Laboratorium mechaniki ogólnej - Notatki - Mechanika - Część 1, Notatki z Mechanika

Pobierz Laboratorium mechaniki ogólnej - Notatki - Mechanika - Część 1 i więcej Notatki w PDF z Mechanika tylko na Docsity! WSTĘP Współczesna nauka i technika stawia przed mechaniką nawe problemy, które mogą być rozwiązywane jedynie w ścisłej koordynacji badań doświadczalnych i teoretycznych. Badania doświadczalne pozwalają nam poznać wiele faktów o świecie fizycznym i dają asumpt do badań teoretycznych prowadzących do wyjaśnienia zjawisk fizycznych. Żywotność mechaniki wynika z jej istoty jako nauki o prawach ruchu i spoczynku wraz zastosowaniami w ogólnie pojętej działalności człowieka, Uniwersalny charakter praw mechaniki wpływa na skałę rozpiętości badanych problemów. Rozpiętość ta jest niemal nieograniczena: od skali określanych zasięgiem zjawisk astronomicznych do zjawisk. które określają drogi elektronów. Równie rozległa jest skała zastosowań: od zagadnień sterowania okrętami. samolotami iiechnologiami po zjawiska zachodzące pomiędzy cząstkami walcowanego materiału (tworzywa); od ruchu wody w oceanach po przepływ krwi w naczyniach krwionośnych; od stacji kosmicznych i platform morskich po elementy elektroniki o wysokim stopniu integracji, dla których odkształcenia cieplne stanowią granicę niezawadności; od własności i zachowań lodu, skał, awin i gleby po generatory magnetohydrodynamiczne. Zarysowana rozpiętość problemów, poparta odrobiną wyobraźni. daje obraz ogromu zagadnień, których poznanie bądź zastosowanie wymaga integracji, praw mechaniki, dyscypliny, która coraz czę: stanowi jeden z elementów licznych zagadnień inierdyscyplinarnych i jest punktem wyjścia w rozwiązywaniu wielu zagadnień technicznych. Chcąc rozważać jakieś zjawisko fizyczne na drodze teoretycznej lub doświadczalnej, należy uświadomić sobie cel, któremu te badania mają służyć. Nałeży więc sformułować zadanie irozpoznać proces zachodzący w danym zjawisku. Na ogół liczba informacji przekracza możliwość pełnego opisu zachodzących tam procesów. Istnieje więc konieczność wyboru ważniejszych informacji, a tym samym przyjęcia założeń upraszczających. Taki sposób postępowania prowadzi do modelu zjawiska, procesu czy obiektu. którego adekwatność zależy od posiadanej wiedzy w tym zakresie. Przyjęty model jest więc kompromisem pomiędzy możliwie wiemym opisem zjawiska. procesu lub obiektu a realizacją zamierzonych badań. W procesie modelowania niezwykle ważnym czynnikiem jest określenie wielkości fizycznych występujących w rozważanym zjawisku, które najczęściej określa się doświadczalnie. Badania doświadczalne pozwoliły nam poznać wszystkie te fakty o świecie współczesnym, przezwyciężyć ciemnotę i ignorancję, sklasyfikować gwiazdy i ocenić ich masy, skład, odległość i prędkości. Te wielkie osiągnięcia w badaniach doświadczalnych były dziełem najrozmaitszych ludzi; byli wśród nich cierpliwi, wytrwali, obdarzeni intuicją, inwencją szczęśliwcy i ludzie .qocsity.com 9 złotych rękach. Jedni woleli posługiwać się prostymi przyrządami: drudzy projektowali lub budowali aparatury bardzo precyzyjne lub bardzo skomplikowane. Większość tych ludzi miała jedną wspólną cechę; byli uczciwi oraz zapisywali obserwacje faktycznie wykonane. awyniki swoich prac publikowali w celu umożliwienia innym badaczom powtórzenia pomiarów. Osiągnęliśmy już godne podziwu zrozumienie niektórych podstawowych i ważnych zjawisk fizycznych. Niektóre z nich można wyjaśnić na podstawie praw mechaniki klasycznej. Prawa mechaniki klasycznej pozwalają nam przewidzieć z dużą dokładnością ruch wielu ciał układu słonecznego. Stosujemy te prawa stale w życiu codziennym i w naukach technicznych. Prawa fizyczne i rozważania teoretycznę mają niekiedy charakter różny od wyników otrzymanych z obserwacji doświadczalnych. Są one bowiem podsumowaniem istotnej części dużej liczby obserwacji i są ograniczone w praktyce przez złożoność układów. Prawa te są często dla nas wskazówką do wykonania nowych niezwykłych doświadczeń, które dadzą asumpt do rozważań teoretycznych i wyjaśnienia wielu zjawisk technicznych. Oddając do druku skrypt z laboratorium mechaniki ogółnej pragniemy zademonstrować studentom zastosowanie praw mechaniki Newtonowskiej w rozwiązywaniu niektórych, najczęściej klasycznych, zagadnień mechaniki ogólnej. Chcielibyśmy również przybliżyć i wyjaśnić podstawowe założenia i zasady stosowane w mechanice. Stosowane w ćwiczeniach laboratoryjnych założenia są również fragmentem modelowania w mechanice. Sądzimy, że Poprzez bezpośrednie uczestnictwo w pomiarach wielkości mechanicznych i interpretacje wyników pomiaru zainspirujemy studentów do prowadzenia indywidualnych badań i dociekań w zakresie wiełu problemów. mechanicznych wykraczających poza kurs mechaniki ogólnej prowadzony na studiach technicznych. Skrypt