Laboratorium mechaniki ogólnej - Notatki - Mechanika - Część 3, Notatki z Mechanika

Pobierz Laboratorium mechaniki ogólnej - Notatki - Mechanika - Część 3 i więcej Notatki w PDF z Mechanika tylko na Docsity! PROTOKÓŁ POMIAROWY A. Obliczanie sił w prętach kratownicy metodą analityczną węzłów Sprawdzenie warunku statycznej wyznaczalności kratownicy: p=2w-3 Warunki równowagi dla sil zewnętrznych działających na kratownicę: DOE Warunki równowagi dła sił obciążających poszczególne węzły: Węzeł I y - 100 - Węzeł II węzeł [11 Węzeł IV PY =0 P,=0Q " iabesity.com TT Ą węzeł VIII węzeł VI k y x Sg Sw $7 a S12 SB M x Węzeł VII Wnioski - 103 - > " docsity.com  x(04> 0 00 EE gt t x x10)= 4 x03>0 0 Rys. 12.3 ©) Tłumienie podkrytyczne. Jeżeli k<ó, to równanie charakterystyczne ma dwa pierwiastki zespolone: ra = -kż do? - W. (12.10) Rozwiązanie ogólne jest równe Ci sinya” - Fi* C; cosda - Ft] (2.11) - 108 - Równanie (2.77) można przedstawić w postaci x=ae" sinfa + 0). (12.12) gdzie: o, = No - częstość drgań tłumionych. a. - stale zależne od warunków początkowych. Na rysunku 12.4 przedstawiono przykładowy wykres drgań tłumionych dla tłumienia podkrytycznego. Tłumienie w układzie wydłuża okres drgań, Okres drgań układu z tłumieniem wyznaczymy z zależności: (2.13) t I Rys. 12.4 Stosunek kolejnych maksymalnych wychyłeń ciała z położenia równowagi wynosi (12.14) Logarytm naturalny tego ilorazu 6- ln = = heT, (12.15) nazywa się logarytmicznym dekrementem tłumienia drgań. W tym przypadku dekrement jest wielkością stałą niezależną od czasu i amplitudy. Daje on więc wyobrażenie o wpływie tłumienia na drgania wskazując, jak malcją kolejne amplitudy. Wskaźnik ten jest stosowany opółnie dla oceny tłumienia drgań, chociaż przy drganiach nieliniowych nie jest on stały. -109- docsity.com 12.3.2. Rozwiązanie równania metodą Newmarka [1,6] Metoda Newmarka jest jedną ź metod numerycznego rozwiązywania równań różniczkowych, Zakładamy, że znane są przemieszczenie. prędkość i przyspieszenie w chwili 4,. Przyjmujemy oznaczenia x) = m 216 X FAJ = xa, 6 gdzie: dr- krok czasowy. Prędkość w chwili 1, jest równa a x, +H= x) + [kn + rjdr. O<r<h<AL (2.17 . Prędkość w następnym kroku czasowym określamy z załeżności w ma = xt [if + rjdr, (12.18) ; Analogicznie obliczamy przemieszczenie w następnym kroku u mh xe © x ©. |A(, = lydh = x, + || [EG + deja (12.19) : au W wyniku całkowania przez części otrzymujemy a M7 ar * Arż, Jedr- b) ż(t, — dh. (12.20) i Żeby wyznaczyć prędkość i przemieszczenie za pomocą równań (72.17) i (12.19). należy znać przebieg przyspieszenia w czasie od z, do £,,,. W metodzie Newmarka zakłada się charakter zmiany przyspieszenia. Równania metody mają postać [17]: EEEE EZESZZKI (12.21) - „fl Ma = x + dteż, = AL 6 (12.22) Założonemu przebiegowi przyspieszenia odpowiadają określone wartości parametrów i X Przyjmuje się 7 = +. gdyż taka wartość parametru zapewnia przynajmniej drugi rząd dokładności metody. -110- 7 Rys. 12.5 Rysunek 12.5 przedstawia założone zmiany przyspieszenia i odpowiadające im wartości p. Układ równań (72.22) i (12.22) oraz równanie drgań ułożone dla następnego kroku czasowego mi, + eXre kx = 0, (12.23) pozwalają wyznaczyć nieznane przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie. Żeby rozpocząć obliczenia, należy podać przemieszczenie i prędkość w chwili początkowej Rozwiązanie numeryczne otrzymane metodą Newmarka ma okres drgań 7,, różniący się od dokładnego. Na rysunku 12.6 przedstawiono stosunek 7,7; jako funkcję 447; dla różnych wartości parametru /f układu bez tłumienia. 