Matematyka w zadaniach analizy matematycznej. Funkcje jednej zmiennej. , Publikacje z Analiza matematyczna

Pobierz Matematyka w zadaniach analizy matematycznej. Funkcje jednej zmiennej. i więcej Publikacje w PDF z Analiza matematyczna tylko na Docsity!

Andrzej Fabijańczyk

MATHEMATICA

W ZADANIACH

ANALIZY MATEMATYCZNEJ

FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

Teoria i zadania przykładowe

WYDAWNICTWO UNIWERSYTETU ŁÓDZKIEGO

ŁÓDŹ 2011

Wstęp

Wśród przedmiotów nazywanych potocznie matematyką wyższą kluczową pozycję zajmuje analiza matematyczna. Ma ona znaczenie fundamentalne dla szeregu szczegółowych, bardziej specjalistycznych, dyscyplin matematycznych, jak również jest narzędziem wykorzystywanym przez inne gałęzie nauki i techniki.

Powszechna jest opinia, że analiza matematyczna jest przedmiotem trudnym. Faktycznie, jego pomyślne studiowanie wymaga dobrego przygotowania z zakresu matematyki elementarnej, konieczne jest opanowanie licznych pojęć opartych na przejściu do granicy, a do tego z kolei ważne jest wykształcenie specyficznej wyobraźni. Najistotniejsze jest jednak to, że niezbędne jest opanowanie praktycznego posługiwania poznawanym aparatem. Można to osiągnąć tylko przez systematyczny trening polegający na rozwiązywaniu zadań, zarówno rachunkowych, jak i teoretycznych.

Uzasadnione jest więc powstawanie zbiorów zadań z analizy matematycznej. Prezentowany podręcznik jest pierwszą częścią publikacji tego typu wzbogaconą zwięzłym repetytorium, w którym zgromadzone zostały pojęcia i najważniejsze fakty dotyczące elementarnych własności funkcji i ich szczególnego przypadku: ciągów liczbowych, pojęcia granicy i ciągłości, rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. W przygotowywanej części drugiej znajdzie się rachunek całkowy, szeregi liczbowe i wybrane zagadnienia teorii ciągów i szeregów funkcyjnych.

Prawie wszystkie przykłady i zadania są moją charakter autorski, do wyjątków należą głównie „obowiązkowe” przykłady, które można znaleźć niemalże we wszystkich podręcznikach analizy matematycznej. Z drugiej strony trudno zaprzeczyć, że konieczne było wzorowanie się na wymienionych w literaturze zbiorach zadań, wśród których czołowe miejsce zajmują pozycje rosyjsko-języczne lub ich tłumaczenia.

Podręcznik nie jest jednak typową publikacją w swoim rodzaju. W ostatnim czterdziestoleciu XX wieku pojawiło się szereg programów komputerowych przeznaczonych do obliczeń matematycznych: symbolicznych i numerycznych. Programy te często oferują dużo więcej. Mogą udostępniać m.in. języki programowania umożliwiające konstruowanie specjalistycznych funkcji i procedur dostosowanych do indywidualnych potrzeb użytkownika. Nie do przecenienia jest również łatwość tworzenia różnorodnych interpretacji geometrycznych pomagających w weryfikacji hipotez matematycznych oraz pogłębiających rozumienie rozważanych problemów. Wszystkie te cechy ma program Mathematica firmy Wolfram Research, którego pierwsza wersja powstała w 1988 roku doczekała się kolejnych znaczących udoskonaleń i dzisiaj jest uznanym na świecie produktem tego typu. O nietypowości podręcznika decyduje fakt przyjęcia założenia, że prawie wszystkie obliczenia w przykładach i zadaniach, tych rozwiązanych przez autora, jak i tych przeznaczonych do samodzielnego rozwiązania przez czytelnika, mają być wykonane przy pomocy komputera programem Mathematica.

Zabranie się do nauki z podręcznikiem wymaga więc wcześniejszego opanowania wspomnianego programu w zakresie podstawowych zasad posługiwania się nim, zastosowanego nazewnictwa i składni po- leceń. Mimo, że Mathematica jest systemem bardzo rozbudowanym o rozległych możliwościach, można z niego zacząć korzystać dysponując tylko elementarną wiedzą i sukcesywnie, w miarę zwiększających się potrzeb, wiedzę tę uzupełniać. Umożliwia to obszerny system pomocy oraz bardzo dobry, metodycznie przemyślany, podręcznik autorstwa Stephena Wolframa zatytułowany „The Mathematica Book”. Osoby, dla których barierą jest język angielski, mogą skorzystać z pozycji [13] cytowanej literatury, choć bez znajomości tego języka dogłębne poznanie programu Mathematica może być trudne. Oprócz tego w oma- wianym zbiorze zadań znajduje się szereg informacji dotyczących niektórych, istotnych w danym zagadnieniu komend. Informacje te mają jednak charakter uzupełniający i pojawiają się okazjonalnie.

