Zbiór zadań z matematyki dla studentów SGH - Prof. Boratyńska, Ćwiczenia z Matematyka

Pobierz Zbiór zadań z matematyki dla studentów SGH - Prof. Boratyńska i więcej Ćwiczenia w PDF z Matematyka tylko na Docsity!

ZBIÓR ZADAŃ

Z MATEMATYKI

##7#52#aMjQxMTcyMTNBMzUzMDMyMw== ##7#52#aMjQxMTcyMTNBMzUzMDMyMw==

Plik zabezpieczony watermarkiem jawnym i niejawnym: 24117213A ##7#52#aMjQxMTcyMTNBMzUzMDMyMw== ##7#52#aMjQxMTcyMTNBMzUzMDMyMw==

Recenzje Wojciech Niemiro, Konrad Furmańczyk

© Copyright by Agata Boratyńska & Szkoła Główna Handlowa w Warszawie, Warszawa 2024 Wszelkie prawa zastrzeżone. Kopiowanie, przedrukowywanie i rozpowszechnianie całości lub fragmentów niniejszej publikacji bez zgody wydawcy zabronione.

Wydanie I

ISBN 978-83-8030-693-

Oficyna Wydawnicza SGH – Szkoła Główna Handlowa w Warszawie 02-554 Warszawa, al. Niepodległości 162 www.wydawnictwo.sgh.waw.pl e-mail: [email protected]

Projekt i wykonanie okładki Magdalena Limbach

Skład i łamanie Agata Boratyńska

Druk i oprawa QUiCK DRUK

Zamówienie 96/IX/

Plik zabezpieczony watermarkiem jawnym i niejawnym: 24117213A ##7#52#aMjQxMTcyMTNBMzUzMDMyMw== ##7#52#aMjQxMTcyMTNBMzUzMDMyMw==

Spis treści

• Przedmowa
  • 1. Granica ciągu
  • 2. Granica i ciągłość funkcji, asymptoty
  • 3. Pochodna funkcji i jej zastosowania
  • 4. Wektory, prosta, płaszczyzna
  • 5. Działania na macierzach
  • 6. Wyznaczniki
  • 7. Układy równań liniowych
  • 8. Funkcje wielu zmiennych
  • 9. Całka nieoznaczona i oznaczona
• 10. Przykładowe zadania egzaminacyjne
• Odpowiedzi - Plik zabezpieczony watermarkiem jawnym i niejawnym: 24117213A

Przedmowa

Niniejszy zbiór zadań z matematyki stanowi uzupełnienie podręcznika M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes i J. Kłopotowskiego Matematyka , zawie- rającego materiał z zakresu matematyki obowiązujący studentów pierwszego roku studiów licencjackich w Szkole Głównej Handlowej w Warszawie. Pro- gram zajęć obejmuje podstawowe zagadnienia, które należą do minimum wy- kształcenia matematycznego absolwentów wielu kierunków studiów (oferowa- nych nie tylko przez SGH). Prezentowany zbiór zawiera wiele zadań (w więk- szości z odpowiedziami, przykłady zadań z pełnymi rozwiązaniami można znaleźć w wymienionym wyżej podręczniku) z zakresu analizy funkcji jednej zmiennej, analizy funkcji wielu zmiennych, całki nieoznaczonej i oznaczonej, podstaw algebry liniowej, a zatem zagadnień, które są podstawą narzędzi ma- tematycznych wykorzystywanych w statystycznej analizie danych, statystyce matematycznej, ekonometrii i optymalizacji. Mam nadzieję, że poniższy zbiór zadań będzie znaczącą pomocą dydak- tyczną dla studentów (do ćwiczeń, prac domowych i nauki we własnym zakre- sie), pozwalającą zrozumieć i utrwalić, poprzez rozwiązywanie zadań, wpro- wadzany na zajęciach z matematyki materiał. Ma on służyć również spraw- dzeniu nabytych umiejętności. Ostatni rozdział zawiera przykłady zadań z ko- lokwiów i egzaminów z kilku ostatnich lat.

