Liniowe modele decyzyjne. Model optymalnej struktury produkcji, model diety, wybór procesów technologicznych., Ćwiczenia z Ricerca Operativa

Pobierz Liniowe modele decyzyjne. Model optymalnej struktury produkcji, model diety, wybór procesów technologicznych. i więcej Ćwiczenia w PDF z Ricerca Operativa tylko na Docsity!

Temat 1: Liniowe modele decyzyjne. Model optymalnej struktury produkcji, model diety, wybór procesów technologicznych.

Decyzje podejmujemy w wielu różnych sytuacjach. Sytuacje te nazywamy sytuacjami decyzyjnymi , a osobę podejmującą decyzje – decydentem. Warunki, w jakich działa decydent nie pozwalają na podjęcie decyzji dowolnej. Decyzję zgodną z warunkami ograniczającymi nazywamy decyzją dopuszczalną. Wśród zbioru decyzji dopuszczalnych można wyróżnić decyzję optymalną. Jej wybór wymaga przyjęcia określonego kryterium, wg którego rozróżniamy decyzje na lepsze i gorsze. Kryterium to nazywamy kryterium wyboru (oceny). Zadanie, w którym zarówno funkcja celu, jak i warunki ograniczające są liniowe nazywamy liniowym zadaniem decyzyjnym (programem liniowym)^1.

Formułowanie zadań decyzyjnych przebiega w następujących etapach:

 Określenie, jakie wielkości mają być wyznaczone – oznaczenie zmiennych decyzyjnych  Ustalenie parametrów zadania  Sformułowanie warunków ograniczających daną decyzję w postaci równań/nierówności  Wyznaczenie celu, jaki chce osiągnąć decydent – sformułowanie funkcji celu Uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania liniowego jest algorytm simplex. Gdy w modelu występują dwie zmienne decyzyjne, możemy go rozwiązać również metodą geometryczną. W przypadku, gdy w modelu występują więcej niż dwie zmienne decyzyjne, ale tylko dwa ograniczenia, można zadanie rozwiązać wykorzystując zależność między programem pierwotnym a dualnym (w programie dualnym będą wówczas dwie zmienne decyzyjne i można będzie go rozwiązać metodą geometryczną).

Przykładowe zagadnienia programowania liniowego

I. Optymalny wybór asortymentu produkcji. Zakład może wyprodukować n wyrobów. Do ich produkcji są wykorzystywane różne środki produkcji. Część z nich ( r) dostępna jest w ilościach ograniczonych. Parametry modelu matematycznego: aij – zużycie i - tego środka produkcji na wytworzenie jednostki j - tego wyrobu ( i =1,2,..., r , j =1, 2,..., n ); bi – posiadany zasób i - tego środka produkcji; cj – cena lub zysk jednostkowy ze sprzedaży j - tego wyrobu;

Należy określić, jakie wyroby i w jakich ilościach produkować, aby nie przekraczając posiadanych zasobów środków produkcji (i ewentualnie spełniając dodatkowe ograniczenia dot. struktury produkcji) zmaksymalizować przychód (lub zysk) z ich sprzedaży. Zmienne decyzyjne: wielkości produkcji wyrobów: xj – wielkość produkcji j – tego wyrobu; Formalna postać liniowego modelu decyzyjnego:

max

11 2 2

1 2

11 2 2

111 12 2 1 1 1

n n

n

r r rn n r

n

cx cx c x

x x x

a x a x a x b

a x a x a x b

(^1) Opracowanie teoretyczne na podstawie: Karol Kukuła (red.), Badania operacyjne w przykładach i zadaniach. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1996

Pierwsze r warunków dotyczy ograniczonych zasobów środków produkcji ( ograniczenia strukturalne modelu )

Warunki nieujemności zmiennych decyzyjnych x 1 (^) ,^ x 2 ,..., xn ^0 są nazywane^ ograniczeniami brzegowymi

Plany produkcji spełniające ograniczenia strukturalne i brzegowe są rozwiązaniem dopuszczalnym. Rozwiązanie optymalne jest tym (tymi) spośród rozwiązań dopuszczalnych, dla którego (dla których) funkcja celu przyjmuje wartość największą.

