Pobierz Matematyka dla liceum i więcej Zadania w PDF z Matematyka tylko na Docsity!
3 Układy równań
Samolot lecący pod wiatr przebywa trasę 1200 km w ciągu 2,4 h. Tę samą trasę z wiatrem pokonuje w 2 h. Jaka jest prędkość samolotu, a jaka wiatru (przyjmujemy, że prędkości te są stałe)? Jeśli oznaczymy przez x prędkość samolotu, a przez y prędkość wiatru, to do opisu sytuacji potrzebujemy dwóch równań z niewiadomymi x i y. Poszuki- wanym rozwiązaniem są wielkości spełniające jednocześnie oba te równania: x = 550 km/h i y = 50 km/h. Rozdział ten poświęcony jest metodom rozwiązywania układów równań oraz wykorzystaniu ich do rozwiązywania zadań tekstowych.
- Układy równań 101
3.1. Co to jest układ równań
Przykład 1 Podaj trzy pary liczb x , y spełniające równanie 2 x + 4 y = 20. Przykładowe pary: { x = 0 y = 5
x = − 2 y = 6
x = 0 , 5 y = 4 , 75
Po wybraniu jako x dowolnej liczby wyznaczamy y , rozwiązując odpowiednie równanie.
Równanie 2 x + 4 y = 20 to przykład równania z dwiema niewiadomymi. Rów- nanie to jest spełnione przez nieskończenie wiele par liczb.
Przykład 2 Do skarbonki wrzucono 7 monet. Były to monety dwu- i pięciozłotowe. Ile monet dwu-, a ile pięciozłotowych wrzucono, jeśli w skarbonce znajduje się 26 zł? Wprowadźmy oznaczenia niewiadomych: x – liczba monet dwuzłotowych, y – liczba monet pięciozłotowych. Aby opisać sytuację z zadania, potrzebujemy dwóch równań: x + y = 7 (do skarbonki wrzucono 7 monet) i 2 x + 5 y = 26 (w skarbonce znajduje się 26 zł). Równania te muszą być spełnione jednocześnie – zapisujemy to, łącząc je klamrą: (^) { x + y = 7 2 x + 5 y = 26 Ustalmy najpierw, które pary liczb spełniają pierwsze równanie. Liczby mo- net x i y mogą być tylko liczbami dodatnimi naturalnymi, zatem równanie x + y = 7 spełnia sześć par liczb: { x = 1 y = 6
x = 2 y = 5
x = 3 y = 4
x = 4 y = 3
x = 5 y = 2
x = 6 y = 1
Spośród nich tylko para
x = 3 y = 4 spełnia drugie równanie 2 x + 5 y = 26.
Zatem jest ona rozwiązaniem układu równań
x + y = 7 2 x + 5 y = 26 , czyli do skar- bonki wrzucono 3 monety dwuzłotowe i 4 monety pięciozłotowe. Ćwiczenie 1 Resztę 2 zł 10 gr wydano w 9 monetach, wśród których były tylko 10- i 50- -groszówki. Ile było 10-groszówek?
102 3. Układy równań
Uczeń:
- podaje pary liczb spełniające równanie liniowe z dwiema niewiadomymi,
- sprawdza, czy dana para liczb jest rozwiązaniem układu równań,
- dopisuje drugie równanie tak, aby dana para liczb spełniała dany układ równań,
- zapisuje podane informacje w postaci układu równań.
Ćwiczenie 1 x – liczba 10-groszówek, y { – liczba 50-groszówek. x + y = 9 10 x + 50 y = 210 { x = 6 y = 3 Było sześć 10-groszówek. dlanauczyciela.pl Kartkówka 3.
Układ równań – rozwiązanie zadania Układy równań liniowych – liczba rozwiązań
- Sprawdź, która z podanych par liczb spełnia układ równań. { 3 x + 2 y = − 8 − 6 x − 5 y = 11
A.
x = − 2 y = − 1
B.
x = − 4 y = 2
C.
x = − 6 y = 5
D.
x = − 8 y = 8
- Podaj wszystkie pary liczb naturalnych dodatnich spełniające równanie. a) 3 x + 2 y = 17 b) 3 x + 4 y = 17 c) 2 x + 4 y = 17
- Do danego równania dopisz takie drugie, aby utworzony układ równań był spełniony przez podaną parę liczb. a) 4 x + 3 y = 14,
x = 5 y = − 2
c) 4 x − 9 y = − 1,
x = (^12) y = (^13)
b) 3 x − 7 y = 6,
x = − 5 y = − 3 d) 12 x + 12 y = − 10,
x = −^12 y = − 8
- Zapisz podane informacje w postaci układu równań. a) Liczba x jest o 8 większa od liczby y. Liczba y jest pięciokrotnie mniej- sza od liczby x. b) Suma liczby x i podwojonej liczby y wynosi 10. Połowa liczby x jest równa y.
- Zapisz podane informacje w postaci układu równań. a) Liczba a stanowi 40% liczby b. Gdy do 20% liczby a dodamy 60% liczby b , to otrzymamy 4. b) Liczba o 10% mniejsza od liczby a jest o 10% większa od liczby b. Różnica liczby o 15% większej od a i liczby o 15% mniejszej od b wynosi 1.
