Laboratorium mechaniki ogólnej - Notatki - Mechanika - Część 4, Notatki z Mechanika

Pobierz Laboratorium mechaniki ogólnej - Notatki - Mechanika - Część 4 i więcej Notatki w PDF z Mechanika tylko na Docsity! x=xv1 (17.2) Różniczkując dwukrotnie równania (77.2) otrzymujemy: a = a (17.3) Oznacza to, że jeśli przyspieszenie pewnego ciala w pierwszym układzie wynosi zero, toi w druyim będzie równe zero. Wynika stąd wniosek, że skoro pierwszy układ jest układem inercjalnym, to i drugi układ jest także układem inercjalnym. Tak więc w przyrodzie mamy do czynienia nie z jednym układem inercjalnym, ale z całą ich klasą, W tym miejscu pojawia się kwestia orzeczenia, czy dany układ jest układem inercjalnym, czy też nie. Po pierwsze, musimy stwierdzić. czy na ciało, które użyjemy w eksperymencie orzekającym, działają jakieś siły. W przyrodzie istnieją dwa rodzaje sił: a) bezpośrednie oddziaływania jednego ciała na drugie, np. wtedy, gdy pehamy wózck, b) oddziaływania w polach sił, do których zaliczamy oddziaływania silne odpowiedzialne 2a wirzymywanie w całości jąder alomowych, oddziaływania słabe, powodujące rozpad promieniotwórczy. elektromapnetyzm oraz grawitację. W praktyce inżynierskiej ważne są tylko dwa ostatnie przypadki Jeśli wykluczymy działanie wymienionych wyżej sił i ciało nie porusza się w wybranym układzie odniesienia z przyspieszeniem, to znaczy, że układ jest właśnie układem inercjalnym. Jeśli natomiast ciało porusza się z pewnym przyspieszeniem. to znak, że mamy do czynienia 2 układem nieinercjalnym. W związku z istnieniem tego przyspieszenia, w dynamicznej analizie ruchu w układach nieinercjalnych posiłkujemy się (aby wyjaśnić owo przyspieszenie) siłami bezwładności. I tak, w układzie inercjalnym równanie ruchu ma postać: a w układzie niejnercjalnym: ma = F-ma, + ExP+l0xV+ax(0x PJ: (17.5) gdzie: a, - przyspieszenie translacyjne układu, ©. - prędkość ruchu obrotowego układu, € _—przyspieszenie ruchu obrotowego układu. Wzór (17.5) otrzymuje się ze wzoru (17.4) jeśli a wyrazimy przez Ź' oraz wielkości opisujące ruch układu nieinercjalnego względem układu inercjalnego (patrz: kinematyka, rich wzgledny). " Wielkość następująca po sile F' (17.3), to właśnie suma sił bezwładności działających na ciało w ogólnym przypadku. Należy jednak pamiętać, że są to siły pozorne; ciała porusza się w układzie nieinercjalnym z przyspieszeniem nie dlatego, że działają na nie jakieś siły, lecz dlatego, że sam układ porusza się z przyspieszeniem. Niemniej realność sił bezwładności często ujawnia się z całą brutalnością, np. w czasie gwałtownego hamowania autobusu. Należy jeszcze wyjaśnić, dlaczego w literaturze w tekście cytowanej na wstępie zasady po słowach "nie działają z zewnątrz żadne siły” następuje klauzula "ałbo siły te równoważą się”. Otóż taka poszerzona zasada jest ogółniejsza, ale gdy liczymy wypadkową siłę, możemy brać pod uwagę tylko wyżej wymienione w punktach siły, a nie możemy brać pod uwagę sił bezwładności. Skoro wiemy już, że istnieje nieskończona ilość układów inercjalnych, oraz wiemy, jak można rozpoznać taki układ, należałoby podać konkretny przykład takiego układu. Niestety. okazuje się, że jest 1o niemożliwe, aczkolwiek od czasu powstania teorii Wielkiego Wybuchu istnieje hipoteza, że układ, którego początek znajduje się w punkcie, gdzie u zarania Wszechświata znajdowała się cała materia, jest właśnie układem inercjalnym. W szczególności układ związany z powierzchnią Ziemi nie jest układem inercjalnym. Można się o tym przekonać wykonując doświadczenie z wahudłem Foncaulia. 17.3.2. Wahadło Foucaulta Wahadło Foucaulta jest to cieżkie wahadło zawieszone na długiej linie. głównie w celu odizolowania wahadła od środowiska, a konkretnie od ruchu obrotowego naszej planety [11]. Foucault po raz pierwszy wykonał swoje doświadczenie w 185) roku pod dużą kopułą Panteonu w Paryżu przy użyciu masy 26 kg. zawieszonej na drucie długości prawie 70 m. Okres wabadła o takiej długości wynosi okało 77 s. Przy kolejnych waknięciach okazywało się. że płaszczyzna ruchu wahadła obraca się w kierunku ruchu wskazówek zegara (patrząc z góry). W ciągu jednej godziny wakadło zmienisło płaszczyznę ruchu o ponad 77 stapni. Pelny obrót został wykonany w ciągu 32 godzin, Gdyby