przeznaczony jest dla studentów studiujących na kierunkach: mechanika, budowa maszyn, automatyka i robotyka. wychowanie techniczne oraz organizacja i zarządzanie, Tematy ćwiczeń laboratoryjnych zostały tak dobrane, aby można było zademonstrować w przybliżeniu w równej części zagadnienia statyki. kinematyki i dynamiki. Stanowiska laboratoryjne w znacznej części są maszynami lub modelami maszyn i urządzeń spotykanych w praktyce inżynierskiej. Do pomiaru wielkości mechanicznych zastosowano możliwie Prostą aparaturę, tak żeby ciężar ćwiczeń laboratoryjnych spoczywał na wyjaśnieniu bądź demonstracji praw lub zasad mechaniki przedstawionych teoretycznie na wykładach z mechaniki ogólnej. W celu ułatwienia analizy wyników pomiarów do skryptu dołączono podstawowe algorytmy i procedury z zakresu obliczeń statystycznych orz wzory i tablice Pomocne przy rozwiązywaniu postawionych zadań. Większość tematów z przedstawionych ćwiczeń laboratoryjnych jest wynikiem wcześniejszych inspiracji i opracowań zespołu pracowników Katedry Mechaniki Stosowanej Politechniki Śląskiej. Autorzy pragną w tym miejscu podziękować wszystkim osobom współpracującym Przy opracowaniu ćwiczeń i stanowisk laboratoryjnych oraz tym wszystkim, którzy swoimi uwagami przyczynili się do modemizacji stanowisk badawczych i opracowania skryptu. Gliwice, czerwiec 1998 Autorzy 1. ANALIZA WYNIKÓW BADAŃ 1.1. WPŁYW PRZYJĘTEGO MODELU NA WYNIKI BADAŃ Przyspieszenie ziemskie g można łatwo określić za Pomocą prostego doświadczenia: upuścić ciało ze znanej wysokości h i zmierzyć czas spadania , następnie ze wzoru: h=gr2 (1.1) wyliczyć wielkość g. W rzeczywistości zadanie nie przedstawia się tak prosto, jeśli potrzeba określić g dostatecznie dokładnie. , Okceślamy czas spadania 5 z wysokości h = 1.0 m. Jeśli przyjąć g = 9.8 móć, to uzyskamy czas: 4 1= 26 0 2045 R g 328, Przy przeprowadzaniu takiego eksperymentu należy zatem zmierzyć czas z dokładnością do jednej setnej sekundy. Załóżmy, że w wyniku takiego doświadczenia zmierzyliśmy czas spadku: 1, — 044 s; tz = 045 s: z = 0.46 s. Wyliczmy dla tych wielkości ! wartość g. Przy h=/ m wyniesie Otrzymujemy: Przy 1, = 0445 8, = 10.330578 mó" x103 mó” 8, = 98765431 ms” z99 mi 8, = 94517956 mis «9.4 mó” Zrożumiałe, że dla pomiaru czasu z dokładnością do setnych części sekundy konieczne są specjalne urządzenia, Jeśli zwiększyć wysokość, to czas spadania się także zwiększy. I tak, przy h = 5 m czas Spadania będzie wynosić już / s, a przy h - 20 m - dwie sekundy. W takim przypadku powstaje jednak błąd innego charakteru, który wynika z faktu, że przy dużych prędkościach znaczącą rolę odgrywają siły oporu powietrza. Wzór (1.1) opisuje ruch jednostajnie przyspieszony, zatem nie uwzględnia oporu powietrza. W ten sposób, zwiększając wysokość h, zwiększamy czas spadania i zmniejszamy względny błąd pomiaru czasu, ale przy tym wnosimy drugi błąd: wzór (1.1) staje się niedokładny. Dodatkowo, jeśli przykładowo zrzucić cegłę z wysokości h « 500 m, to w przybliżeniu * 200 metrów będzie się ona poruszać ruchem przyspieszonym, a następnie Opór powietrza zrówna się z siłą ciężkości (będzie to przy prędkości ok. 70 m/s) i aa pozostałe 300 m przebędzie ze stałą prędkością v = 70 m/s. W tym przypadku wzór (1.1) okazuje się po prostu tałszywy. docsity.com Dla naszego przypadku otrzymujemy: -35:493-67-603 1504 900110-408-67 0 441 7 -10:608-67-85 335 10-493-677 4417 7 Zatem równanie prostej (rys. 1.1.) ma postać: y=341+076x 1.2.2. Metoda różniczki zupełnej Jest to metoda stosowana do wyznaczania błędów wyników złożonych. Bardzo często podczas badań doświadczalnych zmuszeni jesteśmy do wyznaczania pewnych wielkości metodą pośrednią, tzn. poprzez pomiar jednej lub Kilku innych wielkości. Przykładem tego może być doświadczalne wyznaczanie wielkości sił w prętach kratownicy płaskiej metodą tensometri oporowcj, W przypadku gdy wielkość mierzona jest funkcją jednej lub kilku wielkości mierzonych. powstaje problem oszacowania błędu wyniku na podstawie błędów wielkości mierzonych. Zagadnienie lo można rozwiązać za pomocą różniczki zupełnej [14,17]. Rozpatrzmy przypadek, gdy chcemy wyznaczyć pewną wielkość y będącą funkcją mierzonej wielkości x. Jeżeli średni bezwzględny błąd wartości x o©znaczymy przez 4x (dla 4x << x), to wartość y otrzymamy z błędem + dy. yŁAy= fat Ax (1.10) W celu znalezienia zależności pomiędzy 4y i 4x funkcję fx + Ar) rozwiniemy w szereg Taylora. ytdóy= ff) * Ax a p sa +00 176) (11) 21 dh” Ponieważ w zależności (1.11) wielkości Ax o potęgach wyższych niż pierwsza są wielkościami wyższych rzędów w stosunku do poszukiwanego 4y, to wyrazy szeregu zawierające te wielkości możemy pominąć bez szkody dla otrzymanego wyniku. Z zależności (LIE) otrzymujemy zatem: 2 9 = fo) i (12) Ponieważ y = f/x), z równania (1.1 2) otrzymamy: dfs) =|] 