Plik zabezpieczony watermarkiem jawnym i niejawnym: 24117213A ##7#52#aMjQxMTcyMTNBMzUzMDMyMw== ##7#52#aMjQxMTcyMTNBMzUzMDMyMw==

Plik zabezpieczony watermarkiem jawnym i niejawnym: 24117213A ##7#52#aMjQxMTcyMTNBMzUzMDMyMw== ##7#52#aMjQxMTcyMTNBMzUzMDMyMw==

10 1. Granica ciągu

1.3. Obliczyć granice ciągów lub uzasadnić, że granica nie istnieje, jeśli an jest równe:

a) n

(^3) − 6 n (^2) + √n − 4 n^3 +3 n− 5 ;^ b)^

n− ( − 1) n n +2 ;^ c)^

( n +1)^2 +( n− 1)^2 2 n− 1 ;

d) ( n +2)

(^3) − ( n− 2) 3 (2 n +1)^2 ;^ e)^

1 n −^ 3 4^ n^3 n^2 −^ n^2 ;^ f)^

3 n +2 n +2+( − 1) n 3 n +1+2 · 2 n^ ;

g) (^

1 3 ) n−^ 1 2 n ( 14 ) n + (^21) n^ ;^ h)^

3 n− 3 · 22 n +1+( − 0 , 5) n 3 n−^1 − 4 n^ ;^ i)^

cos n^3 n +1 ;

j) ( − 1)

n + n + 2;^ k)^

3 n + 2 −

3 n ; l)

n^2 + 2 n − n ;

m) 1+3+5+ √ 3 n 2 ... +3+(2 n +1 n− 1); n)

√ n^3 +5 n ( n− 2)^4 − 3 n ( n +3)^2 ( n^2 + n ) ;^ o)^

1+( − 2) n 3+2 n +1^ ;

p) 1 + (^) nn +3 cos( n π 2 ); q) 33 / ( n +5); r) n

√ 2 n +3 + 1;

s) n √ n^3 − n (^12)

• 3 n^5 ; t) n

6 · 2 n^ + 5 n^ − 9; u) n

4 n^ − 2 · 3 n−^1 ;

v) n

√( 1 2

) n

• 5

( 1 3

) n ; x) n

3 · 22 n^ + 3 n +1; y) 101 ··^113 · 5 ·^12 ·...··... (2 ·n ( n− +9)1).

1.4. Obliczyć granice ciągów lub uzasadnić, że granica nie istnieje, jeśli an jest równe:

a)

( 1 − (^) 32 n

) n ; b)

( n + n− 2

) 3 n ; c)

( 3 n− 2 3 n +

) 2 n− 4 ;

d)

( n^2 + n^2 +

) n (^2) − 1 ; e)

( 1 −n n− 2

) 3 n ; f)

( 2 n− 1 2 n +

) − 2 n + ;

g)

( 3 n− 2 n +

) 2 n + ; h)

( 1 , 000001 − (^) 31 n

) n ; i)

( 0 , 99999 + (^100) n

) n ;

j)

( 1 − (^) 31 n

) 1010 ; k) (1 + cos( nπ )) n ; l)

( 1 + sin( n^

π 2 ) n

) n .

1.5. Wyznaczyć granice ciągów ( an ) w zależności od wartości parametru t ∈ R, jeśli: a) an =

1 + tn , t − 1; b) an = n

1 + tn ;

c) an = n

1 + sin t ; d) an = (1 + 2 cos t ) n , t ∈ [0 , 2 π ];

e) an =

( tn− 2 2 n +

) n + ; f) an =

( 3 n + tn +

) 2 n− 1 .

Plik zabezpieczony watermarkiem jawnym i niejawnym: 24117213A ##7#52#aMjQxMTcyMTNBMzUzMDMyMw== ##7#52#aMjQxMTcyMTNBMzUzMDMyMw==

1. Granica ciągu 11

1.6. Wskazać przykład ciągu ( an ) o wyrazach dodatnich malejącego i ogra- niczonego, takiego że ciąg o wyrazie ogólnym xn = ( − 1) nan jest: a) zbieżny, b) rozbieżny.

1.7. Niech a 1 = 1 i an +1 =

1 + an dla n = 1 , 2 ,... Udowodnić, że ciąg ( an ) jest zbieżny i wyznaczyć jego granicę.