Układ materiału zgromadzonego w poszczególnych paragrafach, za wyjątkiem ostatniego o charakterze podsumowującym poświęconego całościowemu badaniu przebiegu zmienności funkcji, jest w zasadzie taki sam. Najpierw wprowadzane są wszystkie pojęcia i twierdzenia dotyczącej rozważanego tematu. Uzupełnione są one uwagami i przykładami podkreślającymi ważne subtelności o charakterze matematycznym bądź informatycznym. Następnie rozwiązywana jest seria zadań przykładowych tak dobranych, aby przedstawić wszechstronnie omawianą tematykę z zaakcentowaniem problemów i trudności, z jakimi można się spotkać. Każdy paragraf zamyka zestaw zadań przeznaczonych do samodzielnego

ROZDZIAŁ I

WIADOMOŚCI WSTĘPNE

1.1. Podstawowe zbiory liczbowe

W zagadnieniach analizy matematycznej istotną rolę odgrywają następujące zbiory liczbowe: zbiór liczb naturalnych N ={ 1 , 2 ,...}; zbiór liczb całkowitych Z ={ 0 , 1 ,− 1 , 2 ,− 2 ,...}; zbiór liczb całkowitych nieujemnych N 0 ={ 0 , 1 , 2 ,...};

zbiór liczb wymiernych : ; 

Q = p ∈ Z ∧ q ∈ N q

p

zbiór liczb rzeczywistych R ; zbiór liczb rzeczywistych dodatnich R +; zbiór liczb niewymiernych Q ′= R \ Q ; zbiór liczb zespolonych C.

W rozpoznaniu, czy dana liczba rzeczywista jest wymierna, czy niewymierna, pomocna jest własność:

1.1.1. Twierdzenie. Liczba rzeczywista x jest wymierna wtedy i tylko wtedy, gdy daje się ona przedstawić w postaci ułamka okresowego.

1.1.2. Uwagi. a) Program Mathematica odróżnia następujące typy liczb: Integer, Rational, Real, Complex. O przynależności danej liczby do określonego typu decyduje nagłówek tej liczby. Liczby typu Real oraz liczby typu Complex, których części rzeczywiste lub urojone są typu Real, są traktowane jako liczby przybliżone i dlatego obliczenia z ich udziałem wykonywane są metodami numerycznymi przy pomocy arytmetyki zmiennoprzecinkowej. W po- zostałych przypadkach obliczenia są dokładne. b) W szeregu operacji Mathematica dokonuje „naturalnej” konwersji liczby w liczbę typu Real; jest także możliwość podjęcia próby zamiany liczby typu Real w liczbę typu Rational lub Integer. c) Istnieje szereg predefiniowanych stałych liczbowych, wśród których najbardziej pod- stawowymi są: Pi, E, I. d) W zagadnieniach dotyczących liczb przydatne mogą być komendy: Head, objekt [[ 0 ]], ? objekt , ?? objekt ,N, Rationalize, MemberQ, IntegerQ, EvenQ, OddQ, NumericQ,

IntegerPart, FractionalPart, Round, Floor, Ceiling, Precision, Accuracy.

1.1.3. Przykłady. Poniższe obliczenia wykonywane są w sposób dokładny. a) Obliczenie liczby wymiernej

2

In[1]:= H 13 ê 17 + 11 ê 19 L^2 − H 29 + 1 ê 3 L ê H 23 H 1 + 1 ê 53 LL

Out[1]=

107612000 194364927

8 Rozdział I. WIADOMOŚCI WSTĘPNE

In[2]:= Head@%D

Out[2]= Rational

b) Obliczenie liczby zespolonej

5

i

i i

In[3]:= H 5 + 1 ê 2 IL ^5 − H 5 ê 7 + 11 ê 13 IL ê H 3 ê 5 + 7 IL^

Out[3]=

962389887237075 341992724528

11509595100113  7516323616

In[4]:= %@@ 0 DD

Out[4]= Complex

c) Obliczenie sumy

. 100

In[5]:= Sum@ 1 ê i, 8 i, 100<D

Out[5]=

14466636279520351160221518043104131447711 2788815009188499086581352357412492142272

d) Obliczenie iloczynu

. 40

In[6]:= Product@H 1 + 1 ê i^2L, 8 i, 40<D

Out[6]= 1285990978840911714227073614180520516249271507213473441235505 358570784762555794728025004122072620049509465769544742076416

1.1.4. Przykłady. Oto obliczenia zrealizowane w sposób numeryczny. a) Obliczenie przybliżonej wartości ułamka

z domyślną dokładnością do 16 cyfr znaczących.

