Kursy walutowe, wykład, prezentacja, Prezentacje z Prawo dewizowe i walutowe

Pobierz Kursy walutowe, wykład, prezentacja i więcej Prezentacje w PDF z Prawo dewizowe i walutowe tylko na Docsity! EKONOMIA MATEMATYCZNA dr Beata Madras-Kobus Model matematyczny Teoria popytu konsumenta Zaliczenia na 4,0 i wyżej są równoważne ze zdanym egzaminem z taką sama oceną. Do egzaminu nie są dopuszczone osoby, które nie uzyskały zaliczenia ćwiczeń! EGZAMIN - TEST SPRAWDZAJĄCY TEORIĘ I PROSTE ZAGADNIENIA RACHUNKOWE, PYTANIA ZAMKNIĘTE I OTWARTE PROGRAM PRZEDMIOTU: 1. Teoria popytu konsumenta 2. Podstawy teorii produkcji 3. Neoklasyczna teoria przedsiębiorstwa 4. Model Leontiewa 5. Model równowagi ogólnej Do opanowania powyższych zagadnień będzie niezbędna wiedza z MATEMATYKI. Model pajęczyny MODEL MATEMATYCZNY Ekonomia matematyczna zajmuje się matematycznym opisem zjawisk ekonomicznych. Opis ten nosi nazwę modelu matematycznego. Model matematyczny: równanie bądź układ równań opisujący zależności między zmiennymi ekonomicznymi. Składnikami modelu są: ➢ zmienne, ➢ parametry. tworzące równanie modelu Podstawowe zagadnienia z ekonomii matematycznej Rodzaje równań modelu matematycznego: • behawioralne • równowagi • definicyjne Przykład modelu: model pajęczyny r-nie popytu: ( ) ttt aPPDD −== r-nie podaży: ( ) 1t1tt bPPSS −− +== warunek równowagi: tt SD = gdzie: Dt – oznacza wielkość popytu w okresie t, St – wielkość podaży w okresie t, P – cenę w odpowiednim czasie, natomiast , , a oraz b są dodatnimi parametrami modelu. Składniki modelu pajęczyny: ➢ zmienne: ➢ parametry: Równania modelu pajęczyny: ✓behawioralne: ✓równowagi: P D, S D(P) S(P) __ PP0 P1P2 P3 ba  Cena równowagi stabilna – P D, S D(P) S(P) __ PP0 P1P2 P3 ba  Cena równowagi niestabilna – P D, S D(P) S(P) __ PP0 P1 ba = Oscylacja jednostajna ( ) ( )tFttF −+ ilość wody, która wpłynęła w okresie od t do t+t ( ) ( ) t tFttF  −+ szybkość wpływu wody w okresie od t do t+t ( ) ( ) t tFttF lim 0t  −+ → szybkość wpływu wody w momencie t ( )tf= ( ) ( ) t tFttF lim 0t  −+ → gęstość przepływu wody w momencie t( )tf= ilość wody, która wpłynęła w czasie od t0 do t1 ( ) ( ) =− 01 tFtF ( ) 1 0 t t dssf Przykłady: strumień inwestycji I(t), zasób kapitału K(t) ( ) ( ) dt tdK tI = ( ) ( ) ( )=− 1 0 t t 01 dssItKtK oznacza, że koszyki x i y są jednakowo dobre (obojętne)yx ~ yx  oznacza, że koszyk x jest gorszy od koszyka y RELACJA SILNEJ PREFERENCJI inaczej: koszyk y jest silnie preferowany nad koszyk x koszyk y jest lepszy od koszyka x inaczej: koszyki x i y są indyferentne (równoważne) RELACJA INDYFERENCJI RELACJA (SŁABEJ) PREFERENCJI yx ~ oznacza, że koszyk y jest nie gorszy od koszyka x inaczej: koszyk y jest słabo preferowany nad koszyk x koszyk x jest nie lepszy od koszyka y yxyxyx ~~   Własności relacji silnej preferencji: ( ) zxzyyx zy,x,  ~~~     xyyx yx,  ~~   ➢ zupełność ➢ przechodniość Własności relacji (słabej) preferencji: ( ) zxzyyx zy,x,     ➢ przechodniość Własności relacji indyferencji: ( ) zxzyyx zy,x, ~~~    ( ) ( )xyyx yx, ~~   ➢ symetryczność ➢ przechodniość  xx x ~   ➢ zwrotność Dla dowolnych dwóch koszyków x, y  