Logika dla prawników: rachunek zdań, Skrypty z Logica

Pobierz Logika dla prawników: rachunek zdań i więcej Skrypty w PDF z Logica tylko na Docsity!

Wojciech Patryas, Elementy logiki dla prawników , Ars boni et aequi, Poznań 1994, s. 7-70 (Rozdział I Rachunek zdań i II Wprowadzenie do rachunku predykatów ). I. RACHUNEK ZDAŃ

1. Zdanie w sensie logicznym O tym, co to jest zdanie, dowiedzieliśmy się już w szkole podstawowej. Wiemy, że wyrażenie „Po- znań leży nad Wartą” jest zdaniem. Także wyrażenia: „Marcin studiuje prawo”, „Czy delfiny są rybami?”, „Przynieś na jutrzejszy wykład notatki z podstawowych pojęć i metod prawoznawstwa”, „Byłem tam” są zdaniami. Pewne z nich nazywamy zdaniami oznajmującymi, inne pytającymi, jeszcze inne rozkazującymi. Wszystkie one są zdaniami w sensie gramatycznym. Jednakże w logice pojmuje się zdania nieco inaczej. Otóż zdaniem w sensie logicznym jest takie wy- rażenie, które jest prawdziwe albo fałszywe. Wyrażenie jest prawdziwe, gdy opisuje rzeczywistość tak, jak się ona ma. Na przykład wyrażenie „Poznań leży nad Wartą” jest prawdziwe, bo miasto Poznań rzeczywiście leży nad rzeką Wartą. Prawdziwe są też wyrażenia „2 + 2 = 4”, „Polska znajduje się w Europie”, czy „Wró- ble są ptakami”. Natomiast wyrażenie jest fałszywe, gdy opisuje rzeczywistość nie tak, jak się ona ma. Na przykład wyrażenie „Pingwiny potrafią latać” jest fałszywe, bo ptaki te nie mają zdolności latania. Fałszywe są też wyrażenia: „Najwyższy Polak mierzy ponad 3 m”, „Paryż jest stolicą Włoch”, czy „Październik jest cieplejszy od lipca”. Należy podkreślić, że wyrażenia fałszywe także opisują rzeczywistość, lecz nie tak jak się ona ma. Ponieważ prawdę oraz fałsz nazywamy wartościami logicznymi, dlatego możemy powiedzieć, że zdaniem w sensie logicznym jest takie wyrażenie, które ma wartość logiczna. Zauważmy, że wyrażenie „Czy delfiny są rybami?” nie jest zdaniem w sensie logicznym, bo nie jest ani prawdziwe, ani fałszywe, czyli nie ma wartości logicznej. Otóż żadne pytanie nie [7/8] jest zdaniem w sensie logicznym. Należy jednak dodać, że niekiedy również i pytania przekazują pewne informacje o rze- czywistości. Gdy słyszymy, jak ktoś pyta „Dlaczego Tomek przestał palić papierosy?”, to domyślamy się, że Tomek przedtem palił papierosy, a teraz już ich nie pali. Niemniej jednak samo to pytanie nie jest ani praw- dziwe, ani fałszywe. Natomiast ma określoną wartość logiczną, a wiec jest zdaniem w sensie logicznym, wy- rażenie następujące „Piotr zapytał Tomka, dlaczego ten przestał palić papierosy”. Jeżeli bowiem rzeczywi- ście Piotr zadał takie pytanie Tomkowi, to powyższe wyrażenie jest prawdziwe. Jeśli zaś w istocie Piotr ta- kiego pytania Tomkowi nie zadał, to wyrażenie to jest fałszywe. Także wyrażenie „Przynieś na jutrzejszy wykład notatki z podstawowych pojęć i metod prawoznaw- stwa” nie jest zdaniem w sensie logicznym, bo nie jest ani prawdziwe, ani fałszywe. Podobnie jak pytania, również i rozkazy czy normy nie są zdaniami w sensie logicznym. Trzeba jednak zaznaczyć, że niekiedy i te wyrażenia bywają przekaźnikami informacji o rzeczywistości. Gdy ktoś rozkazuje Pawłowi „Podaj mi gazetę ze stołu”, to słysząc to domyślamy się, że na stole leży gazeta. Jednakże sam ten rozkaz nie jest ani prawdzi- wy, ani fałszywy. Natomiast ma określoną wartość logiczną, a więc jest zdaniem w sensie logicznym, wyra- żenie następujące „Andrzej rozkazał Pawłowi, aby ten podał mu gazetę ze stołu”. Jeśli bowiem istotnie An- drzej wydał taki rozkaz Pawłowi, to powyższe wyrażenie jest prawdziwe. Jeśli zaś w rzeczywistości Andrzej takiego rozkazu Pawłowi nie wydał, to wyrażenie to jest fałszywe. Nie jest też zdaniem w sensie logicznym wyrażenie „Byłem tam”. Wyrażenie to nie wskazuje bo- wiem kto, gdzie i kiedy był obecny. Może ono jednak funkcjonować tak jak zdanie w sensie logicznym, gdy wypowiadający je i słuchający zdają sobie sprawę ze stosownych jego uzupełnień. Gdy Antek mówi do Franka „Byłem tam”, a obaj wiedzą, że chodzi o stadion Lecha w dniu 14. III. 1993 r., gdy odbywał się na tymże stadionie mecz Lecha z drużyną przyjezdną, to wyrażenie użyte przez Antka funkcjonuje tak jak zda- nie „14. III. 1993 r. Antek był na stadionie Lecha, gdy drużyna Lecha rozgrywała mecz z drużyną przyjezd- ną”. Wyrażenie „Byłem tam” funkcjonuje więc niekiedy tak jak zdanie w sensie logicznym, chociaż nim, w gruncie rzeczy, nie jest. Wyrażeniami takiego typu często posługujemy się w mowie [8/9] potocznej. Rów- nież i w niniejszej pracy będziemy się nimi częstokroć posługiwali, traktując je jako zdania w sensie logicz- nym.

Należy podkreślić, że wartość logiczna zdania jest jego właściwością obiektywną. Nie zależy ona od tego czy trafnie rozpoznają ją ci, którzy używają danego zdania. Wyrażenie „Wieloryby są ssakami” jest i było prawdziwe również wtedy, gdy ludzie błędnie uważali wieloryby za pewien gatunek ryb. Podobnie wy- rażenie „W promieniu miliarda lat świetlnych od Ziemi znajduje się takie ciało niebieskie, na którym wystę- pują przynajmniej zaczątki życia” ma jakąś wartość logiczną, chociaż nie wiemy jeszcze, jaka ona jest. Tak- że zdanie „Dnia 10 lutego 2050 r. w południe na Starym Rynku w Poznaniu temperatura będzie wynosić - 2°C” ma wartość logiczną, której jeszcze nie znamy. Wyrażenie to ma już wartość logiczną nawet gdyby przyjąć, że temperatura w owym dniu nie jest jeszcze zdeterminowana przez aktualnie występujące zjawiska meteorologiczno-geofizyczne. Jak widać, tylko niektóre zdania w sensie gramatycznym są zdaniami w sensie logicznym. Odtąd przedmiotem naszych zainteresowań będą jedynie te zdania, które są zdaniami w sensie logicznym. Stąd też ilekroć będzie dalej mowa o zdaniach, będzie chodziło wyłącznie o zdania w sensie logicznym.