In[7]:= H13.ê 17 + 11 ê 19 L^2 − H 29 + 1 ê 3 L ê H 23 H 1 + 1 ê 53 LL

Out[7]= 0.

In[8]:= Head@Out@ 7 DD

Out[8]= Real

Jedyną różnicą w stosunku do przykładu 1.1.3a jest pojawienie się kropki dziesiętnej przy liczbie 13, co powoduje, że Mathematica wykonuje obliczenia metodami numerycznymi. Odnotujmy fakt, że wynik obliczeń został wyświetlony z mniejszą dokładnością, mimo, że został obliczony i jest przechowywany wewnętrznie z żądaną dokładnością 16 cyfr znaczących (patrz Precision, MachinePrecision, $MachinePrecision).

10 Rozdział I. WIADOMOŚCI WSTĘPNE

In[19]:= {Head[Pi],Head[E],Head[I]}

Out[19]= 8 Symbol, Symbol, Complex<

In[20]:= {Pi<E,Sqrt[2]<Sqrt[3],E^4<=Pi^(7/2)}

Out[20]= 8 False, True, True<

In[21]:= Map[Head,{Pi+E,Pi-E,-E,Pi E,Pi/E,1/E}]

Out[21]= 8 Plus, Plus, Times, Times, Times, Power<

Na zakończenie rozważań teoretycznych wyróżnimy ważna rodzinę podzbiorów zbioru R zwanych przedziałami. A mianowicie, niech a oraz b będą takimi liczbami rzeczywistymi, że a < b.

Wtedy przedziałem otwartym o końcach a , b nazywamy zbiór ( a ; b )= { x ∈ R : a < x < b } ; przedziałem domkniętym o końcach a , b nazywamy zbiór [ a ; b ]= { x ∈ R : a ≤ x ≤ b } ; przedziałem domknięto-otwartym o końcach a , b nazywamy zbiór [ a ; b )= { x ∈ R : a ≤ x < b } ; przedziałem otwarto-domkniętym o końcach a , b nazywamy zbiór ( a ; b ]= { x ∈ R : a < x ≤ b } ; przedziałem lewostronnie otwartym nieograniczonym o początku a nazywamy zbiór ( a ; ∞) ={ x ∈ R : x > a } ; przedziałem lewostronnie domkniętym nieograniczonym o początku a nazywamy zbiór [ a ; ∞) ={ x ∈ R : x ≥ a } ; przedziałem prawostronnie otwartym nieograniczonym o końcu b nazywamy zbiór ( − ∞; b ) ={ x ∈ R : x < b }; przedziałem prawostronnie domkniętym nieograniczonym o końcu b nazywamy zbiór ( −∞; b ] = { x ∈ R : x ≤ b }.

Ponadto zbiór R uważać będziemy za nieograniczony przedział otwarty o końcach − ∞i + ∞.Prze-

działy ( a ; b ),[ a ; b ],[ a ; b ),( a ; b ]nazywać przedziałami właściwymi lub przedziałami skończony-

mi , a pozostałe wyżej zdefiniowane przedziały – przedziałami niewłaściwymi lub przedziałami nieskończonymi.

Zadania przykładowe

1.1.6. Zadanie. Sprowadzić dane liczby do najprostszej postaci: a) 10002 − 1562 41 ;

b)^4 84289135612 + 830011488 109 − 1266136384 111 − 592159392 12099. Rozwiązania. a) Wypróbujmy najpierw najprostsze narzędzie, tj. komendę Simplify.

In[1]:= a=Sqrt[10002-1562 Sqrt[41]]

Out[1]=

"################################# 10002 − 1562 è!! 41 !!!!

In[2]:= Simplify[a]

Out[2]= $% 2 %%% I%%% 5001 %%%%%%%%−%% % 781 %%%%%% %è%%!%! 41 %!%%!%!! %M%%

Otrzymany wynik nie jest satysfakcjonujący i dlatego sprawdzamy, czy wyrażenie pod zewnętrznym

pierwiastkiem kwadratowym nie jest kwadratem wyrażenia postaci u − v 41 dla odpowiednich

wymiernych współczynników u , v. Okazuje się, że tak, co daje poszukiwane uproszczenie.

1.1. Podstawowe zbiory liczbowe 11

In[3]:= b=Sqrt[(u-v Sqrt[41])^2]

Out[3]= $%I%%u%%%−%% %è%%%! 41 v%!%!%!%!!%%%%M%%^2 %%

In[4]:= Expand[b[[1]]]

Out[4]= u^2 − 2 è!! 41 u v!!!! + 41 v^2

In[5]:= roz=Solve[{u^2+41v^2==10002,2u v==1562}]

Out[5]= : 8 u → −71, v → − 11 <, 8 u → 71, v → 11 <, :u → − 11 è! 41 , v!!!!! → −

71 è!! 41 !!!! >,^ :u^ →^11

è!! 41 , v!!!! → 71 è! 41 !!!!! >>

In[6]:= b=b/.roz[[2]] ( Odpowiedź )

Out[6]= 71 − 11 è!! 41 !!!!

