MATEMATYKA PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ NAUKACH ..., Streszczenia z Matematyka

Pobierz MATEMATYKA PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ NAUKACH ... i więcej Streszczenia w PDF z Matematyka tylko na Docsity!

UNIWERSYTET OPOLSKI

Andrzej Ostrowski

MATEMATYKA

PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ

NAUKACH EKONOMICZNYCH

OPOLE 2004

R E C E N Z E N C I Andrzej Malawski, Jerzy Mika

R E D A K C JA T E C H N IC Z N A Halina Szczegół

S K Ł A D K O M P U T E R O W Y Piotr Urbaniec

P R O JE K T O K Ł A D K I Jolanta Brodziak-Rajfur

ISBN 83-7395-071-

W y d aw n ictw o U n iw e rsy tetu O p o lsk ieg o , 4 5 -0 3 7 O p o le , ul. H. S ie n k ie w ic za 33. S kład an ie zam ó w ień : tel. (0 7 7 ) 441 08 78; e-m ail: w ydaw n ictw o @ u n i.o p o le.p l D ruk: D ru k a rn ia W y d aw n ic tw a Ś w ięteg o K rzy ża, 4 5 -0 0 7 O pole, ul. K a ted raln a 4.

SPIS TREŚCI

ROZDZIAŁ II. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY

PRZEDMOWA

Niniejsza książka jest przeznaczona dla studentów pierwszego roku studiów zaocznych na kierunkach:„Ekonomi” oraz „Zarządzanie i M arketing”. Powstała ona w oparciu o wykłady i ćwiczenia prowadzone na Uniwersytecie Opolskim. Podręcznik jest podzielony na 5 rozdziałów, w których przedstawiono m ateriał teoretyczny oraz przykładowe rozwiązania zadań. Natomiast na końcu każdego roz działu zamieszczone są problemy do samodzielnego rozwiązania, z których część zadań m a celowo treść ekonomiczną. Rozdziały książki składają się z podrozdzia łów, w których obowiązuje wewnętrzna numeracja definicji, twierdzeń, przykładów, wzorów i rysunków. Poszczególne części podręcznika dotyczą: zbiorów, funkcji jednej zmiennej, cią gów, pochodnych, całek nieoznaczonych i oznaczonych, równań różniczkowych i różnicowych, macierzy i wyznaczników, układów równań i nierówności oraz funk cji wielu zmiennych. W pewnych przypadkach zrezygnowano z dowodów twierdzeń, aby skupić się na zastosowaniu tych twierdzeń. Czytelnikom pragnącym pogłębić swoją wiedzę poleca się pozycje wymienione w bibliografii. W yrażam podziękowanie za cenne rady recenzentom: prof. dr hab. Andrzejowi Malawskiemu, prof. dr hab. Jerzemu Mice. Dzięki Nim było możliwe napisanie tej pracy.

WYKAZ SYMBOLI

W pracy stosuje się, między innymi, następujące oznaczenia:

q p^ wtedy i tylko wtedy, gdy^ q

p = > q jeżeli^ p,^ to^ q

V lub A i A dla każdego^ y^ należącego do^ Y i /€Y V istnieje^ x^ należące do^ X xeX (a; b) przedział otwarty (a; b) przedział domknięty (a, b) para uporządkowana R zbiór liczb rzeczywistych

P r z y k ła d 4. {x £ 1 : x 2 + 2 = 0} = 0, gdyż nie istnieją liczby rzeczywiste spełniające równanie x 2 + 2 = 0.

D e fin ic ja 4. Sumą zbiorów A i B ( A \J B ) nazywamy zbiór wszystkich elemen tów, które należą do zbioru A lub do zbioru B.

P r z y k ła d 5. {x £ R : x 2 - 1 = 0} U {1,2 ,3 ,4 ,5 } = { -1 ,1 } U {1,2,3,4,5} = = { - 1 , 1 , 2 ,3 ,4 ,5 }.

D e fin ic ja 5. Iloczynem (częścią wspólną) zbiorów A i B (AC\ B ) nazywamy zbiór tych elementów, które należą zarówno do zbioru A jak i do zbioru B.

