MATEMATYKA
Lista 3
(liczby zespolone, ci¡gi liczbowe)
Zad 1.
Naszkicowa¢ na pªaszczy¹nie zespolonej zbiory:
A={z∈C:|z|+
Re
(z)≤1}
,
B={z∈C:|z−2i|≥|z−4+2i|}
,
C={z∈C:|z+ 4 + 6i|≤|z+ 1 + 7i|≤|z+ 5 + 5i|}
,
D={z∈C:π
6<
arg
z≤2π
3}
,
E={z∈C:
arg
(z−2 + i) = π}
,
F={z∈C:π≤
arg
(iz)<2π}
.
Zad 2.
Przedstawi¢ w postaci trygonometrycznej nast¦puj¡ce liczby zespolone:
(a)
−√7
, (b)
−2i
, (c)
1 + i
, (d)
sin α−icos α
,
(e)
−1 + i√3
, (f)
−√3−i
, (g)
(√3−i)20
, (h)
1+i
1+i√32009
Zad 3.
Obliczy¢ warto±ci podanych wyra»e«
(a)
(cos π
11 +isin π
11 )121
, (b)
3i
1+i
, (c)
(1+i)10
(1+i√3)15
, (d)
2+2i
1−i
, (e)
1−√3i
3+i
, (f)
(1+i)n
(1−i)n−2
dla
n > 2
.
Zad 4.
Obliczy¢ i narysowa¢ na pªaszczy¹nie zespolonej podane pierwiastki:
(a)
√3−4i
, (b)
p−1 + i√3
, (c)
3
√−27i
, (d)
4
√−4
(e)
6
√−64
, (f)
3
√−1 + i
, (g)
√8−8i
, (h)
3
p(1 + i)3
Zad 5.
Zbadaj ograniczono±¢ ci¡gu o wyrazie ogólnym:
a)an=√n−√n+ 2 b)an=3n
3n+ 2 c)an=4
√n4+ 4
d)an=n
√n2+ 1 e)an= 1000 −√n f )an=n
√2n+ 3n
Zad 6.
Zbadaj monotoniczno±¢ ci¡gu o wyrazie ogólnym:
a)an=√n+ 1 −√n b)an=2n+1 + 3n+1
2n+ 3nc)an=n2
n2+n+ 2
d)an=n!(2n)!
(3n)! e)an=√n2+ 4n−n f)an= (1 + 1
12)(1 + 1
22). . . (1 + 1
n2)
Zad 7.
Oblicz granice ci¡gów:
a)
an=(−1)n
3n+2
b)
an=n
√2n+ 3n+ 4n
c)
an=√4n+1
3
√8n+1
d)
an= 2−ncos nπ
e)
an=√n2+5−n
√n2+2−n
f)
an=(n+1)!−n!
(n+1)!+n!
g)
an=n2+1
n2(n
2), n ≥2
h)
an=1−1
n2n
i)
an=n−4
n3−n
j)
an=(2n+1)3n
n(2n+1)
k)
an=(n!)2
(2n) !
l)
an=1 + 1
2n+3 6n
m)
an= (−n2−7)
n)
an=3n
−2n
4n
−3n
o)
an=cos (n!)
n
p)
an=n2+1
n22n2+1
q)
an=2n
n3+1
r)
an=5n6
−3n4+2
5−10n6
s)
an=3n2+2n
4n2+3n+1
t)
an=4n
4n+1 n
u)
an=√n+ 5 −n
v)
an=2n2
−1
(n+1)2
Zad 8.
Korzystaj¡c z wªasno±ci ci¡gu arytmetycznego lub ci¡gu geometrycznego oblicz
granice ci¡gów:
an=√2·4
√2· · ·· · 2n
√2bn=1 + 3 + · ·· + (2n−1)
2 + 4 + · ·· + 2n
cn=1 + 1
2+1
22+· ·· +1
2n
1 + 1
3+1
32+· ·· +1
3n
docsity.com