Pobierz Masowy_moment_bezwładności... i więcej Ćwiczenia w PDF z Mechanika tylko na Docsity!
Doświadczalne i analityczne wyznaczanie masowego momentu bezwładności
Przygotowała: dr inż. Magdalena Kobielarz
Celem ćwiczenia jest analityczne oraz doświadczalne wyznaczenie masowego momentu bezwładności brył oraz układów brył za pomocą metody wahadła fizycznego.
Bryła sztywna (ciało sztywne) to modelowe ciało fizyczne, które nie podlega deformacji pod wpływem działania sił zewnętrznych, tzn. nie zmienia się geometria, postać ani objętości tego ciała również w trakcie ruchu. Odległość dwóch dowolnych punktów tego ciała pozostaje stała, niezależnie od czasu trwania ruchu oraz działania sił zewnętrznych (Rys. 1). Bryła sztywna jest więc szczególnym układem punktów materialnych , których wzajemne odległości nie zmieniają się w czasie. Bryła sztywna jest najprostszym przykładem ciał rozciągłych.
Rys. 1. Model bryły sztywnej (opracowano na podstawie [1]).
Wynika stąd, że podczas ruchu układ punktów materialnych, składających się na bryłę sztywną, porusza się jako całość. W ruchu swobodnym bryła sztywna (Rys. 2) ma 6 stopni swobody, w tym 3 translacyjne, opisujące ruch liniowy wybranego punktu (np.: jego środka masy) oraz 3 rotacyjne, które można opisać przez np.: kąty Eulera, definiujące ustawienie punktu względem innych punktów bryły:
a) b) c)
Rys. 2. Stopnie swobody punktów materialnych bryły sztywnej: a) dowolny punkt M 1 bryły sztywnej ma trzy stopnie swobody; b) układ, w którym punkt M 1 jest nieruchomy; wówczas punkt M 2 ma tylko dwa stopnie swobody, gdyż może poruszać się po powierzchni kuli o promieniu r 12 ; c) układ, w którym M 1 oraz M 2 są nieruchome; wówczas dowolny punkt M 3 w tym układzie ma tylko jeden stopień swobody, gdyż może się poruszać tylko po okręgu wokół osi obrotu zdefiniowanej przez punkty M 1 oraz M 2 (opracowano na podstawie [1]).
W ogólnym przypadku bryła sztywna porusza się dwoma rodzajami ruchów: postępowym i obrotowym. Może poruszać się ruchem złożonym (jednocześnie obrotowym i postępowym) lub jednym z ruchów składowych, tj. tylko obrotowym lub tylko postępowym. W ruchu postępowym wszystkie punkty ciała zakreślają takie same tory oraz mają jednakowe
x z
y M 1
prędkości i przyspieszenia. Najczęściej spotykanym przypadkiem ruchu obrotowego bryły jest ruch wokół stałej osi obrotu. Wówczas wszystkie punkty bryły poruszają się po okręgach o środkach zlokalizowanych w osi obrotu (jak na Rys. 2 c). Promienie wodzące (r) tych punktów, w takim samym czasie, zakreślają jednakowe kąty. W danej chwili wszystkie punkty bryły mają tę samą prędkość kątową i przyspieszenia kątowe, chociaż każdy z tych punktów ma różną prędkość liniową. Prędkości liniowe punktów zależą od ich odległości od osi obrotu. Opis ruchu bryły sztywnej sprowadza się do opisu ruchu punktu materialnego, najczęściej środka masy ciała , gdyż wszystkie punkty ciała definiuje w ruchu obrotowym stała prędkość kątowa, podobnie jak w ruchu postępowym stała prędkość liniowa. Nie ma więc konieczności, w przypadku brył sztywnych, analizowania ruchu poszczególnych punktów materialnych tworzących bryłę.