1.8. Niech a 1 = 1 i an +1 =

2 an dla n = 1 , 2 ,... Udowodnić, że ciąg ( an ) jest zbieżny i wyznaczyć jego granicę.

Plik zabezpieczony watermarkiem jawnym i niejawnym: 24117213A ##7#52#aMjQxMTcyMTNBMzUzMDMyMw== ##7#52#aMjQxMTcyMTNBMzUzMDMyMw==

Rozdział 2

Granica i ciągłość funkcji,

asymptoty

2.1. Obliczyć granicę:

a) (^) x lim → 1^ x (^2) − 1 x^2 − 4 x +3 ;^ b)^ x lim →− 2

2 −|x| x +2 ;^ c)^ x lim → 0

√x +1 − 1 x ;

d) lim x→ 0

√ 4 − 2 x−√ 4+ x x ;^ e)^ x lim → 3

√x +6 − 3 x− 3 ;^ f)^ x lim → 0

sin^2 x 1 − cos x ;

g) lim x→ 0

sin 4 x x ;^ h)^ x lim → 0

tg 3 x sin 2 x ;^ i)^ x lim →− 1

sin 2( x +1) sin 3( x +1) ;

j) (^) x→ lim+ ∞^4 x

(^3) − 4 √x + 2 x^3 − 3 x^2 − 7 ;^ k)^ x→−∞ lim

√x (^2) + x +1 ;^ l)^ x→ lim+ ∞

6 · 4 x− 3 x + 22 x +5 · 2 x +3 ;

m) lim x→ + ∞ (2 x +1^ − 3 x ); n) lim x→ + ∞

2 x^2 +cos x x− 2 cos x ;^ o)^ x→−∞ lim

3 2 −x ;

p) (^) x→ lim+ ∞ ln( x +5)+5^3 ; r) (^) x→ lim+ ∞^ arc tg 2 x +1^ x ; s) (^) x→ lim+ ∞^ cos(3 x (^2) −x 5 ) ;

t) lim x→ 0 x sin (^) x^1 ; u) (^) x→ lim+ ∞ ex (^2) −x ; v) lim x→ 2 exp

( − 2 | 2 −x|

) .

2.2. Uzasadnić, że granica nie istnieje:

a) lim x→− 1

2 x +1 ;^ b)^ x lim → 1

x^2 + 1 −x ;^ c)^ x lim → 0 cos^

1 x ;

d) lim x→ 3 exp

( − (^) x−^23

) ; e) lim x→ + ∞ (sin(2 x ) + 1); f) lim x→ 2

x− 2 | 2 −x|.

Plik zabezpieczony watermarkiem jawnym i niejawnym: 24117213A ##7#52#aMjQxMTcyMTNBMzUzMDMyMw== ##7#52#aMjQxMTcyMTNBMzUzMDMyMw==

14 2. Granica i ciągłość funkcji, asymptoty

2.3. Obliczyć granicę w zależności od wartości parametru a ∈ R:

a) (^) x lim →ax (^2) −aa 2 ; b) (^) x→ lim+ ∞ (1 + a ) x, a − 1; c) (^) x lim →a 2

1 a−x (^).

2.4. Obliczyć granicę:

a) lim x→ + ∞

( x + x +

) 2 x + ; b) lim x→ + ∞

( 3 x− 2 x +

) 2 x + ; c) lim x→ 0

( 3 − 2 x 3

) (^2) x + ;

d) lim x→ 0

( (^) t + x 2

) (^) x^1 + w zależności od t > 0.

2.5. Zbadać ciągłość funkcji:

a) f ( x ) =

  

2 x +2^ gdy x ¬ − 2 , x^2 + x − 1 gdy x ∈ ( − 2 , 0] , 2 x sin(3 x ) gdy^ x^ ∈^ (0 ,^ + ∞ );

b) f ( x ) =

{ x cos (^1) x gdy x 6 = 0 , 0 gdy x = 0;

c) f ( x ) =

{ arc tg

( 1 x− 1

) gdy x < 1 , ln x gdy x 1;