P r z y k ła d 6. {x £ R : x 2- l = 0 } n { l, 2 ,3,4,5} = {—1, l } n { l , 2,3,4,5} = {1}.

D e fin ic ja 6. Zbiory A i B nazywamy rozłącznymi wtedy i tylko wtedy, gdy nie m ają one wspólnych elementów.

P r z y k ła d 7. Niech A = { 1 ,3 ,5 ,7 ,...} i B = { 0 ,2 ,4 , 6 ,.. .}. W tedy A n B = = 0, czyli zbiory A (liczb naturalnych nieparzystych) i B (zbiór liczb naturalnych parzystych) są rozłączne.

D e fin ic ja 7. Różnicą zbioru A i zbioru B ( A \ B ) nazywamy zbiór wszystkich elementów, które należą do zbioru A i nie należą do zbioru B.

P r z y k ła d 8. { i 6 R : i 2 - 1 = 0 } \ { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } = { - 1 ,1} \ {1,2,3,4,5} = = { -1 } , { 1 ,2 ,3 ,4 ,5 } \ {as e R : z 2 - 1 - 0 } = { 1 , 2 ,3 ,4 ,5 } \ { - 1 , 1 } = {2,3,4,5}.

Jeżeli wszystkie rozpatrywane zbiory są podzbiorami ustalonego zbioru, to ten zbiór nazywamy przestrzenią.

D e fin ic ja 8. Dopełnieniem zbioru A (A') do przestrzeni X nazywamy zbiór wszystkich elementów przestrzeni X , które nie należą do zbioru A. Zatem A' = = X \ A.

P r z y k ła d 9. Niech X = R i A = (0;2), wtedy A! = R \ (0;2) = (—oo;0) U U (2; +oo).

Zadania

1. Wskazać zbiór pusty, zbiory równe i rozłączne wśród zbiorów A, B i C': A — {x £ R : x 2 — 3x + 2 = 0}, B = {x £ R : x 2 + x + 1 = 0}, C = { i € l : a ; - 1 , 5 = 0,5 lub 1,5 —z = 0,5}.
2. Wyznaczyć sumę, iloczyn i różnicę zbiorów A i B , gdzie A = {z £ R : x 2 —9 = 0}, B = {x 6 R : x 2 — 3x = 0}.
3. Wyznaczyć dopełnienie zbioru A (przyjmując X = R), gdy: a) A = (0; 1) U (2; +oo); b) A = {x £ R : x 2 + 2x + 1 = 0}; c) A = {z e R : - 0 , 5 < x - 1 ,5 < 0,5}; d) A = 0.

O dpow iedzi

1. A = C, B = 0, B i C - rozłączne.

2. A u B — { -3 ,0 ,3 } , A H B = { 3}, A \ B = { - 3}, B \ / ł = {0}.

3. a) A! — (-o o ; 0) U (1; 2); b) A! = K \ {-1 } ; c) A! = (-o o ; 1) U (2; +oo); d) A' = IR.

1.2. Iloczyn kartezjański

D e fin icja 1. Parą uporządkowaną nazywamy parę elementów (a, 6 ), w której a jest pierwszym elementem, a b - drugim. D e fin icja 2. Iloczynem ( produktem ) kartezjańskim niepustych zbiorów A i B (oznaczenie: A x B ) nazywamy zbiór wszystkich uporządkowanych par (a, b), w któ rych element a należy do zbioru A i element b należy do zbioru B , tj. A x B = {(a, b) : a £ A i b £ B }. P rz y k ła d 1. Dla A = {1,2}, B = { -3 , - 4 , -5 } , otrzymujemy:

A x B = {(1, - 3 ) , (1 ,-4 ), (1 ,- 5 ) , (2 ,- 3 ) , (2 ,- 4 ) , (2 ,-5 )} ,

B x A = { ( - 3 , l ) , (- 3 ,2 ) , (- 4 ,1 ) , (- 4 ,2 ), ( - 5 ,1 ) , (-5 ,2 )} ,

A x A = { ( 1,1), (1,2), (2,1), (2,2)},

B x B = { ( - 3 ,- 3 ) , ( - 3 , - 4 ) , ( - 3 ,- 5 ) , ( - 4 , - 3 ) , ( - 4 , - 4 ) , ( - 4 , - 5 ) , ( - 5 , - 3 ) , ( - 5 , - 4 ) , ( - 5 ,- 5 ) }.