Program Mathematica od wersji 3.0 oferuje komendę FullSimplify, która bezpośrednio znajduje poszukiwane uproszczenie.

In[7]:= FullSimplify@aD

Out[7]= 71 − 11 è!! 41 !!!!

b) Spróbujmy od razu skorzystać z polecenia FullSimplify.

In[8]:= a= H 84289135612 + 830011488 Sqrt@ 109 D − 1266136384 Sqrt@ 111 D − 592159392 Sqrt@ 12099 DL ^ H 1 ê 4 L

Out[8]= I 84289135612 + 830011488 è! 109 !!!!!!! − 1266136384 è! 111 !!!!!!! − 592159392 è! 12099 !!!!!!!!!!! M^1 ê^4

In[9]:= a1 = FullSimplify@aD

Out[9]= − 23 + $% 3 %%% I%% 86965 %%%%%%%%%% %−%% % 376 %%%%%% è%%%!% 12099 !%!%!%!%!%%!%!!%!%!%! %M%%

Mathematica uprościła analizowane wyrażenia ale być może istnieje jeszcze prostsza jego postać. Aby to sprawdzić, stosujemy podobne postępowanie, jak poprzednio.

In[10]:= b = Sqrt@Hu− v Sqrt@ 12099 DL ^2D;Expand@b^2D

Out[10]= u^2 − 2 è! 12099 u v!!!!!!!!!!! + 12099 v^2

In[11]:= ukl = 8 3 86965  u^2 + 12099 v^2, 3376  2 u v<

Out[11]= 8260895  u^2 + 12099 v^2 , 1128  2 u v<

In[12]:= roz = Solve@uklD

Out[12]= ::u → − 12 è! 109 , v!!!!!!! → −

47 è! 109 !!!!!!! >,^ :u^ →^12

è! 109 , v!!!!!!! → 47 è! 109 !!!!!!! >,

:u → − 47 è! 111 , v!!!!!!! → − 4 $%%%%%%%%

3 37

, :u → 47 è! 111 , v!!!!!!! → 4 $%%%%%%%%

3 37

In[13]:= b = b ê. roz@@ 2 DD

Out[13]= − 12 è! 109 !!!!!!! + 47 è!! 111 !!!!!!

In[14]:= a2 = − 23 + b H∗ Odpowiedź ∗L

Out[14]= − 23 − 12 è! 109 !!!!!!! + 47 è! 111 !!!!!!!

1.1. Podstawowe zbiory liczbowe 13

In[10]:= c1=Collect[c1,Sqrt[11]]

Out[10]= p^4 + 66 p^2 q^2 + 121 q^4 + è! 11 !!!!! H4 p^3 q + 44 p q^3 L

In[11]:= lista1={Drop[c1,-1],c1[[-1,2]]}

Out[11]= 8 p^4 + 66 p^2 q^2 + 121 q^4 , 4 p^3 q + 44 p q^3 <

In[12]:= {a1=a[[1]],b1=b[[1]]}

Out[12]= 94820156 + 1132560 è! 11 , 4820156!!!!! − 1132560 è!! 11 !!!! =

In[13]:= lista2={Drop[a1,-1],a1[[2,1]]}

Out[13]= 8 4820156, 1132560<

In[14]:= lista3={Drop[b1,-1],b1[[2,1]]}

Out[14]= 8 4820156, − 1132560 <

In[15]:= rozw1=Solve[lista1==lista2]//Short

Out[15]//Short= : 8 p → −11, q → − 13 <, 8 p → − 11 , q → − 13 <, 13 ,

:p →

i

k

jjj jj^13 −^

è! 11 !!!!! +  $% 2 %%% I%% 90 %%%% %+%% % 13 %%%% %è%%%! 11 %!%!%!%!!% M%%^ y {

zzz zz H^1 L

1813460337000

, q →

1 2

i

k

jjj jj^13 −^

è! 11 !!!!! +  $% 2 %% %I%% 90 %%%%% +%% % 13 %%%% %è%%!% 11 !%!%!%%!! %M%%^ y {

zzz zz>>

In[16]:= rozw2=Solve[lista1==lista3]//Short

Out[16]//Short= : 8 p → −11, q → 13 <, 8 p → − 11 , q → 13 <, 12 , 1 ,

:p →

i

k

jjj jj^13 −^

è! 11 !!!!! +  $% 2 %%% I%% 90 %%%% %+%% % 13 %%%% %è%%%! 11 %!%!%!%!!% M%%^ y {

zzz zz H^1 L

1813460337000

, q → 1 2

i

k

jjj jj^13 −^

è! 11 !!!!! +  $% 2 %% %I%% 90 %%%%% +%% % 13 %%%% %è%%!% 11 !%!%!%%!! %M%%^ y {

zzz zz>>

In[17]:= (c/.rozw1[[1,1]])-(c/.rozw2[[1,1]]) ( Odpowiedź )

