Matematyka dla studentów kierunku Zarządzanie i Marketing, Skrypty z Matematyka

Pobierz Matematyka dla studentów kierunku Zarządzanie i Marketing i więcej Skrypty w PDF z Matematyka tylko na Docsity!

MATEMATYKA

dla studentów kierunku

Zarządzanie i Marketing

ZBIGNIEW BARTOSIEWICZ DOROTA MOZYRSKA

EWA PAWŁUSZEWICZ

Wrzesień 1998

• Wstęp
• 1 Podstawy
  • 1.1 Elementy logiki
    • 1.1.1 Rachunek zdań
    • 1.1.2 Kwantyfikatory
  • 1.2 Zbiory
  • 1.3 Relacje
    • 1.3.1 Relacja równoważności
    • 1.3.2 Rozwarstwienie zbioru
    • 1.3.3 Relacje porządku
  • 1.4 Funkcje
• 2 Algebra
  • 2.1 Układy równań liniowych
    • 2.1.1 Układy równań dwóch zmiennych
    • 2.1.2 Metoda eliminacji Gaussa dla dwóch zmiennych
    • 2.1.3 Dowolna liczba zmiennych
    • 2.1.4 Eliminacja Gaussa w przypadku ogólnym
  • 2.2 Zastosowania układów równań
    • 2.2.1 Lotnicza akcja pomocy
    • 2.2.2 Asortyment produkcji
    • 2.2.3 Portfel akcji
  • 2.3 Algebra macierzy
    • 2.3.1 Dodawanie macierzy
    • 2.3.2 Mnożenie macierzy
  • 2.4 Wyznacznik macierzy
    • 2.4.1 Definicja wyznacznika
    • 2.4.2 Własności wyznacznika
    • 2.4.3 Odwracanie macierzy
    • 2.4.4 Rząd macierzy
    • 2.4.5 Wzory Cramera
  • 2.5 Potęgowanie macierzy
  • 2.6 Zastosowania macierzy i wyznaczników
    • 2.6.1 Planowanie produkcji 4 SPIS TREŚCI
    • 2.6.2 Liniowe układy dynamiczne
    • 2.6.3 Model przepływów międzygałęziowych
    • 2.6.4 Model połączeń lotniczych
  • 2.7 Elementy algebry liniowej w R n
    • 2.7.1 Liniowa niezależność wektorów
    • 2.7.2 Rząd kolumnowy i rząd wierszowy macierzy
    • 2.7.3 Baza przestrzeni liniowej
    • 2.7.4 Baza własna
    • 2.7.5 Odwzorowania liniowe
  • 2.8 Zastosowania funkcji liniowych
    • 2.8.1 Funkcje liniowe jednej zmiennej
    • 2.8.2 Funkcje wielu zmiennych
• 3 Funkcje jednej zmiennej
  • 3.1 Granice i ciągłość
  • 3.2 Funkcje elementarne
    • 3.2.1 Funkcje kwadratowe
    • 3.2.2 Funkcje wielomianowe
    • 3.2.3 Funkcje wymierne
    • 3.2.4 Funkcje wykładnicze
    • 3.2.5 Funkcje logarytmiczne
  • 3.3 Pochodna funkcji jednej zmiennej
    • 3.3.1 Definicja pochodnej
    • 3.3.2 Własności pochodnej
    • 3.3.3 Monotoniczność i ekstrema
    • 3.3.4 Pochodne wyższych rzędów
    • 3.3.5 Wklęsłość i wypukłość
    • 3.3.6 Badanie funkcji
  • 3.4 Zastosowania pochodnych
    • 3.4.1 Optymalizacja
    • 3.4.2 Analiza krańcowa
    • 3.4.3 Przykłady geometryczne
• 4 Funkcje wielu zmiennych
  • 4.1 Opis, wykresy, warstwice, obrazy
    • 4.1.1 Sposoby opisu funkcji wielu zmiennych
    • 4.1.2 Wykresy
    • 4.1.3 Warstwice
    • 4.1.4 Funkcje z R w R n
  • 4.2 Pochodne funkcji wielu zmiennych
    • 4.2.1 Ciągłość funkcji
    • 4.2.2 Pochodne pierwszego rzędu
    • 4.2.3 Warunki konieczne na ekstrema lokalne
    • 4.2.4 Pochodne wyższych rzędów
    • 4.2.5 Warunki wystarczające na ekstrema
• SPIS TREŚCI - 4.2.6 Ekstrema globalne - 4.2.7 Metoda mnożników Lagrange’a
  • 4.3 Przykłady zastosowań optymalizacji
• 5 Rachunek całkowy
  • 5.1 Całka nieoznaczona
    • 5.1.1 Definicja
    • 5.1.2 Całkowanie przez części
    • 5.1.3 Całkowanie przez podstawienie
    • 5.1.4 Całkowanie funkcji wymiernych
  • 5.2 Całka oznaczona - oznaczonej 5.2.1 Całkowanie przez części i przez podstawienie dla całki
  • 5.3 Zastosowania całek
    • 5.3.1 Obliczanie pól
    • 5.3.2 Całkowanie stóp
    • 5.3.3 Nadwyżka użyteczności towaru
• Spis Literatury
• Skorowidz

