Równania ró»niczkowe
Lista 5
Zad 1.
Rozwi¡za¢ równania wyznaczone w zadaniach 1-6 na li±cie 0.
Zad 2.
Dªugo±¢ pr¦ta »elaznego
L
przy podgrzewaniu wydªu»a si¦ wedªug prawa
1
L
dL
dT =
0,0001
, gdzie
T
jest temperatur¡. Wyznaczy¢ funkcje wyra»aj¡c¡ dªugo±¢
L
w zale»no±ci
od temperatury, je±li dla
T= 0
,
L= 10
. Obliczy¢ temperatur¦, przy której dªugo±¢ pr¦ta
wzro±nie o
1%
.
Zad 3.
Ciaªo o temperaturze pocz¡tkowej
100◦C
zostaªo w chwili
t= 0
umieszczone w
otoczeniu o temperaturze staªej równej
10◦C
i w ci¡gu
5
minut ostygªo o
40◦C
. Przyjmuj¡c,
»e pr¦dko±¢ stygni¦cia ciaªa jest proporcjonalna do ró»nicy temperatur ciaªa i otoczenia,
obliczy¢ po ilu minutach ciaªo ostygnie o nast¦pne
40◦C
.
Zad 4.
Znale¹¢ krzywe, w których k¡t
θ
miedzy osi¡
Ox
a wektorem wodz¡cym punktu
styczno±ci, jest równy k¡towi
ω
pomi¦dzy styczn¡ a przedªu»eniem wektora wodz¡cego.
1
Zad 5.
Znale¹¢ krzywe, dla której trójk¡t, utworzony przez o±
Oy
, styczn¡ i wektor wodz¡cy
punktu styczno±ci jest równoramienny.
Zad 6.
Znale¹¢ krzywe, w których odcinek stycznej, zawarty mi¦dzy osiami wspóªrz¦dnych,
jest podzielony na poªowy w punkcie styczno±ci. Wydzieli¢ krzyw¡ przechodz¡c¡ przez punkt
M(2,3)
.
Zad 7.
Znale¹¢ krzyw¡, której podstyczna jest ±redni¡ arytmetyczn¡ wspóªrz¦dnych punktu
styczno±ci.
Zad 8.
Znale¹¢ krzyw¡, w której stosunek odcinka odci¦tego styczn¡ na osi
Oy
oraz odcinka
odci¦tego na osi
Ox
jest wielko±ci¡ staª¡ równ¡
k
.
Zad 9.
Znale¹¢ krzyw¡, w ka»dym punkcie której dªugo±¢ podnormalnej jest ±redni¡ aryt-
metyczn¡ kwadratów wspóªrz¦dnych tego punktu.
Zad 10.
Okre±li¢ krzywe, w których odcinek, odci¦ty przez normaln¡ na osi
Ox
, jest równy
y2
x
.
Zad 11.
Okre±li¢ krzywe, w których odcinek, odci¦ty przez normaln¡ na osi
Oy
, jest równy
x2
y
.
Zad 12.
Znale¹¢ krzywe, w których odcinek, odci¦ty przez styczn¡ na osi
Oy
, jest równy
kwadratowi rz¦dnej punktu styczno±ci.
1
Wykorzysta¢ wzór
tg ω=r
r0
θ
, gdzie
r
jest dªugo±ci¡ wektora wodz¡cego
docsity.com