1.1. lł= |; Ax (1.13) -12- Zatem można powiedzieć, że: Błąd bezwzględny funkcji równy jest iloczynowi bezwzględnego błędu mierzonej wielkości i pochodnej tej funkcji. Częściej jednak interesuje nas błąd względny p Najczęściej jednak rozpatrywana wielkość y jest funkcją wielu zmiennych. |MD_Ax | pap (1.14) dx ff) = Hxnzzew.x.) (1.15) W tym przypadku, stosując rozwinięcie w szereg Taylora dla fimkcji wiełu zmiennych, otrzymujemy zależność na błąd bezwzględny w postaci: a 1.) (1.16) Ax ++ Ay = -| | di Ax + lżej HT dx W nawiasie występują znaki "+", ponieważ szacując błąd musimy uwzględnić najbardziej niekorzystny przypadek, gdy błędy poszczególnych wielkości dodają się. Błąd względny otrzymamy dzieląc obie strony równania (1.16) przez [unkcję (7.15) za as.) (117) W 1 y Marx) ( MM 4] dz, Gdy wyznaczana wielkość jest iloczynem potęg mierzonych wielkości, np. J=Czi x: xie. (1.18) funkcję taką logarytmujemy obustronnie lny=lnC+aln x, +bln x, * eln xy... (1.19) a następnie równanie (1.19) różniczkujemy. Po zastąpieniu różniczek odpowiednimi wartościami błędów otrzymujemy zależność określającą bląd względny W _ ETOESNCEJĄ „| (1.20) ; xi 7) X oraz błąd bezwzględny > AX, Ay = Ao, ŚW, A, .„) - (1.21) x; x Xu -Bdocsity.com Przyklad W celu obliczenia objętości kuli zmierzono jej średnicę i otrzymano wynik pomiaru x=0, I m. a błąd pomiaru oceniono na 4x=0,00/ m. Ocenić błąd objętości. Objętość kuli jest funkcją jej średnicy: V(x) = r Błąd objętości jest równy przyrostowi AV, a w przybliżeniu równy różniczce: W =V'(x)de = zed Błąd względny czyli stosunek błędu do wielkości mierzonej, wynosi: Zł do zk EE 6 Ay „4 W W rozpatrywanym przypadku zatem błąd względny obliczonej objętości kuli jest w przybliżeniu równy: A TK =003 lub dv p =003-100% = 3% 2. ANAŁIZA KINEMATYCZNA MECHANIZMU KORBOWO- WODZIKOWEGO 2.1. CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczenia jest wyznaczenie metodą analityczną. wykreślną i doświadczalnie prędkości i przyśpieszenia suwaka mechanizmu korbowo-wodzikowego. 2.2, OBOWIĄZUJĄCY ZAKRES WIEDZY Przed przystąpieniem do ćwiczenia sudeni powinien znać następujące zagadnienia: « Kinematyka ruchu płaskiego. » Metody wyznaczania prędkości i przyspieszeń w ruchu płaskim. 2.3. WSTĘP TEORETYCZNY Typowym przykładem mechanizmu korbowo-wodzikowego jest układ roboczy silników tłokowych, w którym ruch posuwisto-zwrotny tłoka przekształcany jest na ruch obrotowy wału korbowego. Zasadę działania takiego mechanizmu wyjaśnimy na przykładzie silnika spalinowego. W tym celu przeanalizujemy uproszczony przekrój silnika przedstawiony na rysunku 2,1. a) 5 'docsity.com W czasie pracy silnika tłok 3 porusza się wzdłuż cylindra 4 ruchem posuwisto-zwrotnym, wał korbowy I obraca się, a korbowód 2 wykonuje ruch płaski. Mechanizm roboczy silnika składa się więc z czterech sztywnych ciał: - nieruchomego cylindra, - tłoka zwanego suwakiem, - korbowodu zwanego łącznikiem, - wału korbowego zwanego korbą. Schemat kinematyczny tego mechanizmu przedstawiono na rys. 2.1b. Zwykle w analizie kinematycznej mechanizmu przyjmuje się schemat uproszczony przedstawiony na rys. 2.1c. Mechanizm jest układem o jednym stopniu swobody, stąd w celu określenia położenia jego ogniw wystarczy określić wartość kąta ©, Ogniwo mechanizmu, na które działają siły zewnętrzne powodujące jego ruch, nazywa się ogniwem wiodącym. Przy badaniu kinematyki mechanizmu ruch jednego z ogniw przyjmuje się jako zadany i nazywa się wejściowym. Owniwo, którego ruch chcemy określić w zależności od ruchu wejściowego, nazywa się wyjściowym. W naszym przykładzie suwak (tłok) jest ogniwem wiodącym (wejściowym), a korba ogniwem wyjściowym. Niekiedy jednak wygodniej przeprowadzić jest analizę tego mechanizmu przyjmując jako ogniwo wejściowe korbę, a suwak jako ogniwa wyjściowe. Ze względu na to, że jakość maszyn tłokowych i niezawodność ich działania zależą w ogromnym stopniu od prawidłowo wyznaczonych sił dynamicznych i na tej podstawie dobranych cech konstrukcyjnych ich mechanizmów, w teorii maszyn tłokowych kładzie się duży nacisk na obliczenia kinematyczne i dynamiczne. Poniżej zostały przedstawione trzy metody wyznaczania wielkości kinematycznych. 