04 0.6 0.8 441.0 T Rys. 12.6 "1 docsity.com Warianty metody Newmarka, dla których B < Is, charakteryzują się gwakownym skróceniem okresu drgań po przekroczeniu pewnej wartości kroku czasowego. Zjawisku temu towarzyszy utrata stabilności rozwiązania. Całkując równanie drgań przy parametrze 8 = 2/4 (metoda stałego średniego przyspieszenia), otrzymuje się rozwiązanie stabiłne niezależnie od przyjętego kroku całkowania. | 12.4. OPIS STANOWISKA POMIAROWEGO Przeprowadzenie pomiarów dokonujemy za pomocą czujnika przemieszczeń na stanowisku, którego model został opisany w punkcie 12.3.1. Czujnik ten jest czujnikiem indukcyjnym działającym na zasadzie prądów wirowych. Dokonuje on pomiaru szczeliny powietrznej znajdującej się pomiędzy jego powierzchnią czołową a badanym układem. Należy pamiętać, jż maksymalna szczelina powietrzna dla zainstalowanego czujnika wynosi 12 mm i jest ona uwarunkowana zaleceniami producenta. Rys. 12.7 i Schemat stanowiska laboratoryjnego (rys. 12.7) przedstawia sposób oraz miejsce instalacji czujnika w układzie, gdzie / to model układu drgającego, natomiast 2 to czujnik indukcyjny. Sygnał elektryczny wychodzący z czujnika, którego źródłem jest ruch układu, w pierwszej kolejności przechodzi przez przetwomik 3, a następnie przez rejestrator cyfrowy 4, by w ostatecznej wersji został wyświetlony na ekranie oscyloskopu 3. 12.5. PRZEBIEG ĆWICZENIĄ « ŹZmierzyć wydłużenia Sprężyny x odpowiadające 5 wartością przyłożonej siły £. Wyniki zapisać w tabeli 12.1, Narysować wykres zależności $- ny. Metodą najmniejszych kwadratów określić sztywność sprężyny k. Dla układu opisanego w punkcie 12.3, wyznaczyć okres drgań dła różnych rodzajów cieczy (tabela 12.2). +. Zmierzyć wartości kolejnych maksymalnych wychyleń ciała dla różnych rodzajów cieczy (tabela 12.3). *. Korzystając ze wzoru 12.14 wyznaczyć wzęlędny współczynnik tłumienia (abela 12.4), Korzystając ze wzoru 12.15 wyznaczyć logarytmiczny dekrememt tłumienia 6; Wyznaczyć współczynnik tłumienia c. Dla przyjętego układu z tłumieniem i wyznaczonych paramctrów rozwiązać równanie drgań wybranym wariantem metody Newimarka, stosując różne kroki czasowe. * Na podstawie otrzymanych przebiegów wyznaczyć okresy drgań i logarytmiczne dekrementy tłumienia rozwiązania numerycznego. Porównać otrzymane wyniki z rozwiązaniem dokładnym (22.13) i (12.15), Określić wpływ kroku czasowego na błąd okresu drgań i lagarytmicznego dekrementu tłumienia. ... 12.6. ZAKRES SPRAWOZDANIA Sprawozdanie powinno zawierać: cel ćwiczenia, wykorzystywane zależności, protokół pomiarowy, krótki opis metody Newmarka, przebiegi drgań tłumionych otrzymane w wyniku obliczeń numerycznych, analizę porównawczą obliczeń numerycznych z rozwiązaniem dokładnym i wynikami badań doświadczalnych, + wnioski. docsity.com  0 = (3.12) Zarazem: jk CE (13.13) T, = 2m. [A 1 ' r (13.14) gdzie: _ T; - okres drgań wahadła gdy moment bezwładności wynosi I,. Aby wyrugować 2 równań waność współczynnika sztywności k, należy zmienić moment bezwładności wahadła zmieniając odpowiednio położenie ciężarków C' na ramionach wahadła, Wówczas: r, = zjil Nk AA ŻAK F,= gdzie: T, - okres drgań, gdy moment bezwładności wynosi 7;, T, - okres drgań, gdy moment bezwładności wynosi /,. Z równań /73.15) otrzymujemy: uwzględniając: 1-1 gdzie: 4/ - różnica momentów bezwładności. Ż równań (13.16) 1 (13.17) orzymujemy: -118- (13.15) (13.16) (13.17) (03.18) |] Korzystając z (13.6), (13.14) i (13.18) uzyskujemy: