Matematyka dla studentów kierunku Zarządzania UW, Skrypty z Matematyka

Pobierz Matematyka dla studentów kierunku Zarządzania UW i więcej Skrypty w PDF z Matematyka tylko na Docsity!

Matematyka dla studentów Zarz¡dzania UW

Marcin Kysiak, Roman Pol

14 grudnia 2012

Wst¦p

Omawiany przez nas material obejmuje zagadnienia z rachunku ró»niczko- wego i caªkowego przewidziane w programie studiów na Wydziale Zarz¡dza- nia U.W. Znaczne zmniejszenie (od roku akademickiego 2007/2008) liczby godzin przeznaczonych na przedmiot Matematyka, spowodowaªo konieczno±¢ gruntownych zmian w materiaªach, które byªy wykorzystywane w latach ubie- gªych przy uczeniu tego przedmiotu. Pewne tematy, wychodz¡ce poza Stan- dardy Ksztaªcenia ustalone przez Ministerstwo Szkolnictwa Wy»szego zostaªy pomini¦te, a przykªady i zestawy zada« do samodzielnej pracy studentów, ograniczyli±my do ilustracji podstawowych metod. W przewidywanym na zaj¦cia czasie nie ma wiele miejsca na uzasadnianie omawianych metod. Wydaje si¦ jednak wa»ne, aby mo»liwie proste uzasad- nienia byªy ªatwo dost¦pne dla studentów i tam, gdzie uznali±my to za celowe, doª¡czyli±my takie obja±nienia, wyró»niaj¡c je drobnym drukiem.

• I Rachunek ró»niczkowy i caªkowy
• 1 Granice i ci¡gªo±¢ funkcji
  • 1.1 Podstawowe poj¦cia
  • 1.2 Granice i kresy
    • 1.2.1 Granice funkcji
    • 1.2.2 Kresy zbiorów
  • 1.3 Funkcje elementarne
    • 1.3.1 Funkcje wykªadnicze
    • 1.3.2 Funkcje logarytmiczne
    • 1.3.3 Logarytm naturalny, eksponenta i liczba e
    • 1.3.4 Funkcja pot¦gowa
  • 1.4 Ci¡gªo±¢ funkcji
    • 1.4.1 Zbie»no±¢ ci¡gów
    • 1.4.2 Szeregi liczbowe, szereg geometryczny
    • 1.4.3 Ci¡gªa kapitalizacja odsetek
    • 1.4.4 Funkcje ci¡gªe
• 2 Pochodne funkcji jednej zmiennej
  • 2.1 Pochodna funkcji - nym punkcie 2.1.1 Denicja pochodnej i styczna do wykresu funkcji w da-
    • 2.1.2 Pochodna funkcji
    • 2.1.3 Reguªy ró»niczkowania
    • 2.1.4 Pochodna funkcji odwrotnej
    • 2.1.5 Ró»niczkowanie funkcji trygonometrycznych
  • 2.2 Pochodne a monotoniczno±¢ i wypukªo±¢ funkcji
    • 2.2.1 Zasada Fermata
    • 2.2.2 Twierdzenie o warto±ci ±redniej
    • 2.2.3 Monotoniczno±¢ funkcji 4 SPIS TRE‘CI
    • 2.2.4 Wypukªo±¢ i wkl¦sªo±¢ funkcji
    • 2.2.5 Wzór Taylora
    • 2.2.6 Reguªa de l'Hospitala
• 3 Rachunek caªkowy
  • 3.1 Denicja i podstawowe wªasno±ci caªki
  • 3.2 Znajdowanie funkcji pierwotnych
    • 3.2.1 Caªki funkcji elementarnych
    • 3.2.2 Caªkowanie przez podstawienie
    • 3.2.3 Caªkowanie przez cz¦±ci
• 4 Funkcje dwóch zmiennych
  • 4.1 Pochodne cz¡stkowe.
  • 4.2 Funkcje gªadkie
    • 4.2.1 Funkcje gªadkie
    • 4.2.2 Równanie pªaszczyzny stycznej
    • 4.2.3 Gradient
    • 4.2.4 Funkcje u»yteczno±ci
    • 4.2.5 Pochodne drugiego rz¦du, ekstrema lokalne
    • 4.2.6 Funkcje uwikªane
    • 4.2.7 Metoda mno»ników Lagrange'a
• A Zestawy zada«
  • A.1 Zestaw I
    • A.1.1 Granice funkcji
    • A.1.2 Kapitalizacja ci¡gªa
    • A.1.3 Ci¡gªo±¢ funkcji
  • A.2 Zestaw II
    • A.2.1 Pochodne funkcji
    • A.2.2 Ró»niczkowanie funkcji trygonometrycznych
    • A.2.3 Zasada Fermata
    • A.2.4 Monotoniczno±¢ i wypukªo±¢ funkcji
    • A.2.5 Reguªa de l'Hospitala
  • A.3 Zestaw III
    • A.3.1 Caªki oznaczone
    • A.3.2 Pola obszarów ograniczonych krzywymi
    • A.3.3 Caªkowanie przed podstawienie i przez cz¦±ci
• SPIS TRE‘CI
  • A.4 Zestaw IV
    • A.4.1 Pochodne cz¡stkowe
    • A.4.2 Gradient
    • A.4.3 Funkcje u»yteczno±ci
    • A.4.4 Ekstrema lokalne
    • A.4.5 Funkcje uwikªane
    • A.4.6 Mno»niki Lagrange'a