2.3.1. Metoda analityczna Metoda analityczna polega na znalezieniu funkcji opisującej położenie suwaka mechanizmu korbowo-wodzikowego w zależności od kąta obrotu korby a, który z kolei jest funkcją czasu [15]. Mechanizm korbowo-wodzikowy jest układem trójprzegubowym, w którym punkt B jest mchomy (rys. 2.2). yA Rys. 2.2 W celu wyznaczenia równania ruchu suwaka B wprowadzamy układ współrzędnych w ten sposób, że oś Oy układu przechodzi przez o$ obrotu korby OA, natomiast oś Ox jest równoległa do kierunku ruchu suwaka. W takyprowadzonym układzie położenie suwaka opisuje równanie: -16- xy = rcosa + JĄ? - (h+ r sina/”. (2.1) Kąt ezjest funkcją czasu a = af). Wprowadzamy następujące oznaczenia: | kr = w © ko= (2.2) Pa wprowadzeniu oznaczeń (2.2) równanie (2.1) przyjmie postać: xa = jk cosa + JI - (ks + ki sna] (2.3) Ponieważ przy różniczkowaniu równania ruchu względem czasu otrzymujemy wyrażenie © złożonej postaci, dlatego też drugi składnik równania (2.3) rozwijamy w szereg MacLaurina Jl+y= teży - ży +... dlaye<-l, +1> (2.4) Przyjmując r<</ i h<<f możemy założyć, że fk; + k; sin aj' = 0, stąd w rozwinięciu uwzględniamy tylko dwa pierwsze składniki wyniku (2,4) l 4l-(k + ksinaj =1- 3 (ko + ki sin a). (2.5) Po podstawieniu wyrażenia (2.5) do równania (2.3) otrzymujemy 1 » A X lk cosa+ I- s(k, + k, sina) (2.6) Różniczkując powyższe równanie względem czasu obliczymy prędkość i przyśpieszenie suwaka B. ż=-r-dlsina + $k, sin2a+ k, cosa] (27 3u=-rsójsina +4k, sin20 +k, cosa]-r. osa +k,cos2c-k,sina] (2.8) Jeżeli korba obraca się ze stałą prędkością kątową, to dł = 0, stąd X, =-r-G'|cosa + k, cos2a-k, sina) (29) ŻENI KĄ BIBLIOTEKI GŁÓWKA 2 lij. docsity.com Fx! POLI, PROTOKÓŁ POMIAROWY Data pomiarów Grupa Sekcja : Semestr Rok akad. DANE POMIAROWE Wymiary mechanizm r [m]: l fm]: h [m]: Tabela 2.1 Metoda wykreślna | Metoda analityczna | Metoda doświadczalna Lp. h, 0, a Vg dy Vy dg vV az fobrimin] | frads] | (rad] | fs) imie] fmis] fm] fmis] fmóż] l. 0 2. z |_J ś 3. z 1 3 4. z 2 5 ż, 3 6. ś, 6. 7. w 8. 2 5 9. 4 3 10. 1 11] - 3 3 12. rę ó -22- 3. ANALIZA RUCHU OBROTOWEGO CIAŁA SZTYWNEGO 3.1. CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczenia jest zastosowanie tzw. wahadła krzyżowego Oberbecka do badania ruchu obrotowego bryły sztywnej. 3.2. OBOWIĄZUJĄCY ZAKRES WIEDZY Student przed przystąpieniem do ćwiczenia powinien znać następujące zagadnienia: «* Dynamika punktu materialnego. + Elementy dynamiki ruchu obrotowego bryły sztywnej. « Modelowanie tarcia w mechanice. 3.3. WSTĘP TEORETYCZNY Wahadło krzyżowe Oberbecka modelowane jest jako ciało sztywne składające się z układu dwóch stosunkowo cienkich, sztywnych prętów wzajemnie prostopadłych, mogących obracać się wokół osi symetrii przechodzącej przez jego środek masy, wokół osi prostopadłej do płaszczyzny wyznaczonej przez te pręty. Na pręty nałożone są symetrycznie względem osi obrotu cztery walce metalowe o równych masach, które można zamocowywać w różnych odległościach od osi obrotu (pozwala to zmieniać moment bezwładności wahadła). Z osią przyrządu połączone są dwa współśrodkowe krążki o różnych promieniach, na które można nawijać nić obciążoną na drugim końcu odważnikami o różnych masach (umożliwia to zmianę momentu siły wymuszającej ruch). Jeżeli na końcu nici przewieszonej przez bloczek zawiesimy ciężarek, to opadając, wprawi on badaną bryłę (krzyżak) w ruch obrotowy. Dynamiczne równanie ruchu obrotowego zapisać można w postaci: le=M- M, 8.1) gdzie: M - moment siły powodujący obrót, Mp. - całkowity moment sił tarcia, € - przyspieszenie kątowe bryły 1 - moment bezwładności względem osi obrotu. -23docsity.com  Rys. 3.1 Moment siły powodujący obrót określić można jako: M=Nr gdzie: N_- siła naciągu nici, na której przez nieruchomy blok zawieszony jest ciężarek © masie m, F - promień krążka, na który nić jest nawinięta (7; lub 73 na rys. 3.1). Dynamiczne równanie ruchu opadającego ciężarka ma postać: ma = mg— N gdzie: m - masa ciężarka zawieszonego na nici, a - przyspieszenie liniowe opadającego ciężarka, Przyspieszenie kątowe obracającej się bryły e określone poprzez przyspieszenie liniowe a przedstawia się następująco: s=— r Z zależności (3.2) i (3.3), otrzymujemy, że: M =mlg-ajr Równanie (3. 1) przybiera postać: le=mg-a)- M, - 24 - (3.2) (3.3) (3.4) (3.5) (3.6) Z (3.4) i (3.6) otrzymujemy równanie na przyspieszenie liniowe a: nkg-ap-M,= 13 8.7 Stąd: , m r ro MI a<——,—L (3.8) Ee] 1 Przyjmując założenie, że dla przyjętych cech geometrycznych w warunkach eksperymentu: równanie (3.8) przyjmuje postać: asg 6.) Przyspieszenie liniowe a opadającego ciężarka można wyznaczyć eksperymentalnie. Jeżeli ciężarek opadając przebędzie drogę hi w czasie 1, to: 2 G.10) przy czym drogę h i czas t możemy mierzyć. Ostatecznie, uwzględniając, że 5 = -. otrzymujemy 2 równania (3.9): I c=qfmer=n,) GH Powyższą zależność przyspieszenia kątowego od momentu siły zewnętrznej powodującej abról. M = mgr będziemy sprawdzać eksperymentalnie przy pewnym ustalonym. momencie bezwładności bryły (gdy I = const). Jeżeli w prostokątnym układzie współrzędnych odłożymy na osi y zmierzone wartości przyspieszenia kątowego, a na osi »* odpowiednio mgr, to zgodnie Z równaniem (3.11), wyznaczone doświadczalnie punkty powinny ułożyć się ha prostej. Nachylenie tej prostej wynosi 2. a jej punkt przecięcia z osią x daje całkowity moment sił tarcia Mg (rys.3.2). Moment bezwładności wahadła Obebrecka / można wyrazić w następujący sposób: 