Laboratorium mechaniki ogólnej - Notatki - Mechanika - Część 2, Notatki z Mechanika

Pobierz Laboratorium mechaniki ogólnej - Notatki - Mechanika - Część 2 i więcej Notatki w PDF z Mechanika tylko na Docsity! 5.6. ZAKRES SPRAWOZDANIA Sprawozdanie powinno zawierać: cel ćwiczenia, wykorzystywane zależności, protokół pomiarowy, narysowany na papierze milimetrowym wykres zależności aj =J(s), obliczoną na podstawie okresu drgań współfazowych wartość o; , analizę otrzymanych wyników i wnioski. PROTOKÓŁ POMIAROWY Długość wahadła Masa wahadła ra; Tabela 5.2 -49- docsity.com  6. ANALIZA RUCHU WAHADŁOWEGO I POMIAR PRZYSPIESZE ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA UNIWERSALNEGO 6.1. CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z zastosowaniem wahadła uniwersalnego do badani. wahadła matematycznego i rewersyjnego. 6.2. OBOWIĄZUJĄCY ZAKRES WIEDZY Przed przystąpieniem do ćwiczenia student powinien znać następujące zagadnienia: * Ruch harmoniczny prosty i jego równanie. + Ruch wahadłowy bryły sztywnej. *_ Teoria masowych momentów bezwładności. 6.3. OPIS TEORETYCZNY 6.3.1. Wahadło matematyczne Wakadłem matematycznym nazywamy wahadło grawitacyjne, w którym punkt naterialny zawieszony na długiej, nierozciągliwej i nieważkiej nici wykonuje ruch wahadłowy wokół osi prostopadłej do płaszczyzny ruchu. Model takiego wahadła przedsiawiono na rysunku 6.1, Okres wahań dla małych wychyleń położenia równowagi można w przybliżeniu określić z załeżności: T= 2a (6.1 Jmgl gdzie: 7 - okres drgań wahadła, ł, - moment bezwładności wahadła względem osi drgań 00, m - masa wahadła, 1 - odległość od osi drgań wahadła do środka jego masy, £ - przyspieszenie ziemskie. Występujący w wyrażeniu (6.1) moment bezwładności / dla opisanego wyżej modelu; wahadła jest sumą momentu bezwładności kulki i momentu bezwładności nici zawieszenia. Przy bardzo małej masie stosowanej nici jej moment bezwładności można pominąć. -50- Moment bezwładności wahadła względem osi 00, zgodnie z twierdzeniem Steinera, można zapisać w postaci: L= Lt mf = ż me + mi (6.2) 4 Rys. 6.1 We wzorze (6.2) uwzględniono dodatkowo, że moment bezwładności jednorodnej kulki o promieniu » i masie m względem osi przechodzącej przez jej środek jest równy: 2 L= 5 mr” Rozpatrując przypadek, kiedy promień kulki jest dużo mniejszy od długości nici zawieszenia r<<l, wyrażenie 4 mr” można uznać za pomijalnie małe w stosunku da wartości - mł”, a wzór (6.2) uprościć do postaci L= m (6.3) Oczywiście w takim przypadku wartość momentu bezwładności / wyznaczana jest 2 niewielkim błędem systematycznym Alim, z(2) (6.3) Którego wielkość w warunkach ćwiczenia łatwo ocenić. . Po uwzględnieniu wyrażenia (6.3) wzór na okres drgań wahadła matematycznego przyjmuje Postać: T= zeję (6.5) 8 Przekształcając wyrażenie (6.5) otrzymamy zależność umożliwiającą określenie wartości Drzyspieszęnia ziemskiego: +2] (6.6) -51- docsity.com  Przekształćmy wyrażenie (6.16) tak, aby można było wyznaczyć przyspieszenie ziemskie. B= (s * s) (6.17) Jak widać ze wzoru (6./7), w celu wyznaczenia przyspieszenia ziemskiego g wystarczy zmierzyć odległość (s; + sz) między osiami obrotu dla których 7/s;) = 7/53), oraz wartość okresu drgań wahadła dla tych osi. Doprowadzenie do pełnej równości okresów 7(6,) = 7/62) jest bardzo trudne. Najdogodniej jest prowadzić badania w następujący sposób: + Unieruchomić krążki na pręcie w niesymetrycznych położeniach (patrz rys. 6.2): jeden krążeł na końcu pręta, a drugi w pobliżu jego środka. W takim przypadku środek mas S wahadła. znajduje się pomiędzy ciężarkami i można w przybliżeniu wyznaczyć jego położenie. ; * Noże oporowe ustawić należy po obu stronach środka ciężkości mas. Jeden z noży zamocować w największej możliwej odległości s; od środka ciężkości mas, tzn. w pobliżu końca pręta. W ten sposób oddalamy się, możliwe najdalej od obszanz minimalnego okresu drgań. * Dlatego położenia noża wyznaczyć należy okres wahadła 7(5,) przy małym wychyleni od położenia równowagi. R * Następnie nie zmieniając położenia ciężarków, ustawić drugi nóż oporowy z drugiej strony? środka ciężkości mas w pobliżu punktu $ i wyznaczyć okres drgań 7/53). *_ Porównać okresy drgań. Jeżeli okaże się, że 7(szj < 7(b,), to drugi nóż należy przesunąć dalej od środka ciężkości mas w położenie sz" i wyznaczyć okres 7/52) dla tego położenia. Jeżeli natomiast 7/52) > Tfs,), to nóż należy przesunąć bliżej środka ciężkości mas i wyznaczyć: nowy okres drgań 7/52). z pierścieniowych nacięć można było noże i krążki w sposób trwały zablokować. Wspomik dolny wraz z czujnikiem fotoelektrycznym można przemieszczać wzdłuż kolumny i uruchamiać w dowolnie wybranym położeniu. ty Opisana powyżej procedura, z pomocą której doprowadzić można do równości okresów. wahadła w prostym i odwrotnym położeniu, zilustrowana jest na rys. 6.4. Po doprowadzeniu do równości okresów drgań z dokładnością rzędu /+2 ms należy wyznaczyć odległość między nożami (s; + 3) i wg wzoru (6.17) wyliczyć wielkość g. : Pamiętać przy tym trzeba, aby pomiary okresów wahadła 7/5; wykonywać tylko przy mały amplitudach drgań, nie większych od 4-59, bowiem tylko dla takich wychyleń z położeni: l równowagi obowiązuje wzór (6.1). 