Zatem tu taj A x B ^ B x A. P rz y k ła d 2. Iloczyn kartezjański ffi x M = {(a, b) : a £ E, b £ 1} = R 2 możemy utożsamić ze zbiorem wszystkich punktów na płaszczyźnie w układzie współrzędnych O zy.

D e fin icja 3. Iloczynem ( produktem ) kartezjańskim niepustych zbiorów A , A 2 ,... , A n (n £ N, n > 1 ) nazywamy zbiór wszystkich uporządkowanych cią gów n-elementowych postaci (ai, 02 ,... , an ) takich, że a\ £ A , £ A ^ ,... , an £ A n.

P rz y k ła d 3. Dla A = {1,2}, B = {a, b, c}, C = {0 1, 02 } otrzymujemy

A x B x C = { ( l,a ,c i ) , (1 ,6 ,ci), (1 ,c,ci), ( l ,a ,c 2), (1 ,b ,c 2), (1 ,c ,c 2), ( 2 , a, ci), ( 2 , 6 , ci), ( 2 , c, ci), ( 2 ,a ,c 2), ( 2 , 6 ,c 2), ( 2 ,c ,c 2)}.

1.3. Wartość bezwzględna jako przykład funkcji

D e fin ic ja 1. Wartością bezwzględną ( modułem) liczby rzeczywistej x nazywa my liczbę dla x > 0 dla x < 0 = V x* = { X x_

Wartość bezwzględna oznacza odległość punktu o współrzędnej x od punktu początkowego osi liczbowej. Jeżeli punkty A i B należą do osi liczbowej i m ają na tej osi odpowiednio współrzędne a i b, to odległość między nimi równa się \a — b.

W ła sn o śc i w a rto śc i b ez w zg lęd n e j:

Dla dowolnych x, y £ E mamy

1. HVo

2. | —a;) = |x|j

3. (^) _\xy_ = |a:||j/|,

4. (^) If 1 = 111! y ź o,

5. (^) _)? + y_ < \A + bl,

6. (^) \ x ~ y \ > ||x| - \y\,

7. |x|^ < a <3- —a < x < a, a^ >^0 ,

8. |a| < a O- —a < x < a, a > 0 ,

9. \x\ > a <=>■(x > a lub x < —a)

10. |x| > a ^ (x > a lub x < —a) Określenie wartości bezwzględnej pc prostej. D e fin ic ja 2. Otoczeniem o promieniu r (r > 0) punktu xq na prostej Ox nazywamy zbiór liczb rzeczywistych x spełniający warunek \x —xq\ < r. Otoczenie to oznaczamy przez Q (xo,r).

Zatem Q (xq, r) — (xq — r; xq + r).

0 x0- r x0 x„+r x

Rys. 2. Ilustracja otoczenia punktu xo na prostej Ox

P rz y k ła d 1. Q( 4,7) = (4 - 7; 4 + 7) = ( - 3 ; 11). Wyróżniamy również otoczenie lewostronne Q - i otoczenie prawostronne Q + (oba o promieniu r > 0) punktu xq na prostej Ox, które definiujemy w następujący sposób: Q - ( x 0,r) = (x 0 - r ; z 0),

17

2 - Matematyka...

Q+(x0,r) = (x0-,x0 + r).

P r z y k ła d 2. Q _ (4,7) = (4 - 7; 4) = (- 3 ; 4). Q+{ 4,7) = (4;4 + 7) = (4; 11).

D e fin ic ja 3. Sąsiedztwem o promieniu r (r > 0 ) punktu xq na prostej Ox nazywamy zbiór liczb rzeczywistych x spełniający warunek 0 < |x — x0| < r. Sąsiedztwo to oznaczamy przez S (x o ,r).

Zatem S ( x 0,r ) = Q(a;o,r){a;o} = {x0- r ; Zo+r-){:ro} = (x 0 -7-;a:o)U(2;o;a:o+r).

