Pobierz Materiały do wykładów i ćwiczeń z ekonometrii - Notatki - Ekonometria i więcej Notatki w PDF z Ekonometria tylko na Docsity!

Mikołaj Rybaczuk

Wydział Zarządzania Politechniki Białostockiej Katedra Informatyki i Logistyki

MATERIAŁY DO WYKŁADÓW I ĆWICZEŃ

Z EKONOMETRII

Białystok 200 1

Definicja

Ekonometria jest nauką o metodach badania ilościowych prawidłowości występujących w zjawiskach ekonomicznych za pomocą aparatu matematyczno-statystycznego. Stara się znaleźć ilościowe relacje, w jakich zmiana jednych wielkości (odgrywających rolę przyczyn) prowadzi do zmiany innych wielkości (skutków) przy jednoczesnym wyeliminowaniu wpływu na skutki innych, ubocznych, czynników.

Warunki wstępne, które muszą być spełnione, by prawidło- wości ekonomiczne mogły być przedmiotem analizy ekono- metrycznej: a) prawidłowość ekonomiczna musi być stała w czasie lub ulegać nieznacznym i powolnym zmianom, b) wszystkie zjawiska uwzględniane w analizie ekonome- trycznej muszą być mierzalne, c) musi istnieć grupa czynników, których wpływ na badane zjawiska jest dominujący. Celem analizy jest szczegółowe wyodrębnienie wpływu każdego spośród czynników domi- nujących, podczas gdy wpływ czynników ubocznych (przypadkowych) jest ujmowany sumarycznie i interesuje nas jedynie rząd wielkości tego wpływu, d) dostępne są dane statystyczne dotyczące kształtowania się wyróżnionych czynników. Badania ekonometryczne opie- rają się zasadniczo na dwóch rodzajach danych:

• szeregach czasowych wartości poszczególnych zmien- nych;
• danych przekrojowych (ilustrujących kształtowanie się pewnych zmiennych u różnych jednostek interesującej nas zbiorowości w tym samym momencie czasu).

W modelach ekonometrycznych występują dwa rodzaje para- metrów:

• parametry strukturalne modelu – zależy od nich wartość funkcji f ;
• parametry rozkładu składnika losowego ε modelu.

Etapy budowy modelu

1. Sprecyzowanie zakresu badania

• prawidłowy dobór zmiennych endogenicznych i objaśnia- jących, Trzy sposoby podejścia: a) opieramy się na istniejącej teorii ekonomicznej; b) gdy teoria nie jest dostatecznie rozwinięta i szczegóło- wa – wychodzimy od materiału empirycznego. Szuka- my zmiennych, które są skorelowane ze zmiennymi endogenicznymi i są podstawy do przypuszczeń, że pozostają one ze zmiennymi endogenicznymi w związ- ku przyczynowo-skutkowym; c) gdy teoria nie wskazuje na zmienne, które odgrywają rolę przyczyn w stosunku do zmiennych endogenicz- nych – jako zmienne objaśniające wybiera się te, które silnie korelują ze zmiennymi endogenicznymi,
• wybór analitycznej postaci równań modelu.

2. Zebranie danych statystycznych (w postaci szeregów czaso- wych i danych przekrojowych ), na podstawie których można będzie oszacować parametry strukturalne modelu i parame- try składnika losowego. Problem danych niedostępnych.
3. Estymacja parametrów modelu.
4. Weryfikacja modelu – ocena sensowności parametrów strukturalnych i ocena, czy model z dostateczną dokładnoś- cią opisuje wahania zmiennych endogenicznych.
5. Praktyczne wykorzystanie modelu – ocena prawidłowości ilościowych w przeszłości lub wnioskowanie w przyszłość (predykcja).