zn Pam TL] (13.19) m Ti - Fi Moment bezwładności 7, wahadła, gdy ciężarki umieścimy w odległości R; od osi obrotu ; moment bezwładności />, gdy ciężarki umieścimy w odległości R. są następujące: L= + 2 MRI > 13.20) l = lv + 2 MR2 0320) gdzie: łę - moment bezwładności wahadła bez ciężarków, „M - masa ciężarka. Gdy weźmiemy tak, aby R;>R; wtedy z (73.20) uzyskujemy: l - 1, = A= 2MR(Ri - di (13.21) ostatecznie z (/3./9) i (13.21) otrzymujemy: 4 j- R z HBO MTB) - REJ 322) mr(Ti - T3) gdzie: v + szukana prędkość pocisku, © mm - maksymalny kąr wychylenia wahadła po zderzeniu z pociskiem, M — - masaciężarka, m — - masa pocisku, r - odległość osi obrotu wahadła od środka pocisku wbitego w plastelinę, R, odległość osi obrotu od środka ciężarka, gdy jest on najbliżej miseczek z plasteliną, R, - odległość osi obrotu od środka ciężarka, gdy jest on najbliżej osi obrotu (czyli Ri>R>), Ty - okres drgań dla Ry. T> - okres drgań dla Rz. 13.4. OPIS STANOWISKA POMIAROWEGO Podstawa / wyposażona jest w regulowane nóżki 2 umożliwiające wypoziomowanie przyrządu. W podstawie osadzona jest kolumna 3, na której zamocowano wspomik górny 4, wspornik dolny 5 i wspornik środkowy 6. Do wspomika środkowego przymocowane jest urządzenie spustowe 7, pozwałające wystrzelić pocisk a kształcie cylindra oraz osłona przezroczysta z naniesiona.na niej skalą kątową 8. a także czujnik fotoelektryczny 9. Wsporniki 41 5 posiadają zaciski służące do mocowania drutu stalowego (cienkiego pręta) 3, na którym powieszono wahadło złożone z dwóch prętów 22, na których znajdują się dwa przesuwne - 119 3 | qocsity.com ciężarki (ze śrubami kontrującymi) // i nakręcane na końce tych prętów dwie miseczki | wypełnione plasteliną 70. Do drutu przymocowany jest także wadzik 74 współpracujący z czujnikiem fotoelektrycznym. Czujnik ten jest połączony z umocowanym do podstawy wahadła milisekundomierzem uniwersalnym 75. Rys. 13.2 Na płycie czołowej znajdują się następujące elementy manipulacyjne: SIEC - wyłącznik sieci Weiśniccie klawisza powoduje włączenie napięcia zasilającego (wówczas świecące wskaźniki cyftowe wyświetlają cyftę zero) oraz świecenie żaróweczki czujnika fotoelektrycznego, u ZER - zerowanie miemika. Przyciśnięcie klawisza powoduje wyzerowanie ilisekundomierza oraz wygenerowanie sygnałów zezwolenia - 120 - STOP - zakończenie pomiaru (generowany jest sygnał kończący proces zliczania ilości drgań i ich czasu). Na płycie tylnej znajduje się: *_ gniazdo wejściowe służące do włączenia czujnika foroelektrycznego, «zacisk uziemiający. 13.5. PRZEBIEG ĆWICZENIA 13.51, Przygotowanie układu do pomiarów + Wakadło balistyczne skrętne ustawić na stanowisku pomiarowym i za pomocą poziomicy i regulowanych nóżek wypoziomować przyrząd. Uziemić przyrząd. « Sprawdzić, czy czujnik fotocicktryczny jest połączony z gniazdem wejściowym miłisekundomierza. + Włączyć urządzenie do sieci 220 V. Wcisnąć klawisz "SIEC", sprawdzić, czy wszystkie wskaźniki miernika wyświetlają cyfrę Zero, a także czy Świeci się żarówka czujnika fotoelektrycznego. *. Sprawdzić naciąg drutu rozpiętego między wspomikiem gómym i dolnym (ew. skorygować go za pomocą odpowiednich śrub). « +. Ustawić rysę znajdującą się na miseczce z płasteliną naprzeciw punktu „O” gh skali kątowej za pomocą śruby kontrującej znajdującej się na wspomiku górnym (wyzerować wzbadło). Odchylić ręką wahadło o kąt 157 + 20" i sprawdzić czy milisekundomierz rejestruje liczbę i czas drgań wahadła (sprawdzić, czy wodzik /4 może przecinać strumień światła