0 x0- r x0 x0+r x

Rys. 2. Ilustracja sąsiedztwa punktu xo na prostej Ox

P r z y k ła d 3. 5(4,7) = (4 - 7; 4 + 7) \ {4} = (- 3 ; 11) \ {4} = (- 3 ; 4) U (4; 11).

W yróżniamy również sąsiedztwo lewostronne S_ i sąsiedztwo prawostronne S + (oba o promieniu r > 0) punktu xq na prostej Ox, które definiujemy następująco:

S - { x 0,r) = (x 0 ~ r ; x 0),

S+(xo, r) = (x0;x 0 + r ).

P r z y k ła d 4. S _(4,7) = ( 4 - 7 ; 4) = (- 3 ; 4). 5+ (4,7) = (4; 4 + 7 ) = (4; 11).

Z adania

1. Rozwiązać równania: a) \x + 1 | = x 2 + 1 ; b) _\x2 - x_ + |a:| = 0 ; c) \x - 1 | + x 2 + x - 2 = 0.
2. Rozwiązać nierówności: a) |1 - _x_ + | - x| < 3; b) \x + 2| + _\x2 + 2x_ < 0; c) \x + 5| - |3 - x\ < 2.
3. Określić otoczenie i sąsiedztwo oraz otoczenia i sąsiedztwa lewostronne i pra wostronne punktu xo = o promieniu 2.

O dpow iedzi

1. a) x \ = 0 lub X 2 = 1; b) x = 0 ; c) x \ = —1 lub x% = 1.

2. a) x e {— 1 ; 2 ); b) x e { - 2 }; c) x £ ( - o o ; 0 ).

3. Q(>/2,2) = ( v ^ - 2 ; ^ + 2 ) , 5 ( ^ , 2) = (^ 2 - 2; ^ 2 + 2) \ {^2}, Q - ( v /2 ,2) = (/2 - 2; >/2), Q+( V 2 , 2) = (y/2; V2 + 2), S. ( y / 2 , 2) = (%/2 —2; y/2), S +(V 2,2) = (^2 ; V2 + 2).

T abela 1. Wielkość inflacji w Polsce Rok (^1992 1993 1994 1995 1996 1997 ) Inflacja (%) 42,4 34,6 30,7 26,8 19,4 14,8 11,

W tym przypadku X = {1992,1993,1994,1995,1996,1997,1998}.

P r z y k ła d 5. Funkcja dana przepisem słownym: „każdej liczbie rzeczywistej przyporządkowujemy jej kw adrat”.

D e fin ic ja 4. Wykresem funkcji / (lub jej obrazem geometrycznym ) nazywa my zbiór tych punktów na płaszczyźnie, których współrzędne (x ,y ) są ze sobą związane zależnością y = f( x ) , gdzie x € X.

Zauważmy, że każda prosta równoległa do osi rzędnych ( O y) ma co najwyżej 1 punkt wspólny z wykresem funkcji.

Z adania

Wyznaczyć dziedzinę funkcji: a ) f (x ) = —V I — _x 2_ b) g(x) = \J x 2(l —a;)2; c) h(x) — \Jx — 1 + cos a;; d) 00 = e) j( x ) = log((ar + l ) 2).

O d p o w ie d zi

a) (— 1 ; 1 ); b) R; c ) ( l;+ o o ) ; d ) M \ { 0 ;l} ; e ) K \ { - l }.

1.5. Przykłady funkcji

Czytelnikom znane są następujące funkcje elementarne:

1. Wielomian stopnia n (n = 0 ,1 ,2 ,...)

y = anx n + an- \ x n~ x +... + a2x 2 + a \x + a0,

gdzie an , a „ _ l t... , a2, a i, ao to liczby rzeczywiste, a ponadto an ^ 0. Dla n — 2 otrzymujemy funkcję kwadratową y = a x2 + bx + c. Można ją zapisać w postaci kanonicznej

„ = , = - A

lub w postaci iloczynowej

y = a (x - x i) ( x - x 2),

gdzie z i = ~b2^ , 2:2 = ~b 2 a ^ ^la A = fc 2 — 4ac > 0 lub

y = a ( x - x 0)2,

gdzie £o = —^ » d la A — 0. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierz chołku W (p, q). Funkcją liniową nazywamy wielomian stopnia 1, 0 lub wielomian zerowy po staci y = ax + b, x S R, o param etrach rzeczywistych a i b. Jej wykresem jest prosta, która przecina osie O x i Oy odpowiednio w punktach ( — 0) i (0, b) jeśli a ^ 0, lub tylko oś Oy w punkcie (0, b) jeśli a = 0 i b ^ 0, lub też jest tożsam a z osią Ox, jeśli a = b = 0.