4.4. OPIS STANOWISKA POMIAROWEGO Widok ogólny wahadła uniwersałnego pokazano na rys. 6.5, Podstawa I wyposażona jes w regułowane nóżki 2 umożliwiające wypoziomowanie przyrządu. W podstawie osadzona je kolumna 3, na której zamocowano wspomik górny 4 oraz wspomik dolny 5 z czujnikiem fotoelekirycznym 6. Po poluzowaniu pokrętła 11 wspomik górny ma możliwość obrotu wokó kolumny. Dokręcenie pokrętła // unieruchamia wspornik w dowolnym, wybranym położenii Żjednej strony wspormika 4 umieszczone jest wahadło matematyczne 7, z drugiej na wmontowanych panewkach wahadło rewersyjne 6. Długość wahadła matematycznego można) regulować za pomocą pokrętła 9, a jej wietkość ustalić wykorzystując skalę naniesioną kolumnie 3. Na pręcie wahadła rewersyjnego zostały co 10 mm wykonane pierścieniowe nacięcia służące do dokładnego ustalenia długości zredukowanej wahadła rewersyjnego (5, + sz) - odległości między astęzami noży. Noże i krążki można przemieszczać wzdłuż pręta i unieruchamiać q położeniu. Elementy ie zostały wykonane tak, że ich wymiar wzdłuż pręta jek 0 mim, a pokrętła mocujące umieszczono tak, by korzystając ) Rys. 6.5 Do podstawy przyrządu przykręcony jest miłisekundomierz uniwersalny. Na jego płycie <zołowej znajdują się następujące przyciski SIĘC - włącznik sieci, -56- -Sqocsity.com ZER - naciśnięcie przycisku powoduje wyzerowanie układu milisekundomierza oraz wy generowanie sygnału zezwolenia na pomiar następny, STOP -przyciśnięcie przycisku powoduje wygenerowanie sygnału zezwolenia na zakończenie pomiaru. Proces liczenia czasu będzie przerwany po zakończeniu pełnego drgania wahadła. 6.5. PRZEBIEG ĆWICZENIA 6.5.1. Przygotowanie układu do pomiarów + Wypoziomować przyrząd za pomocą regulowanych nóżek. Jako pion wykorzystać opuszczone na maksymalną długość wahadło matematyczne. + Sprawdzić, czy przyrząd jest uziemiony. »_ Podłączyć czujnik fotoelektryczny do gniazda wejściowego miliszkundomierza. + Włączyć sznur sieciowy miernika do sieci zasilającej. Wcisnąć przełącznik SIEC - kontrolując. czy wszystkie wskaźniki miemika wyświetlają cyfrę zero oraz czy zaświeciła się żaróweczka czujnika fotoelektrycznego. 6.5.2. Pomiary 6.5.2.1. Wahadło matematyczne Badane wahadło schematycznie pokazano na rys. 6.1. Składa się ono ze stalowej kulki i o promieniu r zawieszonej bifilamie na nici. Cienka nić przechodzi przez zaczep na kulce i przymocowana jest do wspornika górnego przyrządu. Długość zawieszenia można tegulować w zakresie od pojedynczych centymetrów | dO Imax = 50cm. Okres drgań wahadła można zmierzyć z dużą dokładnością (do 7 ms) za pomocą elektronicznego milisckundomierza. Czynności przygotowawcze *_ Wspornik dołny wraz z czujnikiem fotoelektrycznym ustawić w dolnej części kolumny tak, | aby górna krawędź wspornika wskazywała na skali przyrządu długość np. 50 cm. *_ Dokręcić pokrętło unieruchamiając wspomik w wybranym położeniu. + Obrócić wspornik gómy tak, aby wahadło matematyczne umie: fotoelektrycznym. *_ Kręcąc pokrętłem na wspomiku gómym ustalić długość wahadła matematycznego. Zwrócić uwagę na to, aby ryska na kulce była przedłużeniem ryski na korpusie czujnika fotoelektrycznego. ć nad czujnikiem Przebieg ćwiczenia a) Wyznaczyć zakres izochroniczności drgań. W tym celu należy zmierzyć okres wahadła matematycznego dla 8/0 wartości amplitudy © z zakresu 0+309. Wyniki zapisać w tabeli 6.1. Ustalić w jakim zakresie amplitud drgania wahadla można uznać za izochroniczne (okres wahadła jest niezależny od amplitudy) z dokładnością 0,/%; 0,5%; 1%. - 58 - b) Wyznaczyć wg wzoru (6./2) wpływ wygaszania drgań na okres wahadła. W tym celu wyznaczyć liczbę drgań /, po której amplituda drgań wahadła matematycznego zmniejszy się ok. 3 razy. c) Wyznaczyć najmniejszą długość zawieszenia wahadła mm przy której z dokładnością do 0.35% można przyjąć, że moment bezwładności wahadła jest równy /, = mP. W tym celu w wyrażeniu 6.4) podstawić należy A//Ł, = 0.003 i wyliczyć łe. q) Sprawdzić doswiadczalnie, czy potwierdza się liniowa zależność ; za Ti = —.1 8 między kwadratem okresu wahadła 7”, a długością zawieszenia. W tym cełu zmierzyć okres wahadła dla różnych długości zawieszenia / z przedziału lp = 25 cm do bym = 50 cm. Przy pomiarach amplituda © drgań powinna być mała tzn. znajdować się w określonym w zadaniu | zakresie izochroniczności drgań. Rezultaty pomiaru umieścić w tabeli 6.2 Wyniki zadania przedstawić w postaci graficznej w osiach współrzędnych x = /, y = TJ. e) Wyznaczyć wielkość przyspieszenia ziemskiego g. W tym celu zmierzyć okres drgań 7 Al ot. dła największej długości zawieszenia wahadła £ = inw (aby bląd względny ©-był możliwe mały). Ze wzoru (6.6) wyliczyć wartość przyspieszenia ziemskiego g dla wyznaczonych wielkości 7. 