Out[17]= 22

Zwróćmy uwagę na nowe elementy, dzięki którym nie było konieczne „ręczne” edytowanie dużych liczb (In[46]- In[48]), jak również na celowość użycia komendy Short (In[49], In[45]). Zauważmy na koniec, że zdanie jest trywialne, jeżeli dysponujemy komendą FullSimplify.

In[18]:= FullSimplify@a− bD

Out[18]= 22

c) Przypuśćmy, że r =cos 10 ∈ Q. Pokażemy, że wtedy liczba 2 cos 450 dałaby się

przedstawić jako wartość pewnego wielomianu o współczynnikach całkowitych w punkcie r. Da to

sprzeczność, gdyż liczba 2 cos 450 = 2 jest niewymierna.

Dla dowolnej liczby ϕ mamy poniższe rozwinięcie:

In[19]:= z= TrigExpand@2 Cos@ 45 ϕDD êê Factor

Out[19]= 2 Cos@ϕD HCos@ϕD^2 − 3 Sin@ϕD^2 L HCos@ϕD^4 − 10 Cos@ϕD^2 Sin@ϕD^2 + 5 Sin@ϕD^4 L HCos@ϕD^6 − 33 Cos@ϕD^4 Sin@ϕD^2 + 27 Cos@ϕD^2 Sin@ϕD^4 − 3 Sin@ϕD^6 L HCos@ϕD^8 − 92 Cos@ϕD^6 Sin@ϕD^2 + 134 Cos@ϕD^4 Sin@ϕD^4 − 28 Cos@ϕD^2 Sin@ϕD^6 + Sin@ϕD^8 L HCos@ϕD^24 − 852 Cos@ϕD^22 Sin@ϕD^2 + 26562 Cos@ϕD^20 Sin@ϕD^4 − 288452 Cos@ϕD^18 Sin@ϕD^6 + 1465839 Cos@ϕD^16 Sin@ϕD^8 − 3852456 Cos@ϕD^14 Sin@ϕD^10 + @ D^12 @ D^12 @ D^10 @ D^14 @ D^8 @ D^16

14 Rozdział I. WIADOMOŚCI WSTĘPNE

H @ D @ D @ D @ D @ D @ D @ D @ D L H @ D @ D @ D @ D @ D @ D @ D @ D @ D @ D @ D 5407388 Cos@ϕD^12 Sin@ϕD^12 − 3994152 Cos@ϕD^10 Sin@ϕD^14 + 1475055 Cos@ϕD^8 Sin@ϕD^16 − 250372 Cos@ϕD^6 Sin@ϕD^18 + 15810 Cos@ϕD^4 Sin@ϕD^20 − 276 Cos@ϕD^2 Sin@ϕD^22 + Sin@ϕD^24 L

Skorzystajmy z jedynki trygonometrycznej, co pozwoli na uzyskanie poszukiwanej reprezentacji

wartości z = 2.

In[20]:= z = zê. Sin@ϕD^p_ → H 1 − Cos@ϕD^2L^Hp ê 2 L êê Expand

Out[20]= 90 Cos@ϕD − 30360 Cos@ϕD^3 + 3060288 Cos@ϕD^5 − 145728000 Cos@ϕD^7 + 3999424000 Cos@ϕD^9 − 70680729600 Cos@ϕD^11 + 862667366400 Cos@ϕD^13 − 7624336343040 Cos@ϕD^15 + 50455166976000 Cos@ϕD^17 − 256111607808000 Cos@ϕD^19 + 1014689798553600 Cos@ϕD^21 − 3176420238950400 Cos@ϕD^23 + 7919874462449664 Cos@ϕD^25 − 15794621435084800 Cos@ϕD^27 + 25209149482598400 Cos@ϕD^29 − 32094229018705920 Cos@ϕD^31 + 32337367117332480 Cos@ϕD^33 − 25435105564557312 Cos@ϕD^35 + 15276339678412800 Cos@ϕD^37 − 6761996510822400 Cos@ϕD^39 + 2078076976496640 Cos@ϕD^41 − 395824185999360 Cos@ϕD^43 + 35184372088832 Cos@ϕD^45