Cz¦±¢ I

Rachunek ró»niczkowy i caªkowy

10 ROZDZIAŠ 1. GRANICE I CIGŠO‘‚ FUNKCJI

do T le»y w pasku P. Dla funkcji f okre±lonej w przedziaªach otwartych przylegaj¡cych do a z prawej i z lewej strony, L jest granic¡ f w a, je±li obie granice jednostronne f w a s¡ równe L. W nast¦puj¡cej denicji opisujemy dokªadniej poj¦cie granicy funkcji w punkcie, tak»e w przypadku granicy niesko«czonej, wprowadzamy poj¦cie granicy funkcji w niesko«czono±ci i ustalamy odpowiedni¡ symbolik¦.

Denicja 1.1. (A) Symbol limx→a+^ f (x) = L, gdzie L jest liczb¡ oznacza, »e funkcja f jest okre±lona w pewnym przedziale (a, b) , oraz dla ka»dego ε > 0 istnieje δ > 0 takie, »e | f (x) − L |< ε , je±li a < x < a + δ. Mówimy wówczas, »e L jest granic¡ prawostronn¡ funkcji w punkcie a, lub te», »e f (x) d¡»y do L, gdy x d¡»y do a z prawej strony. (B) Symbol limx→a+ f (x) = +∞ (−∞) oznacza, »e funkcja f jest okre±lo- na w pewnym przedziale (a, b) , oraz dla ka»dego M > 0 (M < 0 ) istnieje δ > 0 takie, »e f (x) > M (f (x) < M ), je±li a < x < a + δ. Równowa»nie, f jest dodatnia (ujemna) w pewnym przedziale (a, d) i limx→a+ (^) f (^1 x) = 0.

Mówimy wówczas, ze granic¡ prawostronn¡ f w punkcie a jest +∞ (−∞), lub te», »e f d¡»y do +∞ (−∞), przy x d¡»¡cym do a z prawej strony. (C) Granice lewostronne limx→a− f (x) = L, gdzie L jest liczb¡, lub + −∞ deniuje si¦ podobnie, przy czym funkcja f musi by¢ okre±lona w pewnym przedziale (c, a). (D) Piszemy limx→a f (x) = L, gdzie L jest liczb¡, je±li f jest okre±lone na pewnym zbiorze (c, a) ∪ (a, b) , oraz limx→a− f (x) = L = limx→a+ f (x). W tej sytuacji mówimy, »e liczba L jest granic¡ funkcji f w punkcie a, lub te», »e f (x) d¡»y do L, gdy x d¡»y do a. (E) Granice funkcji f w niesko«czono±ci deniujemy formuªami

lim x→+∞ f (x) = lim x→ 0 +^

f (

x

) , lim x→−∞ f (x) = lim x→ 0 −^

f (

x

W szczególno±ci, limx→+∞ f (x) = L, gdzie L jest liczb¡, je±li f jest okre- ±lone na pewnym przedziale (a, +∞), oraz dla ka»dego ε > 0 istnieje b > a takie, »e | f (x) − L |< ε, je±li x > b.