Wstęp

Książka ta powstała na bazie wykładów i ćwiczeń z matematyki prowadzonych przez nas dla studentów kierunku Zarządzanie i Marketing w Politechnice Biało- stockiej. Jest adresowana głównie do studentów tego kierunku, zwłaszcza tych, którzy studiują zaocznie, ale może też być przydatna dla studentów ekonomii i nauk pokrewnych. Zakładamy, że wielu z nich ma słabe przygotowanie matema- tyczne. W związku z tym, podajemy wiele informacji podstawowych, częściowo znanych ze szkoły średniej, oraz staramy się ilustrować nowe pojęcia i fakty licznymi przykładami. Przykłady te często pochodzą z praktycznych problemów pojawiających się w zarządzaniu i ekonomii. Duża liczba zadań przeznaczonych do samodzielnego rozwiązania umożliwi czytelnikowi trwałe opanowanie wykła- danego materiału. W dużej mierze wzorowaliśmy się na dostępnych nam podręcznikach ame- rykańskich [Bu, BZ], zarówno jeśli chodzi o styl, jak i tematykę, czy przykłady. Staraliśmy się pokazać do czego matematyka może się przydać, jak jej użyć w rozwiązywaniu konkretnych problemów. Zrezygnowaliśmy więc całkowicie z do- wodów twierdzeń, które podajemy i z których korzystamy. Dowody te można znaleźć w bardziej zaawansowanych książkach akademickich. Z drugiej strony, podręczniki amerykańskie wydają się w wielu miejscach mało precyzyjne, od- wołując się do intuicji czytelnika a nie do jego umiejętności analitycznych. Sta- raliśmy się więc tam, gdzie to było możliwe, na precyzję i ścisłość. Pierwszy rozdział, zatytułowany Podstawy, ma na celu bezbolesne wprowadzenie czytel- nika w świat zbiorów, funkcji i relacji. Wszystko to jest poprzedzone elementami logiki, która leży u podstaw każdego ścisłego rozumowania, nie tylko w mate- matyce. Zasadnicza część książki to algebra i analiza, a dokładniej elementy algebry liniowej i rachunku różniczkowego, które wydają się być szczególnie przydatne w zastosowaniach. Dużo miejsca poświęciliśmy funkcjom wielu zmiennych i eks- tremom tych funkcji. Wynika to z faktu, że funkcje pojawiające się w zastoso- waniach zależą zwykle od wielu, często bardzo wielu, zmiennych, a jednym z głównych problemów ekonomii jest optymalizacja. Jesteśmy przekonani, że matematyka powinna być istotnym fragmentem wy- kształcenia na kierunkach ekonomicznych. Po pierwsze, dostarcza odpowied- niego języka do precyzyjnego wyrażania zależności ekonomicznych. Jest to ję- zyk operujący funkcjami, relacjami, macierzami, zbiorami. Po drugie, matema- tyka jest źródłem licznych algorytmów pozwalających rozwiązać praktyczne pro-