Powtórzenie
- Podaj wszystkie pary liczb naturalnych spełniających równanie x + 3 y = 9 oraz te, które spełniają równanie 5 x + 2 y = 19. Czy istnieje para liczb naturalnych spełniająca oba równania?
- Zapisz podane informacje w postaci układu równań. a) Suma liczb x i y jest równa 5. Różnica tych liczb wynosi 2. b) Suma liczb a i b jest równa 14. Gdy do 120% liczby a dodamy 70% liczby b , to otrzymamy sumę a i b.
104 3. Układy równań
- C
- a) (1 , 7), (3 , 4), (5 , 1) b) (3 , 2) c) Nie ma takich liczb.
- a) np. x + y = 3 b) np. y − x = 2 c) np. 4 x + 3 y = 3 d) np. 2 x + y = − 9
- a)
{ y + 8 = x 5 y = x b)
{ x + 2 y = 10 y = 12 x
- a)
{ a = 0 , 4 b 0 , 2 a + 0 , 6 b = 4 b)
{ 0 , 9 a = 1 , 1 b 1 , 15 a − 0 , 85 b = 1
- Pary spełniające równanie x + 3 y = 9: (0 , 3), (3 , 2), (6 , 1), (9 , 0); pary spełniające równanie 5 x + 2 y = 19: (1 , 7), (3 , 2); tak
- a)
{ x + y = 5 x − y = 2 b)
{ a + b = 14 1 , 2 a + 0 , 7 b = a + b
3.2. Rozwiązywanie układów równań
metodą podstawiania
Jedną z metod rozwiązywania układów równań jest metoda podstawiania. Przykład 1
Rozwiąż układ równań
x − 3 y = 5 4 x + 5 y = 3
metodą podstawiania.
Wybieramy jedno z równań i wyznaczamy z niego jedną z niewiadomych. To, którą niewiadomą wyznaczymy, nie ma wpływu na ostateczne rozwiązanie układu równań. { x = 3 y + 5 4 x + 5 y = 3
Wyznaczamy niewiadomą x z pierwszego równania. Drugie równanie przepisujemy bez zmian.
W miejsce x w drugim równaniu podstawiamy wyrażenie 3 y + 5, dzięki czemu otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą. { x = 3 y + 5 4(3 y + 5) + 5 y = 3
Pierwsze równanie przepisujemy bez zmian. Podstawiamy wyrażenie 3 y + 5 w miejsce x w drugim równaniu. { x = 3 y + 5 12 y + 20 + 5 y = 3 { x = 3 y + 5 17 y = − 17 / : 17
Rozwiązujemy drugie równanie z niewiadomą y.
x = 3 y + 5 y = − 1 { x = 3 · ( − 1) + 5 y = − 1
Podstawiamy wyznaczoną wartość y do pierwszego równania i obliczamy niewiadomą x. { x = 2 y = − 1
Otrzymana para liczb jest jedynym rozwiązaniem układu równań.
Aby przekonać się, czy nie popełniliśmy błędu, możemy sprawdzić otrzymane rozwiązanie, podstawiając je do układu równań: { 2 − 3 · ( − 1) = 2 + 3 = 5 Spełnione pierwsze równanie. 4 · 2 + 5 · ( − 1) = 8 − 5 = 3 Spełnione drugie równanie. Zatem otrzymana para liczb jest rozwiązaniem tego układu równań.
3.2. Rozwiązywanie układów równań metodą podstawiania 105
Uczeń:
- rozwiązuje układ równań metodą podstawiania,
- określa typ układu równań (czy dany układ równań jest układem oznaczonym, nieoznaczonym, czy sprzecznym),
- dopisuje drugie równanie tak, aby układ równań był układem oznaczonym, nieoznaczonym lub sprzecznym.
dlanauczyciela.pl Kartkówka 3.
Układy równań liniowych – liczba rozwiązań
Ćwiczenie 2 Rozwiąż układ równań metodą podstawiania.
a)
x + y = 2 x − 4 y x + y = 7 − y b)
3 x = x − y + 3 2 = y − x c)
2( x + 2) = y − 2 2 x − y = x + y − 15
Przykład 3
Rozwiąż układ równań
{ (^) y + 6 =^ x +1 3 −^^1 2 x + y = 1 metodą podstawiania.
Zaczynamy od doprowadzenia pierwszego równania do prostszej postaci, a na- stępnie rozwiązujemy układ równań metodą podstawiania. { (^) y + 6 =^ x + 3 −^^1 /^ ·^^6 2 x + y = 1 { y + 3 = 2( x + 1) − 6 2 x + y = 1 { y + 3 = 2 x + 2 − 6 2 x + y = 1 { y = 2 x − 7 2 x + y = 1
y = 2 x − 7 2 x + 2 x − 7 = 1 { y = 2 x − 7 4 x = 8 / : 4 { y = 2 x − 7 x = 2 { y = − 3 x = 2
Zatem rozwiązaniem układu jest para liczb: x = 2, y = − 3.