wysyłany przez żarówkę czujnika fotoelekirycznego: ewentualnie należy skorygować jego położenie). *. Przygotować wagę laboratoryjną do pomiarów. +. Odksęcić cztery wkręty mocujące przeźroczystą osłonę. Zdjąć ją. *. Odkręcić obie miseczki z plasteliną i sprawdzić za pomocą wagi, czy mają taką samą masę - ewentualnie uzupełnić płastelinę * W miseczce, która umieszczona będzie naprzeciw urządzenia strzelającego, doprowadzić Plastelinę do stanu plastyczności (np. nagrzewającą suszarką). + . Przykręcić obie miseczki, umocować osłonę i ponownie wyzerować wahadło. + Sprawdzić sprawność urządzenie spustowego. 13.5.2. Pomiary 2) Maksymalnie zsunąć oba ciężarki i zakontrować ie (R>=min). b) Wystrzelić pocisk z urządzenia strzelającego. ©) Odczytać na skali kątowej maksymalny kąt wychylenia wahadła (gy). Uwaga: pocisk musi się wbić w plastelinę). 4) Po wyzerowaniu miernika czasu odchylić ręką wahadło na odczytany kąt gra i zwolnić go. ©) Zmierzyć czas dziesięciu (lub więcej) wahnięć w odpowiednim momencie używając klawisza „STOP” 7 ) Czynności (dj i (e) powtórzyć 2 razy, aby wyeliminować możliwość popelnienia błędu grubego (otrzymujemy 72). - oqocsity.com 2) Maksymalnie rozsunąć ciężarki (Rr=max) i powtórzyć czynności wg punktów (d), (c). (b, aby otrzymać 7. h) Zmierzyć masę pocisku. i). Zmierzyć odległości R; i Ry. |). Zmierzyć r (odległość między środkiem wbitego pocisku a osią obrotu). k) Przeprowadzić co najmniej /0 wystrzałów. 13.6. ZAKRES SPRAWOZDANIA Sprawozdanie powinno zawierać: cel ćwiczenia wykorzystywane zależności *» ustaloną wartość poszczególnych mierzonych wielkości i obliczoną szukaną prędkość pocisku. +. wyznaczone błędy pomiarowe wielkości mierzonych bezpośrednio (Pra, R;, Rz, m, r, Ty, T3). obliczone maksymalne błędy pomiarów wyznaczonej wielkości v. *_ ocenę wpływu na wynik końcowy przyjętych założeń: a) r>>mi b) r<<T; z wykorzystaniem do grubego oszacowania czasu / związku 1=2 (13.23) v gdzie: 4 - glębokość na jaką pocisk wbił się w plasielinę (można ją zmierzyć) y = 5 (13.24) Vs średnia prędkość ruchu pocisku w plastelinie. P. , P, + rzuty sił zewnętrznych (uwzględniając reakcje więzów) na osie x i y układu współrzędnych. przyłożonych w węźle i. Współczynniki a, , a, mogą być równe zero lub być różne od zera w zależności od tego, czy dany pręt występuje w rozpatrywanym wężle, czy też nie występuje. Układ równań równowagi (14./) możemy zapisać zatem w postaci macierzowej: P=-4-8 (14.2) gdzie: P - maciere kolumnowa składowych sił zewnętrznych przyłożonych w węzłach zawierająca niewiadome podporowe. 4 - macierz współczynników równań równowagi węzłów, S - macierz kolumnowa sił wewnętrznych. Istota macierzowej metody wyznaczania sił w prętach kratownicy polega więc na aulomatycznym generowaniu równań równowagi wszystkich węzłów kratownicy izapisaniu ich w postaci macierzowej. Równania te umo: ją wyznaczenie sił "we wszystkich m prętach oraz wyznaczenie 3 niewiadomych reakcji podporowych. Kluczem do tej metody jest macierz A, której struktura zależy od postaci konstrukcyjnej analizowanej kratownicy. W dalszej części pokażemy sposób budowy tej macierzy. Dla lepszego zrozumienia prezentowanego algorytmu w rozdziale 4 zamieszczono przykład obliczeniowy. 