Macierz kowariancji, gęstość - Ćwiczenia - Probabilistyka, Notatki z Prawdopodobieństwo i procesy stochastyczne

Pobierz Macierz kowariancji, gęstość - Ćwiczenia - Probabilistyka i więcej Notatki w PDF z Prawdopodobieństwo i procesy stochastyczne tylko na Docsity! probabilistyka matematyka, II stopień lista 4 1. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y ) ma rozkład o gęstości: f(x, y) = 1 300π exp{−1 2 [ (x− 30)2 100 + (y − 40)2 225 ]} Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że suma kwadratów standaryzowanych zmiennych losowychX i Y nie przekracza 1. 2. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y ) ma rozkład normalny o gęstości: f(x, y) = c · exp[−2 3 (x2 − 1 2 xy + 1 4 y2)]. Wyznaczyć stałą c, współczynnik korelacji, oraz macierz kowariancji. 3. Wykazać, że wariancja iloczynu dwóch niezależnych zmiennych losowych X i Y wyraża się wzorem D2(XY ) = σ21σ 2 2 + α 2 1σ 2 2 + α 2 2σ 2 1 , gdzie α1 = E(X), α2 = E(Y ), σ21 = D2(X), σ22 = D2(Y ). 4. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y ) ma rozkład mormalny o parametrach m1 = 2, m2 = 1, σ1 = 1, 5, σ2 = 0, 8, ρ = 0, 6. Podać gęstość tego rozkładu. 5. Trójwymiarowa zmienna losowa (X,Y, Z) ma rozkład normalny z zerowym wektorem wartości przeciętnych i macierzy kowariancji: M =  7 3 23 4 1 2 1 2  Napisać gęstość tego rozkładu. 6. Trójwymiarowa zmienna losowa (X,Y, Z) ma rozkład o gęstości f(x, y, z) = 1 4π √ 6π exp{− 1 12 [6x2 + 4(y − 1)2 + (z + 2)2 − 2(y − 1)(z + 2)]} • wyznaczyć macierz kowariancji; • obliczyć E(XY ); • obliczyć E[Y (Y − Z)]. docsity.com