Logika matematyczna, rachunek zdań, Publikacje z Logika

Pobierz Logika matematyczna, rachunek zdań i więcej Publikacje w PDF z Logika tylko na Docsity!

Logika matematyczna,

rachunek zdań

dr Mieczysław Chalfen

UPWR Wrocław 2020/

Co to jest zdanie? Ale w sensie logiki matematycznej.

• Zdanie (w sensie matematycznym), to taka wypowiedź, która jest albo prawdziwa, albo fałszywa.
• Mówimy, że wartość logiczna zdania prawdziwego (true) wynosi 1, a zdania fałszywego (false) wynosi 0
• Istnieją także tzw. logiki rozmyte, gdzie wartość logiczna zdania jest pewną liczbą z przedziału [0,1] W języku polskim zdanie musi mieć podmiot i orzeczenie. Np. Janek ma ładny rower. – czy to zdanie jest prawdziwe?

Działania na zdaniach, formy zdaniotwórcze: p,q,r … ~ ∨ ∧ ⟹ ⇔ Negacja, zaprzeczenie: - p, −𝑝, ~𝑝, ¬𝑝, 𝑐𝑧𝑦𝑡𝑎𝑚𝑦: 𝑛𝑖𝑒𝑝𝑟𝑎𝑤𝑑𝑎, ż𝑒 𝑝 Nieprawda , że styczeń ma 30 dni. ( Styczeń nie ma 30 dni) Alternatywa: 𝑝 ∨ 𝑞, 𝑐𝑧𝑦𝑡𝑎𝑚𝑦: 𝑝 𝑙𝑢𝑏 𝑞 Dziś pójdę do kina lub dziś pójdę do teatru. (Pójdę do kina lub teatru). (Dziś pójdę do kina, a może do teatru.) Koniunkcja: 𝑝 ∧ 𝑞, 𝑐𝑧𝑦𝑡𝑎𝑚𝑦: 𝑝 𝑖 𝑞 Dziś pójdę na wykład z matematyki i dziś pójdę na basen. (Pójdę wykład z matematyki a także na basen.) Implikacja: 𝑝 ⟹ 𝑞, 𝑐𝑧𝑦𝑡𝑎𝑚𝑦: 𝑝 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑘𝑢𝑗𝑒 𝑞, 𝑧𝑒 𝑧𝑑𝑎𝑛𝑖𝑎 𝑝 𝑤𝑦𝑛𝑖𝑘𝑎 𝑧𝑑𝑎𝑛𝑖𝑒 𝑞, 𝑝 𝑗𝑒𝑠𝑡 𝑧𝑎ł𝑜ż𝑒𝑛𝑖𝑒𝑚, 𝑞 𝑗𝑒𝑠𝑡 𝑡𝑒𝑧ą, 𝑗𝑒ż𝑒𝑙𝑖 𝑝 𝑡𝑜 𝑞, 𝑖𝑡𝑑, Np. Tw. Pitagorasa: Jeżeli T jest trójkątem prostokątnym to suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej. Jeżeli dziś jest wtorek to jutro będzie środa. Równoważność: 𝑝 ⇔ 𝑞, 𝑐𝑧𝑦𝑡𝑎𝑚𝑦 𝑝 𝑗𝑒𝑠𝑡 𝑟ó𝑤𝑛𝑜𝑤𝑎ż𝑛𝑒 𝑞

Tabelki działań

p - p 0 1 1 0 p q 𝑝 ∨ 𝑞 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

Negacja Alternatywa p q 𝑝 ∧ 𝑞 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Koniunkcja Alternatywa jest fałszywa tylko wtedy gdy oba zdania składowe są fałszywe Koniunkcja jest prawdziwa tylko wtedy, gdy oba zdania składowe są prawdziwe

p q 𝑝 ⇔ 𝑞 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Równoważność

Zadania złożone: ~ ∨ ∧ ⟹ ⇔

1. (p ∨ q) ⇔ (q ∨ p)
2. (p ⟹(q ∧ s)) ⇔ (q ∧ s)
3. ((~p) ∨ (q ∧ s)) ⟹((p ∨ r) ∧ (p ∨ s))

Kolejność nawiasów, siła działania: ~ ∧ ∨ ⟹ ⇔

1. p ∨ q ⇔ q ∨ p
2. p ⟹q ∧ s ⇔ q ∧ s 3 ) ~p ∨ q ∧ s ⟹ (p ∨ r) ∧ (p ∨ s) źle: p ∨ r ∧ p ∨ s

Podstawowe prawa logiczne (~ ∨ ∧ ⟹ ⇔)