d) f ( x ) =

{ exp

( 1 4 −x

) gdy x < 4 , x^2 − 2 gdy x 4_._

2.6. Dla jakiej wartości parametru a ∈ R funkcja f jest ciągła, jeśli:

f ( x ) =

{ (^) ax + √^ x−^3 gdy^ x^ ¬^^2 , x^2 − 4 + 2 gdy x > 2_._

2.7. Wyznaczyć dziedzinę i równania asymptot wykresu funkcji f , okre- ślonej wzorem:

a) f ( x ) = x 2 x− 3 ;^ b)^ f^ ( x ) = 3 x^ +^

1 x^2 +2 x− 3 ; c) f ( x ) = x −

x ; d) f ( x ) =

4 − x^2 ;

e) f ( x ) = √ 41 −x 2 ; f) f ( x ) =

x^2 − 4;

g) f ( x ) = exp

( (^) |x| x− 3

) ; h) f ( x ) = 2 (^1) x

• 1;

i) f ( x ) = (^) ln( x (^1 x−e )) ; j) f ( x ) = exp

( −x^2 + x

) − 2_._

Plik zabezpieczony watermarkiem jawnym i niejawnym: 24117213A ##7#52#aMjQxMTcyMTNBMzUzMDMyMw== ##7#52#aMjQxMTcyMTNBMzUzMDMyMw==

Plik zabezpieczony watermarkiem jawnym i niejawnym: 24117213A ##7#52#aMjQxMTcyMTNBMzUzMDMyMw== ##7#52#aMjQxMTcyMTNBMzUzMDMyMw==

Rozdział 3

Pochodna funkcji i jej

zastosowania

3.1. Wyznaczyć dziedziny funkcji i, korzystając ze wzorów na pochodne, wyznaczyć pochodne funkcji f , jeśli f ( x ) jest równa:

a) 3 x^2 + (^) x^32 − 2

x ; b) 2 3

x + 4 sin x + 2; c) (2 x − 3) ex ;

d) 4 x^3 −^4

x ln x − ex ; e) x (^2) + √x + 2 x

• 1; f) 3 sintg x^ x− +2 1 ;

g)

( x^4 − 2 x

) 9 − 2; h) ln( x^2 + x + 1); i) exp( x^3 − 2 x );

j) sin( x

(^3) )+ sin^2 x + x ;^ k)^

x arc tg( x^2 + 1); l) arc tg

x^2 + 1;

m)

√ x +

2 x − 1; n)

√ 2 x + 3 x^2 +1 ;^ o)^

√ ln( x^2 + 2)^3 ;

p) cos^2 (3 x ) + sin^3 (2 x ); r) (sin x + cos(3 x ))^6 ; s) (^) (2ln(2 x (^2) −x 1)) − (^4) −x 16 ;

t) cos

( 1 −e^3 x 1+ e^3 x

)

• tg(3 x ); u) arc sin( (^) 1+^2 xx 2 ); v) ln(2 x ) e−^3 x +1.

3.2. Korzystając z liniowej aproksymacji funkcji f w otoczeniu punktu x 0 , oszacować y , jeśli:

a) f ( x ) =

1 − x , x 0 = 0, y =

b) f ( x ) = e^2 x , x 0 = 0, y = e^0 ,^1 ; c) f ( x ) = x^4 , x 0 = 2, y = (1 , 99)^4.

Plik zabezpieczony watermarkiem jawnym i niejawnym: 24117213A ##7#52#aMjQxMTcyMTNBMzUzMDMyMw== ##7#52#aMjQxMTcyMTNBMzUzMDMyMw==

3. Pochodna funkcji i jej zastosowania 19

w punkcie x 0 = 0. Wyznaczyć pochodną funkcji f w punktach, w których istnieje.

3.8. Funkcje f i g są określone wzorami:

f ( x ) = x|x|, g ( x ) =

9 + x

a) Wyznaczyć dziedziny funkcji f , g i funkcji h = g ◦ f. b) Wyznaczyć punkty, w których styczna do wykresu funkcji g jest rów- noległa do prostej o równaniu y = −x. c) Zbadać różniczkowalność funkcji h i wyznaczyć pochodną w punktach, w których istnieje.