Ćwiczenie 3 Rozwiąż układ równań metodą podstawiania.
a)
{ (^) x + y 2 = 5 x−y 3 = 4^
b)
{ (^2) x−y 3 =^ 3 x + y 2 x = 2( x + y + 1)
c)
1 − x− 2 1 = 2 + y +1 3 x + y + 4 = 0
Nie każdy układ równań ma rozwiązanie. Na przykład układ równań: { x + y = 7 x + y = 8 nie jest spełniony przez żadną parę liczb. (Jeśli suma dwóch liczb jest równa 7, to nie może być jednocześnie równa 8). Zauważmy, że również układ równań: { x − y = 2 2 x − 2 y = 7 nie ma rozwiązania (dlaczego?).
3.2. Rozwiązywanie układów równań metodą podstawiania 107
Ćwiczenie 2 a)
{ x − 5 y = 0 x + 2 y = 7 { x = 5 y 5 y + 2 y = 7 { x = 5 y = 1
b)
{ 2 x + y = 3 x − y = − 2 { y = 3 − 2 x x − (3 − 2 x ) = − 2 { x = (^13) y = (^73)
c)
{ 2 x − y = − 6 x − 2 y = − 15 { y = 2 x + 6 x − 2(2 x + 6) = − 15 { x = 1 y = 8
Ćwiczenie 3
a)
{ x + y = 10 x − y = 12 { x = 10 − y 10 − y − y = 12 { x = 11 y = − 1
b)
{ 4 x − 2 y = 9 x + 3 y x + 2 y = − 2 { y = −x x + 2( −x ) = − 2 { x = 2 y = − 2
c)
{ 3 x + 2 y = − 5 x + y = − 4 { y = −x − 4 3 x + 2( −x − 4) = − 5 { x = 3 y = − 7
Przykład 4 Rozwiąż układ równań
x − 2 y = 3 − 2 x + 4 y = 7 metodą podstawiania. { x = 3 + 2 y − 2(3 + 2 y ) + 4 y = 7
Wyznaczamy niewiadomą x z pierwszego równania. Podstawiamy wyrażenie 3 + 2 y w miejsce x w drugim równaniu. { x = 3 + 2 y − 6 − 4 y + 4 y = 7 { x = 3 + 2 y 0 y = 13
Drugie równanie jest sprzeczne – nie jest spełnione przez żadną wartość niewiadomej y. Zatem żadna para liczb nie spełnia danego układu równań.
Układ równań może mieć nieskończenie wiele rozwiązań. Np. układ równań: { x + y = 2 2 x + 2 y = 4 spełnia każda para liczb x , y , których suma jest równa 2.
Przykład 5 Rozwiąż układ równań
6 x − 2 y = 12 − 3 x + y = − 6 metodą podstawiania. { 3 x − y = 6 y = 3 x − 6
Doprowadzamy pierwsze równanie do prostszej postaci. Wyznaczamy niewiadomą y z drugiego równania. { 3 x − (3 x − 6) = 6 y = 3 x − 6
Podstawiamy wyrażenie 3 x − 6 w miejsce y w pierwszym równaniu. { 3 x − 3 x + 6 = 6 y = 3 x − 6 { 0 x = 0 y = 3 x − 6
Równanie 0 x = 0 (możemy je również zapisać 0 = 0) jest zawsze spełnione, niezależnie od tego, jaką wartość wstawimy w miejsce niewiadomej x. Zatem o liczbie rozwiązań układu decyduje tylko drugie równanie, w którym występują obie niewiadome. Równanie y = 3 x − 6 jest spełnione przez nieskończenie wiele par liczb, co oznacza, że układ równań jest spełniony przez nieskończenie wiele par liczb,
np. spełniają go pary liczb:
x = 0 y = − 6
x = 1 y = − 3
x = 2 y = 0
x = 0 , 5 y = − 4 , 5
108 3. Układy równań
- Czy rozwiązaniem układu równań jest para liczb całkowitych?
a)
{ (^) x + 2 +^ y 2 =^ y + 4 − 3 x − y = 5 c)
{ (^) 2+ x 4 =^ y− 1 3 5 −x−y 2 =^ x +2 y 5
b)
{ (^2) x− 6 5 + 6 y^ = 3 x − 6 y − 1 = 2 y d)
{ (^) x− 1 2 +^ y− 1 3 = 1 x− 2 8 −^ y− 1 4 = 2
- Sprawdź, ile rozwiązań ma podany układ równań.
a)
2( x − 3 y ) + 3( x − 2 y ) = 1 5 2 x^ −^^2 y^ = 4( y^ + 1)^
c)
x − 7( y − 1) = − 2
2 +^ x
− 2(1 − 2 x − y ) = 1 − x − 5 y
b)
2( x − 2 y ) − 2( y − x + 1 , 5) = 5 2 −x 5 −^^0 ,^3 y^ = 0^
d)
3(1 − x ) − 5(2 − y ) = 5 0 , 2(2 − 3 x ) + y = 0 , 8
- Rozwiąż układ równań.