doświadczenie zostało wykonane na Biegunie Północnym (lub Południowym). to pełny obrót dokonałby się w ciągu 24 godzin Pokażemy teraz, dlaczego płaszczyzna ruchu wahadła obraca się " " W tym celu wyznaczyrny prędkości końcowych punktów masy wahadła. Krańcowe położenie w kierunku południowym masy wahadła jest w dalszej odległości ad osi obrotu Ziemi Gai doświadczenie przeprowadzamy na półkuli północnej) i dlatego porusza się szybciej niż punkt półnacny (rys. 17.1). biegun północny równik Biegun południowy Rys. 17.1 to środek płaszczyzny wahań u, w którym Jeżeli © cznacza prędkość kątową Ziemi, a R - promi A |" i ści gdzie cze kość geograficzną p r jorusza się z prędkością wRcosy, gdzie © oznacza szero! e iczną u p Swykomujemny doświadczenie. Jak widać z rys. 17.1, punkt w krańcowym północnym położeni wahadła porusza się z prędko: " docsity.com Vs = o-fR.cosp - r-sing), (17.6) a punki położony najdalej na południe - z prędkością: v, = o-(R cosg + r sina) 7.7 Różnica między każdą z tych prędkości i prędkością środka wakań wynosi: fw = wo-r'sing (17.8) Jeżeli prędkość tę podzielimy przez r, czyli przez promień okręgu, który wyznaczają punkty skrajne, to otrzymamy prędkość kątową ruchu płaszczyzny wahadła: ©, = w sinę (17.9) Trajektorię wahadła z zaznaczonym kątem obrotu płaszczyzny wahań przedstawia rysunek 17.2. Jak widać, prędkość kątowa na biegunie będzie równa prędkości kątowej Ziemi, 8 na równiku w ogóle nie zaobserwujemy zmiany płaszczyzny wahań. Rys. 17,2 W praktyce jednak nie przeprowadzamy szczegółowych rozważań, ale posługujemy się $otowym równaniem ruchu (podanym wyżej), We wzorze tym nasze rozważania są "ukryte" wsile - 2m-5 x". Siłę tę nazywamy siłą Coriolisa. Przeprowadzimy teraz analizę ruchu wahadła posługując się gotowym równaniem ruchu punktu materialnego w układzie nieinercjalnym [25]. Czynimy następujące założenia: a) układ związany ze środkiem Ziemi jest układem inercjalnym, tzn. pomijamy wpływ obrotu płanety wokół Słońca, obrotu Słońca wokół Środka Galaktyki itd., b) wahadło porusza się w płaszczyźnie poziomej, ©) początek naszego układ Sa umieszczamy w miejscu, gdzie znajduje się wahadło w spoczynku, a OŚ z zo w górę, -154- Przy takich założeniach mamy: me = -kF - ZmóxV. 2 = 0. (17.10) gdyż siła reakcji na prostopadłej do płaszczyzny z 0 znosi efektywną siłę grawitacyjną, tzn. łącznie z siłą odśrodkową. Rozpisując równanie na składowe ntrzymujemy: 7.11) mi” = Mnożąc drugie równanie w (77.71) przez i oraz dodając je do pierwszego, otrzymujemy: mó = -k$ - imć: (17.12) gdzie: © = x" + ży. Całkując (77.72) mamy: £=e* (Ce? = Ce'*j; (17.13) gdzie: Q = E + wi m Punkt materialny porusza się po elipsie, która sama obraca się wokół swego środka z prędkością 0: = ©sin gdzie c jest prędkością kątową Ziemi, a p - szerokością geograficzną. Należy jednak zwrócić uwagę, że tym razem wzór nie jest efektem specjalnych rozważań, a pochodzi bezpośrednio zrównania dynamiki w układzie nieinercjalnym. Otrzymaną całkę (17.13) można przekształcić bez większego problemu do postaci x . i wraz z warunkami początkowymi otrzymać parametryczne równania krzywej kreślonej przez koniec wahadła. Za pomocą wahadła Foucaulta można zmierzyć szerokość geograficzną punktu, w którym wykonywane jest doświadczenie. Skrajne punkty wychyleń końca wahadła tworzą okrąg. Jeśli zmierzymy (w radianach) kąt o, o jaki przesunie się skrajny punkt i odpowiadający temu przesunięciu czas t, to w prosty sposób otrzymujemy wartość © = a. Wartość © natomiast może być peliczona ze wzoru o = 217, gdzie T, to okres obrotu naszej planety. Można go znaleźć w tablicach, aczkolwiek do naszych potrzeb wystarczy warość: T=24x60x60=86 400 [s], Stąd w=7.2740* s". Skoro znamy © i a, to szerokość geograficzną obliczymy ze wzoru: g= arcsin >, (47.14) © ss. Adocsity.com L= Se LJ: (18.6) i gdzie: 7 - - masowy mament bezwładności i-tej bryły składowej względem osi Oz. Jeżeli środek masy bryły składowej nie leży na osi O: (rys.18.2), to korzystamy z twierdzenia Steinera, które mówi, ze: (OMENT BEZWŁADNOŚCI ciala materialnego względem dowolnej osi równy jest sumie momentu bezwładności względem osi równoległej i przechodzącej przez środek masy oraz iloczynu masy ciała i kwadratu odległości między tymi osiami. l,=l+mdż (18.7) gdzie: le, - masowy moment bezwładności ciała względem osi przechodzącej przez środek masy tego ciała, M, - masa ciała, d_ - odległość pomiędzy osiami. W przypadku gdy postać geometryczna bryły jest bardzo złożona dla geometrycznego opisu, wyznaczenie momentu bezwładności na drodze analitycznej moze okazać się bardzo trudne. Wówczas można do obliczenia momentu bezwładności stosować metody przybliżone lub wyznaczyć moment na drodze doświadczalnej. wykorzystując np. metode wahadła fizycznego. W przybliżonej metodzie wyznaczania charakterystyk geometrycznych ciał obrotowych 9 złożonym kształcie można stosować metodę aproksymacji (rys.18.4) [5]. HL 20x4580.. A [2077] po 4h FFU e | si I «|gilio uj > T = i 0 (AT 6 xl) BA | > ai h —— h,_ Rys. 18.4 Elementy składowe, na które rozbija się ciało o złożonym kształcie geometrycznym, w zależności od ich rozmieszczenia i wymaganej dokładności wyniku, aproksymuje się elementami o prostych geometrycznych kształtach: pełnymi, cienko- lub_ grubościennymi ściętymi stożkami kołow; tulejami lub walcami. Dokładność obliczeń załeży w tym przypadki i aproksymacji. _IEG. x) Natomiast metoda wahadła fizycznego pozwala wyznaczyć moment bezwładności względem Osi przechodzącej przez środek masy ciała poprzez pomiar okresu wahań tego ciała, traktowanego jako wahadło fizyczne. WAHADŁEM FIZYCZNYM nazywamy ciało materialne, które może swobodnie obracać się względem poziomej osi. Pomijając tarcie w osi obrotu i opór powietrza oraz oznaczając przez s odległość środka masy € frys.18.5) wahadła od osi obrotu dynamiczne równanie ruchu obrotowego (78.1), dla małych wahań, przyjmie postać: -9=06 (18.8) Rys. 18.5 Porównując równanie (18.8) z równaniem ruchu wahadła matematycznego + Sę= 6+ 1070 można stwierdzić, że równanie ruchu wahadła fizycznego ma taką samą postać, jak równanie dla wahadła matematycznego o długości dna = > (18.9) gdzie: lwa - długość zredukowana wahadła fizycznego, a więc i te same okresy wahań -161 -docSity.com (18.10) Punkt $ oddalony 0 4 od osi obrotu /, zwany środkiem wahań, ma tę własność, że bryłą obciążona chwiłową siłą P, przyłożeną w punkcie S, zachowuje się tak, jak całkowita masa bryły m w nim skupiona i zawieszona na nieważkiej linie o długości £,4. Punkt ten nazywa się również środkiem uderzeń, ponieważ chwilowa siła P przyłożona w tym punkcie nie wywołuje reakcji osi obrotu. Własność ta znalazła zastosowanie w technice. Przykładowo dzwony są tak zaprojektowane, że ich serca (bijaki) uderzając w środek S nię powodują reakcji poziomych w punkcie ich zamocowania. Ponadto w silnikach tłokowych siły. chwilowe działające w punktach S na dźwignie zaworów nie powodują wybijania się łożysk wałka rozrządu. 18.4. WYZNACZENIE MASOWEGO MOMENTU BEZWŁADNOŚCI KORBOWODU Masowy moment bezwładności wyznaczymny dla korbowodu, który jest elementem maszyny górniczej (rys.18.6). 18.4.1. Metoda analityczna Na podstawie przeprowadzonych pomiarów określimy cechy geometryczne korbowodu iwykonamy jego rysunek w odpowiedniej skali. Przyjmujemy układ współrzędnych prostokątnych jak na rys.18.6. Dzielimy korbowód na następujące elementy składowe: 1 tuleję większą. 2--- wycinek tarczy, 3- element3, 4--— graniastosłup o podstawie trapezu równoramiennego, 5- _ prostopadłościan. 6- elementó, 7--- wycinek tarczy, 8- tuleję mniejszą, 9-- sfazowanie, 10 -- sfazowanie. Obliczone masy elementów składowych m,, ich współrzędne środków mas x. w przyjętym układzie współrzędnych oraz momenty bezwładności tych elementów względem ich środków mas I.., (patrz załącznik) zestawiamy w tablicy 18.2. Masowy moment bezwładności względem względem osi Oz wynosi = l * maxi): (18.11) 4 gdzie: n = 1,2... - liczba elementów składowych. - 162 - / HĄ- ( Rys. 18,6 -16:- _ docsity.com Położenie środka masy korbowodu w przyjętym układzie współrzędnych. uwzględniając, że płaszczyzna xOz jest jego płaszczyzną symetii, na podstawie (/8.4) wyznaczymy zależności (18.4): $ mz. = «l - x, = E— (18.12) mi 1 Masowy moment bezwładności korbowodu względem osi równoległej do osi otworów (do osi y) i przechodzącej przez środek masy (18.72) przyjmie postać: SEED ODC 08.13) 18.4.2. Metoda wahadła fizycznego 18.4.2.1. Opis stanowiska pomiarowego Korbowód zawieszony na sztywno zamocowanej pryzmie (rys.18.7) wychyłony z położenia równowagi, wykonuje ruch drgający o okresie 74. Znając cechy geometryczne korbowodu i jego masę oraz mierząc okres 74 wyżnaczymy masowy moment bezwładności korbowodu. 