In[21]:= z= zê. Cos@ϕD → r

Out[21]= 90 r− 30360 r^3 + 3060288 r^5 − 145728000 r^7 + 3999424000 r^9 − 70680729600 r^11 + 862667366400 r^13 − 7624336343040 r^15 + 50455166976000 r^17 − 256111607808000 r^19 + 1014689798553600 r^21 − 3176420238950400 r^23 + 7919874462449664 r^25 − 15794621435084800 r^27 + 25209149482598400 r^29 − 32094229018705920 r^31 + 32337367117332480 r^33 − 25435105564557312 r^35 + 15276339678412800 r^37 − 6761996510822400 r^39 + 2078076976496640 r^41 − 395824185999360 r^43 + 35184372088832 r^45

1.1.8. Zadanie. Obliczyć przybliżoną wartość liczby

50 0

121. 13 arctg^327.^8 (^3 5 )

sin 16. 7 ctg

log 17. 261 1

 

π e

z dokładnością domyślną. Czy możliwe jest obliczenie tej liczby z dokładnością do 50 cyfr znaczących? Rozwiązanie. Podczas edycji skomplikowanego wyrażenia matematycznego istnieje duże ryzyko popełnienia błędu i dlatego w takich przypadkach warto skorzystać z funkcji Hold lub HoldForm, które blokują wykonanie wszelkich operacji arytmetycznych, zezwalając jednocześnie na doprowadzenie danego wyrażenia do postaci tradycyjnej. Po upewnieniu się, że ma ono poprawną postać, zwalniamy blokadę przy pomocy funkcji ReleaseHold lub w inny sposób, na przykład poprzez wykasowanie wspomnianych komend Hold lub HoldForm.

In[1]:= s=(((Pi+(Log[5,17.261]+1)/(5.712^4-500.32)^(1/5)))^(1/3)+ E^ArcTan[327.8/121.13])/(Sqrt[Sin[16.7 Degree]]+Sqrt[Cot[3Pi/7]])^50//Hold

Out[1]= HoldB

Jπ + Log@5,17.261D+^1 I5.712^4 −500.32M^1 ê^5

N^1 ê^3 + ArcTanB^

121.13F

i

k

jjj j

è! Sin!!!!!!@!!16.7 °!!!!!!!!!!!D!!! + $%Cot%%%%%%A%% % (^3) %% (^) %π%%%%% 7 E^

y

{

zzz z

50 F

Out[55]= HoldB

Jπ + Log@5,17.261D+^1 I5.712^4 −500.32M^1 ê^5

N^1 ê^3 + ArcTanB^

121.13F

i

k

jjj j

è! Sin!!!!!!@!!16.7 °!!!!!!!!!!!D!!! + $%Cot%%%%%%A%% % (^3) %% (^) %π%%%%% 7 E^

y

{

zzz z

50 F

16 Rozdział I. WIADOMOŚCI WSTĘPNE

loną przyporządkowaniem

x

x x x sin 2

a

i następnie znajdźmy jej wartości w punktach x 1 (^) = a − 1 i. (^212)

π x = Najpierw dwukrotnie zastosujemy

„własne” funkcje, potem „własne” wyrażenia.

In[1]:= f[x_]=(x^2+3x-1)/Sqrt[Sin[2x]]//Simplify

Out[1]=

− 1 + 3 x + x^2 è!Sin!!!!!!@!!2 x!!!!!D!!!

In[2]:= {f[a-1],f[Pi/12]}

Out[2]= : −^1 +^3 H−^1 +^ aL^ +^ H−^1 +^ aL

2 è!Sin!!!!!!@!! 2 !!! H!!−!! 1 !!! !+! !a!!L!!D!!^ ,^

è! 2 !!! i k

jj− 1 + π 4

• π

2 144

y {

zz>

In[3]:= g[x_]:=(x^2+3x-1)/Sqrt[Sin[2x]]//Simplify

In[4]:= {g[a-1],g[Pi/12]}

Out[4]= :

− 3 + a + a^2 è!Sin!!!!!!!@! 2 !!! H!!−!!! 1 !! +!! !a!!L!!D!!^ ,^

− 144 + 36 π + π^2 72 è! 2 !!!

In[5]:= w=(x^2+3x-1)/Sqrt[Sin[2x]]//Simplify

Out[5]= −^1 +^ 3 x^ +^ x

2 è!Sin!!!!!!@!!2 x!!!!!D!!!