a)
( x + 2)^2 + 2 y = x + 15 + ( x − 2)( x + 2) x + ( y − 1)^2 = 1 − (
3 − y )( y +
b)
x (1 − 2 x ) − y (1 − y ) = ( y −
2 x )( y +
2 x ) + 3 2 x − (2 y −^14 )^2 + 16 161 = (2 y + 3)(3 − 2 y )
- Sprawdź, czy układ równań jest oznaczony, nieoznaczony, czy sprzeczny.
a)
2 x + 3 y = 7 2 x + 3( y − 2) = 1 b)
4 x − y = 2 1 2 y^ = 2( x^ −^ 1)^
c)
2 y − x = 8 x + 4 = 2( y − 2)
- Dane jest równanie 3 x − 4 y = 2. Dopisz do niego drugie równanie, tak by otrzymany układ równań był: a) sprzeczny, b) nieoznaczony, c) oznaczony.
Powtórzenie
- Rozwiąż układ równań metodą podstawiania.
a)
3 x + 4 = 2 y − 4 x + y = 1 − x
b)
6 y + x + 1 = 0 2 y − 6 x + 7 = 0
c)
{ (^) x + 2 +^ y^ =^ y + 2 −^^3 3 −^3 x− 2 2 y = 5 + 2 y
- Sprawdź, czy układ równań jest oznaczony, nieoznaczony, czy sprzeczny.
a)
3 x − 2 y = 5 − 2 x + 43 y = − 3 b)
7 , 5 x − 5 y = 6 2 y − 3 x = − 2 , 4 c)
2 x + 3 y = −^13 4 x − 4 21 y = 6
110 3. Układy równań
- a) tak b), c), d) nie
- a) 0 b) 1 c) 1 d) 0
- a)
{ 3 x + 2 y = 7 x − 2 y = − 3 { x = 1 y = 2 b)
{ x − y = 3 2 x + y = − 7 { x = −^43 y = −^133
- a), c) nieoznaczony b) sprzeczny
- a) np. 6 x − 1 = 8 y b) np. 6 x − 4 = 8 y c) np. 3 x − 8 y = 2
- a) sprzeczny b) nieoznaczony c) oznaczony 8. a)
{ y = 1 − 2 x 3 x + 4 = 2(1 − 2 x ) − 4 { x = −^67 y = (^197)
b)
{ x = − 1 − 6 y 2 y − 6( − 1 − 6 y ) + 7 = 0 { x = (^2019) y = −^1338
c)
{ x + 10 + 2 y = y + 5 − 6 6 − 3 x + 2 y = 10 + 4 y { x = −y − 11 − 3( −y − 11) − 2 y = 4 { x = 18 y = − 29
3.3. Rozwiązywanie układów równań
metodą przeciwnych współczynników
Inną metodą rozwiązywania układów równań jest metoda przeciwnych współ- czynników.
Przykład 1 Rozwiąż układ równań
x + 3 y = − 4 −x + 6 y = 13 metodą przeciwnych współczynni- ków. Sprawdź otrzymane rozwiązanie. Zauważmy, że współczynniki przy niewiadomej x są liczbami przeciwnymi (1 i − 1). Aby zredukować taką niewiadomą, wystarczy dodać oba równania stronami – otrzymamy równanie z jedną niewiadomą y. { x + 3 y = − 4
x − x + 3 y + 6 y = − 4 + 13 9 y = 9 y = 1
Dodajemy równania stronami. Niewiadoma x została zredukowana.
Wyznaczoną wartość niewiadomej y podstawiamy do jednego z równań wyj- ściowego układu, na przykład do równania x + 3 y = − 4. Otrzymujemy: { y = 1 x + 3 · 1 = − 4
Podstawiamy liczbę 1 w miejsce y w równaniu x + 3 y = − 4 i obliczamy niewiadomą x. Stąd otrzymujemy jako rozwiązanie układu równań parę liczb: { x = − 7 y = 1 Sprawdzenie { − 7 + 3 · 1 = − 7 + 3 = − 4 − ( − 7) + 6 · 1 = 7 + 6 = 13
Spełnione pierwsze równanie. Spełnione drugie równanie. Ćwiczenie 1 Rozwiąż układ równań metodą przeciwnych współczynników.
a)
4 x + y = 5 2 x − y = − 2 b)
2 x + 3 y = 5 − 2 x + y = − 1 c)
5 x − 3 y = 1 − 5 x + y = 9
3.3. Rozwiązywanie układów równań metodą przeciwnych współczynników 111
Uczeń:
- rozwiązuje układ równań metodą przeciwnych współ- czynników,
- zapisuje rozwiązanie układu równań w przypadku, gdy jest to układ nieoznaczony.
Ćwiczenie 1 a)
{ 4 x + y = 5
{^6 x^ = 3 x = (^12) y = 3
b)
{ 2 x + 3 y = 5
- − 2 x + y = − 1 4 y = 4 { x = 1 y = 1
c)
{ 5 x − 3 y = 1
- − 5 x + y = 9 − 2 y = 10 { x = −^145 y = − 5
dlanauczyciela.pl Kartkówka 3.
Przykład 3 Rozwiąż układ równań
2 x + 3 y = 2 5 x + 7 y = 4 metodą przeciwnych współczynników.