1=l,+dmR* G.12) gdzie: m, - masa każdego ż czterech walców nałożonych na pręty wahadła, R - odległość środków tych walców od osi obrotu, - 49 - moment bezwładności przyrządu bez walców (lecz także z uwzgłędnieniem krążka). "25-4oesity.com  3.4. OPIS STANOWISKA POMIAROWEGO M; mgr Rys. 3.2 Wartość Ip możemy wyznaczyć doświadczalnie badając załeżność e — e(mgr) dla wahadła ; bez mas m,. Za pomocą wahadła Oberbecka sprawdzić można także, jak zmienia się przyspieszenie kątowe s w zależności od zmian momentu bezwładności 7, gdy moment siły powodującej obrót Af ma wartość stałą, Zgodnie z (3.77): le= M=mgr-M, (3.13) 1 Dla ustalonego A = const zmieniamy położenia walców na. prętach wahadła (różne R) i 748 . h - wa mierzymy odpowiednie przyspieszenie kątowe s=-2, Z (3. 12) wynika, że poszczególne ś momenty bezwładności /, wynoszą odpowiednie: =l,+4m,R* (3.14) gdzie /p ma wartość wyznaczoną w poprzednim pomiarze. 2 02 Ostatecznie powinniśmy otrzymać (w granicach błędu pomiarów), że: i Lg, = hey =.= [e = M G.15) przy czym M = mgr - My. „ZER START. Rys. 3.3 Widok ogółny wahadła Oberbecka przedstawia rys.3.3. Na pionowej kolumnie / osadzonej w podstawie 2, zaopatrzonej w regulowane nóżki umożliwiające wypoziomowanie Przyrządu j, zamocowane są dwa wsporniki: nieruchomy dolny 4 i ruchomy gómy 3 oraz dwie nieruchome tuleje: dolna 6 i górna 7. Na tułei górnej zamocowany jest blok stały 8, -26- -27- docsity.com  Po uwzględnieniu powyższych założeń równanie ruchu ciężarków przedstawia się następująco: T- Mg= Ma (M + m)g-T=(M + ma 4. ANALIZA RUCHU PROSTOLINIOWEGO I POMIAR (4.2) PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO gdzie: T- siła naprężenia nici, a - przyspieszenie ciężarków. 4.1. CEL ĆWICZENIA Badanie ruchu prostoliniowego jednostajnego i jednostajnie przyspieszonegąj a w szczególności wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego. 4.2. OBOWIĄZUJĄCY ZAKRES WIEDZY + Przed przystąpieniem do ćwiczenia student powinien znać następujące zagadnienia: Ruch jednostajny. Ruch jednostajnie przyspieszony. Ruch prostoliniowy dowolny. Swobodne spadanie ciał. Siły tarcia w ruchu obrotowym. Hamowanie ruchu przez opór ośrodka. I R] (M+mjg 4.3. WSTĘP TEORETYCZNY Rys. 4.1 4.3.1. Zasada działania spadkownicy Atwooda Z równań (4.2) otrzymujemy: € Trudności pomiaru przyspieszenia ziemskiego związane są z dużą wartością przyspieszenia: a=g— 9 2M+m ŚTEE swobodnego spźdania. Im przyspieszenie większe, tym ciałę szybciej nabiera dużej prędkości, a przy tym albo czas spadania jest mały i trudno go dokładnie zmierzyć, albo niedokładny jeż wzór: (4.3) gdzie: 2= m42M). Czas ż, w czasie którego ciężarek przebędzie drogę A, wynosi: fg - 2 l+5 (4.4) a g E Z wyrażenia (4.4) wynika, że czas spadania ciężarka można dowolnie zwiększać, jeśli jednocześnie zmniejszać się będzie warość e. Na przykład, jeśli przyjąć masę każdego 2 ciężarków M = 5 kg, a masę ciężarka dodatkowego m = I g, to e= 10”, to czas opadania Giężarka z wysokości h = I m wyniesie tówno 45 s. Taki czas można dostatecznie dokładnie mierzyć sekundomierzem. Jednakże realnie takiego doświadczenia dokonać nie można, Ponieważ przyjęliśmy, że tarcie w osi bloku nie występuje. W rzeczywistości ono istnieje, Pytanie tylko, kiedy można je pominąć. Jeśli przewiesić przez blok na nici ciężarki o dużej h=gó/2 (4.1) Zmniejszyć przyspieszenie można za pomocą urządzenia. które tradycyjnie nazywa się: spadkownicą Atwooda. Ideę tego urządzenia ilustruje rys. 4.1. Przez blok przełożona jest nić, na której końcach uwiązane są ciężarki, każdy o masie M. Na jeden z ciężarków nakłada się <iężarek dodatkowy o masie m. Przyspieszenie ruchu ciężarków łatwo znaleźć, jeśli przyjmiemy dwa założenia: +. blokinić są nieważkie, tj. ich masa jest równa zero, +. brak tarcia w osi bloku i oporów powietrza. -32- -33 docsity.com masie, to w osl błoku będzie duża sia tarcia. Stąd wynika konieczność użycia dostatecznie ciężkiego ciężarka dodatkowego, aby pokonać tę siłę i poruszyć blok. 4.3.2. Dobór masy dodatkowej Przystępując do ćwiczeń laboratoryjnych w pierwszym rzędzie koniecznie należy określić masę dodatkowego ciężarka mą, przy której następuje obrót bloku, po to, aby. dalej przeprowadzać pomiary z ciężarkami © masie 5, /0 razy przewyższającej masę mp. Tylko w tym przypadku można pominąć wpływ tarcia na ruch układu. Wystarczy określić tę masę z grubsza, na przykład zbadać, czy my nie jest większa od 7 g czy 2 g. Dla określenia my można stopniowo zwiększać masę, dopóki blok nie rozpocznie ruchu obrotowego. Może się okazać, że na skutek nieidealnego wycenirowania bloku, wróżnych początkowych jego położeniach masa uruchamiająca go będzic różna. Należy więc powtórzyć pomiar mo w różnych położeniach bloku, a porem przyjąć dla mą największą wartość z otrzymanych. Dalej należy się upewnić, że ruch układu, przy