Temat 1: Liniowe modele decyzyjne. Model optymalnej struktury produkcji, model diety, wybór procesów technologicznych.

II. Model mieszanki (diety) Przedmiotem zagadnienia optymalnego mieszanki jest ustalenie, jakie ilości podstawowych surowców należy zakupić (zmieszać), aby otrzymać produkt o pożądanym składzie przy możliwie najniższych kosztach zakupu surowców. Szczególnym wariantem problemu mieszanek jest zagadnienie diety. Załóżmy, że mamy do dyspozycji n produktów żywnościowych, w których powinno być zawarte r składników odżywczych. Parametry modelu matematycznego: aij – zawartość i - tego składnika odżywczego w jednostce j - tego produktu ( i = 1,2, ..., r ; j = 1, 2, ..., n ); bi – tzw. norma żywienia , czyli minimalna (maksymalna) ilość i - tego składnika, jakiego należy dostarczyć; cj – cena j - tego produktu żywnościowego;

Należy określić takie wielkości zakupu poszczególnych produktów żywnościowych, które zapewnią organizmowi niezbędne składniki odżywcze i spełnią ewentualnie pewne dodatkowe ograniczenia, a równocześnie koszt ich zakupu będzie możliwie najniższy. Zmienne decyzyjne: ilości produktów jakie należy zakupić: xj – wielkość zakupu j – tego produktu Formalna postać liniowego modelu decyzyjnego:

min

11 2 2

1 2

11 22

111 12 2 1 1 1

n n

n

r r rn n r

n

cx cx c x

x x x

a x a x a x b

a x a x a x b

UWAGA:

W obu powyższych modelach wszystkie ograniczenia strukturalne mają ten sam znak. Zagadnienie można oczywiście komplikować. W praktyce często spotyka się zagadnienia programowania liniowego, typu mieszanego, tzn. część warunków ograniczających jest typu „≤”, „≥” lub „=”.

III. Wybór procesów technologicznych (zagadnienie rozkroju) Zakład może wyprodukować r wyrobów w ilościach b 1 , b 2 , ..., br. Do wytwarzania tych wyrobów można stosować n procesów technologicznych. Stosując j - ty proces z jednostkową intensywnością (w skali jednostkowej – jeden raz) uzyskuje się poszczególne produkty w ilościach aij i ponosi koszty cj. Należy tak dobrać procesy technologiczne, aby wytworzyć potrzebne ilości wyrobów przy najmniejszych kosztach. Zmienne decyzyjne: xj - intensywność, z jaką powinien być stosowany j- ty proces technologiczny Formalna postać liniowego modelu decyzyjnego:

min

11 2 2

1 2

11 22

111 12 2 1 1 1

n n

n

r r rn n r

n

cx cx c x

x x x

a x a x a x b

a x a x a x b

Rozwiązanie optymalne jest tym (tymi) spośród rozwiązań dopuszczalnych, dla którego (dla których) funkcja celu przyjmuje wartość najmniejszą.

Temat 1: Liniowe modele decyzyjne. Model optymalnej struktury produkcji, model diety, wybór procesów technologicznych.

Zadanie 4

Gospodarstwo rolne prowadzi hodowlę bydła rogatego. Zwierzętom należy w pożywieniu dostarczyć m.in. składnika odżywczego A w ilości co najmniej 60 jedn., zawartego w produktach P 1 i P 2 służących jako pasza. Produkty P 1 i P 2 zawierają także pewne ilości składników B i C. Ze względu na szkodliwe działanie tych składników, zwierzęta powinny otrzymywać je w ilościach ograniczonych: składnika B co najwyżej 40 jednostek, a składnika C co najwyżej 36 jednostek.

Składniki Zawartość składnika w jednostce produktu P 1 P 2 A 3 3 B 10 4 C 6 9 Cena (w zł) 6 9

Wiedząc ponadto, że w diecie powinno się znaleźć co najmniej 10 jednostek produktu P 1 określić wielkość zakupu produktów P 1 i P 2 , aby zrealizować wymagania co do składu paszy i aby koszt zakupu był minimalny.