2. Zmienne zdaniowe W dalszych rozważaniach będziemy się posługiwali zmiennymi zdaniowymi. Zmienną zdaniową jest takie wyrażenie, za które wolno wstawiać dowolne zdanie. Jako zmiennych zdaniowych używa się ma- łych liter: „p”, „q”, „r”, „s”, „t”, „p 1 ”, „p 2 ”, „p 3 ”, „q 1 ”, „q 2 ”, „p’”, „p’’”, „q’” itd. W wyrażeniu „p lub q” za zmienną „p” wolno wstawić na przykład zdanie „Kasia studiuje prawo”, zaś za zmienną „q” zdanie „Basia studiuje prawo”, otrzymując w efekcie zdanie „Kasia studiuje prawo lub Basia studiuje prawo”. Podobnie w wyrażeniu „Jeżeli Krzyś myśli, że p, to Krzyś wie, że p” za zmienną zdaniową „p” wolno wstawić [9/10] zdanie „Rysy są najwyższym szczytem w Polsce”, uzyskując zdanie „Jeżeli Krzyś myśli, że Rysy są najwyż- szym szczytem w Polsce, to Krzyś wie, że Rysy są najwyższym szczytem w Polsce”. Jak widać za zmienną zdaniową wolno wstawiać dowolne zdanie. Jeżeli w danym wyrażeniu występuje kilka różnych zmiennych zdaniowych, to za każdą z nich wolno wstawiać dowolne zdanie, a wiec i zdanie różne od tych, które wstawia się za pozostałe zmienne. Na przy- kład w wyrażeniu „p lub q” za „p” wstawiliśmy zdanie „Kasia studiuje prawo”, a za „q” wstawiliśmy zdanie „Basia studiuje prawo”. Ponieważ jednak za daną zmienną wolno wstawiać dowolne zdanie, dlatego za różne zmienne można też wstawić to samo zdanie. Na przykład, za występującą w wyrażeniu „p lub q” zmienną „p” jak i za występującą w nim zmienną „q” wolno wstawić to samo zdanie. Niech to będzie zdanie „Śrem leży nad Wartą”. Wówczas wyjściowe wyrażenie przekształci się w zdanie „Śrem leży nad Wartą lub Śrem leży nad Wartą”. O ile za różne zmienne zdaniowe wolno wstawiać to samo zdanie, o tyle za jedną zmienną występu- jącą w danym wyrażeniu kilkakrotnie nie wolno w różnych miejscach wstawiać różnych zdań. Wstawienie musi bowiem być konsekwentne, co znaczy, że za tę samą zmienną występującą w danym wyrażeniu kilka- krotnie należy wszędzie wstawić to samo zdanie. Gdy więc za zmienną „p” występującą w wyrażeniu „Jeżeli Krzyś myśli, że p, to Krzyś wie, że p” wstawia się zdanie „Jaskółki są ptakami”, to należy je wstawić w każ- dym miejscu, w którym występuje ta zmienna. Konsekwentne jest więc wstawienie prowadzące do zdania „Jeżeli Krzyś myśli, że jaskółki są ptakami to Krzyś wie, że jaskółki są ptakami”. Natomiast niekonsekwent- ne, a więc niepoprawne byłoby wstawienie prowadzące do zdania „Jeżeli Krzyś myśli, że jaskółki są ptaka- mi to Krzyś wie, że niedźwiedzie są ssakami”, bo za tę samą zmienną raz wstawiono by zdanie „Jaskółki są ptakami”, a raz zdanie „Niedźwiedzie są ssakami”. Jeszcze raz podkreślmy, że za zmienne zdaniowe wolno wstawiać tylko zdania. Niepoprawne byłoby więc przekształcenie wyrażenia „p lub q” w wyrażenie „Agnieszka lub Michał”. Takie przekształcenie byłoby bowiem efektem wstawienia za zmienne „p” i „q” wyrażeń „Agnieszka” oraz „Michał”, które przecież nie są zdaniami. **[10/11]

3. Spójniki** Zanalizujemy teraz nieco dokładniej wyrażenie „Kopernik sądził, że p”. Gdy za występującą w nim zmienną wstawi się określone zdanie, to całe to wyrażenie również przekształci się w zdanie. Wstawmy więc

Wskazuje ona, że wartość logiczna zdania powstałego przez poprzedzenie argumentu spójnikiem ne- gacji wyznaczona jest - w szczególny sposób - przez wartość logiczną rzeczonego argumentu. Gdy argument jest zdaniem prawdziwym, to zdanie powstałe przez poprzedzenie go tym spójnikiem jest fałszywe. Gdy na- tomiast argument jest fałszywy, to zdanie powstałe przez poprzedzenie go spójnikiem negacji jest prawdzi- we. Jak już zaznaczono, odpowiednikiem tak pojętego spójnika negacji jest w języku polskim wyrażenie „nie jest tak, że”. Do pewnego stopnia jego odpowiednikiem jest także wyrażenie „nieprawda, że”, a również i samo słowo „nie”. Zdanie dołączone do spójnika negacji jako jego argument nazywamy zdaniem zanegowanym , zaś zdanie powstałe przez zanegowanie określonego zdania nazywamy negacją. Zatem negacją powstałą ze zda- nia „Poznań leży nad Wartą” jest zdanie „Nie jest tak, że Poznań leży nad Wartą”, zaś negacją powstałą ze zdania „Polska leży w Afryce” jest zdanie „Nie jest tak, że Polska leży w Afryce”. W języku polskim zdanie „Nie jest tak, że Poznań leży nad Wartą” uchodzi za tożsame ze zdaniem „Nieprawda, że Poznań leży nad Wartą” oraz za tożsame ze zdaniem „Poznań nie leży nad Wartą”. Podobnie zdanie „Nie jest tak, że Polska leży w Afryce” uchodzi za tożsame ze zdaniem „Nieprawda, że Polska leży w Afryce” oraz „Polska nie leży w Afryce”. Możemy więc powiedzieć, że negacją powstałą ze zdania „Poznań leży nad Wartą” jest zdanie „Poznań nie leży nad Wartą”, a negacją powstałą ze zdania „Polska leży w Afryce” jest zdanie „Polska nie leży w Afryce”. Z kolei negacją powstałą ze zdania „Poznań nie leży nad Wartą” jest zdanie „Nie jest tak, że Poznań nie leży nad Wartą”, a negacją powstałą z tego zdania jest zdanie „Nie jest tak, że nie jest tak, że Po- znań nie leży nad Wartą”. Zdanie zanegowane oraz powstała z niego negacja stanowią parę zdań wzajem sprzecznych. Zatem zdania „Poznań leży nad Wartą” i „Poznań nie leży nad Wartą” stanowią parę zdań wzajem sprzecznych. Również zdania „Poznań nie leży nad Wartą” [13/14] i „Nie jest tak, że Poznań nie leży nad Wartą” tworzą parę zdań wzajem sprzecznych. Także zdania „Polska leży w Afryce” oraz „Polska nie leży w Afryce” są parą zdań wzajem sprzecznych. Łatwo zauważyć, że obok spójnika negacji występują jeszcze trzy inne spójniki jednoargumentowe. Matryce wszystkich tych spójników przedstawiają się następująco: p ~ p 1 0

Druga kolumna określa znany nam już spójnik negacji. Trzecia kolumna określa spójnik, który po do- łączeniu do zdania prawdziwego daje zdanie prawdziwe, a po dołączeniu do zdania fałszywego daje zdanie fałszywe. Spójnik ten nazywany bywa spójnikiem asercji. Odpowiada mu w języku polskim zwrot „jest tak, że”. Kolejny spójnik tym się charakteryzuje, że po dołączeniu do niego zarówno zdania prawdziwego, jak i zdania fałszywego daje zdanie prawdziwe. Nie jest on odpowiednikiem jakiegoś wyrażenia języka polskiego. Wreszcie ostatni spójnik tym się charakteryzuje, że po dołączeniu do niego zarówno zdania prawdziwego, jak i zdania fałszywego daje zdanie fałszywe. Również i ten spójnik nie jest odpowiednikiem jakiegoś wyra- żenia języka polskiego. Spośród wskazanych tu czterech spójników jednoargumentowych dalej interesować nas będzie tylko spójnik negacji. Jak już zaznaczono, obok spójników jednoargumentowych występują także spójniki dwuargumento- we. Spójnikiem dwuargumentowym nazywamy takie wyrażenie, które po dołączeniu do niego dwóch zdań jako argumentów daje nowe zdanie o wartości logicznej wyznaczonej - w szczególny sposób - przez wartości logiczne dołączonych zdań. Takim spójnikiem dwuargumentowym jest spójnik koniunkcji oznaczany sym- bolem „”. Określa go następująca matryca: p q (^) p  q 1 1 0 0

[15/16]