Klasyfikacja modeli ekonometrycznych Z punktu widzenia walorów poznawczych: 1 ) modele przyczynowo-opisowe – między zmienną endoge- niczną a zmiennymi objaśniającymi (przyczynami) każdego równania zachodzą związki przyczynowo-skutkowe (np. Y

• dochód narodowy, X – zatrudnienie w sferze produkcji materialnej),

2. modele symptomatyczne – równania (ewentualnie niektóre z nich) nie mają interpretacji przyczynowo-skutkowej, rolę zmiennych objaśniających odgrywają zmienne silnie skore- lowane ze zmiennymi endogenicznymi (np. Y – dochód narodowy, X – liczba ludności w wieku produkcyjnym),
3. modele tendencji rozwojowych – opisują wahania zmien- nych endogenicznych w czasie z wyróżnieniem takich elementów jak trend, wahania periodyczne i przypadkowe.

Ze względu na czynnik czasu: 1 ) modele statyczne – zmienne występują bez opóźnień czaso- wych (wszystkie odnoszą się do tego samego okresu lub momentu czasu), w zbiorze zmiennych objaśniających nie występuje zmienna czasowa t ,

2. modele dynamiczne – pokazują rozwój zmiennych endoge- nicznych w czasie (model trendu, model autoregresyjny).

Ze względu na złożone powiązania między zmiennymi endo- genicznymi modelu: 1 ) modele proste,

2. modele rekurencyjne,
3. modele o równaniach współzależnych.

Ze względu na postać analityczną modelu: 1 ) modele liniowe,

2. modele nieliniowe.

Przykład: Y – liczba studentów studiów dziennych w tys. osób (w latach 1 965-89), X 1 – dynamika dochodu narodowego (ceny stałe – 1 950= 1 00), X 2 – liczba miejsc w domach studenckich w tys., X 3 – liczba ludności w wieku 20-24 lata w tys. osób, X 4 – dynamika płac realnych (ceny stałe, 1 950= 1 00), X 5 – liczba ludności z wykształceniem wyższym w tys. Wybrać optymalny podzbiór zmiennych. Y Lata X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 Y 1 ,000 0,750 0,94 1 0,933 0,70 1 0,928 0,7 10 LATA 0,750 1 ,000 0,850 0,9 17 0, 1 29* 0,674 0, X 1 0,94 1 0,850 1 ,000 0,932 0,5 11 0,897 0,8 18 X2 0,933 0,9 17 0,932 1 ,000 0,454 0,834 0, X3 0,70 1 0, 1 29* 0,5 11 0,454 1 ,000 0,602 0,047* X4 0,928 0,674 0,897 0,834 0,602 1 ,000 0, X5 0,7 10 0,992 0,8 18 0,899 0,047* 0,648 1 , Podzbiory (zawęzimy do X 1 -X 3 ): C 1 :{X 1 }; C 2 :{X 2 }; C 3 : {X 3 }; C 4 :{X 1 ,X 2 }; C 5 :{X 1 ,X 3 }; C 6 :{X 2 ,X 3 }; C 7 :{X 1 ,X 2 ,X 3 } h 11 =0,94 12 / 1 =0,885; H 1 =0, h 22 =0,933^2 / 1 =0,870; H 2 =0, h 33 =0,70 12 / 1 =0,49 1 ; H 3 =0,49 1 h 41 =0,94 12 /( 1 +0,932)=0,458; h 42 =0,933^2 /( 1 +0,932)=0,45 1 ; H 4 =0, h 51 =0,94 12 /( 1 +0,5 11 )=0,576; h 53 =0,70 12 /( 1 +0,5 11 )=0,325; H 5 =0,90 1 h 62 =0,933^2 /( 1 +0,454)=0,599; h 63 =0,70 12 /( 1 +0,454)=0,338; H 6 =0, h 71 =0,94 12 /( 1 +0,932+0,5 11 )=0,362; h 72 =0,933^2 /( 1 +0,932+0,5 11 )=0,356; h 73 =0,70 12 /( 1 +0,932+0,5 11 )=0,20 1 ; H 7 =0,9 19

Wniosek: najlepszy podzbiór spośród X 1 , X 2 , X 3 : X 2 , X 3.