Moment bezwładności ( I ) to wielkość charakteryzująca bezwładność ciała w ruchu obrotowym. Moment bezwładności jest wielkością wynikającą z II zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego – masowy moment bezwładności jest wielkością skalarną,
iloczyn którego i prędkości kątowej wyraża moment pędu ( ⃗⃗⃗ ). Sens fizyczny momentu bezwładności jest analogiczny do sensu fizycznego masy – informuje o bezwładności ciała, czyli o tym „jak trudno zmienić” ruch obrotowy tego ciała, czyli nadać mu określone przyśpieszenie kątowe lub wywołać jego zmianę. W przypadku ruchu postępowego do opisu bezwładności ciała wystarczająca jest znajomość masy tego ciała. Natomiast w przypadku ruchu obrotowego znajomość masy ciała jest niewystarczająca, istotny jest również przestrzenny rozkład masy względem osi obrotu , zwanej osią bezwładności (Rys. 3). Wpływ obu wielkości fizycznych, tj. masy i rozkładu masy względem osi obrotu, obrazuje animacja dostępna na stronie: https://en.wikipedia.org/wiki/Moment_of_inertia#/media/File:Rolling_Racers_- Moment_of_inertia.gif lub https://en.wikipedia.org/wiki/File:Rolling_Racers-_Moment_of_inertia.ogv Dla pojedynczego punktu materialnego o masie m, wirującego wokół osi obrotu oddalonej od niego na odległość promienia wodzącego r (Rys. 3a), moment bezwładności definiowany jest jako iloczyn masy punktu i kwadratu odległości tego punktu od osi obrotu: (1)
W przypadku układu n punktów materialnych sztywno połączonych ze sobą, moment bezwładności względem osi obrotu (Rys. 3 b) jest równy sumie momentów bezwładności poszczególnych punktów materialnych:
∑ (2)
gdzie: mi - masa i-tego punktu materialnego, ri - odległość od osi bezwładności, czyli długość promienia wodzącego.
W przypadku ciała sztywnego, które charakteryzuje się ciągłym rozkładem masy, ciało hipotetycznie dzieli się na nieskończenie małe części, tworząc zbiór nieskończenie małych elementów (wycinków) o masach dm. Wówczas, moment bezwładności bryły o masie M jest równy sumie momentów bezwładności poszczególnych elementów (zasada addytywności momentów bezwładności). Zakładając, że masa dm elementu bryły dąży do zera, sumę można zapisać w postaci całkowej (Rys. 3c):
obrotu bryły sztywnej jest reprezentowana przez inny tensor momentu bezwładności. Współrzędne tensora bezwładności zależą od położenia i orientacji układu współrzędnych względem ciała. Dobierając orientację układu współrzędnych tak, aby jego osie pokrywały się z osiami symetrii ciała, uzyskuje się wyzerowanie odśrodkowych momentów bezwładności. W takim przypadku mamy do czynienia głównymi momentami bezwładności bryły sztywnej, liczonymi względem głównych osi bezwładności , czyli osi przechodzących przez środek masy i mających takie kierunki, że: I - moment bezwładności względem tej osi jest największy; II - prostopadła do osi I i taka, względem której moment bezwładności ciała jest najmniejszy; III - prostopadła do obu osi I. i II, a więc, główne momenty bezwładności przybierają wartości ekstremalne (maksimum i minimum). Zabieg obrócenia układu współrzędnych, w celu wyzerowania momentów dewiacyjnych i pozostawienia tylko niezerowych momentów głównych, nazywany jest diagonalizacją tensora bezwładności. Mówi się wówczas o sprowadzeniu tensora bezwładności na osie główne. W takim przypadku tensor bezwładności przyjmuje postać:
[ ] (13)
gdzie: Ix , Iy , Iz – główne momenty bezwładności.
Dla brył o symetrii sferycznej (np. kula) główne momenty bezwładności są sobie równe (Rys. 4a). Dla ciał o symetrii obrotowej - dwa główne momenty bezwładności są sobie równe (Rys. 4b). Jeśli główne momenty bezwładności różnią się miedzy sobą, to ten, który jest maksymalny wyznacza stabilną oś obrotu (Rys. 4c).
a) Kula b) Walec c) Prostopadłościan
Rys. 4. Przykłady głównych momentów bezwładności dla brył o zróżnicowanej symetrii (patrz też Tab. 1): a) dla brył o symetrii sferycznej, b) dla brył o symetrii obrotowej, c) dla brył o symetrii płaszczyznowej (opracowano na podstawie [3]).