Jak widać, spójnik koniunkcji tym się charakteryzuje, że powstałe z niego zdanie jest prawdziwe tyl- ko wtedy, gdy oba jego argumenty są prawdziwe. Gdy zaś choć jeden z argumentów jest fałszywy, to zdanie zbudowane za pomocą spójnika koniunkcji też jest fałszywe. Zdania dołączone jako argumenty do spójnika koniunkcji nazywa się czynnikami. Zdanie zbudowane z tego spójnika i jego argumentów nazywa się ko- niunkcją. Spójnikowi koniunkcji odpowiada w języku polskim słowo „i”, a do pewnego stopnia także słowa „oraz” tudzież „a”. Zdanie „Poznań leży nad Wartą i Konin leży nad Wartą” jest prawdziwe, gdyż zarówno zdanie „Poznań leży nad Wartą”, jak i zdanie „Konin leży nad Wartą” są prawdziwe. Natomiast zdanie „Ka- sia studiuje prawo i Basia studiuje prawo” jest fałszywe, jeśli choć jedna z tych dziewczyn nie studiuje pra- wa. Jednakże słowo „i” nie w pełni odpowiada spójnikowi koniunkcji i to co najmniej z trzech powodów. Po pierwsze, w odróżnieniu od spójnika koniunkcji łączącego zdania o dowolnej treści, słowem „i” łączy się w zasadzie tylko zdania zbieżne treściowo. O ile bowiem za poprawne uchodzi zdanie „Kasia studiuje prawo i Basia studiuje prawo”, o tyle trudno byłoby uznać za poprawne zdanie „Poznań leży nad Wartą i jaskółki są ptakami”. Po drugie, w odróżnieniu od spójnika koniunkcji, użycie słowa „i” uchodzi za niepoprawne, gdy zdania są wprawdzie zbieżne treściowo, ale wskazują na pewien kontrast. Nie mówi się przecież „Janusz jest wysoki i Marcin jest niski”. Mówi się raczej „Janusz jest wysoki a Marcin jest niski”, posługując się słowem „a” jako odpowiednikiem spójnika koniunkcji. Po trzecie, w odróżnieniu od neutralnego pod tym względem spójnika koniunkcji, słowo „i” uwzględnia kolejność zdarzeń opisywanych przez dołączone do niego zdania. Zdanie występujące przed „i” opisuje to, co zdarzyło się nie później od tego, co opisuje zdanie po „i”. W odróżnieniu bowiem od poprawnego zdania „Michał założył łyżwy i Michał wyjechał na lód” zdanie „Mi- chał wyjechał na lód i Michał założył łyżwy” uchodzi za niepoprawne, gdyż sugeruje, że wyjazd na lód po- przedził założenie łyżew. Innym spójnikiem dwuargumentowym jest spójnik alternatywy oznaczany symbolem „”. Określa go następująca matryca: [15/16] p q (^) p  q 1 1 0 0

Jak widać, spójnik alternatywy tym się charakteryzuje, że powstałe z niego zdanie jest prawdziwe już wtedy, gdy chociaż jeden z jego argumentów jest prawdziwy. Gdy zaś oba argumenty są fałszywe, to zdanie zbudowane za pomocą spójnika alternatywy też jest fałszywe. Zdania, dołączone do spójnika alternatywy jako argumenty nazywa się składnikami. Zdanie zbudowane z tego spójnika i jego argumentów nazywa się alternatywą. Spójnikowi alternatywy odpowiada w języku polskim słowo „lub”. Zdanie „Mirek uczy się prawa rzymskiego lub Mirek uczy się podstawowych pojęć i metod prawoznawstwa” jest prawdziwe, gdy Mirek uczy się przynajmniej jednego z tych przedmiotów. Natomiast zdanie „Warta wpada do Wisły lub Noteć wpada do Wisły” jest fałszywe, bo oba składniki są zdaniami fałszywymi. Jednakże również i tu trzeba za- znaczyć, że słowo „lub” nie w pełni odpowiada spójnikowi alternatywy, gdyż w odróżnieniu od niego - nie łączy zdań nie powiązanych treściowo. Jeszcze innym spójnikiem dwuargumentowym jest spójnik implikacji oznaczany symbolem „→”. Określa go następująca matryca: p q p → q 1 1 0

spójnik koniunkcji. Kolejna kolumna określa spójnik, który daje zdanie prawdziwe tylko wtedy, gdy jego pierwszy argument jest prawdziwy, a drugi fałszywy. We wszystkich pozostałych przypadkach daje on zda- nie prawdziwe. Również i ten spójnik nie ma swego odpowiednika w języku polskim. Następne kolumny określają spójniki wyznaczające rozmaite wartości logiczne budowanym przy ich pomocy zdaniom, w zależ- ności od wartości logicznych argumentów. Pośród nich występują omówione wyżej spójniki alternatywy, implikacji i równoważności. Wreszcie w ostatniej kolumnie określony jest spójnik, który przy wszelkich wartościach argumentów daje zdanie prawdziwe. Również i ten spójnik nie ma odpowiednika w języku pol- skim. Obok spójników jedno- i dwuargumentowych dają się także skonstruować spójniki trójargumentowe. Spójnikiem trójargumentowym nazywamy takie wyrażenie, które po dołączeniu do niego trzech zdań jako argumentów daje nowe zdanie o wartości logicznej wyznaczonej - w szczególny sposób - przez wartość [18/19] logiczną dołączonych zdań. Spójniki trójargumentowe nie mają jednak swoich odpowiedników w języku polskim. Nie mają w nim też swoich odpowiedników spójniki cztero- i więcej argumentowe. Uogól- niając możemy więc powiedzieć, że spójnikiem n-argumentowym nazywamy takie wyrażenie, które z n- tką zdań jako argumentów daje nowe zdanie o wartości logicznej wyznaczonej - w szczególny sposób - przez wartość logiczną dołączonych zdań. Dalej interesować nas będą wyłącznie spójniki negacji, koniunkcji, al- ternatywy, implikacji i równoważności. Ze względu na obecność bądź nieobecność spójników dzielimy zdania na proste i złożone. Zdaniem prostym nazywamy takie zdanie, w którym nie występuje żaden spójnik. Zdaniami prostymi są na przykład zdania „Poznań leży nad Wartą”, „Kasia studiuje prawo”, „2 + 2 = 4” oraz „Wróble są ptakami”. Natomiast zdaniem złożonym nazywamy takie zdanie, w którym występuje co najmniej jeden spójnik. Zdaniami zło- żonymi są na przykład zdania „Marcin nie idzie na wykład”, „Paryż jest stolicą Włoch lub Paryż jest stolicą Hiszpanii”, „Jeśli lipiec jest suchy, to sierpień jest przeokropny, a we wrześniu masowo rosną grzyby”, oraz „Nie jest tak, że (Warta wpada do Odry wtedy i tylko wtedy, gdy Warta wpada do Wisły)”.

4. Wyrażenia rachunku zdań Dysponujemy już pojęciami zmiennych oraz spójników. Pozwala to budować wyrażenia rachunku zdań. Otóż: 1) każda zmienna zdaniowa jest wyrażeniem rachunku zdań, 2) jeżeli sekwencja postaci A jest wyrażeniem rachunku zdań, to także sekwencja postaci ~ A jest wyrażeniem rachunku zdań, 3) jeżeli se- kwencje postaci A oraz B są wyrażeniami rachunku zdań, to także sekwencje postaci A  B, A  B, A → B, A ≡ B są wyrażeniami rachunku zdań. Określenie to wyznacza zbiór wszystkich wyrażeń rachunku zdań. Inaczej mówiąc, określenie to wskazuje jak należy budować wyrażenie, aby było ono wyrażeniem rachunku zdań. Zgodnie z punktem 1 powyższego określenia wyrażeniami [19/20] rachunku zdań są poszczególne zmienne zdaniowe „p”, „q”, „r”, „s” itd. Na podstawie punktu 2 wyrażeniami rachunku zdań są także negacje zmiennych zdaniowych, a wiec wyrażenia „~ p”, „~ q”, „~ r” itd. Ponieważ „~ p” jest wyrażeniem rachunku zdań, to - na podstawie punktu 2 - wyrażeniem rachunku zdań jest także „~ ~ p”. Na tej samej podstawie wy- rażeniami rachunku zdań są również „~ ~ q” i „~ ~ r”. Ponieważ „~ ~ p” jest wyrażeniem rachunku zdań, to - na podstawie punktu 2 - wyrażeniem rachunku zdań jest także „~ ~ ~ p”. Na tej samej podstawie wyrażenia- mi rachunku zdań są „~ ~ ~ q” i „~ ~ ~ r”, a dalej także „~ ~ ~ ~ p”, „~ ~ ~ ~ q” itd. Ponieważ zmienne „p” i „q” są wyrażeniami rachunku zdań, to - na podstawie punktu 3 - wyrażeniami rachunku zdań są także „p  q”, „p  q”, „p → q” oraz „p ≡ q”. Ponieważ wyrażeniami rachunku zdań są „~ p” i „~ q”, to - na podstawie punktu 3 - wyrażeniami rachunku zdań są także „~ p  ~ q”, „~ p  ~ q”, „~ p → ~ q” i „~ p ≡ ~ q”, a także „p  ~ q”, „p  ~ q”, „p → ~ q” i „p ≡ ~ q”, a również „~ p  q”, „~ p  q”, „~ p → q” oraz „~ p ≡ q” itd. Budując nieco bardziej skomplikowane wyrażenia rachunku zdań, będziemy pomocniczo posługiwać się nawiasami. Wykażemy teraz, że „~ (p  q) ≡ (~ p  ~ q)” jest wyrażeniem rachunku zdań. Na podstawie punktu 1 podanego wyżej określenia wyrażeniami rachunku zdań są zmienne „p” i „q”. Na podstawie punktu 2 wyrażeniami rachunku zdań są więc także „~ p” i „~ q”. Skoro „p” i „q” są wyrażeniami rachunku zdań, to

