Pobierz Liczby zespolone, zadania - Notatki - Algebra - Część 1 i więcej Notatki w PDF z Algebra tylko na Docsity!
Lista nr 1 - Liczby zespolone
Zadanie 1. Obliczyć:
a) (
3 − i )^32
b)
6 2 i^ −^ √^1 2
c) (1+
√ 3 i )^8 ( i− 1)^6
d) 1 +
√ 3 −i 2 +
3 −i 2
3 −i 2
e)
1 2 −^
√ 3 2 i
f*)
√ 3 −i 2
g)
1+ √ 3 i 1 −√ 3 i
h) ( − 1+
√ 3 i ) 15 (1 −i )^20
i) (^1) −^1 √ 2 i
Zadanie 2. Przedstawić w postaci trygonometrycznej:
a) (^) 2+35+ ii
b*) 1 + sin α − i cos α
c) (
√ 6 −i √ 2)^6 (1 −i )^7 ·i^99
d)
1 −i 1+ i √ 3
e) (1 −i
√ 3)^6 (1+ i √ 3)^9
Zadanie 3. Przedstawić w postaci algebraicznej:
a)
cos π 5 − i sin π 5
b) 3
− 5 i
c)
1 + 2 i (z definicji pierwiastka zespolonego)
d) 4
Zadanie 4. Rozwiązać równanie:
a) z^4 + 4 = 0
b) z^2 + (2 + 2 i ) z + 1 + 2 i = 0
c) z^4 − 3 z^2 + 4 = 0
d) i · ( z + z ) + i · ( z − z ) = 2 i − 3
e) ( z + i )^3 =
√ 3+ i − 1+ √ 3 i f ) |z|^2 + z = 2 + i
g) iz^2 + (1 + i ) z −^12 = 0
h) z^3 = (1 −
3 i )^6
i*) z^6 = (1 + 3 i )^12
j) ( z )^3 − iz = 0
k) |z|^2 = |z|
2 z−i l) z^2 − 3 z = − 3 − i
m) z^4 − iz^2 + 2 = 0
n) (1 + i )^4 · z^4 = − 1
o) ( z )^3 · i = 1
Zadanie 5. Naszkicować zbiór liczb zespolonych spełniających warunek:
a) π 3 < arg( z + i ) < π
b) π < arg( z^3 ) <^32 π
c)
∣ z i + 5
d) Re ( z + 1)^2 > 0
e)
1 < |z + 1 − i| < 2 Im ( iz ) < 2
f )
∣ z z−−^1 i
∣ >^^1
π < arg( z ) < 2 π
g) Re [ z · (1 − i )] ¬ 1
h*) |z − i| + |z + i| ¬ 4
i) |z − 2 | ¬ Imz + 3
Lista nr 3 - Macierze i wyznaczniki
Zadanie 13. Obliczyć wyznacznik:
a)
− 1 i 1 2 1 − 1 1 4 − 1 −i 1 8
b)
(wyznacznik n × n , odp: ( − 1) n−^1 ( n − 1))
c)
(odp: 299)
d)
cos( φ ) sin( θ ) sin( φ ) sin( θ ) cos( θ ) −r sin( φ ) sin( θ ) cos( φ ) sin( θ ) 0 r cos( φ ) cos( θ ) r sin( φ ) sin( θ ) −r sin( θ )
(odp: r^2 sin( θ ))
Zadanie 14. Wyznaczyć wszystkie α ∈ R, dla których macierz A =
α 0 1 1 α − 1 0 1 1 1
(^) jest nieosobliwa.
Dla α = 1 wyznaczyć dwoma metodami A−^1. Sprawdzić bezpośrednim rachunkiem, że A·A−^1 = A−^1 ·A = I.
Zadanie 15. Rozwiązać równanie, gdzie X ∈ R n×k :
a) X +
· X
b) X ·
c)
·^ X^ =
) T
(stosować operacje elementarne)
d)
− 1 · X = X +
Zadanie 16. Wyznaczyć rząd macierzy:
a)
T
b)
1 − α 2 1 α 1 2 − α 1 0 1 2 1 − α α
, gdzie α ∈ R jest parametrem
Lista nr 4 - Układy równań liniowych, twierdzenie Kroneckera-
Capellego
Zadanie 17. Sprawdzić, czy układ równań jest układem Cramera:
a)
2 x + 3 y = 2 x + y + 5 z + 2 t = 1 2 x + y + 3 t = − 3 x + y + 3 z = − 3
Wyznaczyć x i t.
b)
3 x + y + z + t = 0 3 x + 3 y + z + t = 0 3 x + 3 y + 3 z + t = 0 3 x + 3 y + 3 z + 3 t = 3
Wyznaczyć y i z.
Zadanie 18. Metodą eliminacji Gaussa rozwiązać układ równań:
a)
x + 2 y + z = 1 3 x + 7 y + 6 z = 3 x + 3 y + 4 z = 1 2 x + 3 y − z = 2 x + 4 y + 7 z = 1
b)
5 y + z = 0 3 x − y + 2 z + 2 w = − 7 y + w = − 2 −x − 2 z = 1
Zadanie 19. Dla jakich wartości parametru a układ równań
(2 − a ) x + y + 2 z = 0 2 x + (1 − a ) y + 2 z = 0 2 x + y + (2 − a ) z = 0
ma niezerowe
rozwiązania? Wyznaczyć te rozwiązania.
Zadanie 20. Dany jest układ równań
mx + y + z = 4 x + my + z = 4 m x + y + mz = 4 m^2
, gdzie m ∈ R jest parametrem. Wyznaczyć
te wartości m , dla których układ ten jest układem Cramera. Następnie dla m = 2 rozwiązać ten układ stosując:
- wzory Cramera,
- metodę macierzy odwrotnej,
- metodę eliminacji Gaussa.
Zadanie 21. Zbadać rozwiązywalność układu równań. Wyznaczyć, jeśli istnieją, rozwiązania ( a ∈ R - parametr):
a)
x + y = 1 2 x + 3 y = 5 4 x + 5 y = 7
b)
x − 2 y + z + w = 1 x − 2 y + z − w = − 1 x − 2 y + z + 5 w = 5
c)
ax + ay + 2 az = 5 x + 3 y + az = 5 x + y + 2 z = 3
d)
ax − 4 y = 0 x + 3 y = 2 a + 1 5 x − y = 9
Lista nr 5 - Macierze blokowe, wektory i wartości własne macierzy
Zadanie 23. Wykorzystując postać blokową obliczyć A−^1 :
a) A =
b) A =
Zadanie 24. Wykorzystując postać blokową obliczyć det B , gdzie B =
Zadanie 25. Sprawdzić, czy macierz jest ortogonalna, tzn. AT^ = A−^1 :
a) A =
cos( x ) 0 sin( x ) 0 1 0 − sin( x ) 0 cos( x )
b) B =
Zadanie 26. Znaleźć wektory i wartości własne macierzy:
a) A =
b) B =
c) C =
Sprawdzić, że macierz jest pierwiastkiem swojego wielomianu charakterystycznego.
Zadanie 27. Rozwiązując odpowiednie równanie macierzowe znaleźć macierz A^3 ×^3 znając jej wartości
własne λ 1 = − 1 , λ 2 = 2, λ 3 = − 2 i odpowiadające im wektory własne x 1 =
, x 2 =
x 3 =