Z praktycznego punktu widzenia można powiedzieć, że każda oś symetrii ciała jest jego główną osią bezwładności oraz, że jeżeli ciało ma płaszczyznę symetrii, to każda prosta prostopadła do tej płaszczyzny przechodząca przez środek masy, jest główną osią bezwładności. Ponadto, jeżeli dwie osie układu współrzędnych tworzą płaszczyznę symetrii dla rozkładu masy ciała, to momenty odśrodkowe - o indeksie współrzędnej prostopadłej do płaszczyzny symetrii - będą równe zero. Główne osie bezwładności wyznaczają osie elipsoidy bezwładności (Rys. 5), gdzie długość
każdej osi elipsoidy jest odwrotnie proporcjonalna do momentu bezwładności względem tej osi:
gdzie: Ix , Iy , Iz - główne momenty bezwładności, ax , ay , az - długości trzech półosi elipsoidy.
Rys. 5. Elipsoida bezwładności z zaznaczonym promieniem wodzącym ai (źródło [4]).
Tym samym, dla każdej dowolnej i-tej osi obrotu, przechodzącej przez środek masy, możliwe
jest wyznaczenie odcinków ai ( (^) √ ), które będą odpowiadały momentom bezwładności
dla i-tych osi obrotu ( Ii ), i których końce utworzą powierzchnię opisaną równaniem elipsoidy:
(17)
gdzie: x , y , z - współrzędne punktów na powierzchni elipsoidy w układzie współrzędnych, którego początek znajduje się w środku masy bryły, a kierunki osi są zgodne z kierunkami głównych osi bezwładności bryły.
Elipsoida bezwładności jest geometrycznym obrazem zależności momentu bezwładności I bryły sztywnej od kierunku osi obrotu. Znając kształt elipsoidy bezwładności, można w prosty sposób wyznaczyć moment bezwładności bryły dla dowolnego kierunku osi obrotu, ponieważ wystarczy poprowadzić w tym kierunku promień wodzący ai do przecięcia z powierzchnią elipsoidy bezwładności (Rys. 5). Oznacza to, że w ruchu obrotowym bryły sztywnej kształt tej bryły pozostaje bez istotnego znaczenia, gdyż jej ruch jest określony przez jej osie bezwładności. Każdej bryle, niezależnie od tego, jak nieregularny jest jej kształt i niejednorodna gęstość, odpowiada elipsoida bezwładności (Rys. 6).
względem dowolnej osi obrotu równoległej do osi obrotu przechodzącej przez środek masy ciała jest równy sumie momentu bezwładności względem osi obrotu przechodzącej przez środek masy ( ISM ) oraz iloczynu masy m tej bryły i kwadratu odległości d pomiędzy osiami obrotu. Powyższe twierdzenie ilustruje Rys. 7, a opisuje je zależność: (18) gdzie: IŚM - masowy moment bezwładności bryły względem osi przechodzącej przez środek masy, m - masa bryły, d - odległość między osiami obrotu (przy równoległym przesunięciu osi).
Rys. 7. Ilustracja twierdzenia Steinera (opracowano na podstawie [7]).
Momenty bezwładności są addytywne , czyli moment bezwładności bryły złożonej z kilku elementów jest równy sumie momentów bezwładności brył składowych całego układu względem tej samej osi, co wynika bezpośrednio z definicji momentu bezwładności (patrz też Rys. 3b). Dla przykładu, moment bezwładności układu brył, który składa się z dwóch kul o równych masach i promieniu R połączonych elementem prętowym o długości L (względem osi obrotu przechodzącej przez środek układu brył kula-pręt-kula (Rys. 8)), wynosi: (19)
Kontynuując powyższy przykład otrzymujemy sumę masowego momentu bezwładności pręta, o osi obrotu przechodzącej przez środek masy pręta (pręt obraca się wokół osi przechodzącej przez środek jego masy) i dwóch kul, dla których należy uwzględnić równoległe przesunięcie osi obrotu względem osi przechodzącej przez środki mas tych kul. Moment bezwładności bryły względem osi obrotu przesuniętej równolegle względem osi obrotu przechodzącej przez środek masy również jest addytywny. Tak więc, masowy moment bezwładności każdej kuli należy obliczyć stosując twierdzenie Steinera. Oś obrotu układu
kula-pręt-kula znajduje się w odległości (Rys. 8) od osi obrotu
przechodzącej przez środki mas obu kul.