zachodzi: yxxyyx ~ a)  xyyxyx  ~~~ b) ( )( )xyyxyx  ~~ c) Przestrzeń towarów  ze zdefiniowaną na tej przestrzeni relacją preferencji nazywamy polem preferencji konsumenta i oznaczamy . ( )nR+ ~ ( )~, Przykład Przedstaw ilustrację geometryczną krzywych obojętności w przypadku, gdy    2121 2121 2 gdzie oraz y,y,x,x ,yyxx~R == ++= + yx yx   xyyxyx  ~~~ Wówczas relację indyferencji określamy następująco: Niech z=[1,3]    === zxxz ~:31,K       31~: 2121 ,x,xx,x =x 1 2 3 4 32 410 X1 X2 z Relacja preferencji jest ciągła na przestrzeni towarów  wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych koszyków a, b  zbiór wszystkich koszyków gorszych od a oraz zbiór wszystkich koszyków lepszych od b są zbiorami otwartymi w .  axx :  xbx : MATEMATYKA Zbiór A nazywamy zbiorem otwartym, jeśli dla każdego elementu zbioru A istnieje otoczenie tego zbioru. Żaden punkt brzegowy zbioru otwartego nie jest elementem tego zbioru. Zbiór otwarty Zbiór nie jest otwarty x x ✓a ( ) ( ) yxxyxyx yx,   −+   1 10 ~ , Definicja: Pole preferencji jest silnie wypukłe:( )~, ✓a jest słabo wypukłe( )~, Jeśli konsument kierujący się silnie wypukłą relacją preferencji uzna, że koszyk y jest nie gorszy od koszyka x, to każdy koszyk z odcinka łączącego x z y (bez końców) jest lepszy od koszyka x. Kx zbiór koszyków nie gorszych od koszyka x czyli (x) x y1 y2 PRZYKŁAD POLA PREFERENCJI SŁABO WYPUKŁEGO, A TAKŻE SILNIE WYPUKŁEGO X1 X2 Kx zbiór koszyków nie gorszych od koszyka x czyli (x) x y1 y2 PRZYKŁAD POLA PREFERENCJI SŁABO WYPUKŁEGO, ALE NIE SILNIE WYPUKŁE X1 X2 Funkcja użyteczności TEORIA POPYTU KONSUMENTA Funkcja użyteczności jeżeli ( ) ( ) yxyx yx    uu , ( ) ( ) yxyx yx ~uu , =   Zamiast rozpatrywać relację preferencji konsumenta, wygodnie jest posługiwać się funkcją opisującą tę relację zwaną funkcją użyteczności. Definicja: Funkcję u: →R nazywamy funkcją użyteczności konsumenta z polem preferencji ,( )~, Zachodzi również: Twierdzenie Jeżeli i relacja preferencji jest ciągła, to istnieje ciągła funkcja użyteczności zgodna z polem preferencji . nR+= RR:u n →+ ( )~, Twierdzenie Jeżeli jest funkcją użyteczności związaną z relacją preferencji „ „ oraz jest funkcją rosnącą, to funkcja złożona jest też funkcją użyteczności związaną z tą samą relacją preferencji. RR:u n →+ ~ RR:g → RR:ug n →+ Przykład Niech będzie funkcją użyteczności związaną z relacją preferencji konsumenta, to funkcją użyteczności opisującą tę samą relację jest np. ( ) ( ) 2121 2 xxx,xuu;RR:u +==→+ x ( ) ( ) ( )22121 2 xxx,xvv;RR:v +==→+ x ➢ Jeżeli pole preferencji ( )~,R n+ jest silnie wypukłe, to hesjan funkcji u jest ujemnie określony czyli: ( ) 0T 0   bxHb b u ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )                                         = 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 12 2 1 2 21 2 2 1 2 nnn n n u x u xx u xx u xx u x u xx u xx u xx u x u x ... xx ... x ... xx x ... xx xH Wniosek (Prawo Gossena): ( ) 0 2 2    i i x u x Krańcowa użyteczność i-tego towaru maleje wraz ze wzrostem ilości tego towaru w koszyku x, przy założeniu, że ilości pozostałych towarów nie ulegają zmianie. Zjawisko