Matematyka elementarna dla nauczycieli, Skrypty z Matematica Generale

Pobierz Matematyka elementarna dla nauczycieli i więcej Skrypty w PDF z Matematica Generale tylko na Docsity!

Repetytorium

z matematyki elementarnej

Danuta Zaremba

Wstęp

Repetytorium to powstało z myślą o studentach, którzy chcą zdobyć upraw- nienia do nauczania matematyki w szkole. Jako przyszli nauczyciele powinni dobrze sobie radzić z zagadnieniami matematyki elementarnej. Prowadząc wielokrotnie zajęcia z metodyki, zauważyłam, że studenci miewają spore kło- poty z procentami, równaniami i nierównościami z modułem, równaniami i nierównościami z parametrem, interpretacją geometryczną równań. W dużej mierze jest to wina edukacji szkolnej, która ciągle pozostawia dużo do ży- czenia. Dominują w niej reguły i schematy, nadmierna formalizacja i brak myślenia.

Repetytorium ma pomóc studentom pozbyć się złych nawyków. Tylko wtedy będą mogli dobrze nauczać, jeżeli sami dobrze się nauczą.

1 Procenty

1.1 Zdrowy rozsądek zamiast x

Na lekcjach matematyki preferowaną metodą rozwiązywania zadań są równa- nia. Rozwiązując zadanie, w którym trzeba znaleźć pewną liczbę, najczęściej układa się odpowiednie równanie, a potem je rozwiązuje. Tymczasem w wie- lu wypadkach posługiwanie się równaniami nie tylko nie jest konieczne, ale wręcz komplikuje obliczenia. Tak z reguły jest w obliczeniach procentowych. Zobaczymy to na przykładach. Zacznijmy od zadania:

Telewizor staniał o 7% i kosztuje teraz 1767 zł. Ile kosztował telewizor przed obniżką?

Absolwenci szkół średnich najczęściej postępują według schematu:

telewizor przed obniżką kosztował x (złotych),

staniał o 7%, czyli cena jest równa x − (^) 1007 x ,

kosztuje 1767 zł, skąd x − (^) 1007 x = 1767.

Rozwiązują otrzymane równanie: sprowadzają do wspólnego mianownika, odejmują, dzielą przez współczynnik przy niewiadomej. Takie postępowanie wymaga użycia papieru i ołówka, prosty kalkulator nie wystarczy. Obliczenia przeprowadza się jak za króla Ćwieczka.

Tymczasem wystarczy pomyśleć:

Skoro telewizor staniał o 7%, to zostało 93% jego ceny przed obniżką. Zatem zadanie sprowadza się do znalezienia liczby, której 93% jest równe 1767 zł.

A jak taką liczbę znaleźć?

Naturalną drogą jest tu obliczenie najpierw jednego procentu liczby, a potem pomnożenie wyniku przez 100, czyli obliczenie 100 procent.

Rachunki można przeprowadzić na najprostszym nawet kalkulatorze: dzieli- my 1767 przez 93, a wynik mnożymy przez 100. Nie ma problemu z iksem.

Te dwa działania sprowadzają się do dzielenia 1767 : 0_._ 93, ale ono już nie jest intuicyjne.

1.2 Proporcje niepotrzebne

W programach szkolnych sporo miejsca zajmują proporcje. Są one często stosowanym narzędziem do rozwiązywania rozmaitych zadań, w tym zadań związanych z obliczeniami procentowymi. Na przykład w zadaniu:

23% liczby wynosi 34_._ 5_. Ile wynosi_ 16% tej liczby?

rozwiązujący z reguły zaczynają od napisania proporcji

16 x

Proporcja jest także stosowana przy obliczaniu, jakim procentem jednej licz- by jest inna liczba:

Jakim procentem liczby 13 jest liczba 9_?_

Rozwiązuje się tu równanie 9 13

x 100

Takie sztywne schematy postępowania wynosimy się ze szkoły i nie zawsze mamy okazję ku temu, aby je zweryfikować. Skutki są różne, najczęściej jed- nak wiele osób ma problemy z obliczeniami procentowymi.

A przecież można rozwiązać oba zadania zdroworozsądkowo.