4 . f) Ocenić błąd pomiaru ©. i zapisać otrzymany wynik w postaci Ag) B= 8,t4g = zu! + EJ. cz 6.5.2.2. Wakadło rewersyjne Czynności przygotowawcze *_ Obrócić wspornik górny o 1802. * Unieruchomić kiążki na pręcie w położeniach w przybliżeniu pokazanych na rys. 6.3. + Wyznaczyć w przybliżeniu położenie środka ciężkości S mas wahadła, *- Zamocować jeden z noży w największej odległości od środka ciężkości przy końcu pręta * Drugi nóż umieścić po przeciwnej strenie środka ciężkości S w jego pobliżu. * Wakadło rewersyjne zamocować w panewkach na nożu znajdującym się na końcu pręta. *_ Wspamik dolny przesunąć do takiego położenia, aby koniec pręta przecinał oś optyczną czujnika foroelektrycznego. Przebieg ćwiczenia 2) Wyznaczyć okres wahadła rewersyjnego Tfs;) dla co najmniej 70 pełnych przebiegów. Pomiaru dokonać dla małych amplitud drgań (wychylenie rzędu 4-67). Wahadło rewersyjne zamocować na drugim nożu. Przesunąć wspornik dolny do położenia, w którym koniec pręta przecinać będzie oś optyczną czujnika fotoelektrycznewo. Wyznaczyć okres drgań 7/5) dla tego położenia i porównać otrzymany wynik z T(8;). Zmieniając położenie drugiego noża doprowadzić do równości 7/52) = T(x,) z dokładnością do 12 ms. Wyniki zapisać w tabeli 6.3. ©) Zliczając ilość nacięć między nożami ustalić odiegłość /5; +32). 4) Wg wzoru (6.17) wyznaczyć wielkość przyspieszenia ziemskiego g dla 7 = 7fs;) = T(syj. b) -58- _ docsity.com 5) Ustalić, z jaką dokładnością zostały wyznaczone wielkości T (6; 4 ocenić dokładność LE 6.6. ZAKRES SPRAWOZDANIA Sprawozdanie powinno zawierać: temat i cel ćwiczenia, wykorzystywane zależności, wyniki pomiarów, analizę wyników i wnioski. + sz i na tej podstawie PROTOKÓŁ POMIAROWY Rok akad.: ....... Wahadło matematyczne Tabela 6.1 Liczba okresów Długość wahadła Amplituda „_ cm Czas trwania » drgań 1 fs] Okres drgań Lp Ti Tabela 6.2 Liczba okresów > Lp. Długość wahadła | Czas trwania n drgań Okres drgań Kwadrat okresu I [em 1f8, Tfs T js] -61. docsity.com Moment bezwładności krążka I, względem esi geometrycznej określa wzór: TEE n=zm(Di+ Di). gdzie; m; - masa krążka, D;- średnica zewnętrzna krążka. Podobny wzór okreśła momeni bezwładności pierścienia /, względem osi geometrycznej: 1 : z I=gm,(Di+ Di). (7.15) gdzie: m, - masa pierścienia, D, - średnica zewnętrzna pierścienia. Moment bezwładności bryły sztywnej wahadła Maxwella jest sumą wyżej wymienionych momentów bezwładności: Ile +1. (7.16) 74. OPIS STANOWISKA POMIAROWEGO Widok ogólny wahadła Maxwella przedstawia rysunek 7.2. Podsiawa / wyposażona jest w regulowane nóżki 2 umożliwiające wypoziomowanie przyrządu. W podstawie osadzona jest | kolumna 3, na której zamocowano nieruchomy wspornik gómy 4 i ruchomy wspornik dolny 3, ŚJ znajduje się clektromagnes 6, czujnik totoelektryczny nr 1 7 oraz pokrętlo 8 do mocowania i regulowania długości bifilacnego zawieszenia wahadła. Wspomnik dolny wraz z zamocowanym nad nim czujnikiem fotoelektrycznym nr 2 9 można przemieszczać wzdłuż kolumny i unieruchamiać w dowolnie wybranym położeniu. Wahadło 70 przyrządu to krążek zamocowany na osi i zawieszony w sposób bifilarny, na który zakłada się wymienne Pierścienie //. Wahadło z założonym pierścieniem utrzymywane jest w górnym położeniu i Przez elekiromagnes. Wysokość spadku wahadła. wyznacza się na milimetrowej skali 4 naniesionej ną kolumnie przyrządu. W celu ułatwienia powyższego pomiaru wspornik dolny został wyposażony we wskaźnik koloru czerwonego umieszczony na wysokości osi optycznej dolnego czujnika | fotoelekuycznego. — Na podstawie pizyrządu umieszczony _ jest milisekundomierz /2 połączony z. czujnikami fotoelektrycznymi i zasilany napięciem sieciowym, Na płycie czołowej milisekundomierza znajdują się następujące przyciski: SIEC" - wyłącznik sieci. Weiśnięcie powoduje włączenie napięcia zasilającego. <ER - zerowanie licznika. Przyciśnięcie powoduje wyzerowanie układów milisekundomierza. START - sterowanie elektomagnesu. Wciśnięcie klawisza powoduje zwolnienie elektromagnesu oraz wygenerowanie w układzie milisekundomierza impulsu zezwalającego na pomiar, - 66 - L A. 9 i «a Z 12 5 i = = CJ e Rys. 7.2 15. PRZEBIEG ĆWICZENIA 151. Przygotowanie układu do pomiarów * W iny przyrząd. ć | unieruchomić w skrajnym