W nast¦puj¡cym twierdzeniu pominiemy, dla wi¦kszej przejrzysto±ci, do- kªadne zaªo»enia. Twierdzenie to nale»y interpretowa¢ tak, »e rozpatrywane w nim funkcje s¡ okre±lone na tych samych zbiorach i granice, które si¦ rozwa»a, s¡ tego samego typu.

1.2. GRANICE I KRESY 11

Twierdzenie 1.2. Granica iloczynu (sumy) funkcji jest równa iloczynowi (sumie) granic tych funkcji. Dla ilorazu funkcji: je±li granica mianownika jest niezerowa, to granica ilorazu jest ilorazem granic.

Sprawd¹my, na przykªad, »e je±li limx→a+ f (x) = A i limx→a+ g(x) = 1, to limx→a+ f g^ ((xx)) = A. Poniewa» limx→a+ g(x) = 1, ªatwo pokaza¢, »e dla pewnego przedziaªu (a, b), je±li x ∈ (a, b), to g(x) > 12. Dla takich x, mamy | f g^ ((xx)) − A |= |f^ (x|)g−(Agx)| (x)|= |(f^ (x)−A|)g−(xA)(|g (x)−1)|< 2(| f (x) − A | + | A || g(x) − 1 |). Dla ustalonego ε > 0 , dobierzmy zgodnie z Denicj¡ (A) liczb¦ δ > 0 tak, »eby | f (x)−A |< ε 4 , oraz^ |^ g(x)^ −^1 |<^ ε 4(|A|+1) , dla^ a < x < a^ +^ δ.^ Dla^ x^ ∈^ (a, a^ +^ δ)^ mamy wówczas | f g^ ((xx)) − A |< ε.

Uwaga 1.3. Z Twierdzenia 1.2 wynika natychmiast, »e dla wielomianu W (x) = a 0 + a 1 x + · · · + anxn, limx→a W (x) = W (a). Ponadto, je±li W (a) > 0 , to tak»e limx→a p

W (x) = p

W (a).

Fakt ten ªatwo wynika z Uwagi 1.11, ale b¦dziemy si¦ nim posªugiwa¢ w zadaniach ju» teraz.

Przykªady. Znale¹¢ granice:

1. lim x→ 0

4 − 5 x^3 − 2 x^3

2. lim x→ 2 +

1 + x^3 − 3 x^2 − 4 x + 4

3. lim x→ 1

x − 1

x^3 − 1

4. lim x→+∞

x^6 + 3x^3 + 1 −

x^6 + x^2 ) 5. lim x→ 2

7 + 2x − x^2 −

1 + x + x^2 2 x − x^2

6. lim x→+∞

x^2 + 4x + 6 − x

1.2.2 Istnienie kresów górnych i dolnych ograniczonych

zbiorów liczb rzeczywistych

Aksjomat ci¡gªo±ci dla prostej rzeczywistej R orzeka, »e dla ka»dego nie- pustego i ograniczonego z góry zbioru liczb rzeczywistych A ⊂ (−∞, M ], istnieje najmniejsza liczba s speªniaj¡ca warunek a ≤ s dla ka»dego a ∈ A.

1.3. FUNKCJE ELEMENTARNE 13

ax+y^ = ax^ · ay, (1.3.3)

(ax)y^ = ax·y. (1.3.4) Funkcj¦ wykªadnicz¡ rozszerza si¦ z zachowaniem tych wªasno±ci na wszyst- kie wykªadniki rzeczywiste, przyjmuj¡c dla a > 1 i liczby rzeczywistej b, »e ab^ jest kresem górnym zbioru liczb postaci a

m n (^) , gdzie mn ≤ b, m jest caªkowite i n  naturalne, a nast¦pnie dla 0 < a < 1 okre±laj¡c ab^ = ( (^1) a )−b.