Rozwiązanie układu równań rozpoczynamy od pomnożenia każdego z rów- nań przez takie liczby, aby przy jednej z niewiadomych otrzymać przeciwne współczynniki. { 2 x + 3 y = 2 / · 5 5 x + 7 y = 4 / · ( − 2)
Mnożymy obie strony pierwszego równania przez 5, a drugiego przez − 2. { 10 x + 15 y = 10
y = 2
Dodajemy równania stronami. Niewiadoma x została zredukowana. { y = 2 2 x + 3 y = 2 Otrzymujemy nowy, równoważny układ równań. { y = 2 2 x + 3 · 2 = 2 Podstawiamy liczbę 2 w miejsce y w drugim równaniu. { y = 2 2 x = − 4 / : 2 { x = − 2 y = 2 Zatem rozwiązaniem układu równań jest para liczb: x = − 2, y = 2.
Ćwiczenie 3 Rozwiąż układ równań metodą przeciwnych współczynników.
a)
3 x − 2 y = 10 2 x + 3 y = − 2
b)
4 x + 7 y = 7 3 x + 6 y = 3
c)
6 x + 2 y = 13 4 x − 7 y = 2
Ćwiczenie 4 Podaj liczby, przez które można pomnożyć obie strony równań układu, aby móc skorzystać z metody przeciwnych współczynników. Nie rozwiązuj układu.
a)
3 x − 7 y = 2 − 5 x + 4 y = 8 b)
−^12 x + 17 y = 4 1 3 x^ −^^13 y^ = 5^
c)
5 x^ −^^6 y^ = 1 3 x − 5 y = 9
3.3. Rozwiązywanie układów równań metodą przeciwnych współczynników 113
Ćwiczenie 3 a)
{ 9 x − 6 y = 30
{^13 x^ = 26 x = 2 y = − 2
b)
{ − 12 x − 21 y = − 21
{^3 y^ =^ −^9 x = 7 y = − 3
c)
{ 12 x + 4 y = 26
- − 12 x + 21 y = − 6 25 y = 20 { x = 1 , 9 y = 0 , 8
Ćwiczenie 4 a) np. 5 i 3 b) np. 2 i 3 c) np. − 5 i 6
Przykład 4 Rozwiąż układ równań
5( x − y ) + 5 = 2(2 x + y ) 2( x − 1) = y + 1 Rozpoczynamy od doprowadzenia równań układu do najprostszej postaci. { 5 x − 5 y + 5 = 4 x + 2 y 2 x − 2 = y + 1
Redukujemy wyrazy podobne. Niewiadome zapisujemy po lewej stronie każdego równania. { x − 7 y = − 5 2 x − y = 3 Otrzymany układ równań możemy rozwiązać jedną z dwóch metod. Metoda podstawiania { x = − 5 + 7 y 2( − 5 + 7 y ) − y = 3 { x = − 5 + 7 y − 10 + 14 y − y = 3 { x = − 5 + 7 y 13 y = 13 / : 13 { x = − 5 + 7 y y = 1 { x = − 5 + 7 y = 1 { x = 2 y = 1
Metoda przeciwnych współczynników { x − 7 y = − 5 / · ( − 2) 2 x − y = 3 { − 2 x + 14 y = 10
- 2 x − y = 3 13 y = 13 / : 13 y = 1 { y = 1 2 x − y = 3 { y = 1 2 x − 1 = 3 { y = 1 x = 2 Rozwiązanie układu równań nie zależy od: wyboru metody rozwiązywania, kolejności równań w układzie – można ją zmienić na każdym etapie rozwią- zywania. W przypadku metody podstawiania rozwiązanie układu równań nie zależy od wyboru wyznaczonej niewiadomej i tego, z którego równania ją wyznaczamy. W przypadku metody przeciwnych współczynników rozwiązanie układu rów- nań nie zależy od wyboru niewiadomej, którą redukujemy.
114 3. Układy równań
Ćwiczenie 5 Sprawdź, czy układ równań jest nieoznaczony, czy sprzeczny. a)
5 x − 2 y = 4 −x + 0 , 4 y = 1 b)
1 , 5 x − 2 y = 6 x − 1 13 y = 4 c)
−^23 x + 3 y = 4 (^12) x − 2 14 y = 5
Zadania
- Rozwiąż układ równań metodą przeciwnych współczynników. a)
x − y = 2 2 x + y = 13 c)
− 2 x + 3 y = 5 6 x − 8 y = 3 e)
2 x + 3 y = 15 2(2 x + 3 y ) = 30
b)
3 x − 4 y = 15 7 x + 2 y = 1 d)
3 x − 5 y = 3 , 5 − 4 x + 2 y = − 7 f)
2( x + y ) = 2 − 2 y x + 2 y = 6
- Rozwiąż układ równań.