położeniu. - spornik dolny przyrządu przesurąć i unieruc ; snać * Na krążek wahadła nałożyć jeden ż trzech pierścieni zwracając uwagę. aby docisnat 80 do oporu. .., . docsity.com  Za pomocą regulowanych nóżek wypoziemować przyrząd, Po wypoziomowaniu wahadłą wraz z pierścieniem w pozycji swobodnej powinno znajdować się w połowie wysokości dołnego czujnika fotoelektrycznego. +. Odblokować nakrętkę pokrętła 8 do regulacji długości nici zawieszenia i ustawić długość niej tak, aby brzeg stalowego pierścienia znajdował się ok. 7,5 m poniżej osi optycznej dolneggj czujnika fotoelektrycznego. Jednocześnie doprowadzić wahadło do położenia równoległegyj do podstawy przyrządu. Zablokować pokrętło 4. Uziemić przyrząd (zacisk uziemiający znajduje się na płycie tylnej milisekundomierza) Sprawdzić. czy czujniki fotoelekiryczne są połączone z odpowiednimi gniazdami na płycie tyltej milisekundomierz milisekundomierza wyświetlają cyftę zero i czy świecą zaróweczki obu czujnikó fotoelektrycznych. *. Skręcić nić zawieszenia na osi. podnosząc w ten sposób wahadło do pozycji gómej i w tejgf pozycji go zablokować (wycisnąć klawisz START). * Sprawdzić. czy góma krawędź pierścienia przysłania oś optyczną górnego czujniką fotoelektrycznago, a dolna krawędź pierścienia pokrywa się z zerem skali naniesionej kolumnie przyrządu. Oraz czy w momencie początku ruchu (adsłonięcie osi optycznej górnego czujnika fotoelektrycznego) milisekundomierz rozpoczyna naliczanie czasu, a w_ momenci osiągnięcia przez wahadło najniższego położenia (przysłoniecie osi opiycznej dolnego czujnika fotoelektrycznego) milisekundomierz kończy zliczanie czasu. *_ Nacisnać przycisk ZER i sprawdzić, czy miernik zostaje wyzerowany. 7.5.2. Pomiary 2.5.2.1. Pomiar momentu bezwładności wahadła a) Nałożyć pierścień na krążek dociskając go maksymalnie do oporu. b) Wyznaczyć masę badanego układu: m = m, my +m, ©) Odczytać za skali znajdującej się na kolumnie długość drogi spadania wahadła - d) Nawijając nić zawieszenia na osi podnieść wahadło do górnego położenia. Podczas nawijania. zwrócić uwagę, aby nić nawijała się równomiernie zwój przy zwoju. ©) Wycisnąć klawisz START blokując w ten sposób wahadło w górnym położeniu. f) Sprawdzić, czy nić zawieszenia nie jest zbyt mocno skręcona i ewentualnie obrócić wahadło w kierunku jego ruchu o kąt ok. 59 zapobiegając w ten sposób mechanicznemu zaklinowaniu się wahadła między rdzeniami elektromagnesu. 8) Suwmiarką zmierzyć średnicę zewnętrzną osi wraz z nawiniętą na niej nicią - D. h) Nacisnąć przycisk ZER, a następnie wcisnąć przycisk START. 1) Po zatrzymaniu naliczania czasu przez milisekundomierz odczytać zmierzoną wielkość czasu spadania wahadła. J). Pomiar czasu spadania powtórzyć co najmniej dziesięć razy k) Wyniki pomiarów wpisać do tabeli 7.1. 1) Na podstawie otrzypnasrywk wyników wyznaczyć wartość średnią czasu 1: - 68 - Wiączyć przyrząd do sieci. Wcisnąć klawisz SIEC sprawdzając, czy wszystkie wskażnik Nacisnąć przycisk ZER. następnie wcisnąć przycisk START i sprawdzić, czy wahadło spadzjji gdzie: x - ilość wykonanych pomiarów, o 1, - otrzymana wielkość w i-tym pomiarze. m) Pomiary zgodnie z operacjami a-k wykonać dla dwóch pozostałych pierścieni. „) Wspomik dolny przyrządu przesunąć o około 3 em do góry i unieruchomić go w tym n położeniu. . "m , + Odblokować nakrętkę pokręda 8 i ustalić nową długość nici zawieszenia pamiętając, aby © meg pierścienia znajdował się ok. 15 mm poniżej osi optycznej dolnege czujnika fotoelcktrycznego. Zablokować nakrętkę pokrętła 8. p) Wykonać ponownie pomiary wg punktów a-k dla wszystkich trzech pierścieni. 1.5.22, Wyznaczenie teoretycznej wartości momentu bezwiadności - 1, a) Suwniarką zmierzyć średnicę osi D,, średnicę zewnętrzną krążka Dy oraz średnicę zewnętrzną pierścienia D),. Wyniki pomiarów wpisać do tabeli 7.2. b) Ze wzorów (7.13), (7.14) i (7.15) wyznaczyć momenty bezwładności osi łp, krążka oraz pierścienia 7,. ©) Ze wzoru (7.16) wyznaczyć teoretyczną wartość momentu bezwładności 1. . d) Wyznaczyć ze wzoru (7/5) momenty bezwładności dwóch pozostałych pierścieni, a następnie ze wzoru (7. /6j wartości teoretyczne momentów bezwładności wahadła z tymi pierścieniami. e) Otrzymanymi wynikami uzupełnić tabelę 7,2. 