W pierwszym zadaniu wystarczy najpierw obliczyć jeden procent liczby, dzie- ląc 34_._ 5 : 23, a potem wynik pomnożyć przez 16.

W zadaniu drugim również można obyć się bez proporcji. Liczba 9 stanowi 139 liczby 13. Wystarczy zatem zamienić ten ułamek na ułamek o mianowniku 100 (bo tyle procent, ile setnych):

9 13

Przeprowadzone rozumowanie można zapisać tak:

9 13

Schemat ten jest podawany najczęściej bez uzasadnienia, przy czym z reguły nie używa się nawiasu. Uczeń ma zapamiętać, niekoniecznie rozumiejąc.

Jak widać, w obliczeniach procentowych proporcje nie są potrzebne. Są one narzędziem dosyć archaicznym, utrudniają posługiwanie się kalkulatorem.

Oto przykład innego podchwytliwego zadania:

100 ha ziemi dzielimy na dwie działki, z których jedna ma powierzchnię o 10 ha większą niż druga. O ile procent działka większa będzie większa od mniejszej?

Wcale nie o 10%! Wprawdzie 10 stanowi rzeczywiście 10 procent liczby 100, ale nie o to chodzi w zadaniu. Trzeba przecież obliczyć, jakim procentem powierzchni działki mniejszej (45 ha) jest powierzchnia działki większej ( ha). Jest to w przybliżeniu 122%, czyli o 22% więcej.

Zapytajmy,

co się stanie z ceną towaru, jeżeli najpierw zmaleje o 10% , a po pewnym czasie wzrośnie o 10%?

Na ogół każdy od razu dostrzega, że cena zmieni się, bo owe 10% jest brane z różnych wielkości.

Rodzi sie więc pytanie, czy w rezultacie tych zmian cena zwiększy się czy zmniejszy?

Odpowiedź można znaleźć bez przeprowadzania rachunków. Wystarczy stwier- dzić, że drugie 10% jest wzięte z mniejszej kwoty niż pierwsze, co w konse- kwencji powoduje obniżkę ceny.

Zmieńmy teraz sytuację, najpierw cenę podwyższając, a potem obniżając, za każdym razem o 10%. Wtedy też można zauważyć, że obniża się cenę o więcej niż ją podwyższa.

Pytanie, w którym przypadku obniżka jest większa, sprawia często kłopot i pociąga za sobą różne dywagacje, prowadzące do różnych odpowiedzi. Tym- czasem wystarczy sytuację ująć rachunkowo.

W pierwszym przypadku cenę mnoży się przez 0.9, a potem mnoży się wynik przez 1.1. W drugim przypadku wystepują te same czynniki, tylko w odwrot- nej kolejności. Wynik jest więc taki sam - za każdym razem zostaje 0.99 ceny, czyli jest obniżka o 1%.

Można to też porachować o pamięci: w pierwszym przypadku po obniżce zostaje 90% ceny, którą po podwyżce powiększa się o jej 9%, a w drugim przypadku najpierw otrzymujemy 110% ceny, a potem zmniejszamy ją o 11%.

Na zakończenie zapytajmy,

która liczba jest większa: 13% z 27 czy 27% z 13_?_

Oczywiście liczby te są równe, co jest konsekwencją przemienności mnożenia.

1.4 Jeszcze kilka przykładów

Zacznijmy od dwóch prostych pytań:

Jaka kwotę odbierze po roku Kowalski, jeżeli ulokuje w banku 13 500 zł, a odsetki wyniosą 7%?

Ile jutro będzie kosztować kamera, który dzisiaj kosztuje 2800 zł, a jutro sta- nieje o 7%?

Aby znaleźć odpowiedź, wystarczy za każdym razem wykonać jedno działa- nie. W pierwszym przypadku

13 500 · 1_._ 07 ,

a w drugim 2800 · 0_._ 93_._

Tymczasem wiele osób rozwiązuje takie zadania dwuetapowo, obliczając naj- pierw o ile wzrośnie (lub zmaleje) dana kwota, a potem wykonując jeszcze odpowiednie dodawanie (lub odejmowanie). Jest to nawyk wyniesiony często ze szkoły, który niepotrzebnie wydłuża rachunki.