a)
2 x^ +^ 1 4 y^ =^ 1 4 x^ −^^1 −^14 x + 12 y = 14 y + 3 c)
0 , 2( x + 2 y ) − 0 , 3(2 x − y ) = 3 , 5 2( x + y ) − ( x − 2) = 2 y + 2
b)
2 ( x^ −^ y ) =^ 1 3 ( x^ +^ y ) 4 5 x^ −^ 1 5 ( y^ + 3 x ) =^ −^4
d)
0 , 01(4 x − y ) = 0 , 01 y + 0 , 02 0 , 6( y − x ) = 0 , 1( y + 2 x + 1)
- Rozwiąż układ równań.
a)
5( y + 2) + x = 3 x + y y +2 , 5 5 =^ x^ + 1^
d)
2( x + 1) = 3( y − 1) + 13 x−y 3 =^ 3 x 2 +^ 3 y 4 + 1
b)
3 x − y = 5 ( x + 1)( x + 1) − y = x ( x + 1) e)
{ (^) x + y 2 =^ 5 y−x 3 −^ 7 y− 3 x 5 5( x + 1) = 3( y − 1)
c)
{ (^) x− 1 2 +^ y + 3 = 3 x + 3 −^ y− 2 6 = 2^
f)
{ (^) x + y 2 −^ x−y 3 = 1 5 2 y^ −^ 2 = 1^ −^ 1 2 x
Powtórzenie
- Rozwiąż układ równań metodą przeciwnych współczynników.
a)
x − y = 4 x − 3 y + 5 x + y = 3 x + 5 y − 2 c)
0 , 01 x − 0 , 01( y − 1) = − 0 , 06 0 , 03 x − 0 , 02( y − 2) = − 0 , 12
b)
2 x^ −^ y^ =^ 1 2 y^ −^ 3 2 x^ + 2 5 x − ( y − ( x − 2 y )) = 4 d)
2 x − 3 y = 4 −^13 y −x + 5 y = 2 x − 2 y + 2
116 3. Układy równań
Ćwiczenie 5 a) układ sprzeczny b) układ nieoznaczony c) układ sprzeczny
Odpowiedzi do zadań
- a) x = 5, y = 3 b) x = 1, y = − 3 c) x = 24 , 5, y = 18 d) x = 2, y = 0 , 5 e) nieoznaczony: y = −^23 x + 5, x ∈ R f ) sprzeczny
- a) x = − 8, y = 4 b) x = − 25, y = − 5 c) x = 0, y = 5 d) x = 3, y = 5
- a) x = − 1, y = 1 b) układ nieoznaczony: x ∈ R, y = 2 x −^43 c) x = − 2, y = 5 d) x = 509 , y = (^83) 3. a)
{ x − 2 y = 5 5 x − y = − 2 , 5 { x = −^109 y = −^5518 b)
{ 3 x − y = 5 x − y = − 1 { x = 3 y = 4
c)
{ 3 x + 2 y = 19 2 x − y = 8 { x = 5 y = 2
d)
{ 2 x − 3 y = 8 14 x + 13 y = − 12 { x = 1 y = − 2
e)
{ x + y = 0 5 x − 3 y = − 8 { x = − 1 y = 1
f )
{ x + 5 y = 6 x + 5 y = 6 { x ∈ R y = −^15 x + (^65)
3.4. Układy równań –
zadania tekstowe (1)
Przykład 1 Dwie ciężarówki przewożące piasek wykonały łącznie 13 kursów. Jedna z nich przewoziła za każdym razem 15 ton, a druga – 8 ton piasku. Ile kursów wy- konała każda z ciężarówek, jeśli łącznie przewiozły one 132 tony piasku? Ułóż i rozwiąż odpowiedni układ równań. Wprowadźmy oznaczenia niewiadomych: x – liczba kursów wykonanych przez pierwszą ciężarówkę, y – liczba kursów wykonanych przez drugą ciężarówkę. Zapisujemy układ równań odpowiadający treści zadania. { x + y = 13 15 x + 8 y = 132
Łączna liczba kursów dwóch ciężarówek. Łączna masa przewiezionego piasku. { x + y = 13 / · ( − 8) 15 x + 8 y = 132
Układ równań rozwiązujemy metodą przeciwnych współczynników. { − 8 x − 8 y = − 104
7 x = 28 Stąd otrzymujemy rozwiązanie układu równań x = 4 i y = 9. Pierwsza ciężarówka wykonała 4 kursy, a druga 9. Ćwiczenie 1 Dwie ciężarówki, jedna o ładowności 6 ton, a druga – 10 ton, przewiozły łącznie 460 ton piasku podczas 50 kursów (za każdym razem były maksymalnie obciążone). Ile kursów wykonała jedna, a ile – druga ciężarówka? Ćwiczenie 2 a) Śliwki na targowisku kosztowały 6,50 zł/kg, a wiśnie – 8,50 zł/kg. Gospo- dyni kupiła łącznie 4 kg tych owoców i zapłaciła za nie 31 zł. Ile kupiła śliwek, a ile wiśni? b) Warzywa znajdujące się na stoisku kosztują: marchew – 4 zł/kg, buraki – 6 zł/kg, rzepa – 7,50 zł/kg. Kierownik stołówki kupił 8 kg tych warzyw, w tym 2 kg rzepy. Za wszystko zapłacił 49 zł. Ile kupił marchwi, a ile buraków?