1.3.2 Funkcje logarytmiczne loga x

Mo»na pokaza¢, »e (odwoªuj¡c si¦ znowu do aksjomatu ci¡gªo±ci), »e dla ustalonego a > 0 , a ̸= 1, ka»da liczba rzeczywista c > 0 jest postaci c = ab, gdzie b jest jednoznacznie wyznaczon¡ liczb¡, któr¡ nazywa si¦ logarytmem liczby c przy podstawie a i oznacza symbolem loga c:

aloga^ c^ = c, a > 0 , a ̸= 1, c > 0. (1.3.5) Funkcja loga x, okre±lona na przedziale (0, +∞) jest wi¦c funkcj¡ od- wrotn¡ do funkcji wykªadniczej ax, a zatem z wªasno±ci funkcji wykªadniczej wnosimy, »e funkcja loga x jest rosn¡ca dla a > 1 , malej¡ca dla 0 < a < 1 , oraz

loga xy = loga x + loga y, (1.3.6)

loga(xy) = y loga x, (1.3.7)

logb x =

loga x loga b

1.3.3 Logarytm naturalny, eksponenta i liczba e

Naszym celem jest ustalenie pewnych faktów dotycz¡cych zmienno±ci funkcji pot¦gowych, logarytmicznych i wykªadniczych, które prowadz¡ bezpo±rednio do wzorów na pochodne tych funkcji. Interesuj¡ce nas wªasno±ci prosto wynikaj¡ z mo»liwo±ci okre±lenia funkcji ln : (0, +∞) → R speªniaj¡cej nast¦puj¡ce trzy warunki:

14 ROZDZIAŠ 1. GRANICE I CIGŠO‘‚ FUNKCJI

Funkcja ln x jest rosn¡ca, (1.3.9)

ln(xy) = ln x + ln y, (1.3.10)

lim h→ 0

ln(1 + h) h

‘cisªe okre±lenie funkcji ln mo»na poda¢ prosto przy pomocy caªki, zob. 3.1. Poni»ej po- kazujemy jak to zrobi¢ pogl¡dowo, odwoªuj¡c si¦ do pewnych wyobra»e« geometrycznych. Niech P (a, b) b¦dzie polem obszaru S(a, b) ograniczonego hiperbol¡ y = (^1) x , osi¡ x i pro- stymi x = a, y = b, gdzie a, b > 0.

Rysunek 1.1: Logarytm naturalny

Zdeniujmy funkcj¦ ln x nast¦puj¡co: ln a = P (1, a), je±li a ≥ 1 oraz ln a = −P (a, 1), je±li 0 < a < 1 (patrz rys. 1.3.3). Wªasno±¢ (1.3.9) tak okre±lonej funkcji ln x jest jasna. Sprawdzimy wªasno±¢ (1.3.10). Ustalmy a, b > 0. Przeksztaªcenie pªaszczyzny opisane formuª¡ (x, y) → (ax, ya ) przeprowadza obszar S(1, b) na obszar S(a, ab). Mianowicie hiperbola o równaniu y = (^) x^1 przechodzi przy tym przeksztaªceniu na siebie, prosta x = 1 na prost¡ x = a i prosta o równaniu x = b na prost¡ o równaniu x = ab, a onadto przeksztaªcenie to nie zmienia pól gur na pªaszczy¹nie. Tak wi¦c P (1, b) = P (a, ab). Je±li a > 1 i b > 1 , prosta x = a dzieli obszar S(1, ab) na dwa obszary S(1, a) i S(a, ab), mamy wi¦c ln(ab) = P (1, ab) = P (1, a)+P (a, ab) = P (1, a)+P (1, b) = ln a+ln b. Podobnie sprawdza si¦ (1.3.10) w pozostaªych przypadkach.

16 ROZDZIAŠ 1. GRANICE I CIGŠO‘‚ FUNKCJI

Rysunek 1.3: (^) 1+hh < ln(1 + h) < h, h > 0

dla m caªkowitych. Dalej, ln a = ln((a n^1 )n) = n · ln(a 1 n^ ), sk¡d ln((a n^1 ) = (^1) n ln a, W rezultacie, ln(a mn^ ) = mn ln a, dla m caªkowitych i n naturalnych. Ustalmy teraz a > 1 , liczb¦ b i niech k b¦dzie dowoln¡ liczb¡ naturaln¡. Wybierzmy liczb¦ wymiern¡ mn ∈ (b− (^1) k , b). Wówczas ab^ ·a−^1 k^ = ab−^1 k^ < a mn^ < ab, zatem z (1.3.9) i (1.3.10), ln(ab) + ln(a−^1 k^ ) < ln(a mn^ ) < ln(ab) i zgodnie z uzasadnion¡ ju» wªasno±ci¡ logarytmu naturalnego, ln(ab) − (^1) k ln a < mn ln a < ln(ab). Poniewa» | mn − b| < (^1) k , wynika st¡d, »e |b ln a − ln(ab)| < (^3) k ln a i z faktu, »e k mo»e by¢ dowoln¡ liczb¡ naturaln¡ wnosimy, »e zachodzi (1.3.12). Je±li 0 < a < 1 , (1.3.12) mo»na st¡d wywnioskowa¢ nast¦puj¡co: ln(ab) = − ln(( (^1) a )b) = −b ln( (^1) a ) = b ln a.