18.4.2.2. Metoda pomiaru Korbowód zawieszony w punkcie A (rys.18.7) stanowi wahadło fizyczne o długości zredukowanej określonej przez zależność (78.9). Wstawiając zależność (76.9) do (18.10) iprzekształcając otrzymamy następujące wyrażenie na masowy moment bezwładności względem osi przechodzącej przez punki zawieszenia 4: TY 6 p= (73) rmgs. (18.14) Na podstawie rw. Steinera (ł8.7] moment bezwładności korbowodu względem osi przechodzącej przeż środek ciężkości lo = la = mó. (18.15) Aby wyznaczyć moment bezwładności /,, należy najpierw określić odległość s środka ciężkości C od punkm zawieszenia A. W tym celu wyznaczamy moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek ciężkości dwa razy: raz wychodząc z okresu wahań T,, przy zawieszeniu w punkcie 4, drugi raz wychodząc z okresu wahań 75, przy zawieszeniu w punkcie B. Z porównania tych momentów otrzymamy: ŻE s Ao (18.16) STA + Ty) - 8z'1 Obliczając wartość s (18./6 py następnie 7, (78.14) oraz le (18.15). - 164 - Rys. 18.7 18.5. PRZEBIEG ĆWICZENIA . Wyznaczyć - ciężar korbowodu G [N] (z dokładnością 0.05 N), - odległość między punktami podwieszenia ! /m.] (z dokładnością 0.007 m.). Podwiesić korbowód w punkcie A i wprawić go w ruch wahadłowy o kącie wahań „ mniejszym od 2071 zmierzyć trzykrotnie czas 50 wahnięć. Należy zwrócić uwagę na to, aby osie otwarów były równoległe do krawędzi pryzmy. Zanotować wynik pomiaru w tablicy pomiarowej (tabela 18.1). Powtórzyć czynności wymienione w punktach b i c podwieszając korbowód w punkcie B. Na podstawie zależności f78./6) wyznaczyć położenie środka masy, a następnie moment bezwładności korbowodu względem osi równoległej do osi otworów i przechodzącej przez środek masy (78.15). Wykonać szkic korbowodu, podzielić go na elementy składowe, zmierzyć oraz nanieść na nim te ich wymiary, które umożliwią wyznaczenie masowego momentu bezwładności korbowodu metodą analityczną. Wymiary le wpisać do tabeli 18.2. Wyznaczyć metodą analityczną moment bezwładności korbowodu. -166- docsity.com 19.6. ZAKRES SPRAWOZDANIA Sprawozdanie powinno zawierać: cel ćwiczenia, wykorzystywane zależności, charakterystykę sprężyny, wyznaczenie stałej spręży! analizę otrzymanych wyników i wnioski. PROTOKÓŁ POMIAROWY DANE POMIAROWE Prędkość abrotowa silnika obrómin Przełożenie przekładni OBo Tabela 19.1 Lp. | ofrads] | lifmm] | OBfmmj | OB-OBefmmj | Fz[N] | c [Nm] L 2. 3 docsity.com 20. WYZNACZENIE WSPÓŁCZYNNIKA TARCIA KINETYCZNEGO 20.1. CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczenia jest doświadczalne wyznaczenie współczynnika tarcia kinetycznego dla różnych tworzyw. 20.2. OBOWIĄZUJĄCY ZAKRES WIEDZY Przed przystąpieniem do ćwiczenia student powinien znać następujące zagadnienia: Równania równowagi płaskiego dowolnego układu sił. Prawa tarcia Coulomba. Rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych. Dynamiczne równania ruchu. 20.3. WSTĘP TEORETYCZNY Zjawisko tircia jest jednym z przejawów tozproszenia energii mechanicznej nieodłącznie związanej z ruchem układów mechanicznych. Tarcie występujące w maszynach jest na ogół zjawiskiem niepożądanym, niekiedy jednak wykorzystywane jest do przenoszenia sił lub momentów poprzez elementy sprzęgieł, do zmniejszania prędkości elementów maszyn lub pojazdów poprzez hamulce lub do transportu materiałów, np. przenośnikami taśmowymi. Zjawiska tarcia opisywane są przy zastosowaniu praw i zasad mechaniki, a ich strona fizykalna stanowi przedmiot różnych 1eorii [15]. W rzeczywistości procesy powodujące tarcie są bardzo złożone i wiedza 0 nich jest niepelna. Opis matematyczny procesów tarcia wymaga więc szeregu założeń upraszczających, które zależą przede wszystkim od charakteru fizykalnego procesu i od charakteru ruchu względnego trących się ciał. Przyjęty sposób modelowania zjawiska tarcia zależy również od charakteru i wagi rozpatrywanego zagadnienia technicznego. Mając ponadto na uwadze losową jakość powierzchni stykających się ciał, w wielu przypadkach stosujemy proste modele, oparte na prawie Coulomba. ograniczając się