niedosytu ➢ Funkcja użyteczności jest rosnąca, czyli ( ) ( ) ( )yxyxyx yx uu nR,  +  Przykłady funkcji użyteczności spełniających powyższe założenia: ✓multiplikatywna: (a>0, 0<i<1 – i=1,..,n) ( )  = = n i i ixau 1  x ✓logarytmiczna: (0<i<1 – i=1,..,n) ( )  = = n i ii xlnu 1 x ✓addytywna: (ai>0, 0<i<1 – i=1,..,n) ( )  = = n i ii ixau 1  x ✓kwadratowa: (ai>0 – i=1,..,n; B – ujemnie określona) ( ) Bxxx T 1 50.xau n i ii +=  = Substytucja dóbr względem użyteczności Twierdzenie o funkcji uwikłanej ( ) 0   jj x u x ( )njjjj R:gj x,...,x,x,...,xgx j 111 +− → = substytucja Istnieje takie otoczenie koszyka x Dla ustalonej użyteczności , zadajemy pytanie, jak powinna zmienić się dowolna zmienna xj gdyby zmianie ulegały wartości pozostałych zmiennych xi (ij). ( ) ( ) cx,...,x,xuu n == 21x ( ) ( ) j i i j x u x u x x     −=   x x 0 Definicja: Krańcowa stopa substytucji i-tego przez j-ty towar w koszyku x: ( ) ( ) ( ) 0   −=     = i j j i ij x x x u x u s x x x Zmiany ilości dwóch dóbr przy stałej użyteczności są różnokierunkowe Krańcowa stopa substytucji sij(x) informuje o ile jednostek (w przybliżeniu) należy zmniejszyć w koszyku x ilość j-tego towaru przy zwiększeniu ilości i-tego towaru o jednostkę, aby użyteczność koszyka nie uległa zmianie. Przykład Relację preferencji konsumenta opisuje funkcja użyteczności: ( ) 2121 xxx,xu = Krańcowa stopa substytucji 1-tego przez 2-ty towar w koszyku x=[x1,x2]: ( ) ( ) ( ) =     =−= 2 1 1 2 2112 , x u x u dx dx xxs x x  np,...,p1=p - ceny poszczególnych dóbr Wówczas wartość koszyka wynosi nx,...,x1=x  = = n i iixp 1 T px I – dochód konsumenta ( )   == + I:RI, n T pxxpD         =  = + Ixp:Rx,...,x n i ii n n 1 1 Niech Zbiór wszystkich koszyków na jakie stać konsumenta dysponującego dochodem I przy cenach nazywamy zbiorem budżetowym  np,...,p1=p Zadanie maksymalizacji użyteczności Linią budżetu nazywamy zbiór wszystkich tych koszyków, których kupno wymaga wydania całego dochodu, tj. zbiór  I:R n = + T pxx         ==  = + Ixp:Rx,...,x n i ii n n 1 1 W przypadku dwóch towarów:   Ixpxp:Rx,x =+ + 2211 2 21 ( )   Ixpxp:Rx,xI, += + 2211 2 21pD - zbiór budżetowy - Linia budżetu X1 X2 1p I 2p I Ixpxp =+ 2211 Linia budżetu Koszyki nieosiągalne ( )I,pD  Szukanie maksimum warunkowego (funkcja Lagrange’a) ( ) =,x,...,xL n1 ( )       −+  = n i iin xpIx,...,xu 1 1  Jeśli pole preferencji konsumenta jest silnie wypukłe, a funkcja użyteczności u jest rosnąca i ciągła, to koszyk x0=[x01, x02,..., x0n] jest rozwiązaniem zadania (*) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba 0>0, że dla 0 oraz x0=[x01, x02,..., x0n] spełniony jest następujący układ równań:  - mnożnik Lagrange’a ( ) 00001 1 =   =  i n n,...,i x ,x,...,xL  Ixp n i ii = =1 0 lub Krańcowa użyteczność dochodu ( ) 0=   I u 0x Krańcowa użyteczność dochodu informuje, o ile w przybliżeniu zmieni się użyteczność (maksymalna) koszyka optymalnego, jeśli dochód konsumenta wzrośnie o 1 jednostkę pieniężną. ( ) i i n n,...,i p x x,...,xu 0 001 1 =   =  Ixp n i ii = =1 0 ( ) ( ) ( ) j i j i j i ij p p p p x u x u s ==     = 0 0   0 0 0 x x x Krańcowa stopa substytucji i-tego przez j-ty towar w koszyku optymalnym Krańcowa stopa substytucji dwóch dowolnych towarów w optymalnym koszyku jest równa stosunkowi cen tych towarów. X1 X2 1p I 2p I 01x 02x 0x 0x K Koszyk optymalny charakteryzuje się tym, że w punkcie x0=[x01, x02] nachylenie linii budżetu jest równe nachyleniu krzywej obojętności.  