Z (1.3.12) wynika, »e dowoln¡ liczb¦ rzeczywist¡ c mo»na zapisa¢ w po- staci

c = ln(

c ln 2 (^) ),

zatem funkcja ln przyjmuje jako warto±ci wszystkie liczby rzeczywiste. W szczególno±ci istnieje dokªadnie jedna liczba e, zwana liczb¡ Eulera, taka, »e

ln e = 1. (1.3.13)

Šatwo stwierdzi¢, »e ln 2 < 1 i ln 3 > 1 , zatem 2 < e < 3.

1.3. FUNKCJE ELEMENTARNE 17

Mamy P (1, 32 ) = P (2, 3) oraz P (1, 32 ) > 1 − P (1, 2), zatem ln 3 = P (1, 2) + P (2, 3) = P (1, 2) + P (1, 32 ) > 1.

W rzeczywisto±ci liczba e ≈ 2 , 71828... jest niewymierna.

Zgodnie z (1.3.12), mamy

ln(ex) = x ln e = x, (1.3.14)

a wi¦c funkcja wykªadnicza ex^ jest odwrotna do ln x. To oznacza, »e

ln x = loge x, (1.3.15)

a wi¦c funkcja ln x jest funkcj¡ logarytmiczn¡ o podstawie e. Funkcj¦ ln x b¦dziemy nazywali logarytmem naturalnym.

Z wªasno±ci (1.3.12) logarytmu naturalnego mo»na pokaza¢, »e

lim x→+∞ ln x = +∞, lim x→ 0 +^

ln x = −∞. (1.3.16)

Dla n naturalnego z (1.3.12) otrzymujemy ln(2n) = n ln 2. Zatem aby ln x > M , dla zadanego M > 0 , wystarczy wzi¡¢ liczb¦ naturaln¡ n > (^) ln 2M , a nast¦pnie x ≥ 2 n. Z monotoniczno±ci logarytmu naturalnego, ln x ≥ ln(2n) = n ln 2 > M (bo ln 2 > 0 ), zatem pokazali±my, »e limx→+∞ ln x = +∞. Z kolei x→^ lim0+ ln^ x^ =^ x→lim+∞ ln( x^1 ) =^ x→lim+∞ ln^ x−^1 =^ x→lim+∞ ln^ x^ =^ ∞.

Wyprowadzimy teraz kilka wa»nych wniosków z wªasno±ci (1.3.11). Za- cznijmy od nast¦puj¡cej formuªy

lim x→a

ln x − ln a x − a

a

Istotnie, limx→a ln^ xx−−lna a= limh→ 0 ln(a+hh) −ln^ a= limh→ 0 ln(^

a+ah ) h = limh→^0

ln(1+ ha ) ha^ ·^ a^1 =^1 a.

Z (1.3.11) i (1.3.14) wynika te» bezpo±rednio, »e

lim h→ 0

eh^ − 1 h

Istotnie, przyjmuj¡c h = ln(1 + x), mamy

h^ lim→ 0 e

h (^) − 1 h = lim^ x→^0

eln(1+x)^ − 1 ln(1 + x) = lim^ x→^0

x ln(1 + x) = 1.

1.3. FUNKCJE ELEMENTARNE 19

1.3.4 Funkcja pot¦gowa xα^ dla dowolnego wykªadnika α

Zdeniowanie eksponenty i logarytmu naturalnego pozwala wyrazi¢ dowoln¡ pot¦g¦ o dodatniej podstawie rzeczywistej i rzeczywistym wykªadniku

xα^ = exp(α ln x). (1.3.23)

