Analiza matematyczna III
Lista 10
Zad 1. Wykazać, że dla z, w ∈Czachodzi
a) z=z, d) Re z=z+z
2,
b) z+w=z+w, e) Im z=z−z
2i,
c) z·w=z·w, f) z·z= (Re z)2+ (Im z)2.
Zad 2. Przedstawić liczbę zespoloną w postaci biegunowej (trygonometrycznej).
Zad 3. Podać interpretację geometryczną mnożenia dwu liczb zespolonych. Wyciągnąć stąd
następujące wnioski:
1) |z·w|=|z|·|w|, dla dowolnych z, w ∈C,
2) |z|2=zz, dla każdego z∈C,
3) wzór Moivre’a: zn=|z|ncos(nϕ) + isin(nϕ), gdzie ϕ=arg z,
4) istnieje dokładnie npierwiastków n-tego stopnia z liczby zespolonej a6= 0.
Zad 4. Wyznaczyć sumę oraz iloczyn wszystkich pierwiastków n-tego stopnia z jedynki.
Zad 5. Korzystając z własności modułu i sprzężenia liczb zespolonych wykazać, że dla dowol-
nych z, w ∈Czachodzi: a) |z+w| ≤ |z|+|w|(nierowność trójkąta), b) |z+w|2+|z−w|2=
2(|z|2+|w|2)(tożsamość równoległoboku).
Zad 6. Znaleźć |z|oraz arg z, gdy:
a) z= (1 + i)(2 + i)(3 + i), b) z=1+i
3−i, c) z=eiϕ + 1,ϕ∈(−π.π), d) z=(1+i)n
(1−i)n.
Zad 7. Przedstawić w postaci trygonometrycznej liczby:
a) 5, b)√2i, c)−1−√3i, d)5+15i
3−i, e) ( 1+i
1+i√3)2008
Zad 8. Wyznaczyć wszystkie liczby zespolone dane symbolami
a) 4
√1, b)4
√−2, c)3
√1 + i, d)3
√−2+2i, e)3
p√2i
Zad 9. Narysuj na płaszczyźnie zespolonej zbiory:
A={z∈C:Re (z)≥0}, B ={z∈C:|z| ≤ 1},
C={z∈C:|z−i−1| ≤ 2}, D ={z∈C: 0 <arg (z)<1
4π∧ |z|<3},
E={z∈C:|z|>1∧ |z|<2}, F ={z∈C:|z−2+3i|= 2},
G={z∈C: 0 ≤arg (z)≤π
3}, H ={z∈C:|z−5|=|z+ 1|},
I={z∈C: 0 ≤arg (iz)≤π}, J ={z∈C:Re (z2)>2oraz Im (z2) = 1}.
Zad 10. Wyznaczyć parametryczne równanie:
a) prostej przechodzącej przez punkty odpowiadające liczbom zespolonym z1,z2,
b) okręgu o środku z0i promieniu r.
Zad 11. Wyznaczyć obraz kwadratu o wierzchołkach w punktach z1= 0,z2= 1,z3= 1 + i,
z4=i, przy odwzorowaniu:
a) f(z) = iz, b) f(z)=2iz, c) f(z) = 2iz +i, d) f(z) = z2.
Zad 12. Znaleźć, przy odwzorowaniu f(z) = 1
z2obraz zbioru ograniczonego przez krzywe:
|z|=1
2,|z|= 1, x = 0, y =xdla x≥0.
docsity.com