• metoda analizy grafów Testujemy testem t-Studenta dla współczynników korela- cji H 0 : rij ≠0 dla i ≠ j – można obliczyć wartość krytyczną współczynnika korelacji r*^ według wzoru:

W macierzy R zerujemy wszystkie współczynniki kore- lacji nie różniące się istotnie od zera, a następnie budu- jemy graf powiązań między zmiennymi. Wierzchołkami grafu są zmienne, a łączącymi je krawędziami – istotnie różne od zera współczynniki korelacji. Do modelu wybieramy po jednej zmiennej z każdej gru- py – tą, która jest najsilniej skorelowana ze zmienną endogeniczną. Przykład: Metodą grafów wybrać optymalny podzbiór zmiennych objaśniających, gdy dany jest krytyczny współczynnik korelacji r*=0,4 oraz macierze współczynników korelacji:

Zerujemy współczynniki nie różniące się istotnie od zera (r≤r*):

t

t r (^) n 2

2

(^2) α

α − +

=

−

−

− − −

− −

−

=













































−

−

=

1 , 00

1 , 00 0 , 12

1 , 00 0 , 15 0 , 07

1 , 00 0 , 10 0 , 30 0 , 25

1 , 00 0 , 30 0 , 40 0 , 10 0 , 45

1 , 00 0 , 60 0 , 15 0 , 20 0 , 50 0 , 43

1 , 00 0 , 12 0 , 07 0 , 50 0 , 40 0 , 06 0 , 17

oraz

0 , 15

0 , 20

0 , 15

0 , 50

0 , 70

0 , 25

0 , 85

R 0 R

[ ]

−

−

=

1 , 00

1 , 00

1 , 00

1 , 00

1 , 00 0 , 45

1 , 00 0 , 60 0 , 50 0 , 43

1 , 00 0 , 50

1 2 3 4 5 6 7

R

• macierz zaobserwowanych wartości zmiennych objaś- niających
• wektor składników losowych,
• wektor nieznanych parametrów modelu.

Uzyskujemy dwa warianty zapisu:

y t =α 0 +α 1 x 1 t +α 2 x 2 t +...+α k x kt +ε t , t = 1 ,2,..., n

lub macierzowo

y=X αααα + εεεε.

x x x × +

x x x

x x x

n n kn

k

k

! n k

1 2

12 22 2

11 21 1

X

ε ×

ε

ε

ε

n (^) n

2

1

1

α + ×

α

α

α

α

k (^) k

2

1

0

( 1 ) 1

Założenia klasycznej metody najmniejszych kwadratów: 1 ) zmienne objaśniające Xj są nielosowe i nieskorelowane ze składnikiem losowym ε;

2. rz( X ) = k + 1 ≤ n ;
3. E( ε)=0;
4. D^2 ( ε) = E( εεT^ ) = σ^2 I , σ^2 < ∞;
5. ε t : N(0,σ^2 ) dla t = 1 ,2,..., n.

Metoda najmniejszych kwadratów (MNK): Celem jest wyznaczenie ocen nieznanych parametrów α mo- delu za pomocą ich estymatorów a.

Wartości zmiennej objaśnianej obliczonej ze wzoru = a 0 + a 1 x 1 t + a 2 x2 t + ... + a k x kt , t = 1 , 2, ..., n nazywamy wartościami teoretycznymi (oczekiwanymi). W za- pisie macierzowym możemy zapisać:

Różnicę między wartościami empirycznymi y (^) t a teoretycznymi nazywamy resztą dla okresu t , co w zapisie macierzowym ma postać:

y^ ˆ t y^ ˆ t

Xa

a

a

a

1

1

1

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

n

2

1

1 2

12 22 2

11 21 1

=

























=

























=









































"

!

" " " # "

!

!

"

x x x

x x x

x x x

y

y

y

y

n n kn

k

k

n

2

1

y^ ˆ t

Xa

a

a

a

1

1

1

ˆ

ˆ

ˆ

n

2

1

1 2

12 22 2

11 21 1

= −

























= = = −

























































































































−

















































































y

x x x

x x x

x x x

y

y

y

y

y

y

y

y

y

e

e

e

e

n n kn

k

k

n

2

1

n

2

1

n

2

1

n

2

1

"

!