dostatecznie dużej przyjętej masie ciężarka dodatkowego m >> mp, będzie jednostajnie przyspieszony. W tym celu konieczne jest eksperymentalne sprawdzenie zależności f4.1)- Wygodniej będzie przekształcić ten wzór do postaci: = 2 (4.5) Xa z której wynika, że w osiach współrzędnych prostokątnych x=Jh p=t otrzymane przeż nas wyniki utworzą linię prostą i= (i) (4.6) przechodzącą przez początek osi. Prosia la może być wykreślana dła jednego dodatkowego ciężarka m i szeregu różnych wartości wysokości h poprzez pomiar czasu spadania ciężarka. Pomiar czasu spadania dla każdej wysokości należy przeprowadzić kilka razy, wyniki uśrednić i zapisać w postaci: t=1,+At gdzie: 1, - średnia arytmetyczna z wartości zmierzonych czasów spadania dla danej wysokości. W warunkach eksperymentu błąd A! znacznie przewyższa błąd wskazań elekironicznego milisekundomierza zg: AE>>1, =I0"s -34- W celu narysowania wykresu na osi rzędnych odkładamy zmierzone wielkości £ z uwzględnieniem wielkości błędu wyznaczonego z zależności: A 2 (ima. inu) (4.7) gdzie: fmax I mn - największa i najmniejsza zmierzona wielkość czasu spadania z danej wysokości h. Na osi odciętych odkładamy waności /f. Jeśli otrzymane eksperymentalnie punkty układają się na prostej, to rach układu możemy uważać za jednostajnie przyspieszony. Należy też doświadczalnie potwierdzić zależność czasu spadania od masy ciężarka dodatkowego. która to zależność zgydnie ze wzorem (4.3) ma postać: 2h 2h |2M +m h |M EEEE m 43 W osiach współrzędnych y=l funkcja r = 1(M/m) ma postać równania prostej. Zależność £ = tfkfin) przy ustałonej wysokości spadania h może być wykreślona z punktów eksperymentalinych dła kilku wartości masy ciężarka dodatkowego m przez pomiar czasu spadania. t=t, EA Pomiar czasu spadania przy każdej masie m powtórzyć kilka razy, rezultaty uśrednić i znaleźć wartość £;, i rozrzut At. Otrzymane eksperymentalnie wyniki nanosić na osiach współrzędnych: na osi rzędnych - wartość t,, z uwzględnieniem błędu Au: na osi odciętych - odpowiadające im wartości wietkości /2* , w wyniku czego przeprowadzona poprzez otrzymane punkty linia daje prostą, której nachylenie określa wielkość g. Na koniec należy wyznaczyć przyspieszenie ziemskie $g korzystając zarówno z praw ruchu jednostajnego, jak i ruchu jednostajnie przyspieszonego. W tym celu posłużymy się spadkownicą Atwooda z pełnym wyposażeniem, tj. dodatkowo wyposażoną w pierścień, umieszczony pomiędzy dwoma końcami spadkownicy, który zdejmuje dodatkowy ciężarek m (patrz rys. 4,2). Wyprowadzenia wzoru na obliczenie przyspieszenia ziemskiego g dokonamy uwzględniając te same założenia, które zostały przyjęte przy wyprowadzeniu wzoru (4. 2). Pierwszy odcinek drogi s ciężarki przebędą w czasie 1; ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem a. Że wzoru (4.2) otrzymujemy: gza2Mtm (4.9) m -35- docsity.com s Ruch jednostajnie jeszony S- Ruch jednostajny Rys. 4.2 Po zostawieniu ciężarka dodatkowego na pierścieniu pozostały odcinek drogi S ciężarki M przebędą w czasie 1 ruchem jednostajnym ze stałą prędkością v, jaką osiągnęły w momencie zostawienia ciężarka dodatkowego. Z równań na ruch jednostajnie przyspieszony: at; s=—- (4.10) 2 v=at, (4.11) otrzymujemy: (4.12) (4.13) Stąd: wł = Żys (4.14) W ruchu jednostajnym: S v= (4.15) t -36- W naszym przypadku: V = Zas =p (4.16) Po przekształceniu ostatniego równania: s2 a= z (4.17) Ostatecznie podstawiając we wzorze (4.9) za a wyrażenie z wzoru (4.17) otrzymujemy: 2M+m_$* m 2s17 6.18) Znając więc masy ciężarków M i m, drogi ruchu jednostajnego S i jednostajnie przyspieszonego s oraz czas ruchu jednostajnego wyliczamy przyspieszenie ziemskie ze wzoru f4. 18) 4.4, OPIS STANOWISKA POMIAROWEGO Widok ogólny spadkownicy Atwooda przedstawiono na rysunku 4.3. Na pionowej kołumnie 1 osadzonej na podstawie 2 umocowane są trzy wsporniki: nieruchomy wspornik dolny 3 i dwa ruchome wsporniki - środkowy 4 i gómy 5 oraz tuleja górna 6. Podstawa wyposażona jest w regulowane nóżki 7 umożliwiające wypoziomowanie przyrządu. Na tulei za pośrednictwem tarczy górnej 8 zamocowany jest zespół ułożyskowania bloku 9, biok 70 i elektromagnes 12. Przez blok 70 przełożona jest nić /2 z przywiązanymi na jej końcach ciężarkami /3 i 14. Elekuomagnes, po przyłożeniu do niego napięcia zasilającego za pomocą sprzęgła ciemnego, utrzymuje układ bloku z ciężarkami w sianie spoczynkowym. Wspornik górny i środkowy można przemieszczać wzdłuż kotumny i unieruchamiać w dowolnym położeniu, wyznaczając w ten sposób długości dróg ruchu jednostajnie przyspieszonego i jednostajnego. W celu ułatwienia wyznaczenia powyższych dróg na kolumnie naniesiona jest skala milimetrowa 15, a wszystkie wsporniki posiadają wskaźnik położenia, zaś wspornik górny dodatkową kreskę, ułatwiającą dokładne zgranie dolnej krawędzi górnego ciężarka z wyznaczonym