14.3.1. Budowa macierzy połączeń Macierz połączeń zawicra konfigurację kratownicy. tzn. zapisana jest w niej informacja o połączeniach prętów w poszczególnych wępłach Obliczenia - rozpoczynamy od ponumerowania w dowolnej kolejności węzłów i prętów kratownicy [9] (rys.14.2). Przyjmujemy, że początkiem pręia jest węzeł o niższym numerze. Następnie budujemy macierz połączeń węzłów K= [k.]: i=l2.m j=l2.n (14.3) gdzie: m - liczba węzłów, n - liczba prętów, i - numer węzła, j - mamer pręta. Wiersze macierzy 4 odpowiadają węzłom, a kolumny prętom (patrz (14.22), W każdej kolumnie znajdują się tylko dwa niczerowe elementy: „I - w wierszu © numerze równym numerowi węzła, który jest początkiem pręta, „rl - w wierszu odpowiadającym końcowi pręta. 14.3.2. Budowa macierzy współrzędnych w gzłów Obieramy dowolny prostokątny układ współrzędnych. Dla uproszczenia zapisu osie układu oznaczymy jako 7 i 2 w miejsce x i y (rys.14.1). Macierz współrzędnych węzłów ma następującą postać: X lek b= L2..m j= 12 (14,4) Wiersze macierzy odpowiadają poszczególnym węzłom kratownicy, natomiast kolumny współrzędnym węzłów względem osi 7 i 2 (patrz (74 13)). 1125. AoCSity.com 14.4. OPIS PROGRAMU Na podstawie przedstawionego alyorytmu obliczeń opracowano program kompuierowy. Program bezpośrednio buduje macierz współczynników równań równowagi węzłów. Jeżeli reakcja w podporze przesuwnej nie jest równoległa do którejś z osi układu współrzędnych, program przeprowadza transformację tego układu tak, aby jedna z osi była do niej równoległa. Po wyeliminowaniu wierszy odpowiadających warunkom podparcia rozwiązywany jest układ równań metodą Gaussa z wyborem clemeniu podstawowego. Następnie korzystając zwyznaczonych wartości sił wewnętrznych oraz odrzuconych wierszy odpowiadających równaniom, w których występują składowe reakcji podporowych, wyznaczamy rcakcje w punktach podparcia. Program umożliwia wprowadzanie danych z klawiatury lub ze zbioru zapisanego na dysku. Po uruchomieniu programu, wprowadzając dane z klawiatury, należy podać: *_ liczbę węzłów, * liczbę prętów. dla każdego węzła: numery prętów o początkach w tym węźle, »* numery prętów o końcach w tym węźle, «_ współrzędne x, y, dła węzłów podporowych: + numer węzła z podporą stałą R, + numer węzła z podporą przesuwną Rp. kąt zawarty pomiędzy reakcją Rz i osią (y, dla każdego węzła, w którym przyłożono siłę zewnętrzną: * numer węzła, «wartość składowej siły równoległej do osi Ox, + wartość skladowcj siły równoległej do osi Oy. Ponadto program umożliwia zapis wyników obliczeń do zbioru wyników na dysku, wydruk wyników obliczeń lub ich podgląd na ekranie monitora. 14.5. PRZEBIEG ĆWICZENIA Określić wymiary kratownicy oraz charakter obciążenia. Narysować kratownicę i przyjmując układ współrzędnych ponumerować pręty i węzły. Przygotować dane do programu zgodnie z punkiem 14.4. Przeprowadzić obliczenia numeryczne. Wyznaczyć wartości sił wewnętrznych w prętach kratownicy oraz reakcje w podporach. Zmienić stan obciążenia kratownicy i ponownie przeprowadzić obliczenia. Obliczenia powtórzyć dła różnych wariantów konstrukcji kratownicy. Przeprowadzić analizę otrzymanych wyników. Sporządzić sprawozdanie z przebiegu ćwiczenia. -130- 14.6. ZAKRES SPRAWOZDANIA Sprawozdanie powinno zawierać: ce] ćwiczenia, opis algorytmu macierzowej metody analizy sił w prętach kratownicy, rysunek kratownicy z naniesionym układem współrzędnych oraz ponumerowanymi węzłami i prętami, macierz połączeń i macierz współrzędnych, porównanie wyników z wynikami badań doświadczalnych, jeżeli takie były przeprowadzone, analizę otrzymanych wyników i wnioski. docsity.com 2=0 (15.1) lub dwóch równań analitycznych 15. NUMERYCZNE WYZNACZANIE WIELKOŚCI KINEMATYCZNYCH (15.2) 15.1. CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z metodą wektorowa wyznaczania wielkości kinematycznych czworoboku przepubowego, na przykładzie mechanizmu kruszarki wstępnego a) Przykłady mechanizmów kruszenia węgla. 