• na podstawie punktu 3 - wyrażeniem rachunku zdań jest też „p  q”. Skoro zaś „p  q” jest wyrażeniem

rachunku zdań, to - na podstawie punktu 2 - wyrażeniem rachunku zdań jest także „~ (p  q)”. Skoro „~ p” i „~ q” są wyrażeniami rachunku zdań, to - na podstawie punktu 3 - wyrażeniem rachunku zdań jest także „~ p  ~ q”. Jeśli zaś „~ (p  q)” oraz „~ p  ~ q” są wyrażeniami rachunku zdań, to - na podstawie punktu 3 - wyrażeniem rachunku zdań jest także „~ (p  q) ≡ (~ p  ~ q)”. Wykażemy obecnie, że „~ [(p  q) → (p  q)]” jest wyrażeniem rachunku zdań. Na podstawie punktu 1 wyrażeniami rachunku zdań są zmienne „p” i „q”. Przeto na podstawie punktu 3 wyrażeniami rachunku zdań są także „p  q” oraz „p v q”. A jeśli tak, to - na podstawie punktu 3 - wyrażeniem rachunku zdań jest także „(p  q) → (p  q)”. Wobec [20/21] powyższego - na podstawie punktu 2 - wyrażeniem rachunku zdań jest również „~ [(p  q) → (p  q)]”. Wykażemy jeszcze, że „(r ≡ q)  [(~ p → ~ r)  (q  ~ p)]” jest wyrażeniem rachunku zdań. Na pod- stawie punktu 1 wyrażeniami rachunku zdań są zmienne zdaniowe „r”, „q”, „p”. Zatem - na podstawie - punktu 2 - wyrażeniami rachunku zdań są także „~ r” i „~ p”. Wobec powyższych ustaleń wyrażeniami ra- chunku zdań - na podstawie punktu 3 - są również „r ≡ q”, „~ p → ~ r” oraz „q v ~ p”. A stąd - na podstawie punktu 3 - wyrażeniem rachunku zdań jest również „(~ p → r)  (q  ~ p)”. Wobec powyższego - na podsta- wie punktu 3 - wyrażeniem rachunku zdań jest także badane tu „(r ≡ q)  [(~ p → ~ r)  (q  ~ p)]”. Łatwo zauważyć, że wyrażeń rachunku zdań jest nieskończenie wiele. Skoro bowiem wyrażeniem ta- kim jest zmienna „p”, to jest nim też „p  p”, a więc również „(p  p)  p”, „[(p  p)  p]  p” itd. Podobnie, skoro wyrażeniem rachunku zdań jest zmienna „q”, to jest nim również „q  q”, a także „(q  q)  q”, „[(q  q)  q]  q” itd. Zatem już tak skonstruowanych wyrażeń jest nieskończenie wiele. Nie ma też jakiejś gra- nicznej długości, czy stopnia komplikacji wyrażeń rachunku zdań. Niemniej jednak każde, nawet niebywale skomplikowane wyrażenie rachunku zdań ma skończoną długość. Nie ma więc wyrażeń rachunku zdań o nieskończonej długości. Należy zauważyć, że nie każda sekwencja zmiennych zdaniowych i spójników oraz pomocniczo uży- tych nawiasów stanowi wyrażenie rachunku zdań. Nie jest nim na przykład sekwencja „pp → q”. Chociaż bowiem wyrażeniami rachunku zdań są zmienne „p” i „q”, to jednak nie jest nią sekwencja „pp”, co unie- możliwia już wyprowadzenie jako wyrażenia rachunku zdań całej sekwencji „pp → q”. Nie jest też wyraże- niem rachunku zdań sekwencja „(p  q) →  (q  p)”. Chociaż bowiem wyrażeniami rachunku zdań są „(p  q)” oraz „(q  p)”, to żaden z punktów 1-3 podanego określenia nie zalicza do takich wyrażeń całej sekwen- cji „(p  q) →  (q  p)”. Nie jest też wyrażeniem rachunku zdań sekwencja „(r → ~ p) ≡”. Chociaż bowiem jest nim „r → ~ p”, to żaden z punktów 1-3 nie zalicza do wyrażeń rachunku zdań całej sekwencji „(r → ~ p) ≡” [21/22]

5. Pojęcie tezy rachunku zdań Gdy za występujące w wyrażeniu rachunku zdań zmienne zdaniowe wstawi się zdania, to całe wyra- żenie również przekształci się w zdanie. Na przykład, gdy w wyrażeniu „p  q” za zmienne wstawimy od- powiednio zdania „Kasia studiuje prawo” i „Basia studiuje prawo”, to wyrażenie to przekształci się w zdanie „Kasia studiuje prawo  Basia studiuje prawo”. Łatwo zauważyć, że niektóre wyrażenia rachunku zdań przy pewnych wstawieniach za występujące w nich zmienne przekształcają się w zdania prawdziwe, a przy innych w zdania fałszywe. Takim wyrażeniem jest na przykład sama zmienna „p”, za którą wolno wstawiać dowolne zdanie. Jeśli więc wstawimy za nią zdanie prawdziwe, to efektem tej operacji będzie właśnie owo zdanie prawdziwe. Jeśli natomiast wstawimy za nią zdanie fałszywe, to efektem tej operacji będzie właśnie owo zdanie fałszywe. Takim wyrażeniem rachunku zdań, które przy pewnych wstawieniach przekształca się w zdanie prawdziwe a przy innych w zdanie fałszywe jest również wyrażenie „p → q”. Jeśli bowiem za „p” wstawimy zdanie „Jaskółki są ptakami”, a za „q” zdanie „Niedźwiedzie są rybami”, to otrzymamy fałszywe zdanie „Jaskółki są ptakami → Niedźwiedzie są rybami”. Jeśli natomiast za „p” wstawimy zdanie „Poznań leży nad Wartą”, a za „q” zdanie „Śrem leży nad Wartą”, to otrzymamy prawdziwe zdanie „Poznań leży nad Wartą → Śrem leży nad Wartą”.

p q ~ p ~ q (^) p  q ~ (p  q) ~ p  ~ q ~ (p  q) ≡ (~ p  ~ q) Jak widać, tabelka ta ma 8 kolumn. Drugi etap polega na ustalaniu rzędów tabelki oraz wypełnianiu kolumn związanych z poszczegól- nymi zmiennymi. Za każdą z nich wolno wstawić dowolne zdanie. Będą to więc zdania o najrozmaitszej tre- ści, lecz każde z nich będzie albo prawdziwe albo fałszywe. Zatem możliwe są tylko cztery przypadki: 1) za obie zmienne wstawia się zdanie prawdziwe, 2) za „p” wstawia się zdanie prawdziwe, a za „q” fałszywe, 3) za „p” wstawia się zdanie fałszywe, a za „q” prawdziwe, 4) za obie zmienne wstawia się [24/25] zdanie fał- szywe. Po wykonaniu zadań tego etapu tabelka przedstawia się następująco: p q ~ p ~ q (^) p  q ~ (p  q) ~ p  ~ q ~ (p  q) ≡ (~ p  ~ q) 1 1 0 0

Jak widać, o ilości rzędów decyduje ilość zmiennych występujących w badanym wyrażeniu. Gdy jest w nim n zmiennych, to tabelka ma 2n^ rzędów. Jeśli więc w wyrażeniu występuje tylko jedna zmienna, to ta- belka ma 2 rzędy. Przy dwóch zmiennych tabelka ma 4 rzędy, przy trzech zmiennych ma 8 rzędów, przy czterech zmiennych ma 16 rzędów itd. Trzeci etap polega na wypełnieniu pozostałych kolumn w tabelce w oparciu o matryce poszczegól- nych spójników. Tak więc, w oparciu o matrycę spójnika negacji, w kolumnie dla „~ p” należy wpisać 0 tam, gdzie w kolumnie dla „p” występuje 1, oraz 1 wpisać tam, gdzie w kolumnie dla „p” występuje 0. Podobnie rzecz się ma z kolumną dla „~ q”, którą należy wypełnić w oparciu o matrycę spójnika negacji i kolumnę dla „q”. Z kolei kolumnę dla „p  q” należy wypełnić w oparciu o matrycę spójnika koniunkcji i kolumny dla „p” oraz „q”. Kolumnę dla „~ p  ~ q” należy wypełnić w oparciu o matrycę spójnika alternatywy oraz ko- lumny dla „~ p” i „~ q”. Wreszcie kolumnę dla „~ (p  q) ≡ (~ p  ~ q)” należy wypełnić w oparciu o matry- cę spójnika równoważności oraz kolumny dla „~ (p  q)” i „(~ p  ~ q)”. Po wykonaniu tych czynności ta- belka przedstawia się następująco: p q ~ p ~ q (^) p  q ~ (p  q) ~ p  ~ q ~ (p  q) ≡ (~ p  ~ q) 1 1 0 0