8 SPIS TREŚCI

blemy. Przykładem może być tu problem minimalizacji kosztu i różne algorytmy minimalizacji, które mogą być użyte do jego rozwiązania. Upowszechnienie kom- puterów spowodowało, że praktycznie każdy ma pod ręką potężny instrument, pozwalający zamienić długie wzory w efektywne rachunki. Tym bardziej warto wiedzieć co można policzyć i jak to zrobić. Po trzecie wreszcie, poznawanie mate- matyki wymaga intensywnej pracy umysłowej. Owocuje to większą sprawnością intelektualną i bardziej precyzyjnym myśleniem. Drugie wydanie naszej ksiązki różni się znacznie od wydania pierwszego. Główna różnica polega na połączeniu wykładów i zadań w jednym tomie. Co więcej, zadania zostały rozdzielone na kolejne podrozdziały. Wykładany mate- riał został nieco zmieniony i rozszerzony. Poprawiliśmy też błędy, które znalazły się w pierwszym wydaniu.

10 ROZDZIAŁ 1. PODSTAWY

Inne ważne funktory logiczne są funktorami dwuargumentowymi, tzn. do ich użycia potrzebujemy dwóch zdań. Te funktory to

- alternatywa , oznaczana przez ∨ ; p ∨ q czytamy „ p lub q ”; - koniunkcja , oznaczana przez ∧ ; p ∧ q czytamy „ p i q ”; - implikacja , oznaczana przez ⇒ ; p ⇒ q czytamy „ jeśli p to q ”; - równoważność , oznaczana przez ⇔ ; p ⇔ q czytamy „ p wtedy i tylko wtedy, gdy q ”.

Znaczenie tych funktorów pokrywa się zwykle z ich potocznym rozumieniem. Dla potrzeb logiki wystarczy podać tylko jak wartości logiczne zdań złożonych zależą od wartości logicznych zdań podrzędnych. To w pełni definiuje te funk- tory. Zależności te podajemy w Tabeli 1.1.

p q ∼ p p ∨ q p ∧ q p ⇒ q p ⇔ q 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1

Tabela 1.1: Wartości logiczne funktorów

Zwróć uwagę na to, że implikacja jest prawie zawsze prawdziwa. W szcze- gólności jest prawdziwa, jeśli poprzednik implikacji jest fałszywy, a następnik prawdziwy. Zatem zdanie „Jeśli podatki w Polsce są niskie, to są one wysokie” jest zdaniem prawdziwym, jeśli zgodzimy się, że następnik, tzn. zdanie „Po- datki w Polsce są wysokie”, jest zdaniem prawdziwym. Abstrahujemy tu od tego, czy wypowiedziane zdanie ma sens, i co ono znaczy. Interesuje nas tylko jego prawdziwość lub fałszywość. Mając do dyspozycji funktory logiczne możemy tworzyć zdania składające się z wielu zdań podrzędnych. Abstrakcyjne wersje takich zdań złożonych, zbu- dowane z funktorów logicznych i zmiennych zdaniowych nazywamy schematami zdaniowymi lub formułami rachunku zdań. Zmienne zdaniowe reprezentują zda- nia, nie mają jednak ustalonej wartości logicznej. Oznaczamy je podobnie jak zdania przez p , q , itp. Na przykład schematem zdaniowym jest wyrażenie

( p ∨ q ) ∧ p ⇒ q. (1.1)