W wielu obliczeniach procenty warto przedstawiać w postaci ułamków zwy- kłych. Zobaczmy to na przykładzie:

Pewien towar najpierw staniał o 20% , a następnie podrożał tak, że cena wró- ciła do wyjściowej. O ile procent podrożał towar za drugim razem?

Wystarczy zauważyć, że pierwsza zmiana sprowadza się do pomnożenia ceny przez 45 , a więc druga zmiana musi spowodować pomnożenie otrzymanego wyniku przez 54. Za drugim razem mamy więc podwyżkę o 14 , czyli 25% ceny.

Niekiedy proste zadania, do rozwiązania których wystarczy tylko rozumienie pojęcia procentu, okazują się dla wielu bardzo kłopotliwe. Na przykład:

Cena radia stanowi 10% ceny telewizora. Jakim procentem ceny radia jest cena telewizora? O ile procent telewizor jest droższy od radia? O ile procent radio jest tańsze od telewizora?

Szukając odpowiedzi, niektórzy próbują wykonywać jakieś rachunki. Wtedy często otrzymują nonsensowne odpowiedzi. A tymczasem odpowiedzi są na- tychmiastowe. Skoro cena radia stanowi 10% ceny telewizora, to cena radia jest równa cenie telewizora pomniejszonej o 90%. Skoro telewizor kosztuje 10 razy tyle co radio, to jego cena stanowi 1000% ceny radia, więc jest od niej o 900% większa.

8. Wczoraj w klasie uczniów obecnych było 8 razy tyle, co nieobecnych. Dziesiaj nie przyszło jeszcze dwóch i teraz nieobecni stanowią 20% uczniów obecnych. Ile uczniów liczy klasa?
9. Dwaj bracia mają razem 273 zł, przy czym jeden ma o 10% więcej niż drugi. Ile pieniędzy ma każdy z nich?
10. Iksińscy zamierzali kupić dywan i odkurzacz. Przy płaceniu okazało się, że na każdą z tych rzeczy otrzymali 3% rabatu. O ile procent mniej zapłacili?
11. Liczba a stanowi 20% liczby b. Jakim procentem liczby a jest liczba b?
12. X zarabia 4 razy tyle co Y.

a) O ile procent więcej zarabia X od Y?

b) O ile procent mniej zarabia Y od X?

13. Większy zarabia 125% tego, co Mniejszy.

a) Jaki procent zarobków Większego stanowią zarobki Mniejszego?

b) O ile procent mniej zarabia Mniejszy od Większego?

c) O ile procent więcej zarabia Większy od Mniejszego?

14. Cena magnetowidu stanowi 40% ceny telewizora.

a) Jakim procentem ceny magnetowidu jest cena telewizora?

b) O ile procent telewizor jest droższy od magnatowidu?

c) O ile procent magnetowid jest tańszy od telewizora?

15. Bok kwadratu zwiększamy o 5%. O ile procent zwiększy się:

a) pole kwadratu, b) obwód kwadratu?

16. Krawędź sześcianu zwiększamy o 10%. O ile procent wzrośnie objętość sześcianu?
17. Jeden bok kwadratu zwiększono o 20%, a drugi zmniejszono o 20%, otrzy- mując prostokąt. Czy pole prostokąta jest mniejsze czy większe od pola kwa- dratu? O ile procent?
18. Państwo Iksińscy chcą kupić działkę. Mają do wyboru dwie. Obie są w kształcie kwadratu, przy czym bok jednej z nich jest o 10% mniejszy od boku drugiej. Cena jest proporcjonalna do powierzchni działki. Obliczyć:

a) o ile procent mniej zapłacą, jeżeli zdecydują się kupić działkę mniejszą,

b) o ile procent więcej zapłacą, jeżeli zdecydują się kupić działkę większą.