do określenia sił lub momentów tarcia za pomocą współczynnika tarcia ślizgowego i współczynnika tarcia tocznego. Współczynnik tarcie Ślizgowego, którego wyznaczenie jest przedmiotem tego ćwiczenia, zależy od stanu powierzchni i rodzaju stykających się ciał, a także od prędkości ruchu względnego tych ciał (rys. 20.1) [9]. W zasadzie największą wartość współczynnik ten osiąga przy braku ruchu względnego (w stanie spoczynku). Współczynnik taki nazywamy współczynnikiem tarcia spoczynkowego (statycznego) „4 W przypadku gdy występuje ruch wzęlędny ciał, wprowadzamy pojęcie współczynnika tarcia kinetycznego, który jest na ogółrnąpiejszy ad współczynnika tarcia spoczynkowego o około 25% ej stykających się ciał. Wpływ prędkości na wartość tego joże być jednak pominięty (rys.20.2). + 174- b) © ! u H Hoża B zz m. > ne SK I z . 0! prodkaść ol maca jednokowy 0 ! y zp Rys. 20.1 45 —--, o ZZZE 7 GY Tarcie kinetyczne ny - współczynnik tarcia kinetycznego p, - współczynnik tarcia statycznego Rys. 20.2 Rozpatrzmy przypadek pręta I o masie m, spoczywającego na dwóch rolkach 2 obracających się w przeciwne strony (jak pokazano na rysunku 20.3), z jednakową prędkością kątową ©. Na pręt, podczas ruchu układu, działają w kierunku poziomym dwie przeciwnie skierowane siły tarcia 7 i 7> (rys. 20.2), natomiast w kierunku pionowym dwie reakcje rolek V; i V; oraz siła ciężkości pręta G. Jeżeli środek masy pręta C znajdował się będzie w połowie odległości pomiędzy rolkami, to naciski wywierane na rolki będą takie same. Zatem w przypadku gdy rolki są jednakowe i wykonane z tego samego materiaku, pręt będzie utrzymywany w równowadze przez równe co do wartości siły tarcia 77 i 79. Jeżeli jednak przesuniemy punkt © względem osi 0-0, to siły tarcia będą różne i pręt będzie wykonywał ruch opisany równaniem: mż= rf - (20.1) "5 -docsity.com Siły tarcia są wtedy odpowiednio równe: T=AMAN, Tr=4Nxu (20.2) gdzie: 4 - współczynnik tarcia kinetycznego Q 1 x 2 ! ! ! ! | ra mj ! ! ! ! | T ! I ! ! Al m Rys. 20.3 Reakcje N,, N, w punktach podparcia wyznaczamy z równań równowagi momentów sił działających na pręt ŻZM,=IN, -(7-x)ng=0 (20.3) I X My=IN, -(3-»Jns= 0 gdzie: x - przesunięcie środka ciężkości pręta w stosunku do linii środkowej 0-0, 1 - odległość między osiami kół. Reakcje Ni N, sąrówne: I ox M= ma(-7) 8 N, = mg 6 + + (20.5)- -176- Po podstawieniu (20.2), (20.4) i (20.5) do równania (20.1) otrzymujemy mi = msz - G+3- 2 > (20.6 Mm8lz- q) 7 km8|3 7 "24, mgr. (20.6) » ZMS _ x + X =0 (20.7) Rozwiązanie równania różniczkowego (20.6) ma postać x= CC; sin Gł + C cos ax; (20.8) gdzie: C C;- stałe, © - częstość kołowa drgań, T - okres drgań. (20.9) Stałe całkowania wyznaczymy 2 warunków początkowych. Prętowi nadajemy przemieszczenie początkowe x(r=0) = xi prędkość początkową x(t = 0) = 0. Po uwzględnieniu waninków początkowych w równaniu (20.8) otrzymujemy: X = x, Cos GL (20.10) Z równania (20.10) wynika, że pręt wykonuje drgania harmoniczne. Znając okres drgań 7 z zależności (20.9) możemy wyznaczyć współczynnik tarcia kinetycznego żal 4 = pra Gi (20.11) Rys. 20.4 -"rdocsity.com Dia małych kątów dępmożemy przyjąć. że „de | dę sin = dę — sł COS Hoczyn S = możemy pominąć jako małą drugiego rzędu. W wyniku wprowadzenia tych założeń równania (27.1) i (21.2) przyjmują postać: dS-dT=0 dN - Sdp = 0 W granicznym stanie równowagi dT = a dN gdzie: _ p - współczynnik tarcia statycznego między cięgnem i bębnem. Podstawiając równania (21.4) i (21.5) do (21.3) otrzymujemy: dS - pSdp= 0 W celu rozwiązania równania (2).6) dokonujemy rozdzielenia zmiennych ds S = A,dp Po obustronnym scałkowaniu równanie (27. 