Nawiasy określają kolejność wykonywanych operacji logicznych. W przypadku, gdy brak jest nawiasów, operacje wykonujemy w następującej kolejności: ∼ , ∧, ∨, ⇒, ⇔. W innych źródłach można znaleźć inną kolejność, zatem nie na- leży unikać nawiasów. Wyrażenie (1.1) staje się zdaniem, gdy za p i q podstawimy konkretne zda- nia. Możemy otrzymać zdanie, które jest prawdziwe lub fałszywe. Są jednak

1.1. ELEMENTY LOGIKI 11

takie schematy zdaniowe, które niezależnie od wartości logicznych podstawia- nych zdań zawsze dają zdanie złożone prawdziwe. Takie schematy zdaniowe na- zywamy tautologiami lub prawami rachunku zdań. Tautologią jest na przykład następujące wyrażenie (zwane prawem wyłączonego środka )

( ∼ p ) ∨ p.

Mówi ono, że dla dowolnego zdania p , zdanie to lub jego zaprzeczenie musi być prawdziwe. Szczególnie cenne są tautologie zawierające równoważność. Pozwalają one przekształcać schematy zdaniowe na schematy im równoważne, czyli takie, które przyjmują te same wartości logiczne co schematy wyjściowe (dla wszystkich wartości logicznych zmiennych zdaniowych). Taką postać ma na przykład prawo podwójnego przeczenia

∼ ( ∼ p ) ⇔ p.

Prawo to mówi, że niezależnie od wartości logicznej zmiennej zdaniowej p , war- tość ta jest równa wartości logicznej wyrażenia ∼ ( ∼ p ). Oto inne ważne tauto- logie: prawa rozdzielności

p ∧ ( q ∨ r ) ⇔ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r ) ,

p ∨ ( q ∧ r ) ⇔ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r );

prawa de Morgana

∼ ( p ∨ q ) ⇔ ( ∼ p ) ∧ ( ∼ q ) ,

∼ ( p ∧ q ) ⇔ ( ∼ p ) ∨ ( ∼ q ).

Prawa de Morgana są bardzo często używane w codziennym życiu, gdy musimy zaprzeczyć alternatywę lub koniunkcję dwóch zdań. Niezależnie od tego, czy mówimy o matematyce, o handlu, czy o pogodzie, reguła zaprzeczania jest taka sama. Aby udowodnić któreś z podanych praw należy rozważyć wszystkie wartości logiczne zmiennych p, q i r. Schemat zdaniowy powinien mieć zawsze wartość 1. W taki sposób można na przykład pokazać następujące prawo

( p ⇒ q ) ⇔ ( ∼ p ∨ q ).

Korzystając z niego, oraz z praw de Morgana, otrzymamy prawo zaprzeczania implikacji, bardzo ważne w wielu rozumowaniach matematycznych:

∼ ( p ⇒ q ) ⇔∼ ( ∼ p ∨ q ) ⇔∼ ( ∼ p ) ∧ ( ∼ q ) ⇔ p ∧ ( ∼ q ).

Przykład 1.1. Zdanie „Jeśli śnieg jest biały to śnieg jest czarny” jest fałszywe bo jest to implikacja z fałszywym następnikiem. Zatem jego negacja jest praw- dziwa. Zgodnie z powyższą regułą negacja ta będzie miała postać „Śnieg jest biały i śnieg nie jest czarny”.

1.2. ZBIORY 13

∼ ( ∀x : P ( x )) ⇔ ∃x : ∼ P ( x )

Znajomość tych praw pozwoli ci precyzyjnie sformułować wiele zdań pojawiają- cych się w codziennym życiu.

Przykład 1.3. Rozważmy zdanie: ∃x : x jest ojcem x. Zdanie jest oczywiście fałszywe, zatem jego negacja jest prawdziwa: ∀x : nieprawda, że x jest ojcem x , lub: ∀x : x nie jest ojcem x. Ostatnie zdania brzmią trochę sztucznie. Pro- ściej powiedzielibyśmy: żaden x nie jest swoim ojcem. Kwantyfikator ogólny zginął tutaj w słowie „żaden”, które zawiera w sobie przeczenie. Jest to jedna z niekonsekwencji języka polskiego. Język angielski zachowuje się tu bardziej poprawnie.