3.4. Układy równań – zadania tekstowe (1) 117
Uczeń:
- układa i rozwiązuje układ równań do zadania z treścią.
Ćwiczenie 1 x – liczba kursów wykonanych przez pierwszą ciężarówkę, y – liczba kursów wykonanych przez drugą ciężarówkę. { 6 x + 10 y = 460 {^ x^ +^ y^ = 50 x = 10 y = 40 Pierwsza ciężarówka wykonała 10 kursów, a druga 40.
Ćwiczenie 2 a) x – ilość kupionych śliwek [kg], y { – ilość kupionych wiśni [kg]. 6 , 5 x + 8 , 5 y = 31 {^ x^ +^ y^ = 4 x = 1 , 5 y = 2 , 5 Gospodyni kupiła 1,5 kg śliwek i 2,5 kg wiśni.
b) x – ilość kupionej marchwi [kg], y { – ilość kupionych buraków [kg]. 4 x + 6 y + 7 , 5 · 2 = 49 {^ x^ +^ y^ + 2 = 8 x = 1 y = 5 Kierownik stołówki kupił 1 kg marchwi i 5 kg buraków. dlanauczyciela.pl^ Kartkówka 3.
Ćwiczenie 4 a) Pięć lat temu Daria miała dwa razy mniej lat niż Maria. Daria jest młodsza od Marii o 5 lat. Ile lat ma obecnie Daria, a ile Maria? b) Za trzy lata Olek będzie o połowę starszy od Alka, a dziewięć lat temu Olek miał o dwa lata więcej niż wynosił podwojony wiek Alka. Ile lat ma obecnie Olek, a ile Alek?
Zadania
- Dziewięć lat temu ojciec był sześć razy starszy od syna. Za dziewięć lat obaj będą mieli razem 85 lat. Ile lat ma obecnie każdy z nich?
- Dwa lata temu Ania, jej siostra bliźniaczka i ich starszy brat mieli razem 45 lat. Za trzy lata suma wieku bliźniaczek będzie o 12 większa od wieku ich brata. Ile lat ma obecnie każde z nich?
- Skarbnik klasowy zebrał 30 monet o nominałach 2 zł oraz 5 zł. Wszystkie monety ważyły łącznie 169,6 g. Ile monet 2-złotowych, a ile 5-złotowych zebrał skarbnik, jeśli moneta 2-złotowa waży 5,21 g, a 5-złotowa – 6,54 g?
- Wydano 48 złotych w 20 monetach: było wśród nich 8 monet 2-złotowych oraz monety 1- i 5-złotowe. Ile było monet 1-, a ile 5-złotowych?
- Kwotę 100 złotych wydano w monetach 1-, 2-, i 5-złotowych – łącznie w 32 monetach, przy czym liczba monet 5-złotowych była o dwa większa od podwojonej liczby monet 1-złotowych. Ile monet każdego rodzaju wydano?
- Jednego dolara rozmieniono na monety 5-, 10- i 25-centowe. Ile było monet 5-, a ile 10-cento- 1 dolar = 100 centów wych, jeśli po rozmienieniu było łącznie 12 monet, w tym jedna moneta 25-centowa?
Moneta 5-centowa Moneta 10-centowa Moneta 25-centowa
- W skarbonce znajdowały się 4 dolary w monetach 5-, 10- i 25-cento- wych. Wszystkich monet było 29, a 10-centówek było trzy razy więcej niż 5-centówek. Ile było monet każdego nominału?
3.4. Układy równań – zadania tekstowe (1) 119
Ćwiczenie 4 a) x – obecny wiek Darii, y { – obecny wiek Marii. 2( x − 5) = y − 5 {^ x^ + 5 =^ y x = 10 y = 15 Obecnie Daria ma 10 lat, a Maria ma 15 lat. b) x – obecny wiek Olka, y { – obecny wiek Alka. x + 3 = 1 , 5( y + 3) {^ x^ −^ 9 = 2( y^ −^ 9) + 2 x = 27 y = 17 Obecnie Olek ma 27 lat, a Alek ma 17 lat. Odpowiedzi do zadań
- x – obecny wiek ojca, y { – obecny wiek syna. x − 9 = 6( y − 9) {^ x^ + 9 +^ y^ + 9 = 85 x = 51 y = 16
- x – obecny wiek Ani i siostry, y { – obecny wiek brata Ani. 2( x − 2) + y − 2 = 45 {2( x^ + 3) =^ y^ + 3 + 12 x = 15 y = 21
- x – liczba monet 2-złotowych, y { – liczba monet 5-złotowych. x + y = 30 {^5 ,^21 x^ + 6 ,^54 y^ = 169 ,^6 x = 20 y = 10
- x – liczba monet 1-złotowych, y { – liczba monet 5-złotowych. 8 + x + y = 20 {^2 ·^ 8 +^ x^ + 5 y^ = 48 x = 7 y = 5
- x – liczba monet 1-złotowych, y – liczba monet 2-złotowych, z ⎧ – liczba monet 5-złotowych. ⎪⎨ ⎪⎩
x + y + z = 32 x + 2 y + 5 z = 100 ⎧^ z^ = 2 + 2 x ⎪⎨ ⎪⎩
x = 6 y = 12 z = 14
- x – liczba monet 5-centowych, y { – liczba monet 10-centowych. x + y + 1 = 12 {^5 x^ + 10 y^ + 25 = 100 x = 7 y = 4 7. x – liczba monet 5-centowych, y – liczba monet 10-centowych, z ⎧ – liczba monet 25-centowych. ⎪⎨ ⎪⎩
x + y + z = 29 5 x + 10 y + 25 z = 400 ⎧^ y^ = 3 x ⎪⎨ ⎪⎩
x = 5 y = 15 z = 9
- Długość jednego boku prostokąta jest o 3 cm większa od podwojonej dłu- gości drugiego boku. Oblicz pole tego prostokąta, jeśli jego obwód jest równy 36 cm.