początkiem drogi ruchu. Na wsporniku środkowym zamocowany jest pierścień 26 i czujnik fotoelektryczny nr l 17. Pierścień 16 zdejmuje ze spadającego w dół ciężarka ciężarek dodatkówy /3, a czujnik fotoelektryczny nr 1 /7 w tym momencie wytwarza impuls elektryczny uruchamiający pomiar Czasu spadku ciężarków. (OŚ optyczna czujnika fotoelektrycznego (rysa na jego korpusie) umieszczona jest na wysokości wskażnika położenia wspomika środkowego 4, Wspornik dolny 3 wyposażony jest w dwa ograniczniki /8 z amortyzatorami gumowymi, o które uderzają kończące ruch ciężarki oraz w czujnik fotoelektryczny nr 2 19, z osią optyczną na wysokości wskaźnika położenia wspornika, po przecięciu której przez dolną krawędź spadającego ciężarka Wytwarzany jest sygnał końca pomiaru czasu i włączany elektromagnes hamujący. Na podstawie przyrządu przymocowany do niej na sztywno. znajduje się milisekundomierz 20 zasilany napięciem sieciowym 220 V 50 Hz. Do gniazd ZŁ I i ŻŁ 2 milisekundomierza podłączone są odpowiednio czujniki fotoelektryczne nr 1 i nr 2. Poprzez złącze Zł 1 dodatkowo doprowadzone jest napięcie zasilające uzwojenie elektromagnesu. Na płycie czołowej milisękundomierza znajdują się następujące przyciski: 7 docsity.com EE Jeżeli pominąć sprężyny i obejmę mocującą, wahadła te mają jednakową masę m i moment bezwładności /. Wahadłem 1 będziemy nazywać wahadło. do którego przymocowana jest obejma. Niech ©; oznacza kąt wychylenia tego wahadła z położenia równowagi. Wahadło 2 sprzężone jest z wahadłem 1 za pomocą sprężyn. Niech p: oznacza kąt wychylenia tego wahadła mierzony od kierunku pionowego. o. 8 W czasie ruchu na każde z tych wahadeł działa moment siły ciężkości o wartości: 5. ANALIZA RUCHU WAHADEŁ SPRZĘŻONYCH 5.1. CEL ĆWICZENIA N = mgasinę gdzie: | © - odpowiedni kąt wychylenia, Celem ćwiczenia jest badanie ruchu układu drgającego o dwóch stopniach swobody a - odległość środka ciężkości wahadła od osi obrotu. na przykładzie ruchu wahadeł sprzężonych. Ponadto na wahadła te działają sprężystości sprężyn. Rozpatrzmy siłę pochodzącą od napiętych sprężyn działającą na wahadło 2. 5.2, OBOWIĄZUJĄCY ZAKRES WIEDZY Student przed przystąpieniem do ćwiczenia powinien znać następujące zagadnienia: *_ Drgania harmoniczne proste. + Wahadło fizyczne. *_ Obliczanie momentów bezwładności bryły sztywnej, Twierdzenie Steineta. 3.3. WSTĘP TEORETYCZNY Rozważmy układ składający się z dwóch wahadeł fizycznych sprzężonych ze sobą; 2a pomocą dwóch jednakowych sprężyn tak, jak w przyrządzie przedstawionym rysunku 5.1. Rys. 5.2 Niech 2d oznacza szerokość obejmy, b długość sprężyny swobodnej (w położeniu tównowagi wahadeł obydwie sprężyny mają długość d >b), x wychylenie wahadła 2 2 położenia równowagi mierzone wzdłuż sprężyn. Siła F; działająca na wahadło 2 jest równa F, =-k(d + x-6)+k(d- x-b) = —2ke Na mocy III zasady dynamiki siła F, działająca w tym czasie na wahadło I jest równa F, = -F, = 2x Rys. 5.1 a .4;. docsity.com Jeżeli zaniedbamy opory tarcia i opór powietrza, to równania ruchu wahadeł można zapisać w następującej postaci: I$, = -mgasing, — Zksz Ie, =-mgasinq, + 2ksx gdzie: s - ramię sił sprężystości, czyli odległość miejsca zamocowania obejmy dó wahadła od osi obrotu. Dla niewielkich wychyleń sinpzę ix =(g, -g,)s Równania ruchu (5.2) przyjmują wówczas postać: 1ó, =-mgag, — 2ks' (p, -p,) 16, =-mgay, +2kr'(p, -p,) Wprowadźmy nowe zmienne pomocnicze- u=9,+9, | w=Q,-0, Po dodaniu i odjęciu stronami równań (5.2) dostajemy równania: i+TTu=0 Drugie jest równaniem ruchu harmonicznego 0 częstości ©, gdzie 2, śks” rt i Rozwiązania tych równań zapisać można w postaci: u=9, +, = Acodai+6) w=$,-p, =Bcoa,t+n) (5.1) Po rozwikłaniu równań wzgłędem zmiennych gy i gz oraz założeniu, że 6=q=0 otrzymujemy rozwiązania ruchu wahadeł w postaci: P, = Ccosat — Dcosa,l f, = Ccoso;t + Dcoswi 6.4) Z powyższych równań wynika, że wahadła sprzężone wykonują ruch drgający, który jest kombinacją dwóch ruchów harmonicznych o częstościach c; i 07. Przy pewnych szczególnych warunkach początkowych układ może wykonywać drgania tylko z jedną częstością: c; lub cy. Mówimy wiedy o drganiach normalnych lub podstawowych układu. Na przykład, wychylmy jednocześnie obydwa wahadła o ten sam kąt p i puśćmy, aby wykonywały drgania. W tym przypadku warunki początkowe można zapisać następująco: 2(0)=p,(0) =p, Pld) = p,(0)= 0 Po narzuceniu tych warunków na równania (5.4) otrzymujemy C=, D=0 i rozwiązanie 9, =P, =, COSG,l (Wahadła wykonują drgania harmoniczne o częstości m; równej częstości drgań pojedynczego wahadła bez sprężyn. Taką postać drgań podstawowych będziemy nazywać drganiami współfazowymi. Drugą postać drgań podstawowych wzbudzimy, jeżeli na początku rozchylimy wakadła w przeciwnych kierunkach o ten sam kąt. Warunki początkowo można wtedy zapisać w postaci: M0) =o, 0,00) = 0, Pld=O elt)j=0 Z równań (5.4) otrzymamy wartości C=0, D=-g, i rozwiązania 9; = 0, Cs! 9, =-P,CosO1 16 qocsity.com  Opisują one ruch wahadeł drgających w przeciwazie, z częstością 02. Częstość c załeżyj od stałej sprężyn i od odległości ich zamocowania od punktu zawieszenia wahadeł. Fakt, że układ dwóch sprzężonych wahadeł ma dwie częstości podstawowe powoduje, że w przypadku wymuszania drgań za pomocą zewnętrznej siły wymuszającej pojawia si zjawisko tzw. rezonansu dwugarbnego. Rys, 5.3 Jeżeli częstość drgań wymuszających jest bliska jednej 2 częstości podstawowych ukłach następuje rezonans objawiający się wywołaniem odpowiedniej postaci drgań podstawowy o dużej amplitudzie. 