Zanotujmy jeszcze reguły rozdzielania dla zdań z kwantyfikatorami:

∃x : P ( x ) ∨ Q ( x ) ⇔ ( ∃x : P ( x )) ∨ ( ∃x : Q ( x ))

i

∀x : P ( x ) ∧ Q ( x ) ⇔ ( ∀x : P ( x )) ∧ ( ∀x : Q ( x )).

Zauważmy, że kwantyfikator ogólny współgra z alternatywą, a szczegółowy z koniukcją. Zamiana kwantyfikatorów w powyższych formułach może prowadzić do zdań fałszywych.

Przykład 1.4. Zdanie

∀x : P ( x ) ∨ Q ( x )

może nie być równoważne zdaniu

( ∀x : P ( x )) ∨ ( ∀x : Q ( x )).

Niech x należy do zbioru ludzi, P ( x ) oznacza funkcję zdaniową „ x jest kobietą”, a Q ( x ) funkcję zdaniową „ x jest mężczyzną”. Wtedy pierwsze zdanie „każdy człowiek jest kobietą lub mężczyzną” jest prawdziwe, natomiast drugie „każdy człowiek jest kobietą lub każdy człowiek jest mężczyzną” jest fałszywe.

1.2 Zbiory

Zbiór jest podstawowym pojęciem w matematyce. Każdy zbiór składa się z elementów. Zbiory będziemy oznaczali dużymi literami (np. A, B, W, Z ), a ich elementy małymi (np. a, x, y, t ). Elementy mogą być rzeczami (np. zbiór płasz- czy w szatni) lub tworami abstrakcyjnymi (np. zbiór liczb). Zbiory mogą być skończone lub nieskończone. Zapis

a ∈ A

14 ROZDZIAŁ 1. PODSTAWY

oznacza, że element a należy do zbioru A. Jeśli a nie należy do A , piszemy a 6 ∈ A. Zbiór A zawiera się w zbiorze B , co zapisujemy A ⊂ B , jeśli

x ∈ A ⇒ x ∈ B.

Mówimy wtedy, że zbiór A jest podzbiorem zbioru B , a zbiór B jest nadzbiorem zbioru A. Podstawowe operacje, które wykonujemy na zbiorach to suma, iloczyn (prze- cięcie) i dopełnienie. Aby zdefiniować dopełnienie, zakładamy, że wszystkie roz- ważane zbiory zawierają się w jednym dużym zbiorze X , zwanym przestrzenią. Suma i iloczyn są operacjami dwuargumentowymi i odpowiadają operacjom lo- gicznym: alternatywie i koniunkcji,

x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B,

x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B.

Dopełnienie zbioru A , oznaczane przez A′ , zdefiniowane jest przy użyciu negacji,

x ∈ A′^ ⇔∼ x ∈ A ⇔ x 6 ∈ A.

Czasami potrzebna będzie nam różnica zbiorów A i B , którą definiujemy nastę- pująco:

x ∈ A \ B ⇔ x ∈ A ∧ x 6 ∈ B.

Łatwo zauważyć, że A \ B = A ∩ B′. Mówimy, że zbiory A i B są rozłączne , jeśli A ∩ B = ∅. Poniższe stwierdzenie zawiera inne ważne własności działań na zbio- rach, których będziemy później potrzebować. Nawiasy, jak zwykle, oznaczają kolejność wykonywanych działań.

Stwierdzenie 1.5. Dla dowolnych zbiorów A, B i C zachodzą następujące rów- ności: a) A ∩ B = B ∩ A oraz A ∪ B = B ∪ A, b) A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C oraz A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C, c) A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) , d) A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) , e) ( A ∩ B ) ′^ = A′^ ∪ B′, f ) ( A ∪ B ) ′^ = A′^ ∩ B′.