" " " # "

!

!

" " " "

X

X T

( ) 

























 − =





























−

X X

X X T^

T^1

( ) 



























 − =

0 1 0 1 1 1

X T^ X^ XT

1

( )

−

a (^) XT^ X^1 XTy

WERYFIKACJA JEDNORÓWNANIOWEGO

MODELU EKONOMETRYCZNEGO

A. Weryfikacja merytoryczna

1. Bada się zgodność znaków ocen parametrów z wiedzą ekonomiczną o modelowanym zjawisku. Ocena a (^) j para- metru strukturalnego αj mówi, o ile zmieni się wartość zmiennej X (^) j , przy której znajduje się parametr.

2. Jeżeli wiedza ekonomiczna nie wyjaśnia wystarczająco modelowanego zjawiska, wówczas sprawdzamy, czy model ekonometryczny jest koincydentny. Mówimy, że model jest koincydentny, gdy dla każdej zmiennej objaśniającej Xi spełniony jest warunek sgn ri = sgn ai.

3. Miarami dokładności dopasowania modelu do danych empirycznych jest współczynnik zbieżności ϕ^2

lub współczynnik determinacji R 2 określający, jaka część zmienności zmiennej objaśnianej Y jest wyjaśniona przez model:

R^2 jest liczbą z przedziału [0, 1 ]. Odpowiednią interpretację współczynnikowi R^2 można nadać tylko wtedy, gdy:

• model jest liniowy,
• model zawiera wyraz wolny,
• parametry modelu oszacowano metodą najmniejszych kwadratów.

ϕ 2 1 2

R = −

( )

( ) y y y

y y a X y

y y y

e e

T^2

T T T T^2

T

1

(^12)

2 2 n −n

−

−

= =

=

= n

t

n t

y y

y y

t

t t ϕ

Natężenie efektu katalizy mierzymy za pomocą miary: η = R^2 – H, gdzie H jest integralną pojemnością informacyjną zesta- wu zmiennych objaśniających modelu z metody Hellwi- ga doboru zmiennych do modelu. Spełniona jest nierówność 0 ≤ η ≤ 1. Do porównywania różnych modeli wygodne jest względne natężenie efektu katalizy:

B. Weryfikacja statystyczna

1. Analiza błędów oszacowań parametrów Estymatorem obciążonym wariancji składnika resztowe- go (losowego) S^2 jest:

lub nieobciążonym

Macierz kowariancji estymatora wektora parametrów a dana jest wzorem:

Szczególne znaczenie mają pierwiastki elementów z głównej przekątnej macierzy D^2 ( a )

nazywane średnimi błędami oszacowań parametrów mo- delu (odchyleniami standardowymi) oraz średnie względ- ne błędy oszacowań parametrów

ç 100 %.

R

W ç = 2 ⋅

1 1 ( T TXa

S ˆ y y y

1

2 2 2

∑ −^ −

−

= −

≈ = n k = t t n k

n

t

σ y y

( T T 1

1 1

1 Xa

Sˆ^ ˆ y y y

1

2 2 2

∑ −^ −

− −

= − −

≈ = n k = t t n k

n

t

σ y y

D (a) ó (X X) Sˆ (X X) d^ ( 1 )

2 2 T^12 T^1 ij (^) k + k +

− −

S a j = d jj , j =^0 ,^1 ,...,^ k

j k j

a j

a

S

⋅ 100 % = 0 , 1 ,...,

cd. przykładu ze str. 11

Błędy średnie (odchylenia standardowe) oszacowań parametrów:

[ ] =

















































































− − −

=

= − −

= −

208. 75

209. 25

210. 75

175

174. 25

152

210200 155 171 172 207 201 210 6 2 1

1

( T T ) 1

1 Sˆ^ y y y Xa

2 n k

( )























