1.6. ZAKRES SPRAWOZDANIA Sprawozdanie powinno zawierać: cel ćwiczenia, wykorzystywane zależności, wyznaczone ze wzoru (7.11) momenty bezwładności wahadła dla wszystkich trzech Pierścieni, wyznaczony błąd względny pomiaru momentu bezwładności z zależności: 5 A 100%, tabelę 7,1 wypełnioną otrzymanytni w punktach 7.5.2.1 i 7.5.2.2 wynikami, analizę, co i w jakim stopniu wpływa na dokładność pomiaru, analizę słuszności uwzględnienia w pomiarach grubości nici zawieszenia, Propozycję sposobu zwiększenia dokładności pomiarów, wnioski, "8-_ docsity.com PROTOKÓŁ POMIAROWY Data ćwiczenia: Semestr: Rok akad.: Tabela Hip m h D t 12 b „| bp t I i, 8 fke] | [ke] | fm) | fml | [s] | fs] | fs] fs] | sj | lkem'] | [kg] | pó] Tabela m | omo| m, | D. | Dr | D, | da K B i fk] | [kg] | fke] | Im] | fm] | fm] | fkgm] | (kg) | [kem] | fkęmj 8. BADANIE ZJAWISK ZDERZEŃ SPRĘŻYSTYCH I NIESPRĘŻYSTYCH 8.1, CEL ĆWICZENIA Badanie zderzeń sprężystych i niesprężystych oraz pomiar czasu zderzenia przy wykorzystaniu przyrządu do badania zderzeń kul. 8.2. OBOWIĄZUJĄCY ZAKRES WIEDZY Student przed przystąpieniem do ćwiczenia powinien znać następujące zagadnienia: Zasada zachowania pędu. Zasada zachowania energii Modelowanie zjawiska zderzenia. 8.3. WSTĘP TEORETYCZNY Zderzenie jest to szeroka Klasa procesów polegających na tym, że dwa ciała, które początkowo znajdują się w pewnej odłegłości od siebie, zbliżają się. w wyniku czego rośnie ich wzajemne oddziaływanie, po czym oddalają się od siebie, tak iż oddziaływanie ich ponownie maleje. Efektywne oddziaływanie zderzających się ciał zachodzi w skończonym czasie. Rezultatem tego oddziaływania jest zmiana stanu ruchu tych ciał w wyniku wymiany pędu ienergii między nimi. Siły występujące w momencie zderzenia mają charakter impulsowy (mogą one być różnej natury, np. siły sprężystości. elektromagnetyczne, jądrowe itp.). Rozważmy przykład zderzenia dwóch kul zawieszonych na niciach jak na rys. 8.1 GA / -7]- docsity.com Mikrosekundomierz elektroniczny pozwała na pomiar czasu zderzenia kul. Na jego płycie czołowej znajdują się następujące przyciski: SIEC - wciśnięcie tego klawisza po uprzednim podłączeniu przyrządu do sieci powoduje włączenie napięcia zasilającego; wskaźniki cyfrowe wyświetlają cyfrę zero. ZER -klawisz ten po wciśnięciu powoduje wyzerowanie układów | mikrosekundomierza. START - wciśnięcie klawisza powoduje zwolnienie elektromaynesu (kula rozpoczyną ruch) oraz wygenerowanie w układzie mikrosekundomierza umożliwiającego pomiar czasu zderzenia. Na płycie tylnej przyrządu umieszczony jest zacisk uziemiający. impulsu 8.5. PRZEBIEG ĆWICZENIA 8.5.1. Przygotowanie układu do pomiarów Uziemić przyrząd. Wypoziomować przyrząd regulując ruchomymi nóżkami. Po połączeniu mikrosekundomierza z siecią zasilającą wcisnąć klawisz SIEC i sprawdzić, czy wskaźnik mikrosekundomierza wyświetla cyfrę zero. + Na zawieszki znajdujące się na końcach przewodzących nici tworzących zawieszenie nakręcić dwie kule tej samej wielkości i wykonane z tego samego materiału. (Wybrane z 6 kompletów). *_ Za pomocą odpowiednich pokręteł ustawić taką odległość między wspornikami 2, aby kule | stykały się ze sobą. * Ostrza zawieszek, na których zamocowane zostały kule, ustawić w jednej płaszczyźnie 1 ze skalami kątowymi. Ustalić długość przewodów zawieszenia tak, aby na wysokości podziałek kątowych skal znajdowały się tylko ostrza zawieszek, a także by rysy znajdujące się na kułach znalazły się na jednakowym poziomie. +. Skorygować centrainość ustawienia kuł wkręcając lub wykręcając nieco kulę na zawieszkach, tak aby rysy znalazły się na jednakowych poziomach. * Za pomocą odpowiednich pokręteł ustawić skale kątowe tak, aby ostrza zawieszek 3 w chwilach, gdy kule znajdują się w spoczynku i stykają się, wskazywały na skałach zero. *_ Ustawić elektromagnes w maksymalnej odległości od początku skali i tak dobrać jego wysokość, aby jego oś była na wysoxości rysy na kuli zbliżonej do niego (siłę, z jaką ; <lektromagnes przyciąga kulę, można regulować wsuwając lub wysuwając za pomocą pokrętła rdzeń elektromagnesu). 8.5.2. Pomiary $.5.2.1. Wyznaczenie współczynnika k a) Wyzerować mikrosekundomierz (wciskając klawisz ZER). b) Prawą kulę odciągnąć w stronę elektromagnesu i zablokować, lewą ustawić nieruchomo w położeniu równowagie +76 - Sadkowie ZZ e) Odczytać na prawej skali kąt cr. d) W klawisz START | po zdeczeniu kul odczytać czas zderzenia. Pomiar czasu zderzenia zapisać w tabeli 8.1. Pomiary powtórzyć 70 razy. e) Powtórzyć pomiary czasu zderzenia dla pięciu różnych położeń clektromagnesu (dla różnych kątów a: wychylenia prawej kuli) f Zmierzyć długość zawieszenia kul ? rozumianą jako najmniejszą odległość między prętem wspomika górnego 2 a środkiem kuli 8.5.2.2. Sprawdzenie zasady zachowania pędu dla zderzeń sprężystych a) Po nakręceniu na zawieszki wybranej pary kul metałowych i ustawieniu ich w opisany wyżej sposób tak. by ich zderzenie było centralne, odciągnąć prawą kulę i zablokować ją przy ciektromagnesie maksymalnie odchylonym. b) Odczytać kąt cz. o) Wcisnąć klawisz START i po zderzeniu kul odczytać kąt ay, na jaki odchyli się kula prawa. Wynik zapisać w tabeli 8.2. d) Dla kqta wychylenia kuli a, powtórzyć czynności i odczytać kąt a czyli kąt, na jaki odchyli się ewa kula (przed zderzeniem nieruchoma). ©) Pomiary kątów a'i a;' powtórzyć kilka razy (tak. aby można było obliczyć średnie ag 'i a') 1) Wykonać analogiczne pomiary dla innego ustawienia elektromagnesu (dla innego 7). g) Zmierzyć jak w punkcie 8.5.2. 