Uwaga 1.6. Punkt a) Stwierdzenia 1.5 mówi, że suma i iloczyn zbiorów są prze- mienne, a punkt b), że są łączne. Punkty c) i d) opisują prawa rozdzielności, natomiast e) i f) zawierają prawa de Morgana. Zauważ, że wszystkie własno- ści występujące w Stwierdzeniu 1.5 są prostym przeniesieniem analogicznych własności odpowiednich operacji logicznych.

Inną często używaną konstrukcją będzie iloczyn kartezjański dwóch zbiorów. Jest on zdefiniowany następująco:

A × B = { ( a, b ) : a ∈ A, b ∈ B}.

16 ROZDZIAŁ 1. PODSTAWY

x

y

Rysunek 1.1: Graficzna reprezentacja relacji z Przykładu 1.

1.3.1 Relacja równoważności

Teraz będziemy rozważać relacje w iloczynie X × X. Ponieważ rozważamy ele- menty tylko zbioru X , mówimy często, że taka relacja określona jest w zbiorze X. Relację R określoną w zbiorze X nazywamy relacją równoważności , jeśli spełnia ona następujące warunki:

1. ∀x ∈ X : xRx (zwrotność),
2. ∀x, y ∈ X : xRy ⇒ yRx (symetria),
3. ∀x, y, z ∈ X : xRy ∧ yRz ⇒ xRz (przechodniość).

Relacje równoważności są szczególnie ważne. Pozwalają one rozbić zbiór X na rozłączne podzbiory o odpowiednich własnościach (patrz następny podroz- dział).

Przykład 1.9. Niech X będzie zbiorem ludzi. Zdefiniujmy relację R następu- jąco: xRy , jeśli buty x -a pasują na y -a („pasują” oznacza, że nie są ani za duże ani za małe). Sprawdź, że relacja R spełnia wszystkie warunki relacji równo- ważności.

Przykład 1.10. Niech X będzie zbiorem mieszkańców Białegostoku. Okre- ślamy, że xRy , jeśli x mieszka blisko y -a. Przyjmijmy, że „blisko” oznacza nie dalej niż 1 km. Jasne jest, że dwa pierwsze warunki są spełnione. Natomiast wa- runek przechodniości nie jest spełniony, gdyż można znaleźć takich mieszkańców x , y i z , że x i y mieszkają blisko siebie, y i z mieszkają blisko siebie, ale x i

1.3. RELACJE 17

z mieszkają w odległości większej niż 1 km. Zatem relacja bliskości R nie jest relacją równoważności.

Przykład 1.11. Niech X będzie zbiorem ludzi. Określmy relację R następu- jąco: xRy , jeśli x zna y -a. Tutaj tylko pierwszy warunek jest spełniony (zakła- damy, że każdy zna siebie). Relacja ta nie jest ani symetryczna, ani przechodnia. Podaj odpowiednie przykłady.

1.3.2 Rozwarstwienie zbioru

Niech R będzie relacją równoważności w zbiorze X. Dla elementu x ∈ X zdefi- niujmy warstwę (lub klasę równoważności ) wyznaczoną przez x względem relacji R jako następujący zbiór

[ x ] := {y ∈ X : xRy}.

Zatem warstwa wyznaczona przez x składa się ze wszystkich elementów zbioru X , które są w relacji z elemetem x. W szczególności element x jest w relacji z sobą (pierwsza własność relacji równoważności), zatem x ∈ [ x ]. Rozważmy relację równoważności R z Przykładu 1.9. Załóżmy, że x nosi buty o numerze 41. Wtedy warstwa wyznaczona przez x składa się z wszystkich ludzi noszących buty o takim właśnie numerze. Inne warstwy będą wyglądały podobnie. Każda warstwa będzie składała się z ludzi noszących pewien ustalony numer butów (niekoniecznie 41). Przykład ten pokazuje ważną własność warstw zdefiniowanych przez relację równoważności.

Twierdzenie 1.12. Niech R będzie relacją równoważności w zbiorze X. Wtedy dwie warstwy względem tej relacji albo są rozłączne, albo się pokrywają.

