Pobierz Liczby zespolone: zadania różne i więcej Zadania w PDF z Matematica Generale tylko na Docsity!
LICZBY ZESPOLONE - zadania z ODPOWIEDZIAMI
Zadanie 1
Dane są liczby zespolone w poniższej postaci. Wykonaj niezbędne obliczenia a
następnie wskaż Re( w ) oraz Im( w )
(a) i i i
i i i w 5
2 = −
Re( w ) = oraz 5
Im( w )=−
(b) w = i =− i 135 ⇒ Re( w ) = 0 oraz Im( w )=− 1
(c) i
i
i i
i w 4
2 63
2 = = − +
= ⇒ Re( w ) = 0 oraz 4
Im( w )=
Zadanie 2
Znaleźć postać trygonometryczną:
(a) z =− 2 ⇒ | z |= 2 , ϕ =π ⇒ z = 2 ( cosπ + i sinπ)
(b) z = 5 i ⇒ ϕ π 2
| z |= 5 , = ⇒ (^)
= π + π 2
sin 2
z 5 cos i
(c) z = 2 − i 12 ⇒ ϕ π 3
| z |= 4 , = ⇒ (^)
= π + π 3
sin 3
z 4 cos i
(d) z = − 2 + 2 i ⇒ ϕ π 4
| z |= 2 2 , = ⇒ (^)
= π + π 4
sin 4
z 2 2 cos i
Zadanie 3
Niech z (^) 1 = − 2 3 + 2 j , z (^) 2 = − 8 j , z (^) 3 = − 3 − j Oblicz:
(a) z (^) 1 ⋅ z 2 = 16 + 16 3 ⋅ i
(b) z 1 ⋅ z 3 = 8
(c) i 4
2
1 =− − z
z
(d) i z
z = 1 − 3 ⋅ 3
1
(e)
(^1212) z 1 = 4
(f) i z
z 99 75 3
12 1 2
(g)^3 z 1 : postać trygonometryczna liczby podpierwiastkowej (^)
= π + π 6
sin 6
z 1 (^) 4 cos i.
Pierwiastki trzeciego stopnia z liczby z 1 są 3 i wyrażają się wzorami ω 0 , ω 1 ,ω 2
ω = π+ π 18
sin 18
4 cos 3 0 i
ω = π+ π 18
sin 18
4 cos 3 1 i
ω = π+ π 18
sin 18
4 cos 3 2 i
(h)^3 z (^) 2 : postać trygonometryczna liczby podpierwiastkowej (^)
= π + π 2
sin 2
z (^) 2 8 cos i.
Pierwiastki trzeciego stopnia z liczby z 2 są 3 i wyrażają się wzorami ω 0 , ω 1 ,ω 2
i 2 i 2
sin 2
0 2 cos =
ω = π+ π
i (^) =− − i
sin 6
ω 1 2 cos π π
i (^) = − i
sin 6
ω 2 2 cos π π
(i) 3 1 − i : postać trygonometryczna liczby podpierwiastkowej: (^)
= π + π 4
sin 4
z 2 cos i.
Pierwiastki trzeciego stopnia z liczby z = 1 − i są 3 i wyrażają się wzorami ω 0 , ω 1 ,ω 2
ω = π+ π π π 12
sin 12
2 cos 12
sin 12
2 cos 3 6 0 i i
ω = π+ π π π 12
sin 12
2 cos 12
sin 12
2 cos 3 6 1 i i
ω = π+ π π π 12
sin 12
2 cos 12
sin 12
2 cos 3 6 2 i i
(j)
4 − 1 postać trygonometryczna liczby podpierwiastkowej z = ( cos π + i sinπ). Pierwiastki
trzeciego stopnia z liczby z =− 1 są 4 i wyrażają się wzorami ω 0 , ω 1 ,ω 2 ,ω 3
i (^) = + ⋅ i
sin 4
ω 0 cos π π
i (^) =− + ⋅ i
sin 4
ω 1 cos π π
i (^) =− − ⋅ i
sin 4
ω 2 cos π π
i (^) = − ⋅ i
sin 4
ω 3 cos π π
(k) 3 8 : postać trygonometryczna liczby podpierwiastkowej z = 8 ( cos 0 + i sin 0 ). Pierwiastki
trzeciego stopnia z liczby z = 8 są 3 i wyrażają się wzorami ω 0 , ω 1 ,ω 2
ω 0 = 2 (cos 0 + i sin 0 ) = 2
i (^) =− + ⋅ i
sin 3
ω 1 2 cos π π