Jak widać, w ostatniej kolumnie występują same jedynki. Zatem przy wszelkich wstawieniach za zmienne zdaniowe badane tu [25/26] wyrażenie przekształca się w zdanie prawdziwe. Wyrażenie to jest więc tezą rachunku zdań. Zbadajmy jeszcze, czy jest tezą rachunku zdań wyrażenie „[(~ r ≡ q)  (p → ~ q)] → (r  p)”. Należy tu wyróżnić następujące wyrażenia: „r” „q”, „p , „~ r”, „(~ r ≡ q)  (p → ~ q)”, „r  p” oraz całe badane wy- rażenie „[(~ r ≡ q)  (p → ~ q)] → (r  p)”. Zatem tabelka będzie się składała z 10 kolumn. Ponieważ w ba- danym wyrażeniu występują 3 zmienne, dlatego w tabelce będzie 8 rzędów. Aby uwzględnić wszystkie moż- liwe kombinacje zdań prawdziwych i fałszywych wstawianych za poszczególne zmienne, należy zastosować szczególną taktykę realizowania zadań drugiego etapu. Po ustaleniu ilości rzędów należy kolumnę przezna- czoną dla pierwszej zmiennej podzielić na połowy i pierwszą z nich wypełnić jedynkami, a drugą zerami. Następnie kolumnę przeznaczoną dla drugiej zmiennej należy podzielić na połowy, a każdą z tak wyodręb-

nionych części znów podzielić na połowy. Pierwszą z tych części należy wypełnić jedynkami, drugą zerami, trzecią jedynkami, a czwartą znów zerami. Przechodząc do kolumny przeznaczonej dla następnej zmiennej, również należy podzielić ją na połowy, dzieląc je dalej na połowy, a te jeszcze raz na połowy. Tak wyodręb- nione części należy wypełnić na przemian zestawami jedynek i zer. Taktyka ta winna być stosowana aż do wypełnienia kolumny przeznaczonej dla ostatniej zmiennej. Zadania tego etapu będą poprawnie wykonane, jeśli w tej właśnie kolumnie wystąpią na przemian jedynki i zera. Zadanie trzeciego etapu należy wykonać w oparciu o stosowne matryce i odpowiednie, poprzednio wypełnione kolumny. Cała tabelka dla badanego tu wyrażenia przedstawia się następująco: r q p ~ r ~ q ~ r ≡ q p → ~ q (^) (~ r ≡ q)  (p → ~ q) r  p [(~ r ≡ q)  (p → ~ q)] → (r  p) 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 [26/27] Jak widać, w ostatniej kolumnie występują zarówno jedynki, jak i zera. Przy pewnych wstawieniach za zmienne całe wyrażenie przekształca się więc w zdanie fałszywe. Przeto nie jest ono tezą rachunku zdań.

7. Wybrane tezy rachunku zdań Jak już wskazano, tez rachunku zdań jest nieskończenie wiele. Z punktu widzenia logiki nie ma tez lepszych i gorszych, podobnie jak nie ma lepszych i gorszych równań matematycznych. Jednakże pewne tezy rachunku zdań jawią się jako szczególnie doniosłe. Przedstawimy tu najważniejsze z nich. (1) p ≡ p Teza ta nazywa się zasadą tożsamości. Swobodnie mówiąc, głosi ona, że każde zdanie jest równo- ważne z samym sobą. Przykładem zdania powstałego z tej tezy jest wyrażenie następujące: Marcin idzie na wykład wtedy i tylko wtedy, gdy Marcin idzie na wykład. (2) p ≡ ~ ~ p Teza ta nazywa się zasadą podwójnego przeczenia. Swobodnie mówiąc, głosi ona, że każde zdanie jest równoważne zdaniu powstałemu przez podwójne jego zanegowanie. Przykład: Kasia studiuje prawo wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest tak, że Kasia nie studiuje prawa. (3) ~ (p  ~ p) Teza ta nazywa się zasadą sprzeczności. Swobodnie mówiąc, wskazuje ona, że dwa zdania wzajem sprzeczne nie są oba prawdziwe. Tedy z dwóch zdań wzajem sprzecznych co najwyżej jedno jest prawdziwe. Zatem przynajmniej jedno z tych zdań jest fałszywe. Przykład: Nie jest tak, że (Poznań leży nad Wartą i Po- znań nie leży nad Wartą). (4) p  ~ p Teza ta nazywa się zasadą wyłączonego środka. Określenie wywodzi się stąd, że w przypadku dwóch zdań wzajem sprzecznych wyłączona jest jakaś trzecia, środkowa ewentualność. Zasada ta - swobod- nie mówiąc - wskazuje, że dwa zdania wzajem [27/28] sprzeczne nie są oba fałszywe. Przeto z dwóch zdań wzajem sprzecznych co najwyżej jedno jest fałszywe. Zatem przynajmniej jedno z tych zdań jest prawdziwe. Zasada wyłączonego środka wespół z zasadą sprzeczności prowadzą do wniosku, iż z dwóch zdań wzajem sprzecznych jedno jest prawdziwe, a jedno jest fałszywe. Przykład zdania powstałego z analizowanej tezy: Staś zdał egzamin z prawa rzymskiego lub Staś nie zda egzaminu z prawa rzymskiego. (5) (p → ~ p) → ~ p

Teza ta nazywa się prawem przemienności równoważności. Głosi ona, że równoważność pierwsze- go zdania z drugim zdaniem jest równoważna równoważności drugiego zdania z pierwszym zdaniem. Miej- sce członów w równoważności nie jest więc istotne. Przykład: (Bogdan jest studentem wtedy i tylko wtedy, gdy Bogdan ma indeks) wtedy i tylko wtedy, gdy (Bogdan ma indeks wtedy i tylko wtedy, gdy Bogdan jest studentem). (17) [p  (q  r)] ≡ [(p  q)  r] Teza ta nazywa się prawem łączności koniunkcji. Wskazuje ona na równoważność złożonych ko- niunkcji, różniących się tylko usytuowaniem czynników. Przykład: W Poznaniu jest uniwersytet oraz (we Wrocławiu jest uniwersytet i w Toruniu jest uniwersytet) wtedy i tylko wtedy, gdy (w Poznaniu jest uniwer- sytet i we Wrocławiu jest uniwersytet) oraz w Toruniu jest uniwersytet. (18) [p  (q  r)] ≡ [(p  q)  r] Teza ta nazywa się prawem łączności alternatywy. Wskazuje ona na równoważność złożonych al- ternatyw, różniących się tylko usytuowaniem składników. Przykład: Paryż będzie stolicą Europy lub (Lon- dyn będzie stolicą Europy lub Rzym będzie stolicą; Europy) wtedy i tylko wtedy, gdy (Paryż będzie stolicą Europy lub Londyn będzie stolicą Europy) lub Rzym będzie stolicą Europy. (19) [p  (q  r)] ≡ [(p  q)  (p  r)] Teza ta nazywa się prawem rozdzielności koniunkcji względem alternatywy. Wskazuje ona na równoważność swoiście złożonej koniunkcji ze swoiście złożoną alternatywą. Przykład: Piotr zdał egzaminy i (Piotr wyjechał w góry lub Piotr wyjechał nad morze) wtedy i tylko wtedy, gdy (Piotr zdał egzaminy i Piotr wyjechał w góry) lub (Piotr zdał egzaminy i Piotr wyjechał nad morze). (20) [p  (q  r)] ≡ [(p  q)  (p  r)] Teza ta nazywa się prawem rozdzielności alternatywy względem koniunkcji. Wskazuje ona na równoważność swoiście złożonej alternatywy ze swoiście złożoną koniunkcją. Przykład: Czerwiec będzie upalny lub (lipiec będzie upalny i sierpień będzie upalny) wtedy i tylko wtedy, gdy (czerwiec będzie upalny lub [30/31] lipiec będzie upalny) i (czerwiec będzie upalny lub sierpień będzie upalny). (21) [p → (q → r)] ≡ [q → (p → r)] Teza ta nazywa się prawem komutacji. Wskazuje ona na równoważność swoiście przekształconych implikacji. Przykład: Jeśli pada deszcz, to (jeżeli grzmi, to jest burza) wtedy i tylko wtedy, gdy jeśli grzmi, to (jeżeli pada deszcz, to jest burza). (22) [(p  q) → r] → [p → (q → r)] Teza ta nazywa się prawem eksportacji. Wskazuje ona, że implikacja o złożonym poprzedniku im- plikuje implikację o swoiście złożonym następniku. Przykład: Jeśli (jeżeli Andrzej otrzymał zaliczenia i An- drzej zdał egzaminy, to Andrzej zaliczył semestr), to (jeżeli Andrzej otrzymał zaliczenia, to jeżeli Andrzej zdał egzaminy, to Andrzej zaliczył semestr). (23) [p → (q → r) → (p  q) → r] Teza ta nazywa się prawem importacji. Wskazuje ona, że implikacja o złożonym następniku impli- kuje implikację o swoiście złożonym poprzedniku. Przykład: Jeśli (jeżeli wrzesień jest przeokropny, to jeżeli wrzesień jest ciepły, to we wrześniu rośnie wiele grzybów), to (jeżeli wrzesień jest przeokropny, i wrzesień jest ciepły, to we wrześniu rośnie wiele grzybów). (24) [(p → q)  (q → r)] → (p → r) Teza ta nazywa się prawem sylogizmu hipotetycznego. Głosi ona, że gdy pierwsze zdanie implikuje drugie, a drugie zdanie implikuje trzecie, to pierwsze zdanie implikuje trzecie. Przykład: Jeśli (jeżeli drożeje benzyna, to zwiększają się koszty transportu, i jeżeli zwiększają się koszty transportu, to drożeją towary), to (jeżeli drożeje benzyna, to drożeją towary). (25) [(p → r)  (q → r)  (p  q)] → r Teza ta nazywa się prawem dylematu konstrukcyjnego. Głosi ona, że gdy jedno zdanie implikuje dane zdanie i drugie zdanie implikuje dane zdanie i jest tak, jak stwierdza pierwsze zdanie lub jest tak, jak stwierdza drugie zdanie, to jest tek, jak stwierdza zdanie implikowane przez każde z owych dwóch zdań. Przykład: Jeśli (jeżeli pada deszcz, to jest mokro i jeżeli pada grad, to jest mokro i pada deszcz lub pada grad), to jest mokro. [31/32]

8. Formalizacja rachunku zdań Metoda zero-jedynkowa pozwala z ogółu wyrażeń rachunku zdań wyróżnić jego tezy. Zabiegu tego można dokonać w inny jeszcze sposób, przeprowadzając formalizację rachunku zdań. Operacja ta polega na wyborze pewnych tez rachunku zdań jako aksjomatów i podaniu reguł wyprowadzania z jednych tez in- nych tez. Pierwszy etap nazywa się aksjomatyzacja rachunku zdań. Przeprowadza się go, dobierając okre- ślony zestaw tez jako zestaw aksjomatów. Tu oprzemy się na zestawie aksjomatów, który tworzą następujące wyrażenia rachunku zdań: (A1) (p → q) → [(q → r) → (p → r)] (A2) (~ p → p) → p (A3) p → (~ p → q) Pierwszy aksjomat stanowi pewną modyfikację prawa sylogizmu hipotetycznego. Drugi nazywa się prawem Claviusa, zaś trzeci jest modyfikacją prawa Dunsa Szkota. Oczywiście, każdy z nich jest tezą ra- chunku zdań, o czym łatwo się przekonać za pomocą metody zero-jedynkowej. Drugi etap formalizacji polega na sprecyzowaniu reguł wyprowadzania z jednych tez innych tez ra- chunku zdań. Przy tym aksjomaty i reguły muszą być tak dobrane, aby spełniały dwa warunki. Po pierwsze, z aksjomatów za pomocą reguł winny być wyprowadzalne wszystkie tezy rachunku zdań. Po drugie, z aksjo- matów za pomocą reguł winny być wyprowadzalne tylko tezy rachunku zdań. Innymi słowy, reguły winny umożliwiać wyprowadzenie z aksjomatów wszystkich i tylko tez rachunku zdań. Jedną z reguł jest reguła podstawienia , która brzmi następująco: jeżeli wyrażenie postaci A jest tezą rachunku zdań, to tezą rachunku zdań jest też wyrażenie postaci B powstałe z A przez konsekwentne pod- stawienie za występującą w nim zmienną zdaniową dowolnego wyrażenia rachunku zdań. Dodajmy, że pod- stawienie jest konsekwentne, gdy to samo wyrażenie podstawia się we wszystkich miejscach wyrażenia A, w których występuje dana zmienna. Zilustrujemy zastosowanie tej reguły kilkoma przykładami. Podstawiając w aksjomacie 3 za zmienną „q” zmienną „p”, otrzymujemy wyrażenie (1) p → (~ p → p) będące tezą rachunku zdań. Podstawiając w aksjomacie 1 za zmienną „q” wyrażenie „~ p → q”, otrzymuje- my wyrażenie [32/33] (2) [p → (~ p → q)] → {[(~ p → q) → r] → (p → r)} będące tezą rachunku zdań. Widać tu, że wymóg konsekwentności podstawiania jest niezbędny. Gdyby bo- wiem w aksjomacie 1 podstawić owo wyrażenie tylko w pierwszym miejscu wystąpienia danej zmiennej, to otrzymalibyśmy wyrażenie „[p → (~ p → q)] → [(q → r) → (p → r)]” nie będące tezą rachunku zdań, o czym łatwo się przekonać za pomocą metody zero-jedynkowej. Podstawiając w aksjomacie 3 za zmienną „p” wyrażenie „(~ p → p) → p”, otrzymujemy wyrażenie (3) [(~ p → p) → p] → {~ [(~ p → p) → p] → q} będące tezą rachunku zdań. Z kolei podstawiając w aksjomacie 1 za zmienną „p” wyrażenie „~ p → p”, otrzepujemy wyrażenie (4) [(~ p → p) → q] → {(q → r) → [(~ p → p) → r]} będące tezą rachunku zdań. Oczywiście regułę podstawiania wolno stosować nie tylko do aksjomatów, ale do wszelkich tez rachunku zdań. Podstawiając więc w tezie 4 za zmienną „q” zmienną „p”, otrzymujemy wyra- żenie (5) [(~ p → p) → p] → {(p → r) → [(~ p → p) → r]} także będące tezą rachunku zdań. Podstawmy jeszcze w aksjomacie 3 za zmienną „p” wyrażenie „~ (p → ~ r)”, otrzymując wyrażenie (6) ~ (p → ~ r) → [~ ~ (p → ~ r) → q] będące tezą rachunku zdań. We wszystkich powyższych przykładach za zmienne podstawialiśmy zmienne albo też inne, względnie proste wyrażenia. Reguła podstawiania pozwala jednak na podstawianie za zmienne

będące tezą rachunku zdań. Wreszcie, następnik tezy 7 jest wyrażeniem postaci ~ [(C → D) → ~ (D → C)]. Zastępując je, na podstawie definicji 3, wyrażeniem postaci C ≡ D, otrzymujemy wyrażenie (14) ~ (p → ~ r) → {~ ~ (p → ~ r) → [(q  s) ≡ s]} będące tezą rachunku zdań. Gdy do tezy tej jeszcze dwukrotnie zastosujemy regułę zastępowania, wykorzy- stując definicję 1, to otrzymamy wyrażenie (15) (p  r) → {~ (p  r) → [(q  s) ≡ s]} będące tezą rachunku zdań.