15.2. OBOWIĄZUJĄCY ZAKRES WIEDZY Przed przystąpieniem do ćwiczenia student powinien znać następujące zagadnienia: * Rachunek wektorowy. * Metody wyznaczania wielkości kinematycznych. »- Podstawy rachunku różniczkowego. 15.3. WSTĘP TEORETYCZNY W. przypadku kompleksowej analizy maszyny robaczej niczbędne jest przeprowadzenie b) Łańcuchy wektorowe analizy kinematycznej, ij. wyznaczenie wielkości kinematycznych opisujących ruch wszystkich członów analizowanego mechanizmu. Analizę kinematyczną można przeprowadzić stosując: *- tozważania teoretyczno-analityczne. ij. wyznaczać równania ruchu poszczególnych ogniw i następnie je różniczkować, *_ metody wykreślne, * melody numeryczne. 153.1. Metody analityczne [19] W metodach analitycznych dąży się do uzyskania algebraicznych związków określających położenia członów mechanizmu i torów punktów związanych z członami w funkcji czasu lub parametru położenia członu czynnego. Odpowiednie związki na określenie prędkości i przyspieszenia uzyskuje się zwykle na drodze różniczkowania funkcji położenia. Funkcje położenia można uzyskać różnymi metodami, dobieranymi stosownie do analizowanego x obiektu. Najczęściej stosuje się wtedy tzw. metodę zapisu wektorowego. Metoda zapisu wektorowego polega na zastępowaniu łańcucha kinematycznego członów a Rys. 15.1 mechanizmu odpowiednim łańcuchem wektorowym (rys.15.1). Warunek zamykania się takich wieloboków wektorowych xqpisać w postaci równania wektorowego -133- docsity.com W równaniach (75.2) 1, i /, oznaczają rzuty wektorów /, na osie x i y układu współrzędnych. Jeżeli wprowadzić jednolitą umowę co do oznaczeń i odkładania kątów kierunkowych kolejnych wektorów. to rzuty £, i /,, można wyrazić ogólnie (rys. 15.2): 1, =l,cosa, L, =lsino, (1523) Związki określające prędkość i przyspieszenie można otrzymać z równań (25.2) w wyniku ich różniczkowania względem czasu — dł, Ha” $ a, (15.4) wici $ dł o de > (15.5) W celu ziłustrowania tej metody rozpatrzymy analizę mechanizmu czworoboku przegubowego oraz mechanizmu korbowo-wodzikowego. 153.2, Analiza wybranych mechanizmów metodą wektorową 15.3.2.1, Analiza czworoboku przegubowego metodą wektorową Niech będzie dany czworobok ABCD (rys.15.2 ) o znanych długościach członów I, łą, lą il, oraz prędkości kątowej cz członu czynnego. Należy okseślić położenia, prędkości i przyspieszenia wszystkich członów [21]. Rys. 15.2 -134- Przyjmijmy układ współrzędnych xóy. a człony mechanizmu zastąpmy przez odpowiednie wektory I, £. 1; i 14. Równanie (15.7) wektorowe wieloboku w tym konkretnym przypadku ma postać: Ł+l+1L+l,=0 (5.6) natomiast równania (75.2) przy wprowadzonych oznaczeniach kątów 4, przyjmą postać: 1;+ 1; cos, +1, cosg, +1, cos, =0 1, sinę, +1, sinp, +1, sing, =0 (15.7) Podstawiamy a= 1, +1; cos, b=lsino, Po podniesieniu do kwadratu i dodaniu stronami otrzymamy wiedy a” —bó + al, cos, + 281, sing, +1; +1) =0 (15.8) Po podzieleniu zależności (15.8) przez 2al; i oznaczeniu ag ta Bah otrzymujemy A+ cosp, + Bsing, =0 a następnie (1+ 89)+cos' p, + 2Acasp,+(4 +B')=0 (15.9) Po podstawieniu danych liczbowych można z zależności (15.9) wyznaczyć kąty 3. Dla założonej wartości (9, wartość kąta (py wyznaczymy z zależności 1,+1. 