Funkcja popytu konsumenta TEORIA POPYTU KONSUMENTA Funkcja popytu konsumenta jest funkcją wektorową nn RR: + + + →1 , gdzie ( )I,px0 = Funkcją popytu konsumenta nazywamy odwzorowanie, które wektorowi cen i dochodowi I>0 przyporządkowuje rozwiązanie zadania maksymalizacji użyteczności konsumpcji (koszyk optymalny).   0,...,1 = nppp ( ) ( ) ( )            =             I,p,...,p,p I,p,...,p,p I,p,...,p,p x x x nn n n n 21 212 211 0 02 01                        + = + = + =  2 1 21 21 0 21 2 2 1 02 21 2 1 2 01 4 pIp pp ppp Ip x ppp Ip x Otrzymujemy: Zatem ( ) ( ) 21 2 2 1 212 21 2 1 2 211 ppp Ip I,p,p ppp Ip I,p,p + = + =        = 2 1    23 ++ → RR: oraz 2 1 21 21 0 4       + = pIp pp Popytem krańcowym na i-ty towar względem ceny j-tego towaru nazywamy pochodną: ( ) =   j i p I,p ( ) ( ) j njinjji p p I,p,...,p,...,pI,p,...,pp,...,p lim j  −+ → 11 0  Popyt krańcowy na i-ty towar względem ceny j-tego towaru informuje, o ile jednostek w przybliżeniu zmieni się popyt na i-ty towar, jeśli cena j-tego towaru wzrośnie o jednostkę pieniężną, a pozostałe ceny i dochód konsumenta nie ulegną zmianie. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )             = I,I,I, I,I,I, I,I,I, I, c nn c n c n c n cc c n cc c p...pp ............ p...pp p...pp pε    21 22221 11211 Gdy n=2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )       = I,p,pI,p,p I,p,pI,p,p I,p,p cc cc 21222121 21122111 21  c ε Towar nazywamy towarem Giffena, jeśli popyt na ten towar rośnie wraz ze wzrostem jego ceny ( ).0cii Towar nazywamy normalnym, jeśli popyt na ten towar maleje wraz ze wzrostem jego ceny ( ).0cii Towar i-ty nazywamy substytucyjnym względem towaru j- tego, jeśli wzrost ceny towaru j-tego powoduje wzrost popytu na towar i-ty ( ).jic ij  0 Towar i-ty nazywamy komplementarnym względem towaru j-tego, jeśli wzrost ceny towaru j-tego powoduje spadek popytu na towar i-ty ( ).jic ij  0 Popytem krańcowym na i-ty towar względem dochodu konsumenta nazywamy pochodną: ( ) =   I I,i p ( ) ( ) I I,p,...,pII,p,...,p lim nini I  −+ → 11 0  Popyt krańcowy na i-ty towar względem dochodu konsumenta informuje, o ile jednostek w przybliżeniu zmieni się popyt na i-ty towar, jeśli dochód wzrośnie o jednostkę pieniężną, a ceny towarów nie ulegną zmianie. ( ) ( ) ( ) ( )           =   I I, I I, I I, I I, n p... ppp  21 Przykład c.d. ( ) ( ) 21 2 2 1 212 21 2 1 2 211 ppp Ip I,p,p ppp Ip I,p,p + = + =  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )             + + − + ++ + − =   2 21 2 2 121 2 21 2 21 2 21 2 1 212 21 2 2 ppp ppIp pp I pp I ppp ppIp I,p,p p  Charakterystyki funkcji popytu z poprzedniego przykładu są następujące: Macierz cenowych popytów krańcowych: ( )             + + − + ++ + − = 21 12 21 2 21 1 21 21 21 2 2 pp pp pp p pp p pp pp I,p,pc ε Macierz cenowych elastyczności: Wektor popytów krańcowych względem dochodu: Wektor dochodowych elastyczności: Wzrost dochodu konsumenta powoduje wzrost popytu na przynajmniej jeden towar, tzn. ( ) 0   I I,j jI, p p  X1 X2 1p I  2p I  A B 1p I 2p I 0x Funkcją kompensacyjnego popytu nazywamy odwzorowanie f, które wektorowi cen i każdemu poziomowi użyteczności u przyporządkowuje odpowiadające im rozwiązanie zadania minimalizacji wydatków.   