54. OPIS STANOWISKA POMIAROWEGO Układ pomiarowy stanowi przyrząd do badania ruchu wahadeł sprzężonych. Zasadniczyj elementem przyrządu jest układ dwóch wahadeł zawieszonych na jednym drążku tak że płaszczyzny ich drgań są do siebie równoległe. 4 Wahadła stanowią długie pręty metalowe, na które zakłada się ciężarki w kształci krążków o różnych masach. Wahadła można Sprząc zakładając na jedno z nich obej. w kształcie litery C i przymocowując do niej drugie wahadło za pomocą dwóch jednakowy. sprężyn. Miejsce mocowania obejmy i sprężyn można przesuwać wzdłuż obu prętów. Jedno z wahadeł przechodzi w czasie ruchu przez szczelinę czujnika fotoelektrycznegi połączonego z milisekundomierzem, który umożliwia pomiar czasu i liczby drgań. W bloku pomiarowym znajduje się silnik o regulowanej częstości obrotów. Poruszaj dodatkowym prętem sprzężonym za pośrednictwem sprężyn z jednym z wahadeł umożliwił on wymuszenie drgań uktadu. W płycie czołowej przyrządu znajdują się następujące elementy: Przycisk SIEĆ - wyłącznik sieci. Przycisk ZER - zerowanie mierników i włączenie sygnału gotowości do pomiaru. Przycisk STOP - zakończenie pomiaru. Należy pamiętać, że po naciśnięciu przycisku STOP przyrząd zatrzyma stan miernikó dopiero po wykonaniu pełnego drgania. Jeżeli chcemy zmierzyć czas 10 drgań, nale: przycisnąć STOP zaraz po wyświetleniu liczby 9 na wskaźniku liczby drgań. Pokrętto CZĘST sq prędkości obrotów silnika. Włącznik silniką/ -46- 55. PRZEBIEG ĆWICZENIA 5.5.4. Przygotowanie układu do pomiarów «_ Sprawdzić, czy przyrząd jest uziemiony. » Skontrolować wypoziomowanie przyrządu. . włączyć przyrząd do sieci. Nacisnąć przycisk SIEĆ. Wszystkie wskaźniki miernika powinny wyświetlić zera, powinna palić się lampka czujnika fotoelektrycznego. +» Sprawdzić, czy pręty wahadeł znajdują się w jednakowej pionowej płaszczyźnie, to znaczy czy założone cztery sprężyny mają jednakową stałą. h = « Włączyć silnik. Płynnie obracając pokrętłem regulacji prędkości sprawdzić, czy silnik pracuje i wahadła drgają. 5.5.2. Pomiary a) Odpiąć sprężyny sprzęgające układ wahadeł z prętem poruszanym przez silnik. b) Umieścić obejmę sprzęgającą wahadła i mocowanie sprężyn na wysokości pierwszej rysy licząc od miejsca zawieszenia wahadeł. <) Zawiesić na obu prętach ciężarek o masie 200 g na wysokości pierwszej rysy od dołu. 4) Wyznaczyć okres drgań współfazowych 7, wahadeł odchylając je początkowo w tę stronę © kąt około (6 stopni). Następnie wyznaczyć okres drgań przeciwłazowych T> odchyłając wahadła w przeciwne strony o kąt około (6 stopni) od położenia równowagi. Dla większej dokładności zmierzyć czas /0 okresów drgań. Pomiar okresu drgań międzyfazowych powtórzyć. e) Przesuwając obejmę i mocowanie sprężyn co 5 cm (odległość między rysami) w dół powtórzyć pomiary okresu drgań współ- i przeciwfazowych, Przy pomiarze okresu drgań przeciwfazowych należy zwrócić uwagę, aby wahadło nie uderzało o brzeg szczeliny czujnika fotoelektrycznego. f) Otrzymane wyniki pomiarów umieścić na wykresie załeżności. o? jest częstością drgań przeciwfazowych, a s jest odległością obejmy od osi obrotu wahadeł. Posługując się tym wykresem wykonanym na papierze milimetrowym wyznaczyć współczynnik kierunkowy otrzymanej prostej. Na jego podstawie określić wielkość momentu bezwładności I badanego wahadła. Wartość stałej sprężyny K poda prowadzący zajęcia. £) Za pomocą przymiaru milimetrowego zmierzyć parametry geometryczne wahadła. Masę pręta poda prowadzący. Na podstawie uzyskanych danych obliczyć wartość momentu bezwładności wahadła zaniedbując masę sprężyny i obejmy. Porównać wynik z wielkością otrzymaną w punkcie f). h) Przedłużyć wykres zależności o? =/(s') aż do przecięcia z osią s” =0. Odczytać Wartość oj i porównać z wartością w? obliczoną na podstawie zmierzonej wartości „__ okresu drgań współfazowych. . i) Umacować obejmę sprzężonego wahadła na wysokości drugiej rysy licząc od osi zawieszenia. Połączyć za pomocą sprężyn układ wahadeł z prętem poruszanym przez silnik i włączyć silnik. Zmieniając płynnie częstość obrotu silnika postarać się zademonstrować zjawisko rezonansu dwugarbnego. -41 docsity.com