- Obwód prostokąta jest równy 56 cm. Gdyby zwiększyć długość jednego jego boku o 2 cm, a drugiego o 6 cm, to proporcja między długościami boków otrzymanego prostokąta wynosiłaby 1: 3. Oblicz długości boków wyjściowego prostokąta (rozpatrz dwa przypadki).
- Obwód trapezu równoramiennego jest równy 40 cm. Jego ramię ma długość równą średniej arytmetycznej długości jego podstaw i jest o 6 cm dłuższe od jego krótszej podstawy. Oblicz długości boków tego trapezu.
- W sobotę wystawę fotografii odwiedziły 72 osoby: 50 osób kupiło bilety normalne, pozostali kupili bilety ulgowe. Dochód ze sprzedaży biletów w tym dniu wyniósł 654 zł. W niedzielę wystawę obejrzało 112 osób, w tym 42 osoby, które kupiły bilety ulgowe. Tego dnia dochód ze sprzedaży bile- tów wyniósł 994 zł. Ile kosztował bilet normalny, a ile ulgowy?
- Różnica między pewną liczbą dwucyfrową a liczbą otrzymaną w wyniku przestawienia cyfr tej liczby wynosi 36. Suma tych liczb wynosi 110. Jakie to liczby?
- Dana jest trzycyfrowa liczba A o cyfrze dziesiątek równej 5. Po usunięciu tej cyfry otrzymujemy dwucyfrową liczbę B. Różnica liczb A i B wy- nosi 320, a suma liczb A i B jest równa 388. Jakie to liczby?
Powtórzenie
- Na widowni teatru muzycznego znajduje się 280 miejsc. Na spektakl sprze- dano 34 wszystkich miejsc. Cena biletu ulgowego wynosi 30 zł, a normalnego 35 zł. Ile sprzedano biletów ulgowych, a ile normalnych, jeśli przychód ze sprzedaży biletów wyniósł 7000 zł?
- Obwód trapezu równoramiennego jest równy 50 cm. Jego dłuższa podstawa ma długość 20 cm, a suma długości jego ramion jest o 2 cm krótsza od krótszej podstawy. Oblicz długość ramienia tego trapezu.
- Ramiona trapezu mają długości 25 cm i 65 cm, a jego obwód jest równy 205 cm. Suma długości dwóch dłuższych boków trapezu jest o 105 cm większa od sumy długości jego dwóch krótszych boków. Oblicz długości podstaw tego trapezu.
120 3. Układy równań
- x , y – długości boków prosto- kąta [cm]. { x = 2 y + 3 {^2 x^ + 2 y^ = 36 x = 13 y = 5 Pole prostokąta: P = 5 · 13 = 65 [cm^2 ]
- x , y – długości boków wyjścio- wego prostokąta [cm]. I przypadek{ 2 x + 2 y = 56 x y +2+6 = (^13) { x = 7 y = 21 II przypadek{ 2 x + 2 y = 56 x y +6+2 = (^13) { x = 3 y = 25
- a , b – długości boków trapezu w centymetrach, a > b. a + 2 b – długość ramienia trapezu ⎧ ⎨ ⎩
a + 2 b = b + 6 a + b + 2 · a^ + 2 b = 40 { a = 16 b = 4 Długości boków trapezu: 16 cm, 4 cm, 10 cm.
x – cena bilet normalnego [zł], y { – cena biletu ulgowego [zł]. 50 x + 22 y = 654 {^70 x^ + 42 y^ = 994 x = 10 y = 7
x – cyfra dziesiątek wyjścio- wej liczby, y – cyfra jedności wyjściowej liczby. { 10 x + y − (10 y + x ) = 36 10 x + y + 10 y + x = 110 Szukane liczby to: 73 i 37.
{ A − B = 320 A + B = 388 A = 354, B = 34
- x – liczba biletów ulgowych, y { – liczba biletów normalnych. x + y = 34 · 280 {^30 x^ + 35 y^ = 7000 x = 70 y = 140 15. x – długość podstawy [cm], y { – długość ramienia trapezu [cm]. x + 20 + 2 y = 50 {^2 y^ =^ x^ −^^2 x = 16 y = 7 Ramię ma długość 7 cm.
- Podstawy trapezu mają długości 90 cm i 25 cm.