Zadanie 5 Tartak otrzymał zamówienie na wykonanie co najmniej 300 kompletów belek. Każdy komplet składa się z 7 belek o długości 0,7 m oraz 4 belek o długości 2,5 m. W jaki sposób powinno być zrealizowane zamówienie, aby odpad powstały w procesie cięcia dłużyc o długości 5,2 m był minimalny? Ile wyniesie wielkość odpadu przy optymalnym cięciu?

Zadanie 6 Klient dostarczył do tartaku tarcicę o długości 560 cm, zlecając pocięcie jej tak, aby otrzymać 300 desek o długości 140 cm i 390 desek o długości 160 cm. W jaki sposób należy pociąć posiadany surowiec, aby zrealizować zamówienie minimalizując odpad? Podać wielkość minimalnego odpadu. Ile tarcic o długości 560 cm będzie potrzebnych do zrealizowania zamówienia? Jak zmieni się odpad, jeżeli zamówienie zostanie zwiększone o 12 desek o długości 160 cm?

Temat 1: Liniowe modele decyzyjne. Model optymalnej struktury produkcji, model diety, wybór procesów technologicznych.

Zadanie 7 ⌂

Rafineria ropy naftowej typu paliwowo-olejowego zakupuje do przerobu dwa gatunki ropy: R 1 i R 2 , w cenach odpowiednio 7 i 14 zł za jednostkę przerobową. Wycinkowy proces technologiczny odbywający się w wieży rektyfikacyjnej daje trzy produkty. Z jednostki przerobowej ropy R 1 otrzymuje się 16 hl benzyny, 20 hl oleju napędowego i 24 hl pozostałości. Z jednostki przerobowej R 2 otrzymuje się 48 hl benzyny, 10 hl oleju napędowego i 14 hl pozostałości. Ile należy zakupić ropy R 1 i R 2 , aby wyprodukować co najmniej 48 000 hl benzyny oraz 20 000 hl oleju napędowego przy minimalnym koszcie nabycia surowca? Należy także wziąć pod uwagę, że zdolność przerobowa wieży rektyfikacyjnej mierzoną łączna objętością wszystkich produktów wynosi 144 000 hl.

1. Zbudować model matematyczny zagadnienia.
2. Rozwiązać go metodą geometryczną.
3. Określić procentowo stopień wykorzystania zdolności produkcyjnej wieży rektyfikacyjnej przy optymalnych rozmiarach zakupu poszczególnych rodzajów ropy.

Zadanie 8 ⌂ W gospodarstwie doświadczalnym ustalono, że karma dla zwierząt jest odpowiednia tylko wówczas, gdy każde z nich otrzyma w racji dziennej nie mniej niż: 60 j. białka, 120 j. cukrów oraz 40 j. tłuszczów. Zawartość poszczególnych składników w dwóch produktach przedstawia tabelka.

Składniki P 1 P 2 Białko 20 10 Cukry 20 40 Tłuszcze 0 40

Cena jednego kg karmy wynosi: P 1 - 5 zł, P 2 - 6 zł. Należy ustalić jaką ilość karmy każdego rodzaju należy podawać dziennie, aby zachować jej optymalny skład oraz zminimalizować koszt zakupu.

Zadanie 9 ⌂ Spółdzielnia mleczarska wytwarza jogurty owocowe i serki homogenizowane. Do wytworzenia 100 opakowań jogurtu zużywa się 200 l mleka, a do 100 opakowań serków – 250 l mleka. Mleczarnia może przeznaczyć na te wyroby nie więcej niż 200.000 l mleka. Jogurty i serki są konfekcjonowane na tej samej taśmie, dlatego też mleczarnia może napełnić co najwyżej 9000 opakowań jogurtu i 7000 opakowań serka. Sklepy zamawiają jogurtu 1,5 raza tyle co serka. Zakładając, że zyski jednostkowe na obu wyrobach są jednakowe, ustalić program produkcji dla spółdzielni mleczarskiej.

1. Ile należy produkować serków, a ile jogurtów aby zapewnić spółdzielni maksymalny zysk?
2. Ile wynosi optymalny zysk spółdzielni?
3. Czy przy optymalnej strukturze produkcji mleczarnia zużyje cały posiadany zasób mleka?