7) ma postać nS=up+A gdzie: A - stała całkowania lub S=Ce" - 182- (21.3) (21.4) (21.5) (21.6) (21.7) (21.8) (21.9) Stałą C= e" wyznaczamy z warunku. że dla o =0, S =S;. Ostatecznie wzór /27.9) przyjmie postać: S= Sie” (21.10) Dla p+ a, S = S> tównanie (10) ma postać: $>= See (111) S,8 S, 4 m m Ś, > In ś, 5 3 5 Hs=0.50 Lis=0.24 4 2 3 mm 2 1 1 sA o R 2a [rad] o n 2 Qfrad] Rys. 24.4 Na rysunku 21.4 przedstawiono wykresy stosunku sił > od kąta opasania a dla różnych ' materiałów cięgna opasanego na bębnie stalowym. Wykresy te sporządzono przy przyjęciu następujących współczynników tarcia: - cięgno stalowe ps= 0.15, - cięgno konopne 0.25, - cięgno skórzane 4, = 0.50. W układzie współrzędnych Zn Ę Si = f(a) wykresy są liniami prostymi, a współczynniki kierunkowe tych prostych równają się współczynmikom tarcia statycznego. Zależność (21.1]] po modyfikacji może być również stosowana do zagadnień napędów pasowych z pasami klinowymi (rys.21.5). Pomijając szczegóły związane z wyprowadzeniem zależności na larcie paska klinowego stykającego się bocznymi powierzchniami z kołem pasowym, zależność (27. /4) przyjmuje postać[2]: pa S,=Sje" gdzie: 8 - kąt rozwarcia rowka pasowego. «183 -docsity.com  Rys. 21.5 21.4, OPIS STANOWISKA POMIAROWEGO Stanowisko pomiarowe (rys.21.6) składa się z ramy ł, do której przykręcono wymienny bęben 2. Cięgno 3 opasuje bęben i krążek 4. Do końców krążka przymocowane są dwie szalki 5. W wyniku zmiany sposobu zawieszenia cięgna można otrzymać różne kąty opasania a od 3 do re0 7 rad, Rys. 21.6 - 184 - 21.5. PRZEBIEG ĆWICZENIA *_ Przymocować szalki do końców cięgna. *_ Cięgno założyć na bęben 2 i jeden z krążków 4. tak aby kąt opasania wyniósł 3 radianów. «_ Delikatnie obciążać szalkę odważnikami do chwili wystąpienia poślizgu. + Ciężar odważników wpisać do tabeli pomiarowej. « Zwiększyć kąt opasania o £ rad przez zmianę sposobu zawieszenia cięgna na następny krążek, *_ Powtórzyć pomiary dla różnych kątów opasania. «_ Powtórzyć poprzedni tok porniarowy (postępowania) dla różnych materiałów cięgna i bębna. *_ Obliczyć stosunek sił $> i aż, wyniki wpisać do tabelki, F(a) i Inż = /(a). + Obliczyć metodą najmniejszych kwadratów współczynniki kierunkowe _ prostych aproksymujących wykresy In$; = f(a) równe współczynnikom tarcia statycznego. «_ Przeprowadzić analizę otrzymanych wyników. e Sporządzić sprawozdanie z przebiegu ćwiczenia. «_ Narysować wykresy 21.6. ZAKRES SPRAWOZDANIA Sprawozdanie powinno zawierać: cel ćwiczenia, szkie stanowiska pomiarowego, wykorzystywane zależności, obliczenia, protokół pomiarowy, analizę otrzymanych wyników i wnioski. docsity.com PROTOKÓŁ POMIAROWY 22. WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA TARCIA TOCZNEGO 22.1. CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczenia jest doświadczalne wyznaczenie współczynnika tarcia tocznego kulki po powierzchni płaskiej oraz wyznaczenia przyspieszenia ziemskiego. Tabela 21.1 Materiał bębna 22.2. OBOWIĄZUJĄCY ZAKRES WIEDZY Materiał cięgna Student przed przystąpieniem do ćwiczenia powinien znać następujące zagadnienia: * Tarcie toczne. Współczynnik tarcia tocznego. Si * Ruch drgający harmoniczny. 7 + Elementy dynamiki bryły sztywnej (II zasady dynamiki, moment bezwładności, c [rad] Ss | ŚŁ |>| s | S || s 2 | pÓł 1w. Steinera). S; Ś, Ś: 1 2 Ś; Powinien także umieć rozwiązywać równania różniczkowe IK rzędu ze stałymi 7 współczynnikami. =n 3 1 z 22.3. WSTĘP TEORETYCZNY 2 37 Ciało toczące się po powierzchni płaskiej napotyka opór zwany tarciem tocznym [28,29]. = Rozpatrzymy siły działające na kulkę toczącą się pod wpływem siły P (rys.22.1) 3 67 f 1 >| i P N [R F a 28 Z Ż :ż A LOL 2 4 Rys. 22.1 -187 -docsity.com  Rys. 22.6 22.4. OPIS UKŁADU POMIAROWEGO Stanowiska laboratoryjne, zwane wahadłem nachylnym (rys.22.6), składa się z właściwego wahadła nachylnego o regulowanym kącic nachylenia i umieszczonego znim na wspólnej podstawie elektronicznego bloku pomiarowego. Trzon wahadła stanowi kolumna /, na której zawieszono nić z kulką 2. Do kolumny przytwierdzona jest płytka, po której toczy się kulka 3 oraz czujnik fotoelektryczny 4. Kolumna połączona jest z korpusem przyrządu 5 za pomocą przekładni ślimakowej, która umożliwia pochylanie wahadła w granicach 0%:907. Do regulacji nachylenia, które obserwuje się na kątomierzu 6, służy pokrętło z korbką 7. Obok pokrętła znajduje się dodatkoyia kontrująca. - 192 - W wahadle można zmieniać kulkę (przez odkręcenie jej z gwintu wodzika) oraz płytkę, po której się toczy. Do przyrządu dołączono zestaw kulek i płytek wykonanych z różnych materiałów. Elektroniczny blok pomiarowy zawiera milisekundomierz i licznik wahnięć. W płycie czołowej znajdują się następujące przyciski: SIEC | -- wyłącznik sieci. ZER - zerowanie miemików i jednocześnie przygotowanie czujnika da pomiaru. Po naciśnięciu tego przycisku przejście wodzika przed czujnikiem spowoduje włączenie pomiaru czasu i liczby drgań, STOP - po naciśnięciu tego klawisza układ kontynuuje pomiar czasu aż do zakończenia pełnego drgania, po czym zatrzymuje stan obu mierników. Jeżeli w czasie ruchu wahadła naciśniemy ten klawisz po wyświetleniu, na przykład, liczby drgań 9, w układ przerwie pomiar dopiero po wyświelleniu liczby drgań /0, a więc zmierzy czas 10 okresów. 