 − =

D 2 (a) Sˆ^2 XTX^115.^75

D( (^) a 0 )= 15 , 75 = 3. 97 D(a 1 )= 1 , 97 = 1. 40 D(a 2 )= 19 , 69 = 4. 44

{ }

11. 8125

210200 210152. 75 15. 75 3

1

S

2

= − =

Do zweryfikowania hipotezy o istotności wszystkich zmiennych objaśniających w modelu podstawowym, czyli: H0: α 1 = α2= ... = αk=0 przy hipotezie alterna- tywnej H 1 : przynajmniej jeden z parametrów jest róż- ny od zera, stosujemy sprawdzian

gdzie R^2 – scentrowany współczynnik determinacji zbudowanego modelu. Zmienna losowa F ma rozkład F-Snedecora z (^) r 1 =k i r2=n-k- 1 stopniami swobody.

Test ten może być wykorzystany do oceny istotności współczynnika determinacji modelu, czyli H0: R^2 = przy konkurencyjnej hipotezie H 1 : R^2 ≠0.

c) test mnożnika Lagrange’a Jeżeli nie można przyjąć, że spełnione jest założenie

5. klasycznej metody najmniejszych kwadratów ze str. 1 0 dotyczące normalności składnika resztowego, to stosowany jest ten test do zweryfikowania hipotezy o istotności zestawu m zmiennych objaśniających rozszerzających model podstawowy, w którym już jest k zmiennych, czyli analogicznie jak w teście Walda H 0 : αk+ 1 = αk+2= ... = αk+m =0 przy hipotezie alternatyw- nej H 1 : co najmniej jeden z testowanych parametrów jest różny od zera. By zastosować ten test szacujemy parametry modelu podstawowego, obliczamy wektor składników reszto- wych, następnie szacujemy parametry i współczynnik determinacji R^2 modelu:

( 1 - R )/(n-k- 1 )

F R^ /

2

(^2) k

jt t t^ n

k m j

e â â j x h ,^1 ,^2 ,..., (^01) t =^ + ∑ + =

=

Dla n>30 statystyka (^) n ⋅R^2 ma rozkład (^) χ^2 z (^) m stopniami swobody. Jeżeli odrzucimy H0, to co najmniej jedna ze zmiennych rozszerzających powinna być włączona do modelu podstawowego.

3. Ocena liniowości modelu ekonometrycznego Do zweryfikowania hipotezy H0: oszacowany model ekonometryczny jest liniowy przy hipotezie alternatyw- nej H 1 : model nie jest liniowy, stosowany jest test serii Walda-Wolfowitza omówiony w ramach wykładu ze statystyki. Zasada: po uporządkowaniu ciągu reszt według wybra- nej zmiennej objaśniającej określamy stopień przemie- szania znaków dodatnich i ujemnych reszt. Resztom ujemnym przyporządkowujemy A, dodatnim – B i usta- lamy liczbę serii: ABBBABAAAABAABAAAABBBBBBAA Niech (^) r oznacza liczbę serii, (^) n 1 i (^) n 2 – liczbę symboli A i B. Jeżeli liczebności prób są mniejsze lub równe 20, musi- my skorzystać ze specjalnych tabel lub pakietów sta- tystycznych. Jeżeli n 1 i n 2 są większe niż 20, to rozkład liczby serii można przybliżyć rozkładem normalnym:

Sprawdzianem hipotezy H 0 jest statystyka

gdzie (^) r oznacza liczbę serii. Z tablic rozkładu N(0, 1 ) lub t-Studenta z ∞ liczbą stopni swobody odczytujemy wartość krytyczną (^) u α.

) ( ) ( 1 )

2 ( 2 ) ,

2 N( 1 (^1212)

2

1 2 1 2 1 2

1 2

1 2

'$&$% '$$ $$&$$ $ $% mr σ (^) r

n n n n

n n n n n n

n n

n n

• • −

− −

σ r

u obl= r^ − mr