19. Dwaj uczniowie, Wysoki i Niski, wyszli jednocześnie z tego samego domu i poszli do tej samej szkoły. Niski miał krok o 20% krótszy od kroku Wysokiego, ale za to robił o 20% kroków więcej w tym samym czasie. Który z nich przyjdzie wcześniej do szkoły?
20. Ilu procentowy roztwór otrzymamy, jeżeli zmieszamy 2 litry roztworu 7.5- procentowego i 3 litry roztworu 10-procentowego?
21. Z 30 kg 10-procentowego roztworu soli odparowano 10 kg wody. Ilu pro- centowy roztwór otrzymano?
22. Ile soli trzeba dosypać do 2 kilogramów 2-procentowego roztworu soli, aby dostać roztwór 12-procentowy? (Odpowiedź podać z dokładnością do grama.)
23. Woda morska zawiera 5% soli. Ile kilogramów słodkiej wody należy dodać do 40 kg wody morskiej, aby otrzymać wodę o zawartości 2% soli?
24. 20–procentowy roztwór kwasu siarkowego zmieszano z 10–procentowym roztworem tego kwasu, uzyskując 10 litrów roztworu 14–procentowego. Ile było każdego z tych dwóch roztworów?
25. 100 g stopu złota próby 800 stopiono z 50 g stopu złota nieznanej próby i otrzymano stop próby 750. Jaka była próba nieznanego stopu? (Próba 800 oznacza, że złoto stanowi 80% stopu.)
26. W jakim stosunku należy zmieszać 5-procentowy i 12-procentowy roztwór kwasu siarkowego, aby otrzymać 9-procentowy roztwór tego kwasu?
27. Zebrano pewną ilość grzybów, które zawierały 80% wody. Po wysuszeniu otrzymano 1 kg grzybów zawierających już tylko 10% wody. Ile grzybów zebrano?

skąd x = − 1 lub x = 0.

Tak samo można rozwiązać równanie

| 2 x − 1 | = 3 ,

ponieważ oznacza ono, że

2 x − 1 = 3 lub 2 x − 1 = − 3_._

Są oczywiście równania, które trudno było by rozwiązać bez bezpośredniego skorzystania z definicji modułu. Na przykład przystępując do rozwiązywania równania |x + 2 | + | 2 x − 5 | = |x − 3 |

w sposób naturalny dzielimy dziedzinę na przedziały, w których liczby pod modułami mają stałe znaki. W tym celu znajdujemy tzw. miejsca zerowe poszczególnych modułów, otrzymujemy trzy liczby, dzielące zbiór liczb rze- czywistych na cztery przedziały. Są tu więc cztery przypadki.

Niech jednak takie postępowanie nie będzie regułą. Zawsze warto szukać możliwie prostego sposobu rozwiązania zadania. Metoda skomplikowana, w której rozważa się wiele przypadków, jest nie tylko pracochłonna, ale także sprzyja popełnianiu błędów.

2.2 Interpretacja geometryczna modułu

Z definicji modułu otrzymujemy

|a − b| =

{ a − b dla a ≠ b, b − a dla a < b,

co oznacza, że moduł różnicy dwóch liczb jest równy odległości (na prostej) między nimi. Warto o tym pamiętać, rozwiązując równania czy nierówności.

Równanie |x − 1 | + |x − 3 | = 2

można wtedy interpretować jako warunek, że suma odległości punktu x od punktów 1 i od 3 jest równa 2. Warunek ten jest spełniony dokładnie przez punkty odcinka domkniętego o końcach 1 i 3:

Taką samą metodą można rozwiązać równanie

|x − 1 | + |x − 3 | = 8_._

Nietrudno zauważyć, że są dwa punkty, których suma odległości od 1 i 3 jest równa 8:

Rozwiązując nierówności

|y| < 5 , |y| > 3 ,

skorzystajmy z interpretacji modułu liczby jako jej odległości od zera:

gdzie leżą liczby, których odległość od zera jest mniejsza niż 5?

gdzie leżą liczby odległe od zera o więcej niż 3?

Zatem |y| < 5 wtedy i tylko wtedy, kiedy − 5 < y < 5 , |y| > 3 wtedy i tylko wtedy, kiedy y > 3 lub y < − 3_._

Na przykład nierówność |x + 3 | < 5

jest równoważna koniunkcji nierówności

− 5 < x + 3 < 5 ,

co oznacza, że − 8 < x < 2;

nierówność |x − 2 | > 3

jest równoważna alternatywie nierówności

x − 2 > 3 lub x − 2 < − 3 ,

czyli x > 5 lub x < − 1_._

Nierówność | 3 x − 1 | ≠ 3 x − 1

jest spełniona dla wszystkich x , a nierówność

||x| + 2 | < 1

nie jest spełniona dla żadnego x.