In[6]:= w/.x->{a-1,Pi/12}

Out[6]= :

− 1 + 3 H− 1 + aL + H− 1 + aL^2 è!Sin!!!!!!@!! 2 !!! H!!−!! 1 !!! !+! !a!!L!!D!!^ ,^

è! 2 !!! i k

jj− 1 + π 4

π^2 144

y {

zz>

In[7]:= v:=(x^2+3x-1)/Sqrt[Sin[2x]]//Simplify

In[8]:= v/.x->{a-1,Pi/12}

Out[8]= :

− 1 + 3 H− 1 + aL + H− 1 + aL^2 è!Sin!!!!!!@!! 2 !!! H!!−!! 1 !!! !+! !a!!L!!D!!^ ,^

è! 2 !!! i k

jj− 1 + π 4

π^2 144

y {

zz>

In[9]:= Simplify[%]

Out[9]= :

− 3 + a + a^2 è!Sin!!!!!!!@! 2 !!! H!!−!!! 1 !! +!! !a!!L!!D!!^ ,^

− 144 + 36 π + π^2 72 è! 2 !!!

Zwróćmy uwagę na fakt nie zadziałania komendy Simplify w poleceniu In[8], co jest zaska- kujące z uwagi na sposób wprowadzenia obiektu v (patrz In[7], In[9]). Jest to konsekwencja niuansów dotyczących kolejności wykonywania operacji przez program Mathematica, w tym przypad- ku komend Set oraz Simplify.

Niech f : X → Y będzie funkcją. Jeżeli zachodzi równość R (^) f = Y ,

to mówimy, że funkcja f jest suriekcją lub inaczej, że przekształca zbiór X na zbiór Y.

Jeżeli wyżej wymieniona funkcja f spełnia warunek

1.2. Pojęcie funkcji 17

( 1 2 ( 1 ) ( 2 )), 1 ,^2

x x f x f x x x X

∈ to mówimy, że funkcja f jest różnowartościowa lub, że jest ona iniekcją.

Funkcja, która jest jednocześnie suriekcją i iniekcją nazywa się bijekcją. W takim przypadku mówimy również, że funkcja f przekształca wzajemnie jednoznacznie zbiór X na zbiór Y.

1.2.2. Przykłady. a) Rozważmy funkcję f określoną przyporządkowaniem x a− 14 x^2 + 25 x + 561.

Jej naturalną dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych R. Znajdźmy jej zbiór wartości i sprawdźmy, czy jest ona różnowartościowa.

In[10]:= f[x_]=-14x^2+25x+

Out[10]= 561 + 25 x − 14 x^2 In[11]:= Solve[y==f[x],x]

Out[11]= ::x →

1 28

I 25 − è! 32041 !!!!!!!!!!! −!! !56 y!!!!!!! M>, :x →

1 28

I 25 + è!! 32041 !!!!!!!!!! −!! !56 y!!!!!!! M>>

In[12]:= Solve[32041-56y==0]

Out[12]= ::y → 32041 56

Stąd wynika, że y jest wartością funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy , 56

y ∈^ −∞ przy czym

każda wartość y mniejsza niż 56

jest przyjmowana w dwóch różnych punktach. Zatem funkcja f

nie jest różnowartościowa oraz. 56

=^ −∞

Rf

b) Przeanalizujmy w podobny sposób funkcję g zdefiniowaną „tradycyjnie” wzorem

. 17 61

x

x gx

Przeprowadzamy stosowne obliczenia.

In[13]:= g[x_]=(11x-29)/(17x+61)

Out[13]= −^29 +^11 x 61 + 17 x In[14]:= Solve[61+17x==0]

Out[14]= ::x → −

61 17

In[15]:= Solve[y==g[x],x]

Out[15]= ::x →

− 29 − 61 y − 11 + 17 y

In[16]:= Solve[-11+17y==0]

Out[16]= ::y →

11 17

Teraz jest oczywiste, że funkcja g jest różnowartościowa i przekształca wzajemnie jednoznacznie

zbiór 

R ^61 na zbiór. 17

\ 11

R 

1.2. Pojęcie funkcji 19

Niech dziedziną funkcji f : X → Y będzie podzbiór X zbioru liczb rzeczywistych o tej włas-

ności, że istnieje liczba T > 0 taka, że x ∈ X ⇔ x + T ∈ X.

Jeżeli ponadto spełniony jest warunek ( f ( x T ) f ( x )), x X

∈ to mówimy, że f jest funkcją okresową o okresie T. Jeżeli w zbiorze wszystkich okresów funkcji okresowej istnieje element najmniejszy, to nazywamy go okresem podstawowym tej funkcji.

1.2.6. Uwaga. Funkcje sinus, cosinus, cosecans i secans są okresowe o okresach podsta- wowych 2 π .Również funkcje tangens i cotangens są okresowe, ale ich okres podstawowy wynosi

π. Przykładem funkcji okresowej nie posiadającej okresu podstawowego jest dowolna funkcja stała

określona na R ; jej okresem jest bowiem dowolna liczba dodatnia.