2. Funkcja wymierna

G (x )’ gdzie F (x ) i G (x) są wielomianami zmiennej x i G (x) nie jest równy zero dla żadnego x 6 R. Dziedziną funkcji wymiernej jest zbiór wszystkich wartości x, dla których mianownik tej funkcji jest różny od zera. Funkcja homograficzna y = ) gdzie ad — bc ^ 0 i c ^ 0 jest szczególnym przypadkiem funkcji wymiernej. Jej dziedziną jest zbiór X = R \ { — ^}, a wykres

jest hiperbolą, której asym ptotam i są proste x = —^ i y =

3. Funkcja potęgowa y = x a , gdzie a £ R. Dziedzina i kształt wykresu tej funkcji zależą od wartości param etru a. W naukach ekonomicznych wykorzystywana jest funkcja popytu y jako funkcja ceny x, postaci

y = k x a , gdzie k > 0 i a < 0.

Rys. 7. Wykres funkcji y = tg x

y = ctg x = , gdzie x £ kn, k 6 C.

Rys. 8. Wykres funkcji y — ctg a:

Wykresy tych funkcji to odpowiednio sinusoida, kosinusoida, tangensoida i ko- tangensoida.

1.6. Własności funkcji

D e fin ic ja 1. Zbiorem wartości funkcji f nazywamy zbiór wszystkich f( x ) , gdzie x € X. Oznaczamy go przez f ( X ) i nazywamy również obrazem zbioru X poprzez funkcję /. Oczywiście f ( X ) C Y. P r z y k ła d 1. / : R -> R, x ^ y - sin 2 x, X = R, Y = R, f ( X ) = (0; 1).

D e fin ic ja 2. O funkcji / mówimy, że jest surjekcją, lub że przekształca X na Y , jeśli f ( X ) = Y. W takim przypadku każdy element y G Y jest obrazem pewnego elementu x £ X , tj.

A V y = /(* )• yeY x e x Piszemy wtedy f : X ^ Y.

P r z y k ła d 2. / : R ( - 1 ; 1 ), x y = sina;.

D e fin ic ja 3. Funkcja / jest iniekcją (jest różnowartościowa ) w zbiorze X , jeśli różnym argumentom ze zbioru X przyporządkowuje różne wartości, tj.

A A Ć X2 => f { x l) t^ f { x 2) X!&x x2€ X

lub równoważnie A A f ( x l) = f ( x 2) => XI = x 2. xi£X x 26 X

Zauważmy, że wykres funkcji różnowartościowej ma co najwyżej jeden punkt wspólny z dowolną prostą równoległą do osi Ox.

P r z y k ła d 3. f ( x ) = ^ , x 6 X = R \ { - 1 }. Niech f( x { ) = / ( x 2), wtedy j f t l = =$T- Stąd %{x2 + 1 ) = 2 : 2 ( 0 ;! + 1 ), czyli X\X2 + Xi = X2Xi + x 2.

Zatem _x _ = x 2, czyli funkcja f ( x ) = x £ R \ { —1} jest różnowartościowa.

D e fin ic ja 4. Odwzorowanie / : X Y jest wzajemnie jednoznaczne (jest bijekcją), jeżeli każdy element y e Y jest obrazem dokładnie jednego elementu x £ X.

P r z y k ła d 4. Niech y = f ( x ) = x € R \ { - 1 }. W tedy x = y(x + 1). A stąd x - x y = y, czyli x ( l - y) = y. Zatem x = y € R \ { -1 }. Funkcja f ( x ) = jest wzajemnie jednoznaczna w zbiorze R \ {—1}.