22.5, PRZEBIEG ĆWICZENIA 22.5.1. Przygotowanie układu do pomiarów »- Założyć na wodzik wybraną kulkę i umieścić w uchwytach płytkę wykonaną z tego samego co kulka materiału. Przetrzeć flanelową szmatką powierzchnie badanych ciał. + Wypoziomować przyrząd za pomocą regulowanych nóżek, traktując kulkę wahadła jako pion. Odkręcić śrubę kontrującą przekładnię ślimakową, za pomocą pokrętła z korbką pochylić wahadło o kąt J=45 i zakręcić śrubę kontrującą, Należy uważać, aby nie obracać korbką przy dokręconej śrubie - może to bowiem prowadzić do zniszczenia mechanizmu pochylenia wahadła. Sprawdzić, czy po pochyleniu wahadła nić wskazuje kąt wychylenia 0=0* Jeśli nie, to obracając jednocześnie obiema nóżkawni po lewej lub po prawej stronie przyrządu poprawić poziomowanie. » Sprawdzić, czy przyrząd jest podłączony do sieci, uziemiony oraz czy czujnik fotociektryczny połączony jest z blokiem pomiarowym. Nacisnąć przycisk SIEC. Wszystkie wskaźniki powinny wyświetłać zera, powinna także pałić się lampka czujnika fotoelektrycznego. «Sprawdzić, czy w czasie ruchu wahadła wodzik przecina strumień światła czujnika. Jeżeli nie, to obracając pokrętłem na gómym wsporniku ustalić odpowiednią długość wahadła. 22.5.2. Pomiary A. Wyznaczanie współczynnika tarcia tocznego dla badanych materiałów. Istotą pomiaru jest określenie liczby drgań wahadła, po których amplituda drgań zmaleje od ustalonej wielkości gp do wybranej wartości g,. W tym celu należy: s) odchylić wahadło o kąt gr=ó* Nacisnąć przycisk ZER, a następnie puścić kulkę. Obserwować zmiany amplitudy. Gdy amplituda zmaleje do gn”3% nacisnąć przycisk STOP. Odczytać liczbę pełnych drgań n. Pomiar wykonać 2-3 razy odchylając kulkę "183 -qocsity.com na przemian - raz w lewa. ruz w prawo. Do obliczeń wziąć iiczbę n najbliższą średniej arytmetycznej b) Powtórzyć pomiary dła kątów 8=307i f=609, Ich wyniki zanotować w tabeli. ©) Za pomocą suwmiarki zmierzyć promień kulki. 4) Zmienić kulkę i płytkę i powtórzyć pomiary n dla trzech wartości kątów. B. Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego. a) Dla każdej próbki i kątów nachylenia =30% 45% 60? zmierzyć czas 10 pelnych wahnięć 1/0. Pomiar czasu la należy wykonać dwukrotnie - raz wychylając wahadło o kąt 6* w prawo, a następnie w lewo. Do obliczeń należy wziąć średnią arytmetyczną I 10 b) Za pomocą przymiaru milimetrowego zmierzyć długość nici. Za długość wahadła przyjąć sumę 2 czasów 1,,. Okres wahań 7'=-—,,. Wyniki pomiarów zapisać w tabeli, le lyetr 22.6. ZAKRES SPRAWOZDANIA Sprawozdanie powinno zawierać cel ćwiczenia, *_ rysunek i opis wahadła nachylnego, wykorzystywane zależności, »_ protokół pomiarowy, * za pomocą wzoru (22.9) obliczone wartości współczynników tarcia tocznego / dla badanych próbek, *_ oszacowane błędy pomiarowe (np. metodą różniczki zupełnej), * obliczone za pomocą wzoru (22./0) wartości przyspieszenia ziemskiego otrzymane w poszczególnych pomiarach (dla każdej próbki i dla trzech kątów nachylenia), * wyznaczoną wartość kąta nachylenia dla którego otrzymane wyniki są najbardziej wiarygodne, *_ wyznaczone przyspieszenie ziemskie za pomocą wahadła nachylnego, obliczenia dla której próbki wyznaczone wartości przyspieszenia ziemskiego najbardziej różnią się od znanej warlości g=9,47 m/s, wskazać wobec tego, który pomiar współczynnika tarcia tocznego jest najbardziej wiarygodny, «wnioski. . PROTOKÓŁ POMIAROWY Data pomiarów : Grupa Sekcja : Semestr Rok akad. : Materiał: kulki .. „bieżni Promień kulki r= l... mim Liczba pełnych wahnięć Tabela 22.1 rad, rad, hm Materiał: kulki ........ - bieżni „. Promień kulki r „ mm Liczba pełnych wahnięć n Tabele 22.2 rud, rad, mm, -185- docsity.com Materiał: kulki . Promień kulki „ mm. Liczba pełnych wahnięć Tabela 22.3 rad) rad, (er fmm, Materiał: kulki .. Promień kulki r bieżni . mm Liczba pełnych wahnięć n= Tabela 22.4 rad] rad, ffmm mm R 2 w N 10. 