9. Dowodzenie Aby wykazać, że dane wyrażenie jest tezą rachunku zdań, należy przeprowadzić dowód tego wyraże- nia. Dowodem wyrażenia W, na gruncie aksjomatów l, 2 i 3, w oparciu o reguły podstawiania, odrywa- nia i zastępowania, jest ciąg wyrażeń rachunku zdań, taki że każde wyrażenie tego ciągu albo jest jednym z aksjomatów 1-3, albo powstaje z wcześniejszego wyrażenia ciągu przez zastosowanie reguły podstawiania, albo powstaje z wcześniejszych wyrażeń ciągu przez zastosowanie reguły odrywania, albo powstaje z wcze- śniejszego wyrażenia ciągu przez zastosowanie reguły zastępowania, a przy tym ostatnim wyrażeniem tego ciągu jest wyrażenie W. Zabieg konstruowania dowodu danego wyrażenia nazywamy jego dowodzeniem. [35/36] Przedstawmy kilka przykładów dowodzenia. Najpierw udowodnimy prawo addycji „p → (p  q)”. Punktem wyjścia jest aksjomat 3 (A3) p → (~ p → q). Zastąpmy występujące w nim wyrażenie „~ p → q” wyrażeniem „p  q”, w oparciu o definicję 2 reguły za- stępowania. Otrzymujemy wyrażenie (1) p → (p  q) które jest właśnie dowodzonym prawem addycji. Zatem dowodem owego prawa jest ciąg wyrażeń A3, 1. Pierwszym wyrażeniem ciągu jest aksjomat 3. Drugie wyrażenie ciągu powstaje z pierwszego przez zasto- sowanie reguły zastępowania. To drugie wyrażenie jest jednocześnie ostatnim wyrażeniem ciągu i jest iden- tyczne z prawem addycji. W powyższym dowodzie wykorzystano wyłącznie aksjomat 3 oraz regułę zastę- powania. Dowód ten okazuje się więc nadzwyczaj prosty. Nieco bardziej skomplikowany jest dowód tezy „p → p” stanowiącej słabszą postać zasady tożsamo- ści. Dowód zaczyna się od aksjomatu 1 (A1) (p → q) → [(q → r) → (p → r)]. Podstawmy w nim za zmienną „q” wyrażenie „~ p → p” otrzymując (2) [p → (~ p → p)] → {[(~ p → p) → r] → (p → r) Kolejnym składnikiem dowodu jest aksjomat 3 (A3) p → (~ p → q). Podstawmy w nim w miejsce zmiennej „q” zmienną „p” otrzymując (3) p → (~ p → p). Łatwo zauważyć, że wyrażenie to jest identyczne z poprzednikiem 2. Odrywając więc 3 od 2 otrzymujemy (4) [(~ p → p) → r] → (p → r). Podstawiając w tej tezie w miejsce zmiennej „r” zmienną „p” otrzymujemy (5) [(~ p → p) → p] → (p → p). Kolejnym składnikiem dowodu jest aksjomat 2 (A2) (~ p → p) → p. Łatwo zauważyć, że jest ona identyczna z poprzednikiem 5. Odrywając więc A2 od 5, otrzymujemy dowo- dzoną tezę (6) p → p. [36/37] Jak widać, powyższy dowód jest już dość skomplikowany, bo składa się z ośmiu następujących wyrażeń: A1, 2, A3, 3, 4, 5, A2, 6. Jego pierwszym składnikiem jest aksjomat 1. Następny składnik powstaje z pierwszego przez zastosowanie reguły podstawiania. Kolejnym wyrażeniem ciągu jest aksjomat 3. Następna teza powsta-

je z wcześniejszego od niej aksjomatu 3 przez zastosowanie reguły podstawiania. Natomiast teza 4 powstaje z wcześniejszych od niej tez 2 i 3 przez zastosowanie reguły odrywania. Z kolei teza 5 powstaje z wcześniej- szej od niej tezy 4 przez zastosowanie reguły podstawiania. Kolejnym składnikiem dowodu jest aksjomat 2. Wreszcie teza 6 powstaje z wcześniejszych tez 5 i A2 przez zastosowanie reguły odrywania. Wyrażenie to jest ostatnim składnikiem ciągu i jest ono identyczne z dowodzoną tezą. Jak widać, w dowodzie tym zostały wykorzystane wszystkie trzy aksjomaty oraz trzykrotnie reguła podstawiania i dwukrotnie reguła odrywania. Udowodnimy teraz zasadę wyłączonego środka, wykorzystując w tym celu dowód przeprowadzony wyżej. W udowodnionej tam tezie „p → p” podstawmy za zmienną „p” wyrażenie „~ p”. Otrzymujemy wówczas (7) ~ p → ~ p. Zastąpmy całą tę tezę wyrażeniem „p  ~ p”, w oparciu o definicję 2 reguły zastępowania. Otrzymujemy tezę (8) p  ~ p będącą właśnie dowodzoną zasadą wyłączonego środka. Cały dowód składa się więc z następujących wyra- żeń: A1, 2, A3, 3, 4, 5, A2, 6, 7, 8. Tworzą go aksjomaty A1, A3 i A2. Tworzą go też tezy 2, 3, 5 i 7 otrzy- mane z wcześniejszych od nich składników ciągu za pomocą reguły podstawiania. Nadto, tworzą go tezy 4 i 6 otrzymane z wcześniejszych składników ciągu za pomocą reguły odrywania. Wreszcie kończy dowód teza 8 otrzymana z wcześniejszej tezy za pomocą reguły zastępowania. Właśnie teza 8 stanowi dowodzoną zasadę wyłączonego środka. Dotąd dowodziliśmy wyrażeń, o których już wcześniej było wiadomo, że są tezami rachunku zdań. Udowodnimy teraz wyrażenie „[(p  q) → (r  s)] → [p → (r  s)]”, o którym nie wiemy jeszcze, że jest tezą rachunku zdań. Początek dowodu stanowi aksjomat 1 (A1) (p → q) → [(q → r) → (p → r)]. [37/38] Podstawiając w nim za zmienną „q” wyrażenie „~ p → q” otrzymujemy (9) [p → (~ p → q)] → {[(~ p → q) → r] → (p → r)}. Kolejnym składnikiem dowodu jest aksjomat 3 (A3) p → (~ p → q) Łatwo zauważyć, że aksjomat ten jest identyczny z poprzednikiem 9. Odrywając A3 od 9 otrzymujemy (10) [(~ p → q) → r] → (p → r) Zastępując w nim wyrażenie „~ p → q” wyrażeniem „p  q” w oparciu o definicję 2 reguły zastępowania, otrzymujemy tezę (11) [(p  q) → r] → (p → r) Podstawiając w niej za zmienną „r” wyrażenie „~ (r → ~ s)” otrzymujemy tezę (12) [(p  q) → ~ (r → ~ s)] → [p → ~ (r → ~ s)]. Zastępując w jej poprzedniku wyrażenie „~ (r → ~ s)” wyrażeniem „r  s”, w oparciu o definicję 1 reguły zastępowania otrzymujemy (13) [(p  q) → (r  s)] → [p → ~ (r → ~ s)]. Zastępując w jego następniku wyrażenie „~ (r → ~ s)” wyrażeniem „r  s”, w oparciu o tę samą definicję 1 reguły zastępowania, otrzymujemy dowodzoną tezę (14) [(p  q) → (r  s)] → [p → (r  s)]. Powyższy dowód składa się więc z następujących wyrażeń: A1, 9, A3, 10, 11, 12, 13, 14. Pierwsze z nich jest aksjomatem. Drugie powstaje z pierwszego przez zastosowanie reguły podstawiania. Trzecie też jest aksjomatem. Z kolei teza 10 powstaje z wcześniejszych składników 9 i A3 przez zastosowanie reguły odry- wania. Kolejny składnik, jakim jest teza 11, powstaje z wcześniejszej tezy 10 przez zastosowanie reguły za- stępowania. Natomiast teza 12 powstaje z 11 przez zastosowanie reguły podstawiania. Wreszcie tezy 13 i 14 powstają z wcześniejszych od nich składników przez zastosowanie reguły zastępowania. Ostatnie z tych wy- rażeń stanowi właśnie dowodzoną tezę. Jak widać, dowody bywają mniej i bardziej skomplikowane. Pierwszy z podanych tutaj dowodów był nadzwyczaj prosty. Pozostałe były już nieco bardziej złożone. A jednak, w gruncie rzeczy, wszystkie je nale- ży uznać za stosunkowo proste, gdy wziąć pod uwagę, że bywają dowody składające się z bardzo wielu wy-

e) [(p → r)  ~ (q  ~ p)]  ~ [(~ s → q) ≡ (t  s)] f) (p  q  r) ≡ (p  q  r)