1.1) długość zawieszenia /, h) Ża pomocą wagi łaboratoryjnej wyznaczyć masy kul m, i m; wraz z zawieszkami. 8.5.2.3. Sprawdzenie zasady zachowania pędu dla zderzeń niesprężystych a) Posługując się prasą będącą na wyposażeniu przyrządu sporządzić dwie kule z plasteliny. Do jednej z nich wbić pinezkę (jest ona elementem wyposażenia). b) Wykonane za pomocą prasy kule z plasteliny umieścić na zawieszkach w ten sposób, aby pinezka znajdowała się na prawej kuli i mogła być przyciągnięta przez elektromagnes ©) Kule muszą być odpowiednio piastyczne, można to osiągnąć ogrzewając je suszarką, 4) Odehylić prawą kułę, zablokować przy elekitomaynesie i dla maksymalnego odchylenia elektromagnesu odczytać kąt 2. ©) Wyzerować układ i zwolnić prawą kulę wciskając klawisz START. 1) W wyniku zderzenia kule zlepią się i odchylą o kąt ay. Kąę ten należy odczytać, a wynik zanotować w tabeli 8.3. 8) Powtórzyć pomiar kąta c” kilka razy, aby wyznaczyć jego wartość średnią. h) Zmierzyć długość zawieszenia kul. i) Za pomocą wagi laboratoryjnej wyznaczyć masy m; i mą kul wraz z pineskami i zawieszkami, 8,6. ZAKRES SPRAWOZDANIA Sprawozdanie powinno zawierać: cei ćwiczenia, szkię stanowiska pomiarowego, wykorzystywane załeżności, wyznaczoną wartość współczynnika k dla abu par kuł, ...d. docsity.com + sprawdzenie. czy dła danej pary kul spełniona jest zależność: Av = k = const. (8.14) gdzie: dl, jest średnią wartością czasu zderzenia dla kąta a, odchylenia prawej kuli. a v = ZJ sin (8.15) *- określony błąd pomiarów bezpośrednich i wyznaczoną wartość wspóźczynnika k, * sprawdzenie dla zderzeń sprężystych, czy pęd przed zderzeniem jest równy sumie pędów po zderzeniu (w granicach błędu pomiarowego): --100% gdzie: P; = mv| +mvt, b, = m, * sprawdzenie. czy w przypadku niesprężystego zderzenia kul spełniona jest zasada zachowania pędu (w granicach błędu pomiarowego), propozycję bezpośredniej metody cksperymentalnego sprawdzenia, czy zderzenie dwóch kul ma charakter centralny w przypadku, gdy masy obu kul sa takie same. *_ analizę otrzymanych wyników i wnioski. A cie BABA Fe wia Ą | 9. BADANIE ZJAWISK ŻYROSKOPOWYCH 9.1. CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z zastosowaniem żyroskopu do badanie zjawiska precesji bąka. 9.2. OBOWIĄZUJĄCY ZAKRES WIEDZY Student przed przystąpieniem do ćwiczenia powinien znać następujące zagadnienia: Elementy dynamiki bryły sztywnej. Elementarna teoria bąka symetrycznego. Efekt żyroskopowy. Precesja żyroskopu. 9.3. WSTĘP TEORETYCZNY Ruch obrotowy bryły sztywnej można w inercjalnym układzie odniesienia opisać za pomocą równania: (9.1) gdzie: M - momentsił działających. K-_ - moment pędu obliczony względem początku układu odniesienia. Równanie to w ogólnym przypadku nie jest rozwiązywalne, ze względu na możliwość wykonywania przez bryły o różnych kształtach skomplikowanych ruchów. Zajmiemy się daiej analizą ruchu obrotowego ciał sztywnych wokół osi mogącej zmieniać swoje położenie w przestrzeni i stałe przechodzącej przez środek masy tych ciał. Rozpatrywać będziemy tylko ruch ciał mających symetrię obrotową. Ciała takie nazywane są bąkami symetrycznyni. Jeżeli na obracający się bąk symetryczny nie działa zewnętrzny moment siły, czyli gdykf=0, to bąk taki nazywamy bąkiem swobodnym. Zgodnie z równaniem (9. /), gdy M = 0, to dk, (9.2) di czyli K =const Jest to zasada zachowania momentu pędu, zgodnie z którą moment pędu wirującego symetrycznego bąka swobodnego zachowuje stałą wartość i stały kierunek w przestrzeni. Inaczej wygląda ruch bąka, gdy moment sił zewnętrznych AŻ jest różny od zera. Wówczas zgodnie z równaniem (9.1) moment pędu zmienia się w czasie. Charakter tych zmian i ich skutek omówimy na przykładzie ruchu pewnego rodzaju symetrycznego bąka zwanego 8 docsity.com żyroskopem. Jest to bak osadzony na osi poziomej, która może obracać się dookoła dwóch 1 innych osi prostopadłych do niej. Wygłąd żyroskopu pokazuje rysunek 9.1. Bąk B stanowi szybko wirująca część silnika. którego obudowa twarzy jedno z ramion dźwigni. Na drugim ramieniu dźwigni znajduje się przesuwany obciążnik Ć. Przesuwając go. można doprowadzić dźwignię - udy bak nie obraca się - do równowagi. Oba ramiona dźwigni mogą obracać się dookoła pionowej osi OO i dookoła osi poziomej „44 (ten obrót odpowiada pochyleniu ramienia wagi o pewien kąt © wzęlędem poziomu). Oś obrotu bąka pokrywa się z ramionami dźwigni i kierunkiem jego osi symetrii. 