Rozwa»aj¡c funkcj¦ wykªadnicz¡ ax^ dla a > 0 rozpatrywali±my ustalon¡ podstaw¦ pot¦gi i zmienny wykªadnik. Post¦puj¡c odwrotnie, czyli ustalaj¡c wykªadnik α i traktuj¡c podstaw¦ x > 0 jako zmienn¡ otrzymujemy funkcj¦ pot¦gow¡ xα, x > 0.^1 Zgodnie z (1.3.12), otrzymujemy nast¦puj¡cy zwi¡zek funkcji pot¦gowej z eksponent¡ i logarytmem naturalnym Funkcja pot¦gowa ro±nie do niesko«czono±ci wolniej ni» funkcja wykªad- nicza, ale szybciej ni» logarytmiczna:

lim x→+∞

ln x xα^

= 0, dla α > 0 , (1.3.24)

oraz

lim x→+∞

ax xα^

= +∞, dla a > 1. (1.3.25)

Zauwa»my najpierw, »e dla liczb naturalnych n ≥ 4 , 2 n^ ≥ n^2 , zatem je±li 2 n−^1 ≤ x < 2 n, to lnx^ x ≤ ln( n) 2 n−^1 =^ n ln 2 2 n−^1 =^ n 2 n^ 2 ln 2^ ≤^ n n^2 2 ln 2 =^ 2 ln 2 n.^ Tak wi¦c,^ limx→+∞^ ln x x = 0. St¡d, limx→+∞ lnxα^ x = limx→+∞ (^1) α^ ln(x α) xα^ = 0. Poniewa» limx→+∞ ln( a xxα ) = limx→+∞[x · ln a − α · ln x] = limx→+∞ x · [ln a − α · lnx^ x ] = +∞, (bo ln a > 0 ), otrzymujemy limx→∞ (^) xaαx = +∞.

Kolejn¡ wa»n¡ wªasno±¢ funkcji pot¦gowej opisuje formuªa

lim x→a

xα^ − aα x − a

= α · aα−^1 , (1.3.26)

w szczególno±ci

lim h→ 0

(1 + h)α^ − 1 h

= α. (1.3.27)

Mamy bowiem, zgodnie z (1.3.23), (1.3.18) i (1.3.17), limx→a xα x−−aaα = = limx→a exp(α α·ln·ln^ x x)−−exp(α·ln αa ·ln^ a)· α ln^ xx−−lna a= exp(α · ln a) · α · (^) a^1 = α · aα−^1. (^1) Ponadto, jak zauwa»yli±my przy okre±leniu √na, je»eli n jest nieparzyste, funkcj¦ x n^1 mo»na rozpatrywa¢ na caªej prostej rzeczywistej.

20 ROZDZIAŠ 1. GRANICE I CIGŠO‘‚ FUNKCJI

Przykªady. Znale¹¢ granice:

1. lim x→+∞

x

1 x (^) 2. lim x→+∞

x

)ln x

3. lim x→ 0

1 + x 2

) (^1) x

4. lim x→+∞

x + ln x

) (^1) x

1.4 Ci¡gªo±¢ funkcji

1.4.1 Zbie»no±¢ ci¡gów

Denicja 1.4. (A) Ci¡g liczb a 1 , a 2 , ... (krótszy zapis - (an)∞ n=1) jest zbie»ny do liczby L, co zapisujemy an → L, lub limn an = L, je±li dla ka»dego ε > 0 istnieje N naturalne takie, »e | an − L |< ε dla n ≥ N.

(B) Piszemy an → +∞ (an → −∞), je±li wszystkie, poczynaj¡c od pewnego n, wyrazy ci¡gu an s¡ dodatnie (ujemne) i (^) a^1 n → 0.

Uwaga 1.5. (A) Je±li limx→+∞ f (x) = L, to dla an = f (n), an → L.

(B) Podobnie jak dla granic funkcji w niesko«czono±ci, je±li an → a, bn → b, to anbn → ab, an + bn → a + b, oraz, je±li b ̸= 0, a bnn → ab (zauwa»my, »e warunek b ̸= 0 zapewnia, »e bn ̸= 0 dla dostatecznie du»ych n).

(C) Je±li an → L i L > A (a < A), to dla wszystkich, poza sko«czenie wieloma n, an > A (an < A).

(D) Zauwa»my te», »e an → L wtedy i tylko wtedy, gdy L − an → 0.

Z (1.3.22) otrzymujemy

ea^ = lim n→∞

a n

)n, e = lim n→∞

n

)n^ (1.4.1)