11. 12. 13. 14. 18. 20. 21. LITERATURA Bathe K.J., Wilson E.L.: Numerical methods in finite elements anałysis. Prentice-Hall Inc. New York 1976. Beer F.P., Johnston E.R.: Vector mechanies for engineers. Dynamics. McGraw-Hill, New York 1977. Białkowski G.: Mechanika klasyczna. PWN, Warszawa 1975. Dryński T.: Ćwiczenia laboratoryjne. PWN, Warszawa 1980. Faworin M.W.: Momienty inercyi tel. Maszynostrojenije, Moskwa 1977. Goudreau G.L., Taylor R.L; Evaluadon of numerical integration methods in elastodynamies. Comp. Meth. Appl. Mech. Engng. 2. 69-97, 1972. Greń J.: Statystyka matematyczna. Modele i zadania. PWN, Warszawa 1974. Gryboś R.: Teoria zderzeń w dyskretnych układach mechanicznych. PWN, Warszawa 1969. Jakubowicz A., Odoś Z.: Wytrzymałość materiałów. WNT, Warszawa 1978. Jastrzębski P. i inni: Kratownice. Obliczenia statyczne. Arkady, Warszawa 1959. Kittel C., Knight W.D., Ruderman M.A.: Mechanika. PWN, Warszawa 1969. Kowaliew H.A.: Prikładnaja miechanika. Wysszaja szkoła, Moskwa 1982. Krupowicz A.: Metody numeryczne zagadnień początkowych równań różniczkowych zwyczajnych. PWN, Warszawa 1986. Leitner R.: Żarys matematyki wyższej dla inżynierów. WNT, Warszawa 1981, cz.1. . Leyko J.: Mechanika ogólna. PWN, Warszawa 1987, t.1. 16. 17. Leyko J.: Mechanika ogółna PWN, Warszawa 1997, t.2. Łinderman Z.R. i inni: Mechanika techniczna. Laboratorium. Wydawnictwa Pol. Warsz., Warszawa 1984. Majchrzak E., Mochnacki B.: Metody numeryczne. Podstawy teoretyczne, aspekty praktyczne i algorytmy. Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 1996. . Miller $.: Teoria maszyn i mechanizmów. Analiza układów kinematycznych. Oficyna wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 1996. Morecki A. i inni: Maszyny i urządzenia mechaniczne. WSiP, Warszawa 1983. Oderfeld J.: Wstęp do mechanicznej teorii maszyn. WNT, Warszawa 1962. "197- docsity.com cd. tablicy Z,4 cd. tablicy Z.4 1. 2. 3 1. z 3. =1 RI(2A- sk) ące, = ymi » Ron - 2 EA = gl RZ WED r z Ep? ZD) sody x|2A(A7 +8R*)-3zn(a' + R')] „4a A>] sg (or) a 1 NA "a ż* zen, 5 zy mx RP JCZEZA| zz (34-4R) RI Ja =%,=R 5 óv „Se m0-21;| Lot, = Irpr, = zę WRS ZTĘ „0x, = Tron, zr 1 xor, z Luo, p=Z a(R=r) I Zme(3 „rśRer) 2 w? voz, * gó 4 = zm 1f, r Ło x„=gl 3-3 2,0%, = Tear, 7 | 3 r) =z=R = 2 191 Jo 7 Że 26 R +3r -2 4 1 Ly, = by, = mk” 1 "m =qzmt A= R+2r Tablica 2.5 1 Wartości współczynnika tarcia ślizgowego suchego dyoż, = Izox, = zk: +17) dla niektórych ciał ba, =Znt 12 Trące się materiały Tarcie spoczynkowe | Tarcie w ruchu A A poet -P(R-] nog, = nbrzy» Drewno po drewnie 0,4+ 0,7 0,2 + 0,4 IL, wUScR'-ASRGR<H)+ Żeliwo po żeliwie 0,16 + 0,22 0,10 ""gV PE Stal po żełiwie 0,11+0,18 0,10 _ Ly +2W'(R-3k)|)-x) «lek - [(GR=1)-2] l >| Stal po stali 0.15=0,17 0,15 =P 7 lan, Tę * Drewno po metalu 0,60 0,40 zg! «(BeR'- F[R'(3R+h)- Pas skórzany po żeliwie 0,50 0,28 - 2 (3R- R) Żeliwo po brązie 0,18 0,15 tro, jm Sznur konopny po drewnie 0,5+0,8 0,3 + 0,4 —h Stal po lodzie 0,02 + 0,03 0,015 m) P=iQ2R=5) c= arocos z / Y O - 202 - i BIALSYEKA -20 it jg PELE sdocsity.com ZASADY BEZPIECZEŃSTWA PODCZAS KORZYSTANIA Z POMIESZCZEŃ LABORATORYJNYCH 1. Prawo do samodzielnego korzystania z pomieszczenia laboratoryjnego i znajdujących się w nim urządzeń mają wyłącznie prowadzący ćwiczenia laboratoryjne lub osoby upoważnione przez kierownika laboratorium. 2. Osoby nieupoważnione mogą korzystać z laboratorium wyłącznie w obecności co najmniej jednej osoby upoważnionej (wg pktu 1). 3. Fakt wysłuchania instruktażu BHP powinien być potwierdzony podpisem osoby instruowanej. 4. W razie wypadku należy: * udzielić pierwszej pomocy, korzystając z apieczki znajdującej się w laboratorium, »* zawiadomić o wypadku: kierownika laboratorium, kierownictwo Katedry, a w przypadku poważniejszych inspektorat BHIP Uczelni. m . Przed opuszczeniem laboratorium należy sprawdzić, czy nie pozostały w nim źródła zagrożeń, np. nie wyłączone zasilanie, nie zakręcone krany itp. m . Jeśli osoba korzystająca z wyposażenia laboratorium stwierdziła, że w znajdujących się w nim urządzeniach wystąpiły objawy wskazujące na możliwość awarii (np. nadmierne nagrzewanie, iskrzenie, zapach spalenizny), powinna niezwłocznie powiadomić o tym kierownika laboratorium. (ER Sowa? ra docsity.com