Ponieważ każdy element należy do „swojej” warstwy, więc zbiór X rozpada się na rozłączne warstwy. W każdej warstwie znajdują się „podobne” elementy, równoważne ze względu na relację R. Taką operację podziału zbioru X na war- stwy nazywamy rozwarstwieniem zbioru X. Jest to rodzaj klasyfikacji elementów zbioru X , w której abstrahujemy od szczególnych cech elementów tego zbioru skupiając się na cechach istotnych dla relacji. Na przykład w warstwie ludzi noszących buty o numerze 41 znajdą się ludzie w różnym wieku, różnej płci, o różnych ilorazach inteligencji. Będzie łączyć ich tylko jedno: numer buta. Ludzie z tej samej warstwy mogą bez przeszkód zamieniać się butami — nie grozi im otarcie skóry. Rozwarstwienia zbioru nie uda się wykonać, gdy relacja R nie będzie relacją równoważności. Na przykład dla relacji bliskości warstwy nie będą rozłączne. Będą jednak dobrze określone. Warstwa wyznaczona przez ciebie będzie składać się z wszystkich mieszkańców Białegostoku, którzy mieszkają blisko ciebie (nie dalej niż 1 km). Rozważmy jeszcze jeden ważny przykład.

Przykład 1.13. Przy pomocy relacji równoliczności można wprowadzić liczby naturalne. Niech X będzie zbiorem wszystkich zbiorów skończonych. Zbiory A

1.4. FUNKCJE 19

Inny, naturalny, porządek na płaszczyźnie może być wprowadzony następu- jąco:

( x 1 , y 1 ) R ( x 2 , y 2 ) ⇔ x 1 ≤ x 2 i y 1 ≤ y 2_._

Zauważmy, że R jest nie jest porządkiem liniowym, ponieważ istnieją elementy zbioru R^2 , których nie można porównać. Na przykład nie zachodzi ani (1 , 3) R (2 , 2) ani (2 , 2) R (1 , 3), czyli warunek (1.2) nie jest spełniony.

1.4 Funkcje

Przez funkcję f określoną na zbiorze X i przyjmującą wartości w zbiorze Y rozumiemy przyporządkowanie każdemu elementowi x ∈ X dokładnie jednego elementu y ∈ Y. Taki element y oznaczany jest przez f ( x ) i nazywany jest wartością funkcji f na elemencie x (lub w punkcie x ). Funkcję zapisujemy na- stępująco:

f : X −→ Y.

Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f , a zbiór Y jej przeciwdziedziną. Przez f ( X ) oznaczamy zbiór wartości funkcji f ,

f ( X ) = {y ∈ Y : ∃x ∈ X : y = f ( x ) },

który nazywamy obrazem funkcji f. Mamy zatem f ( X ) ⊂ Y. Jeśli A ⊂ X , to obrazem zbioru A względem funkcji f : X → Y nazywamy zbiór

f ( A ) = {y ∈ Y : ∃x ∈ A : y = f ( x ) }.

Zatem obraz funkcji f to to samo co obraz jej dziedziny względem f. Mamy oczywiście f ( A ) ⊂ f ( X ) ⊂ Y. Przeciwobrazem zbioru B zawartego w przeciwdziedzinie Y względem funkcji f nazywamy zbiór

f −^1 ( B ) = {x ∈ X : f ( x ) ∈ B}.

Zauważmy, że f −^1 ( B ) ⊂ X oraz f −^1 ( Y ) = X. Jeśli f ( X ) = Y , funkcja f nazywa się suriekcją. Mówimy też, że funkcja f jest na , tzn. odwzorowuje zbiór X na zbiór Y. Funkcja f jest różnowartościowa (jest iniekcją ) jeśli zachodzi następująca implikacja: f ( x 1 ) = f ( x 2 ) ⇒ x 1 = x 2. Funkcja, która jest jednocześnie iniekcją i suriekcją, nazywa się bijekcją. Mówimy też, że jest ona wzajemnie jednoznaczna.