2.4 Podnoszenie do kwadratu

Jak uzasadnić, że

(*) |a + b| ¨ |a| + |b|?

Czy koniecznie trzeba rozważać przypadki różnych znaków liczb wystepują- cych pod modułami?

Zauważmy, że nierówność, której obie strony są nieujemne, można podnieść stronami do kwadratu, tzn.

|x| ¨ |y| wtedy i tylko wtedy |x|^2 ¨ |y|^2_._

Korzystając z tej własności oraz z równości |x|^2 = x^2 , otrzymujemy równo- ważną postać nierówności (*):

( a + b )^2 ¨ a^2 + 2 |a||b| + b^2_._

Po przekształceniu otrzymamy

ab ¨ |a||b|.

Ta ostatnia nierówność jest spełniona dla wszystkich a i b , co wynika z wa- runku x ¨ |x|.

Podnoszenia do kwadratu nie można zastosować do nierówności

|a − b| ≠ |a| − |b|,

ponieważ prawa strona nie musi być dodatnia. Nierówność tę można wypro- wadzić z (*): |a| = | ( a − b ) + b| ¨ |a − b| + |b|,

skąd |a| − |b| ¨ |a − b|.

Równości

|ab| = |a||b| i |

a b

|a| |b|

udowodnimy natychmiast, stosując własność

|x| = |y| wtedy i tylko wtedy x^2 = y^2_._

Odnotujmy na koniec, że metodą podnoszenia do kwadratu można rozwią- zywać niektóre równania i nierówności z modułem. Na przykład równanie

|x + 2 | = |x − 3 |

jest równoważne równaniu

( x + 2)^2 = ( x + 3)^2 ,

a rozwiązanie nierówności

| 2 x + 1 | < |x − 1 |

sprowadza się do rozwiązania nierówności kwadratowej

(2 x + 1)^2 < ( x − 1)^2_._

2.5 Interpretacja geometryczna równań na płaszczyź-

nie

Zacznijmy od równania |x + y| = 1

i zapytajmy, jaki podzbiór płaszczyzny ono przedstawia.

Odpowiedź nie jest trudna. Równanie oznacza, że

x + y = 1 lub x + y = − 1 ,

więc w konsekwencji mamy dwie proste:

Równanie |x − 2 y| = 2 y − x

jest równoważne nierówności

x − 2 y ¨ 0 ,

a ta nierówność przedstawia półpłaszczyznę y ≠^12 x :

Jaki zbiór punktów płaszczyzny jest przedstawiony równaniem

|x|y = x?

Rozpatrzmy trzy przypadki: x = 0, x > 0 i x < 0.

W pierwszym przypadku równanie jest spełnione przez każdą liczbę y – mamy więc oś y. W drugim i trzecim przypadku podzielmy równanie obustronnie przez x. Otrzymamy odpowiednio y = 1 i y = − 1, a więc dwie półproste. Zatem równanie ma interpretację jak na rysunku:

Znajdując podzbiór płaszczyzny przedstawiony równaniem

|x| + |y| = 1 ,

warto skorzystać z tego, że znaki obu współrzędnych nie są tu istotne. Jeżeli punkt ( x, y ) spełnia równanie, to także spełniają je punkty ( −x, y ) i ( x, −y ).

Oznacza to, że rownanie przedstawia zbiór symetryczny wzgledem każdej osi ukladu współrzednych. Wystarczy zatem znaleźć część zbioru leżącą na przykład w pierwszej ćwiartce ( x ≠ 0, y ≠ 0)

i uzupełnić ją do zbioru symetrycznego względem każdej osi:

Interpretacja geometryczna równań pozwala zobaczyć liczbę rozwiązań ukła- du równań. Niekiedy można nawet odczytać rozwiązania z rysunku.

Rozważmy układ (^) { y + |x| = 2 y − |x − 1 | = 1

Narysujmy łamane przedstawione tymi rownaniami: