Liczby zespolone, operacje - Ćwiczenia - Analiza zespolona, Notatki z Analiza Kompleksowa

Pobierz Liczby zespolone, operacje - Ćwiczenia - Analiza zespolona i więcej Notatki w PDF z Analiza Kompleksowa tylko na Docsity!

Analiza zespolona Lista 1

Wprowad¹my na zbiorze R^2 uporz¡dkowanych par liczb rzeczywistych nast¦puj¡ce dzia- ªania + i ·:

(a, b) + (c, d) := (a + b, c + d), (a, b) · (c, d) := (ac − bd, ad + bc).

Trójka (R^2 , +, ·) jest ciaªem. Ciaªo to nazywamy ciaªem liczb zespolonych i oznaczamy przez C. Elementy ciaªa C nazywamy liczbami zespolonymi. Uto»samiaj¡c liczb¦ a z par¡ (a, 0) otrzymujemy naturalne zanurzenie ciaªa liczb rzeczy- wistych w ciaªo liczb zespolonych. Przyjmuj¡c oznaczenia: a := (a, 0), i := (0, 1), liczba zespolona przybiera posta¢

z = (a, b) = a + ib, gdzie i^2 = i · i = − 1.

Liczb¦ a, w tym przedstawieniu, nazywamy cz¦±ci¡ rzeczywist¡ i oznaczamy Re z, nato- miast liczb¦ b nazywamy cz¦±ci¡ urojon¡ i oznaczamy Im z. 1 Liczb¦ zespolon¡ (a, −b) = a − ib nazywamy sprz¦»on¡ z liczb¡ z = (a, b) = a + ib i oznaczamy z.

Zad 1. Wykaza¢, »e dla z, w ∈ C zachodzi a) z = z, d) Re z = z+ 2 z, b) z + w = z + w, e) Im z = z 2 −iz , c) z · w = z · w, f) z · z = (Re z)^2 + (Im z)^2.

Zad 2. Przedstawi¢ liczb¦ zespolon¡ w postaci biegunowej (trygonometrycznej).

Zad 3. Poda¢ interpretacj¦ geometryczn¡ mno»enia dwu liczb zespolonych. Wyci¡gn¡¢ st¡d nast¦puj¡ce wnioski:

1. |z · w| = |z| · |w|, dla dowolnych z, w ∈ C,

2. |z|^2 = zz, dla ka»dego z ∈ C,

3. wzór Moivre'a: zn^ = |z|n

cos(nϕ) + i sin(nϕ)

, gdzie ϕ = arg z,

4. istnieje dokªadnie n pierwiastków n-tego stopnia z liczby zespolonej a 6 = 0.

Zad 4. Wyznaczy¢ sum¦ oraz iloczyn wszystkich pierwiastków n-tego stopnia z jedynki.

Zad 5. Korzystaj¡c z wªasno±ci moduªu i sprz¦»enia liczb zespolonych wykaza¢, »e dla dowolnych z, w ∈ C zachodzi:

1. |z + w| ≤ |z| + |w| (nierowno±¢ trójk¡ta),

∣|z| − |w|

∣ ≤ |z^ −^ w|,

3. |z + w|^2 + |z − w|^2 = 2(|z|^2 + |w|^2 ) (to»samo±¢ równolegªoboku).

(^1) Re od realis, Im od imaginaris

docsity.com