Przykład 1.16. Niech X będzie zbiorem mieszkańców Białegostoku, a Y zbio- rem wszystkich znanych imion.Każdemu elementowi x ∈ X przyporządkujmy imię ojca x -a. Takie przyporządkowanie jest funkcją. Nie jest ona jednak ani iniekcją, ani suriekcją.

20 ROZDZIAŁ 1. PODSTAWY

Przyporządkujmy teraz elementowi x ∈ X imię syna x -a. Takie przyporządko- wanie nie jest funkcją, gdyż nie każdy mieszkaniec Białegostoku ma syna. Co więcej, niektórzy mają dwóch lub więcej synów, co powoduje, że nie można im przyporządkować dokładnie jednego elementu.

Funkcja, której dziedzina i przeciwdziedzina są zbiorami liczbowymi, nazywa się funkcją liczbową.

Przykład 1.17. Niech X = Y = R i f ( x ) = x^2. Funkcja f jest funkcją licz- bową. Nie jest ona różnowartościowa, gdyż dla każdego x ∈ X , f ( x ) = f ( −x ). Ponieważ f ( X ) = R+ = {x ∈ R : x ≥ 0 } , funkcja ta nie jest też suriekcją. Jeśli zmienimy dziedzinę na X′^ = R+, otrzymamy funkcję różnowartościową. Jeśli przyjmiemy nową przeciwdziedzinę Y ′^ = R+, to rozważane przyporządkowanie będzie również suriekcją. Warto jednak zauważyc, że chociaż wzór, za pomocą którego zapisujemy funkcję, nie uległ zmianie, jest to już inna funkcja (inna dziedzina i przeciwdziedzina) i powinna być inaczej nazwana (np. g ).

Wykresem funkcji f : X → Y nazywamy podzbiór iloczynu kartezjańskiego X × Y zdefiniowany następująco:

W ( f ) = { ( x, y ) ∈ X × Y : y = f ( x ) }.

Mimo, że wykres jest zdefiniowany dla każdej funkcji, rysowanie go ma sens tylko dla funkcji liczbowych. Jeśli X = Y = R to wykres jest podzbiorem płaszczyzny ( X × Y = R^2 ). Dla funkcji dostatecznie regularnych wykres jest krzywą płaską.

Przykład 1.18. Rozważmy funkcję f : R → R określoną wzorem(20) f ( x ) = −x^2 + 4 x − 1 i A = [ − 2 , 3] ⊂ R. Ponieważ A jest podzbiorem zarówno dzie- dziny jak i przeciwdziedziny, możemy znaleźć zarówno jego obraz jak i przeciw- obraz względem f. Najprościej posłużyć się w tym celu wykresem funkcji. Z Ry- sunku 1.2 odczytujemy, że f ( A ) = [ − 13 , 3] oraz f −^1 ( A ) = [2 −

5]. Końce tego drugiego przedziału znajdujemy rozwiązując równanie −x^2 + 4 x − 1 = − 2. Zarówno dla obrazu, jak i dla przeciwobrazu, istotne jest uwzględnienie wierz- chołka paraboli (2 , 3).

Niech f : X → Y i g : Y → Z. Zdefiniujmy nową funkcję

g ◦ f : X → Z

określoną następująco:

( g ◦ f )( x ) = g ( f ( x )).

Funkcję g ◦ f nazywamy złożeniem g z f. Zauważmy, że najpierw działamy na element x funkcją f , a potem funkcją g.

Przykład 1.19. Niech X , Y i f będą takie jak w Przykładzie 1.16. Niech Z będzie zbiorem liter alfabetu polskiego. Zdefiniujmy funkcję g : Y → Z nastę- pująco: g ( y ) jest pierwszą literą imienia y. Wtedy złożenie g ◦ f jest funkcją z X w Z , która x -owi przyporządkowuje pierwszą literę imienia jego ojca.