3.9. Obliczyć granicę: a) lim x→ 1

√ ln^ x x− 1 ;^ b)^ x lim → 0 +

ln x ctg(3 x ) ;

c) lim x→ 2

cos(2 −x ) − 1 x^2 − 4 ;^ d)^ x→ lim+ ∞

ln(3 x +4) 2 x− 3 ;

e) lim x→ + ∞

x^2 +ln x 2 x^2 − 3 ;^ f)^ x→ lim+ ∞

e^2 x + x^2 + x− 3 ;

g) lim x→ 3 +

( x − 3) exp

( 1 x− 3

) ; h) lim x→ 0 +^

x ln x ;

i) lim x→ + ∞ x^2 e−^4 x +3; j) lim x→ 0

( 1 1 −ex^ +^

1 x

) ;

k) lim x→ 0

1 x −^

1 tg x ;^ l)^ x→−∞ lim (ln^ |x|^ +^ x );

m) (^) x→ lim+ ∞ x √^1 x ; n) lim x→ π 4^ −

(tg x )tg(2 x );

o) lim x→ 0 x^2 ln(1 + (^) x^12 ); p) (^) x→ lim+ ∞^ x +sin 3 x^ x ;

q) lim x→ π 2^ −^

tg x

1 − sin x ; r) lim x→ + ∞

√ x^2 + x.

UWAGA: Czy w podpunktach p), q), r) warto stosować regułę de l’Hospitala?

3.10. Obliczyć elastyczność funkcji f w podanym punkcie, jeśli:

a) f ( x ) =

x^2 − 2 x , x 0 = 3;

b) f ( x ) = e−^2 x , x 0 = 4;

c) f ( x ) = 3 x

(^13) , x 0 = 8.

Plik zabezpieczony watermarkiem jawnym i niejawnym: 24117213A ##7#52#aMjQxMTcyMTNBMzUzMDMyMw== ##7#52#aMjQxMTcyMTNBMzUzMDMyMw==

20 3. Pochodna funkcji i jej zastosowania

3.11. Wyznaczyć cenową elastyczność popytu dla ceny p 1 = 10 i p 2 = 20, jeżeli zależność popytu od ceny towaru wyraża się wzorem:

f ( p ) = p +

p

3.12. Zbadać ciągłość i wyznaczyć równania asymptot wykresu funkcji f , określonej wzorem:

a) f ( x ) =

{ x− 2 ln x gdy^ x^ ∈^ (0 ,^ 1)^ ∪^ (1 ,^ + ∞ ) , x + xex^ gdy x ¬ 0;

b) f ( x ) = x ln

( 1 x +^ e

) ;

c) f ( x ) = (^) exx +1 − 1 ;

d) f ( x ) =

{ √x− 1 ln x gdy^ x >^^1 , (3 x + 1) e−x 2 gdy x ¬ 1;

e) f ( x ) =

{ x exp

( 1 x− 2

) gdy x < 2 , x− 2 2 x +3 arc tg( x^ −^ 1)^ gdy^ x^ 2;

f) f ( x ) =

{ ln |x| arc tg x gdy x < 0 , x√√x− 8 x +2 gdy^ x^^0_._ 3.13. Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji f , określonej wzorem:

a) f ( x ) = 15 x^5 −^14 x^4 −^13 x^3 + 12 x^2 + 5; b) f ( x ) =

x^2 − 4 x ;

c) f ( x ) = (^) 1+ x|x| ; d) f ( x ) = (^1) x ex 2 ;

e) f ( x ) = exp ( x ( |x| − 2)); f) f ( x ) = ln x^2 x ;

g) f ( x ) = ln^2 x − ln x + 2; h) f ( x ) = 2 − |x ln x| ;

i) f ( x ) = (^) ln^1 x + ln x + 1; j) f ( x ) = x 4 exp( 13 x^3 − 1).

3.14. Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji f na zbiorze A :

a) f ( x ) = (^) xx 2 − +3^1 i A = [ − 2 , 0];

b) f ( x ) = ( x^2 + 2 x − 7) e|x|^ i A = [ − 4 , 2];

c) f ( x ) = (ln^ x )

2 2 x i^ A^ = [1 , e

3 ].

Plik zabezpieczony watermarkiem jawnym i niejawnym: 24117213A ##7#52#aMjQxMTcyMTNBMzUzMDMyMw== ##7#52#aMjQxMTcyMTNBMzUzMDMyMw==