1.2.7. Przykład. Oznaczmy symbolem [ x ] część całkowitą liczby x , tj. największą liczbę

całkowitą nie większą niż x. Zbadamy własności funkcji m : R → R , zwanej mantysą , określonej

wzorem m ( x )= x −[ x ].

Definiujemy funkcję m i sprawdzamy, że jest ona okresowa o okresie 1:

In[23]:= m[x_]=x-Floor[x]

Out[23]= x− Floor@xD

In[24]:= m[x+1]==m[x]//Simplify

Out[24]= True

Spróbujmy narysować wykres funkcji m :

In[25]:= Plot[m[x],{x,-2.5,2.5},AspectRatio->Automatic,PlotRange->{-0.2,1.2},Ticks->{Automatic,{1}}]

-2 -1 1 2

1

Out[25]=  Graphics 

Otrzymany wykres nie jest poprawny, co jest konsekwencją faktu, że program Mathematica oblicza wartości funkcji w ciągu wybranych punktów i na ich podstawie rysuje odpowiednią łamaną. Aby pokonać problem, posłużymy się drobnym „oszustwem” polegającym na zastąpieniu autentycznych wartości funkcji m w pobliżu kłopotliwych punktów całkowitych wartością urojoną I. Wykres tak zmodyfikowanej funkcji m , którą nazwiemy mm , będzie bardziej zbliżony do faktycznego wykresu funkcji m. Efektem ubocznym zastosowania liczby I jest pojawienie się komunikatów ostrzegających o niemożliwości narysowania odpowiednich fragmentów wykresu, na czym nam właśnie zależy.

In[26]:= mm[x_]=If[0<Ceiling[x]-x<0.005,I,m[x]]

Out[26]= If@ 0 < −x + Ceiling@xD < 0.005, , m@xDD

In[27]:= Plot[mm[x],{x,-2.5,2.5},AspectRatio->Automatic,PlotRange->{-0.2,1.2},Ticks-> {Automatic,{1}}] Plot ::plnr : mm@xD is not a machine −size real number at x = −2.0017. More… Plot ::plnr : mm@xD is not a machine −size real number at x = −0.000161777. More… Plot ::plnr : mm@xD is not a machine −size real number at x = 0.9973486146044231`. More… General ::stop : Further output of Plot ::plnr will be suppressed during this calculation. More…

20 Rozdział I. WIADOMOŚCI WSTĘPNE

-2 -1 1 2

1

Out[27]=  Graphics 

Zanotujmy poniższą, łatwą do udowodnienia, własność, która jest bardzo pomocna w badaniu okresowości funkcji:

1.2.8. Twierdzenie. Niech f : X → R ,gdzie X ⊂ R ,będzie funkcją okresową o okresie T

(o okresie podstawowym T 0 ). Wtedy

a) jeżeli liczba a ≠ 0 spełnia warunek x ∈ X ⇔ x + a ∈ X ,

to przyporządkowanie f 1 (^) : x a f ( x + a )

jest funkcją okresową o okresie T (o okresie podstawowym T 0 );

b) jeżeli zachodzi warunek x ∈ X ⇔− x ∈ X ,

to przyporządkowanie f (^) 2 : x a f (− x )

jest funkcją okresową o okresie T (o okresie podstawowym T 0 );

c) jeżeli liczba m > 0 spełnia warunek x ∈ X ⇔ mx ∈ X ,

to przyporządkowanie f (^) 3 : x a f ( mx )

jest funkcją okresową o okresie m

T

(o okresie podstawowym m

T 0

1.2.9. Przykład. Zbadamy okresowość funkcji f zdefiniowanej podanym wzorem.

a) 7. 11

11 3 sin 7

( ) cos^2 + 

+ ^ +

f x = ^ x + x

Dziedziną funkcji jest cały zbiór liczb rzeczywistych R. Z uwagi na tożsamość trygonometryczną

1 cos 2 cos^2

α α

oraz twierdzenie 1.2. 8, wyrażenie podpierwiastkowe jest sumą funkcji okresowej o okresie 7 π,

funkcji okresowej o okresie 3

22 π oraz funkcji stałej, której okresem jest każda liczba dodatnia.

Dlatego funkcja f jest okresowa, a jej okres jest najmniejszą wielokrotnością liczb 7 π i : 3

22 π

In[28]:= LCM[7,22/3] Pi

Out[28]= 154 π

Sprawdźmy, czy rzeczywiście 154 π jest okresem funkcji f.

In[29]:= f@x_D = Sqrt@Cos@xê 7 + 11 D ^2+ 3 Sin@H 3 x + 7 L ê 11 D^3 + 7 D;

In[30]:= f@x+ 154 PiD − f@xD êê Simplify

Out[30]= 0