodna implementacja fizyczna ● (^) „proste“ algorytmy arytmetyczne

Jaki system liczbowy (o jakiej podstawie) będzie

,,najlepszy" do kodowania liczb w zakresie [0...max]?

Kryterium matematyczne (jedno z wielu):

E(r) = r * n

gdzie r – podstawa systemu dla n-cyfrowej liczby Wymagany jest kompromis pomiędzy małymi wartościami r (łatwa implementacja) i n (efektywny zapis)

Architektura komputerów, Informatyka, sem.III

Naturalny kod binarny (NKB, NBC )

Zakładamy, że pod pojęciem NKB będziemy rozumieli

system stało-pozycyjny o podstawie 2 i cyfrach 0 i 1

n-bitową reprezentację liczb nieujemnych [0 ... max]

4-bity: zakres 0 ... 2 4 -1 → 0 ... 15 (1 cyfra hex) 8-bitów: zakres 0 ... 2 8 -1 → 0 ... 255 (2 cyfry hex) 16-bitów: zakres 0 ... 2 16 -1 → 0 ... 65 535 32-bity: zakres 0 ... 2 32 -1 → 0 ... 4 294 967 295 64-bity: zakres 0 ... 2 64 -1 → 0 ... 18 446 744 073 709 551 615

NKB nie pozwala na zapis liczb ujemnych

a

n − 1

a

n

... a

1

a

0 =∑ i = 0 n − 1

i

a

i

Architektura komputerów, Informatyka, sem.III

Kody specjalne

Kod Graya – dwójkowy kod niepozycyjny

że każde dwa kolejne słowa kodowe różnią się tylko stanem

jednego bitu.

kod cykliczny – ostatni i pierwszy wyraz tego kodu także

spełniają zasadę różnicy tylko na jednym bicie

zastosowanie: unikanie stanów przejściowych w układach

elektroniki cyfrowej (przetworniki analogowo-cyfrowych,

czujniki położenia/obrotu, etc.)

wartość Gray 0 0 0 0 1 0 0 1 2 0 1 1 3 0 1 0 4 1 1 0 5 1 1 1 6 1 0 1 7 1 0 0

Architektura komputerów, Informatyka, sem.III

Kodowanie liczb ujemnych całkowitych

Mapowanie liczb ujemnych na zakres NKB

Intuicyjna reprezentacja liczb ujemnych

Proste operacje arytmetyczne (dodawanie i negacja)

Kod znak-moduł: ZM, (ang. SM )

Kod z przesunięciem (ang. Bias , Excess-N )

Kod uzupełnieniowy: U2, U1, (ang. 1C , 2C )

Architektura komputerów, Informatyka, sem.III

Kod znak-moduł (ZM)

Najstarsze i najprostsze rozwiązanie

W kodzie dwójkowym:

● (^) najbardziej znaczący bit liczby służy do kodowania znaku (1 – ujemna, 0 – dodatnia) ● (^) reprezentowane są liczby z zakresu [− 2 n-1+1, 2n-1− 1 ]

Zalety:

● (^) intuicyjna reprezentacja ● (^) symetryczny zakres ● (^) proste operacja negacji

Wady:

● (^) skomplikowane dodawanie !!! ● (^) podwójna reprezentacja zera 49 DEC = 00110001 ZM − 49 DEC = 10110001 ZM

DEC = 00000000 ZM − 0 DEC = 10000000 ZM

Architektura komputerów, Informatyka, sem.III

Kody z przesunięciem (Bias, Excess-N)

Zakres [−N, +P] jest mapowany na [0, N+P]

Polega na dodaniu przesunięcia (bias=N) do liczby

Zalety:

● (^) intuicyjna reprezentacja ● (^) liniowe mapowanie – łatwe operacje porównania

Wady:

● (^) dodawanie/odejmowanie wymaga korekcji wyniku ● (^) mnożenie i dzielenie dość skomplikowane [ −4, +11 ] → [ 0, 15 ], bias = 4 −1 → 3

Architektura komputerów, Informatyka, sem.III

n-bitowy kod Excess-

n-

W n-bitowym kodzie dwójkowym Excess-

n-

reprezentowane są liczby z przedziału [− 2

n-

n-

−1]

przesunięcie (bias) wynosi 2

n-

(MSB = 1, pozostałe bity 0)

najbardziej znaczący bit liczby powala poznać znak

(0 – ujemna, 1 – dodatnia lub 0) – przeciwnie do ZM

dodanie lub odjęcie przesunięcia wymaga jedynie operacji

na najbardziej znaczącym bicie liczby (korekta na MSB)

negacja liczby polega na negacji wszystkich bitów i dodaniu

jedynki do całości

16 DEC → 16 DEC

• bias = 16 DEC
• 128 DEC = 10010000 excess-

• DEC → - DEC + bias = - DEC + 128 DEC = 01110000 excess-

Architektura komputerów, Informatyka, sem.III

Kody z przesunięciem – arytmetyka

Operacje dodawania i odejmowania wymagają

korekcji wyniku:

X = x + bias

Y = y + bias

X + Y→ x + bias + y + bias = x + y + 2*bias → (X + Y) − bias

X − Y→ x + bias − y − bias = x − y + 0*bias → (X − Y) + bias

Operacje ±bias to zmiana tylko bitu MSB

Uwaga na przekroczenie zakresu!

Architektura komputerów, Informatyka, sem.III

Kody uzupełnieniowe

Zakres [−N, +P] jest mapowany na [0, N+P]

Reprezentacja liczb dodatnie jest bez zmian

Postać liczb ujemnych oblicza się jako uzupełnienie

do stałej uzupełniania M → M = N+P+

−x = M − x

Zalety:

proste operacje arytmetyczne, identyczna jak w NKB !!!

Wady:

mało intuicyjna reprezentacja (?)

[ −4, +11 ] → [ 0, 15 ], M = 16 −1 → 15