5. Wykaż, że następujące sekwencje są wyrażeniami rachunku zdań: a) p  ~ p b) (q ≡ p)  (~ p → ~ q) c) [(~ p  q)  ~ q]  [q  (~ p  q)] d) ~ {[(p → ~ q) ≡ p]  [~ (~ q  p) ≡ q]} e) [p → (q → r)] → [~ r → (~ q → ~ p)] f) {r  ~ [(p → ~ q)  ~ (~ r ≡ p)]}  ~ p
6. Sprawdź metodą 0-1, które z następujących wyrażeń są tezami rachunku zdań: a) (~ p → ~ q) → (q → p) b) [q  (p → r)] ≡ [~ r ≡ (p → ~ q)] c) [(~ r  ~ p) → (q ≡ r)]  (p  q) d) [(r ≡ q)  (~ q → p)]  [(p  ~ q) → (p  r)] e) [(q  ~ p) → r] ≡ ~ [(p  r)  ~ (r ≡ q)] f) [(p  q) ≡ ~ (r  ~ s)] → [(~ p ≡ q)  s]
7. Wyprowadź z tez grupy a tezy grupy b za pomocą reguły podstawiania: a) (q  r)  ~ (q  r), (p → q) → [(q ≡ p)  (~ p ≡ q)], [~ p  (r ≡ r)]  [(~ r ≡ ~ r)  q], ~ [(q ≡ ~ p)  ~ (q ≡ ~ p)], (r  ~ p) ≡ ~ (~ r  ~ p), (p  q  r) → (r  p  q) b) {[~ r ≡ (q  p)]  r}  ~ {[~ r = (q  p)]  r}, (q  r  p) → (p  q  r), ~ {[(r  s) ≡ ~ (r → s)  ~ [(r  s) ≡ ~ (r → s)]}, [(p → q)  (r  q)] ≡ ~ [~ (p → q)  ~ (r  q)], (r → r) → [(r ≡ r)  (~ r ≡ r)], [~ (s → r)  (r ≡ r)]  [(~ r ≡ ~ r)  (q  ~ s)] [40/41]
8. Wyprowadź z tez grupy a tezy grupy b za pomocą reguły odrywania: a) (q ≡ q) → ~ (~ p  p), (r  ~ r) → {(r  ~ r) → [q → (p  q)]}, (q ≡ q), (p  ~ q) → p, (p → p) → {r  ~ r) → [~ (~ p  p) → (~ q  q)]}, [(p  ~ q) → p] → (r  ~ r), [q → (p  q)] → {[(~ r  q) ≡ (q  ~ r)] → (p → p)}, ~ (~ p  p) → {(q ≡ q) → [(~ r  q) ≡ (q  ~ r)]}, b) ~ (~ p  p), (r  ~ r), p → p), ~ q  q, (~ r  q) ≡ (q  ~ r), q → (p  q)
9. Wyprowadź z tez grupy a tezy grupy b za pomocą reguły zastępowania: a) (q ≡ ~ q) → (~ p → q), ~ (r → ~ p)  (p → ~ r), ~ (r → ~ q) → (~ q → r), ~ [ ~ (p → ~ q)  (~ q  p)], (p  r) ≡ (r  p), ~ {[~ (p → ~ q) → ~ (p → ~ q)] → [~ (p → ~ q) → ~ (p → ~ q)]} b) (r  q) → (q  r), (r  p)  (p → ~ r), (q ≡ ~ q) → (p  q), (p  q) ≡ (p  q), ~ [(p  q)  ~ (~ q → ~ p)], ~ {[(p  r) → (r  p) → ~ [(r  p) → (p  r)]} 10. Spróbuj udowodnić następujące tezy: a) (q  r) → [~ (~ q → r) → q] (wykorzystaj aksjomat 3, zastosuj regułę podstawiania, a następnie re- gułę zastępowania - definicje 2), b) [(r  q) → (r → ~ q)] → [r → ~ q) (wykorzystaj aksjomat 2, zastosuj regułę podstawiania, a na- stępnie regułę zastępowania - definicję 1),

c) [p → (~ p → q)  q (wykorzystaj udowodnioną już tezę 1 z punktu 9, zastosuj regułę podstawiania, a następnie do tego, co otrzymałeś i do aksjomatu 3 zastosuj regułę odrywania), d) [(p → q) → ~ (q → p)  (p ≡ q) (wykorzystaj udowodnioną już tezę 8 z punktu 9, zastosuj regułę podstawiania, a następnie regułę zastępowania - definicję 3), e) (p  ~ p)  q (wykorzystaj aksjomat 3, zastosuj regułę podstawiania, następnie zastosuj regułę od- rywania odrywając od tego, co otrzymałeś udowodnioną już tezę 8 z punktu 9, na zakończenie zastosuj regu- łę zastępowania definicyjnego - definicję 2), f) [(p  q) → (p  q)] → [p → (p  q)] (wykorzystaj aksjomat 1, zastosuj regułę podstawiania, na- stępnie zastosuj regułę odrywania i od tego, co otrzymałeś poprzednio oderwij udowodnioną już tezę 1 z punktu 9, na zakończenie zastosuj ponownie regułę podstawiania). [ 40 /41] II. WPROWADZENIE DO RACHUNKU PREDYKATÓW

1. Terminy jednostkowe Rozważmy bliżej zdanie „Jeżeli Michał zda wszystkie egzaminy, to najstarszy brat nie skarci go, a ojciec zafunduje mu wycieczkę do Włoch”. W zdaniu tym występują znane nam już wyrażenia „jeżeli to”, „nie” oraz „a”. Wstawiając za nie ich logiczne odpowiedniki, otrzymujemy zdanie „Michał zda wszystkie egzaminy → [~ (najstarszy brat skarci go)  ojciec zafunduje mu wycieczkę do Włoch]”. Jak widać, zdanie to jest implikacją o następniku mającym postać koniunkcji, której pierwszy czynnik stanowi negacja. Używa- jąc wyrażeń z rachunku zdań, możemy jeszcze co najwyżej zastąpić poszczególne argumenty stosownymi zmiennymi zdaniowymi. Otrzymamy wówczas wyrażenie „p → (~ q  r)”. Środki wypracowane w ramach rachunku zdań nie pozwalają już dokładniej zanalizować zdań: „Michał zda wszystkie egzaminy”, „Najstar- szy brat skarci go” oraz „Ojciec zafunduje mu wycieczkę do Włoch” występujących w owym złożonym zda- niu. Wnikliwą ich analizę można przeprowadzić na gruncie innego działu logiki rachunku predykatów. Zauważmy więc, że w rozważanym tu zdaniu występuje wyraz „Michał” będący imieniem własnym pewnego studenta. Imionami własnymi są również takie wyrażenia jak: „Henryk Sienkiewicz”, „Poznań”, „Warta”, „Rzeczpospolita Polska”, „9”, „Andrzej Kmicic”, „Apollo”, „Burek” itp. Każde z nich znamionuje to, że ma ono za zadanie oznaczać jakieś indywiduum, w celu wyróżnienia go spośród innych obiektów. Stąd też każde z nich oznacza tylko jakiś jeden obiekt. Pewne z nich, jak np. „Henryk Sienkiewicz”, „Poznań” czy „Warta”, oznaczają obiekty fizykalne. Inne, jak „Rzeczpospolita Polska” czy „9”, oznaczają obiekty [42/43] abstrakcyjne. Jeszcze inne, jak „Andrzej Kmicic” czy „Apollo”, oznaczają obiekty fikcyjne. Mogłoby się wydawać, że różni się od nich słowo „Burek”, bo wabi się tak wiele psów. Zauważmy jednak, że w każdym konkretnym przypadku słowo to funkcjonuje jako miano wyróżniające jednego tylko psa, a więc również jest ono imieniem własnym. W rachunku predykatów, który jest wysoce abstrakcyjną konstrukcją, nie używa się jednak imion własnych zaczerpniętych z języka polskiego, czy jakiegokolwiek innego języka naturalnego. W rachunku tym jako imion własnych używa się wyrażeń: „a”, „b”, „c”, „a 1 ”, „a 2 ”, „a 3 ”, „b 1 ”, „b 2 ” itd. Przyj- muje się, że wyrażeń tych jest nieskończenie wiele, a pośród nich są również wymieniane wyżej imiona wła- sne z języka polskiego. Oczywiście, imiona własne używane w rachunku predykatów różnią się kształtem od np. słowa „Michał”, ale z logicznego punktu widzenia różnica ta jest absolutnie nieistotna i dlatego może być pominięta. Wracając do rozważanego tu zdania zauważmy, że imię własne „Michał” jawnie występuje w nim tylko jeden raz, a mianowicie w początkowym fragmencie jego poprzednika. Jednakże ukrycie wyrażenie to występuje w nim jeszcze kilkakrotnie. Po pierwsze, kryje się ono za słowem „go”, bo to właśnie Michał był- by owym ewentualnie karconym przez brata podmiotem. Po drugie, kryje się ono za słowem „mu”, bo to właśnie Michałowi ojciec ewentualnie zafunduje ową atrakcyjną wycieczkę. Po trzecie, kryje się ono po wy- rażeniu „najstarszy brat”, gdyż chodzi tu o najstarszego brata Michała. Wreszcie po czwarte, kryje się ono także po słowie „ojciec”, gdyż chodzi tu o ojca Michała. Po ujawnieniu wszystkich tych wystąpień otrzymu- jemy zdanie „Jeżeli Michał zda wszystkie egzaminy, to najstarszy brat Michała nie skarci Michała, a ojciec Michała zafunduje Michałowi wycieczkę do Włoch”.