9.1 Jeżeli bąk wprawimy w ruch wirowy ze stałą prędkością kątową © i przesuniemy cięzarek C o odcinek 4x z położenia, w którym żytoskop był zrównoważony. to zauważymy, że ramię dźwigni zoslanie wprawione w ruch dookoła osi pionowej, Ruch ten nazywany jest precesją. W czasie dł dźwignia ulegnie skręceniu o kąt do, co odpowiada według rysunku 9.1 zmianie wektora momentu pędu o dK. W przypadku gdy prędkość kątowa precesji jest mała w porównaniu z prędkością bąka ©/, można uważać, że w czasie precesji waność momentu pędu wirującej bryły nie ulegnie zmianie, a zmienia się tylko kierunek wektora K . Wektor K' będzie wirował wokół osi O-O z prędkością kątową c, Pochodna krętu układu ak > W będzie zatem równa prędkości końca wektora K: dk dh -82- Jednocześnie wiadomo, że prędkość precesji układu jest znacznie mniejsza od prędkości obrotu własnego ©, << 5,. W takim przypadku kręt całkowity układu w przybliżeniu będzie równy składowej krętu pochodzącej od obrotu własnego: K=IG, (9.3) czyli Ca 16,2, (9.4) dt Wartość momentu siły. M zaznaczonego na rysunku 9,I wynosi: M = Gax = mgAx (9.5) m - masa obciążnika, G - ciężar obciążnika € (rys. 9.1). gdzie: Kierunck wektora Mf pokrywa się z kierunkiem osi 4-4. Moment. A jest równoważony przez moment sił bezwładności M.: M+M,-0 Moment AH, nazywamy momentem żyroskopowym i wyznaczamy z zależnoś M, =-I0, x0, = Io, x6, Wykorzystujac własności iloczynu wektorowego. z zależności (9.2), (9.4) 10.5) otrzymujemy: Io, -0, sin 2(0,,6,)= mgax (9.6) Po przekształceniach otrzymujemy: do mgdx = Ś2_MBÓĆ 9.7) 2: dro lo, 6.0 (9.8) Jeżeli ramię dźwigni jest pochylone o kąt a względem poziomu, to wówczas moment siły M=mgóx cosa. Jednocześnie jednak pozioma składowa momentu pędu bąka jest równa K,=K cosa, dzieki czemu wzór (9.8) pozostaje w mocy. -83- docsity.com 10. CAŁKOWANIE DYNAMICZNYCH RÓWNAŃ RUCHU METODĄ RUNGEGO-KUTTY 10.1. CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczenia JEST zapoznanie się z numerycznym rozwiązywaniem równań różniczkowych zwyczajnych na przykładzie dynamicznych równań ruchu. 10.2. OBOWIĄZUJĄCY ZAKRES WIEDZY Student przed przystąpieniem do ćwiczenia powinien znać następujące zagadnienia: *. Dynamiczne równania ruchu punktu materialnego. * Metody rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych 10.3. WSTĘP TEORETYCZNY Do drugiego zadania dynamiki odnoszą się te zadania. w których określa się ruch punktu materialnego dla zadanych sił. Siły dziatające na punkt materialny mogą być siłami stałymi lub zmiennymi funkcjami czasu, współrzędnych, prędkości itp. P.= P,ftx. P,= Pf, P.= PAxy,zi (10.1) Rozwiązanie tego zadania sprowadza się do całkowania układu równań różniczkowych (10.2) otrzymanych na podstawie prawa dynamiki Newtona. Dla przyjętego układu współrzędnych (x. » zj różniczkowe równania richu mają postać (10.2) dy "dt m = p, (10.3) p =P, - 88 - W równaniach tych pod pojęciem siły F rozumie się sumę wszystkich sił czynnych i reakcji więzów działających na rozpatrywany punkt. Przy całkowaniu układu równań różniczkowych (10.2) lub (10.3) w ogólnym przypadku pojawia się sześć stałych całkowania, które określa się zwarunków początkowych. Warunki początkowe ruchu określają wartości współrzędnych i składowe prędkości punktu w określonej ctywili czasu, np.: dlat=0 x=x, 10.4) JEJ. l ) Zy v=ż, Jeżeli ruch punktu odbywa się w płaszczyźnie. wówczas liczba równań różniczkowych zmniejsza się do dwóch. a ficzba warunków początkowych do czterech. W układach punktów materialnych lub ciał sztywnych liczba równań różniczkowych jest równa liczbie stopni swobody, a liczba warunków początkowych jest równa podwajonej liczbie stopni swobody. Na ogół wszystkie związki wynikające z praw mechaniki można przedstawić w postaci równania lub układu równań różniczkowych zwyczajnych w następującej postaci: Ż= FOlnVn=« Yui 1=L2ż..n (10.5) w których niewiadomymi są funkcje vfr), yzfej .... ymj jednej zmiennej niezależnej x. Do układu tych równań dołącza się warunki początkowe Vlw) = Vi i Loan. (10.6) Tak sformułowany problem nazywa się zadaniem Cauchy'ego [13,23]. o Tylko dla najprostszych postaci prawych stron równań (10.2), (10.3) czy (10.3) udaje się znaleść rozwiązanie analityczne. Numeryczne rozwiązanie można m.in. otrzymać metodą Eulera lub metodami Rungego-Kutty. 10.3.1. Metoda Eulera Jeśli przyrost zmiennej niezależnej hz, (10.7) który nazwiemy krokiem całkowania będzie dostatecznie mały, to pochodną j> , można zastąpić ilorazem różnicowym (10.8) 89 - - docsity.com stąd przy uwzględnieniu (70. 