1, coś c0s9, +ł,c05p, +1,cosg, (15.10) ' Znając położenie członów rozpatrywanego czworoboku przegubowego można przystąpić do wyznaczenia prędkości i przyspieszeń. Po zróżniczkowaniu równań położeń (75.7) otrzymujemy -135- docsity.com ramkę 8. W mechanizmie tym ruch obrotowy tarczy 6 zamieniany jest na ruch posuwisto- zwrotny ramki £ w prowadnicy 2. Tarcza 6 pełni rołę korby (rys. 15.7a), natomiast ramka piły rolę suwaka. Ogniwem wej wym jest korba, a suwak ogniwem wyjściowym. W celu goświadczalnego pomiaru wielkości kinematycznych ogniwa wyjściowego na ramce piły zamocowano bezwładnościowy czujnik przyśpieszeń 9. Rys. 15.7 15.5. PRZEBIEG ĆWICZENIA Zapoznać się z rysunkiem analizowanego mechanizmu. Zbudować model kinematyczny wybranego mechanizmu. Wyznaczyć parametry modelu. Napisać algorytm programu do analizy kinernatycznej. Przeprowadzić analizę kinematyczną mechanizmu. Przeanalizować przebiegi prędkości ws i ©; oraz g3 i gy lub prędkości ©; i vs oraz pr is w zależności od rozpatrywanego mechanizmu. « Przeprowadzić obliczenia dla innej prędkości © lub © w zależności od mechanizmu. * Przeprowadzić analizę wyników. 15.6. ZAKRES SPRAWOZDANIA Sprawozdanie powinne zawierać: cel ćwiczenia, wykorzystywane zależności, wykresy prędkości i przyspieszeń członów mechanizmu, analizę otrzymanych wyników i wnioski. 16. POMIAR MOMENTU BEZWŁADNOŚCI BRYŁ SZTYWNYCH ZA POMOCĄ WAHADŁA SKRĘTNEGO 16.1. CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczenia jest zbadanie elipsoidy bezwładności bryły sztywnej za pomocą wahadła skrętnego. )6.2. OBOWIĄZUJĄCY ZAKRES WIEDZY Student przed przystąpieniem do ćwiczenia powinien znać nasiępujące zagadnienia: Momenty bezwładności bryły sztywnej. Elipsoida bezwładności. »- Drgania skrętne. Równanie ruchu drgań skrętnych 16.3. WSTĘP TEORETYCZNY Momentem bezwładności bryły sztywnej względem określonej osi obrotu nazywamy 1= |p'dm, (16.1) gdzie: dm - element masy ciała, p - odległość tego ciała od osi obrotu. Obliczmy moment bezwładności pewnej bryły względem osi obrotu 04 przechodzącej przez tworzącej z osiami tego układu kąty a. BY począlek prostokątnego układu odniesienia 0h (rys. 16.1). - Rozłóżmy wektor wodzący 7 €lemenlu masy na składową I wzdłuż osi OA i skladową p prostopadłą do niej. Podstawiając otrzymaną wartość p do (16.1) otrzymujemy: — 1= [e -F)dm (162) -141- qoesity.com  Rys. 16.1 Wielkości 7” i ? można wyrazić przez współrzędne x, y i z elementu dz, a I - przez te same współrzędne i cosinusy kierunkowe osi OA: Poasy sz l= x cosa* y cos D+z cosy Korzystając z zależności: cos a + cos A cosy = 1, »? można wyrazić w postaci x (cos'a tcos' 8 +cos' 7) Podobnie można postąpić zj” i 27. Wzór (/6.2) przybiera wówczas postać: 1 = cos a — l,ces'B + 1, cos'y- 2D cosa cosfi- 2Dy. cos a cos y- 2D„ cos feosy (16.3) gdzie: h=/67- 2) dm, 1,=/6' = 2) dm, (164) 6” +) dm, D, = Dy =-f x dm, Łatwo zauważyć, że wielkość 7, jest momentem bezwładności ciała względem osi Ox, a 7, I są odpowiednio momentami bezwładności względem osi (y i 0z. Wielkości Dy, D,. D,. nazywa gię dewiacyjnymi momentami bezwładności. Z równości (16,3) wynika, że w ceb momentu bezwładności ciała sztywnego względem - 142 - dowolnej osi obrotu należy znać cosinusy kierunkowe tej osi względem wybranego układu współrzędnych oraz 6 wielkości /, Dy. D., 1„ D„ i ł. obliczonych w tym układzie współrzędnych. Formula /76.3) ma prostą interpretację geometryczną. Odłóżmy wzdłuż osi 64, poczynając od początku układu współrzędnych, odcinek o długości R =/ Er (w dowolnych jednostkach). Powtórzmy tę procedurę dła wszystkich możliwych do pomyślenia osi obrotu przechodzących przez początek układu