(czasami możemy myśleć, że ∨ to dodawanie, ∧ to mnożenie) Przemienność: p ∨ q ⇔ q ∨ p p ∧ q ⇔ q ∧ p Łączność: (p ∨ q) ∨ s ⇔ p ∨ (q ∨ s) (p ∧ q) ∧ s ⇔ p ∧ (q ∧ s) Rozdzielność: (p ∨ q) ∧ s ⇔ (p ∧ s) ∨ (q∧ s) (p ∧ 𝑞) ∨ s ⇔ (p ∨ s) ∧ (q ∨ s) Idempotentność: p ∨ p ⇔ p p ∧ p ⇔ p Prawa pochłaniania: p ∨ F ⇔ p p ∧ F ⇔ F p ∨ T ⇔ T p ∧ T ⇔ p Prawo wyłączonego środka: p ∨ ~p ⇔ T Prawo sprzeczności: p ∧ ~p ⇔ F Prawo podwójnego przeczenia: ~(~p) ⇔ p (ale w języku polskim: nigdy nie chodzę do kina) Prawo przechodniości: (p ⟹q) ∧ (q ⟹s) ⟹ (p ⟹s) Prawo kontrapozycji: (p ⟹q) ⇔ (~q ⟹ ~p) (dowód tw nie wprost)

Dowód prawa przechodniości: (p ⟹q) ∧ (q ⟹s) ⟹ (p ⟹s) p q s p ⟹q q ⟹ s (p ⟹q) ∧ (q ⟹s) p ⟹s ⟹ 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Formy zdaniowe ϕ(x) ϕ(x) np. ϕ(x) = x+3> ϕ(x,y) np. ϕ(x,y) = x+3>7-y ϕ(x,y,z) np. ϕ(x,y,z) = x+3>7-y+z Kwantyfikatory:

• szczegółowy czytamy: istnieje x taki, że ϕ(x)
• ogólny czytamy: dla każdego x zachodzi ϕ(x) 𝑥 ϕ(x) 𝑥 ϕ(x) 𝑥

𝑥

2

0

∀x: 𝑥 2

0

Prawa de Morgana dla form zdaniowych ~ 𝑥 ϕ(x) (^) ⇔ 𝑥 ~ϕ(x) ϕ(x): 𝑥 2 = − 1 Istnieje liczba rzeczywista, taka że 𝑥 2 = − 1 Nieprawda, żadna liczba rzeczywista nie ma własności 𝑥 2 = − 1 Inaczej mówiąc, dla każdej liczby rzeczywistej nieprawda, że 𝑥 2 = − 1 𝑥 ~ ~ϕ(x) 𝑥 ϕ(x) ⇔ ϕ(x): 𝑥 2

0 Dla każdej liczby rzeczywistej zachodzi 𝑥 2 0 Nieprawda, nie dla każdej liczby rzeczywistej mamy 𝑥 2 0 Inaczej mówiąc, istnieje liczba, dla której nie zachodzi 𝑥 2 0 , np. x=

Rachunek zbiorów Pojęcie zbioru i relacja należenia do zbioru – to tzw. pojęcia pierwotne, których nie definiujemy. A, B, X, Y – tak oznaczamy zbiory a, b, x, y – tak oznaczamy elementy zbiorów 𝑥 ∈ 𝑋, ~ 𝑥 ∈ 𝑋, 𝑥 ∉X x należy do zbioru X Moc zbioru 𝑋 𝑐𝑧𝑦𝑙𝑖 𝑙𝑖𝑐𝑧𝑏𝑎 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡ó𝑤, 𝑚𝑜ż𝑒 𝑏𝑦ć 𝑛𝑖𝑒𝑠𝑘𝑜ń𝑐𝑧𝑜𝑛𝑎 Φ 𝑧𝑏𝑖ó𝑟 𝑝𝑢𝑠𝑡𝑦, 𝑛𝑖𝑒 𝑚𝑎 ż𝑎𝑑𝑛𝑦𝑐ℎ 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡ó𝑤

Działania na zbiorach 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐴 − 𝐵 = 𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∼ 𝑥 ∈ 𝐵 Suma Iloczyn część wspólna Różnica Dopełnienie Suma Iloczyn Różnica Dopełnienie

′ = ∼ 𝐴 = 𝑥: ∼ 𝑥 ∈ 𝐴

Podstawowe prawa rachunku zbiorów Idempotentność Przemienność Łączność Rozdzielność Proszę samodzielnie napisać te prawa i niektóre z nich udowodnić na ćwiczeniach

Prawa de Morgana dla rachunku zbiorów 𝐴 − (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐴 − 𝐶) 𝐴 − (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 − 𝐵) ∩ (𝐴 − 𝐶) A^ B^ 𝐵^ ∩^ 𝐶^ C