2) otrzymuje się: VJ, = Vuth-F, (10.9) Obliczone wartości Xi można przyjąć za wartości początkowe dla następnego kroku i powtarzając obliczenia według /10 9) można wyznaczyć krok po kroku wartości zmiennych ystgjsyj dla dowolnych x, = Aj. Metoda Eulera ma dokładność pierwszego rzędu. to znaczy zachowuje dokładnie człony z pierwszą potęgą h w rozwinięciu funkcji y; w szereg Taylora, Jest więc obarczona błędem w każdym kroku całkowania i błąd ten może narastać jako tzw. błąd lawinowy. 10.3.2. Metedy Rungego-Kutty [18] Metody Rungego-Kutty są zasadniczym reprezentantem metod jednokrokowych. Metody jednokrokowe charakteryzują się tym, że w celu wykonania jednego kroku obliczeń wykorzystujemy to przybliżenie, które zostało obliczone w bezpośrednio poprzedzającym kroku. Tak więc na podstawie samego warunku początkowego ya obliczamy y;, na podstawie p, obliczamy y; i tak dalej. Konstrukcja metod Rungego-Kutty oparta jest na zależności całkowej tx.)= [yls.ybo)de *>x, (10.10) która jest równoważna z równaniem różniczkowym dla x > x, Przyjmując x,,; = x, + H zamiast x, otrzymamy ylxi1) = ylx) = | /(x yno) 00.11) Ideą metody jest sposób przybliżenia całki w zależności (40.14) za pomocą sumy, w której każdy składnik tej sumy wyrażony jest poprzez yfxj. W ten sposób sprawimy, że yfx,.;) stojące po lewej stronie załeżności (20.11) będzie się wyrażało jedynie przez yfxy. Meloda Rungego-Kutty polega na takim doborze współczynników aj, a2, by, Br, ..., Oraz liczb Aj, A, ..., aby Vu =VFHX M4, (10.12) , gdzie: m, =Flx.>). m, = Fx, +ajh. y, +b,km,), (10.13) m, = Fix, +a;h. y, +0,hm, +b,hm,), -90- | Niech np. sumowanie po j przebiega od j=/ do j=2, wówczas m, = Flx,.y,). m, = Efx, +a,h y, + Bhm, | (00,14) Jer = 2, + HA, +m,4,) Rozwijając dokładne rozwiązanie równania (70.5) (oznaczmy je przez ffx)) w szereg Taylora w otoczeniu punktu fś., ) z dokładnością do drugich pochodnych. mamy: ćF| ŻF (x.y f(x, += fx.) > Efx, y,)+ A ZE), sna (10.15) W rozwinięciu wykorzystano zależność: FasFa | ra-E+rS Z równania (70.74) otrzymujemy z kolei: y(x, H+), =, +hm,A, + km. = (10.16) = y, + ht, F(x,.y,)+ hA,Fix, +a,h,y+ b,km,) Ostatni składnik w (70.76) rozwijamy w szereg z dokładnością do pierwszych pochodnych, , dF SF) Ffx, +a,h, y+b,hm,)= Fs.y) ©) «+-($) śm, i ostatecznie: f GF ya, +h)=y,, = y, + hA,F(x,„y,)+ HA,F(a,y,)+ A, ag 2 ÓE bm, >. Przyrównując wyrazy o tych samych potęgach k w obu rozwinięciach, dochodzimy do trzech równań pozwałających obliczyć nieznane parametry a;, b;. Ai, dzi _2a,-l 10.17) 2a, ( i gdzie a; możemy przyjąć dowolnie. W praktyce stosuje się algorytmy wyższych rzędów, np. rzędu trzeciego lub czwartego, które wyprowadza się podobnie do omówionych wyżej. Wzory Rungego-Kutty rzędu trzeciego mają a docsity.com m, = Flx,y,). 1 1 „= Zny+1 m, 25hy+żim). (10.15) 7 m, = F(x,+h. y, + lm, + 2hm,) ż +Żm, + 4m, + m,) J.- 6 10.3.2.1. Kontrola błędu Wykonanie jednego kroku obliczeń za pomocą metody Rungego-Kutty następuje w bardzą prosty sposób: jeżeli dla x, obliczono już HYrYAJ). to w celu wykonania następnego kroky Obliczeń zakładamy pewną długość kroku całkowania k, obliczmy kolejno k, kę ki 4 następnie y,.; będące przybliżeniem y/x, 4 dla x,. = x, + k. Należy podkreślić, że oszacowanie błędu całkowitego oraz oszacowanie błędu aproksymacji jest trudne. Dlatego ocena dokładności obliczeń na podstawie tych oszacowań byłaby całkowicie niepraktyczna. Bardzo popularnym sposobem oszacowania błędu i rozstrzygania o dokładności obliczeń jest kstrapolacja. Tdea tego sposobu polega na porównaniu wyniku uzyskanego w pojedynczym kroku obliczeń z długością kroku h z wynikiem uzyskanym po dwóch kolejnych krokach obliczeń wykonanych z długością kroku Ź. 10.3.3. Przykład obliczeniowy Do postaci (10.5) można sprowadzić także układy równań wyższych rzędów. Jeśli wprowadzimy oznaczenia (xm X X X xy me x) 5 (xyz X, j, Ż), (10.19) to równania /70.2) można zapisać: x,=L ż;=xy, (10.20) X,= FE (ayzy ty X, 1,x,1,)- Ż = Fx ax x ,1,0.) El=-si=s]- Warunki początkowe oznaczają, że dla chwili początkowej x,= 1, dane jest położenie (x,y.z)=|(x,.x,,x,) oraz prędkość (2.3.3) =|x,x,x.) =|x -92- Jako przykład zastosowania metody całkowania numerycznego rozwiążmy następujące danie. . o = Kulę o masie m wystrzelono z prędkością początkową vo pod kątem a do poziomu Gy s.10.1). Na kulę działa siła cięzkości mg oraz siła oporu powietrza Czyry” przeciwnie skierowana do prędkości. Wyznaczyć tor tego pocisku. Rys. 10.1 Położenie pocisku określają jego współrzędne x, z, które są szukanymi funkcjami czasu t Warunki początkowe są następujące: v, Cosa, z rysunku 10.1 widać, że: > (10.21) cosB = —, Całkowita prędkość kuli w chwili i wynosi: ye (10.223 Na podstawie II zasady Newtona otrzymujemy mi=c,,'v'cosf, (1023) mi=męwsinB-mg gdzie: c-.s; - zastępczy współczynnik oporu powietrza. Po wykorzystaniu zależności (10.36) i (10.31) w równaniu (10.32) otrzymamy: ie, (0.24) bż-g, 287 docsity.com