[ ( ) ]
Rys. 8. Sposób obliczenia masowego momentu bezwładności dla przykładowego układu brył (opracowano na podstawie [8]).
Obliczenia momentów bezwładności metodami analitycznymi, czyli metodami opartymi na wymiarach geometrycznych ciał, są stosunkowo proste jedynie dla brył posiadających oś symetrii równoległą względem osi bezwładności (pręt, walec, kula, itp.). W przypadku brył o złożonym lub nieregularnym kształcie metody analityczne są bardziej skomplikowane. W praktyce, moment bezwładności takich brył można wyznaczyć korzystając z metod doświadczalnych lub analiz numerycznych. Istnieje kilka technik wyznaczania masowego momentu bezwładności na drodze doświadczalnej, z których najpopularniejsze to metody zawieszenia: jednonitkowego, trójnitkowego, drgań skrętnych oraz wahadła fizycznego. Pomiar okresu drgań wahadła fizycznego do wyznaczania momentu bezwładności ciała jest jedną z najczęściej stosowanych technik. Wahadłem fizycznym nazywamy bryłę sztywną, zawieszoną w punkcie znajdującym się powyżej jej środka masy i mogące się obracać wokół osi obrotu O, która nie przechodzi przez środek masy bryły SM (Rys. 9).
Rys. 9. Schemat wahadła fizycznego (opracowane na podstawie [9]).
Rysunek 9 przedstawia schematycznie wahadło fizyczne obracające się wokół poziomej osi (prostopadłej do płaszczyzny rysunku), przechodzącej przez punkt O, oddalonej od środka masy (SM) na odległość d. Gdy wahadło zostanie wychylone o kąt θ z położenia równowagi i puszczone swobodnie, wykonuje drgania własne. Siły działające na środek masy wahadła fizycznego są takie same jak działające na kulkę wahadła matematycznego, czyli na bryłę o masie m działa moment siły ciężkości M tego ciała. Gdy wahadło fizyczne zostanie wprawione w drgania (zwane ruchem wahadłowym), wówczas jego ruch można rozpatrywać jako obrót bryły sztywnej wokół nieruchomej osi O, dla której słuszne jest dynamiczne równanie ruchu obrotowego: (20) (21)
gdzie: M - moment siły, I - masowy moment bezwładności, ε - przyspieszenie kątowe.
W przypadku wahadła fizycznego moment siły powstaje pod wpływem siły ciężkości. Dla wychylenia θ jest on równy: (22) gdzie: d – odległość środka masy SM od osi obrotu O, m - masa, g – przyspieszenie ziemskie, θ - wychylenie ze stanu równowagi. Tak więc, masowy moment bezwładności wahadła fizycznego wynika bezpośrednio z równania jego ruchu:
[3] http://www.kdm.p.lodz.pl/wyklady/Wyklady-mechanika-ogolna.pdf (dostępny na dzień: 02-10-2020). [4] Stanisław Pryputniewicz, Mechanika Ogólna - materiały pomocnicze do wykładów i ćwiczeń (http://fizyka.umk.pl/~kroch/materialy/mechanika.pdf).
Źródła materiałów: [1] https://www.google.com/search?client=firefox-b- d&q=DYNAMIKA++BRY%C5%81Y++SZTYWNEJ# [2] https://www.phys.put.poznan.pl/pracowniafizyczna/pracowniafizyczna/instrukcja104- opracowanie.pdf [3] http://steeljis.com/roymech/form/dynamics_inertia.php [4] https://ftims.pg.edu.pl/documents/10673/98509670/cw_23.pdf [5] https://www.researchgate.net/publication/255956529_Micro- computed_tomography_image- based_evaluation_of_3D_anisotropy_degree_of_polymer_scaffolds [6] http://212.191.87.54:1616/k16/dydaktyka2/przedmioty/Mechanika/mechanika_laboratorium_c w4_2016_temp.pdf [7] https://www.phys.put.poznan.pl/pracowniafizyczna/pracowniafizyczna/instrukcja104- opracowanie.pdf [8] http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/tdisc.html [9] http://zanotowane.pl/49/8335/wahadlo,fizyczne,elektrotechnika,agh,semestr.php