współrzędnych różniących się między sobą kątami a, i x Końce tych odcinków utworzą powierzchnię zamkniętą. Znajdźmy równanie tej powierzchni Współrzędne e. Je Ze końca odcinka o długości R = 1/47 sa równe: _c0sa „ _cosf = y= I JI e Posługując się tymi równościami cosinusy kierunkowe można wyrazić poprzez współrzędne 1. Y. i 2.. Po wstawieniu otrzymanych zależności do wzoru (16.3) otrzymujemy równanie: Lxć + ky — hze - ZD - ZDyoyszę - ZDwtęcz = Jest to równanie elipsoidy. Nazywa się ją elipsoidą bezwładności względem punktu 0. €lipsoida bezwładności Rys. 16.2 Przy zmianie położenia początku układu współrzędnych zmienia się jednocześnie elipsoida bezwładności. Jeśli punkt 0 pokrywa się ze środkiem masy ciała, to odpowiednia elipsoida bezwładności nazywa się centralną elipsoidą bezwładności. Postać elipsoidy zależy tylko od włesności ciała i od wyboru punktu, względem którego elipsoidę się bada, a nie zależy od wyboru osi. Jednakże postać równań opisujących elipsoidę zależy od wyboru osi współrzędnych. Szczegółnie preste równanie otrzymuje się w układzie współrzędnych, którego osie pokrywają się z osiami symetrii elipsoidy (tzw. osie główne). W układzie tym wszystkie momenty dewiacji są równe zeru i równanie elipsoidy przyjmuje postać (rys. 16.2): - 143 - - docsity.com lxe + być + l = 1. (16.5) gdzie: 1, l;- główne momenty bezwładności, liczone względem głównych osi bezwładności. Wyrażenie na moment bezwładności względem osi obrotu o cosinusach kierunkowych cos 0, cos i cos y przedstawia się następująco: 1=h cos a + lycos 8 + l cosy (16.6) 2 3 V 5 7 6 8 A Rys. 16.3 W wielu praktycznie ważnych przypadkach osie główne elipsoidy bezwładności można określić na podstawie symeirii rozkładu mas w badanym ciele. Każda płaszczyzna symetrii ciała jest jednocześnie płaszczyzną symetrii elipsoidy bezwładności. Normalna do tej płaszczyzny wyznacza jedną z osi głównych elipsoidy bezwładności. Na przykład osie główne elipsoidy bezwładności jednorodnego prostopadłościanu są równoległe do jego krawędzi. Jeśli ciało ma symetrię obrotową wzgłękdem pewnej osi, to oś ta jest osią główną elipsoidy bezwładności. Każda prosta prostopadła do niej jest również osią główną. Symetria elipsoidy bezwładności jest nierzadko wyższa niż symetria ciała. Jest tak, na przykład, gdy ciało ma Kształt wałca lub prostopadłościanu podstawie foremnej. Podobnie elipsoida bezwładności przybiera postać kuli nie tylka w przypadku sferycznego rozkładu masy ciała, ale także, na przykład, w przypadku gdy ciało ma kształt sześcianu. Wtedy dowolna oś przechodząca przez środek masy jest osią główną bezwładności. (wiczenie poświęcone jest badaniu elipsoidy bezwładności brył prostopadłościennych ża pomocą drgań skrętnych. Badane ciało umieszcza się w specjalnej ramce (rys. 16.3). Ramka zawieszona na stalowym drucie może wykonywać drgania skrętne wokół osi pionowej. Rozpatrzmy drgania zg prostopadłościanu, na pi przypadku, gdy oś obrotu jest jedną z przekątnych c Rys. 16.4 Prostopadłościan przymocowany jest do ramki wahadła w punktach A i C'. Równanie ruchu układu ma postać: do „> LI =-ko, fL LI: p. gdzie: 1, - momemi bezwładności samej ramki, 1, - moment bezwładności bryły prostopadłościennej względem asi AC" (osi a), 9 - kąt obrotu ramki, k- współczynnik sztywności skrętnej drutu. Okres drgań skrętnych układu jest równy: (16.7) Okresy drgań układu względem głównych osi prostopadłościanu (przechodzących ptzez środek masy) są, odpowiednio, równe: hh (16.8) - T.= Zn -145- docsity.com