0,...,1 = nppp ( )u,pfx = Zatem funkcja kompensacyjnego popytu każdej parze (p, u) przyporządkowuje najtańszy koszyk. ( ) ( ) ( ) ( )            =             =    u,p,...,p,pf u,p,...,p,pf u,p,...,p,pf x x x u, nn n n n 21 212 211 2 1  pf Jeśli funkcja użyteczności u jest rosnąca i ciągła, a pole preferencji konsumenta jest silnie wypukłe, to istnieje dokładnie jedno rozwiązanie optymalne x* zadania (1). X1 X2  1x  2x ( ) uu =x Ilustracja graficzna zadania minimalizacji wydatków 1w 2w 3w  x Przykład Znajdujemy funkcję popytu konsumenta kierującego się funkcją użyteczności: ( ) 2 1 2 1 2121 xx,xxu = Rozwiązujemy zadanie: ( ) 00 2122112121 2 1 2 1 21 =+= xxIxpxp:xxx,xumax x,x Tworzymy układ równań: ( ) ( ) 2 2 21 1 1 21 , , p x xxu p x xxu =   =   Ixpxp =+ 2211 i stąd Przyrównując pochodną funkcji celu do zera mamy: 0 2 1 2 2 1 =− x up p 2 1 2 1 211 ppux − = a podstawiając do równania (*): Zatem 2 1 2 1 212 − = ppux ( ) 2 1 2 1 21211 ppuu,p,pf − =     = 2 1 f f f 23 ++ → RR:f ( ) 2 1 2 1 21212 − = ppuu,p,pf Substytucyjne i dochodowe efekty zmiany cen Kiedy cena dobra ulega zmianie, pojawiają się dwa rodzaje efektów: ➢ zmienia się stosunek, według którego wymieniane jest jedno dobro na drugie (efekt substytucyjny); ➢ zmienia się ogólna siła nabywcza dochodu (efekt dochodowy). ( ) ( ) ( ) ( )I, I I, p u,f p I, j i j i j i j,i p ppp     −   =   Całkowity efekt zmiany ceny Efekt dochodowyEfekt substytucyjny wg Hicksa Jeśli funkcje f(p, u) oraz (p, I) są różniczkowalne i u=v(p, I) , to spełnione jest równanie Słuckiego: Całkowita zmiana popytu z tytułu zmiany ceny przy stałym dochodzie jest sumą efektu substytucyjnego i dochodowego. Równanie Słuckiego wg Hicksa ( ) ( )I,p,pI,p,p iii 2121  −= Całkowita zmiana popytu na i-ty towar (i=1,2): Efekt substytucyjny i-tego towaru (i=1,2) wg Hicksa: ( ) ( )I,p,pI,p,p i H i s i 2121  −= Efekt dochodowy na i-ty towar (i=1,2) wg Hicksa: ( ) ( )Hii d i I,p,pI,p,p 2121 −=  Całkowita zmiana popytu z tytułu zmiany ceny przy stałym dochodzie jest sumą efektu substytucyjnego i dochodowego: d i s ii  += (tożsamość Słuckiego) ( ) ( ) ( ) ( )I, I I, p ,f p I, j i j Sł i j i j,i p pxpp     −   =   0 Całkowity efekt zmiany ceny Efekt dochodowy Efekt substytucyjny wg Słuckiego Jeśli inaczej będzie określony popyt kompensujący zmianę cen – jako popyt konsumenta przy wektorze cen p, by dostępny był ustalony koszyk x0, to otrzymujemy analogiczne równanie Słuckiego: Równanie Słuckiego wg Słuckiego ( )       =  = n i iii Sł i xp,,f 1 00 pxp gdzie B A C 1X 2X 01x 02x 01x= 02x Ixpxp =+ 2211 Ixpxp =+ 2211 SłIxpxp =+ 2211 Słx01 Słx02 Dochód kompensujący zmianę cen wg Słuckiego: ISł – najmniejszy dochód pozwalający na zakup początkowego koszyka po zmianie cen.