MATERIAŁY POMOCNICZE DO MATURY Z MATEMATYKI, Publikacje z Geometria analityczna

Pobierz MATERIAŁY POMOCNICZE DO MATURY Z MATEMATYKI i więcej Publikacje w PDF z Geometria analityczna tylko na Docsity!

MATERIAŁY POMOCNICZE

DO MATURY

Z MATEMATYKI

1. Zbiory. Działania na zbiorach. Zbiór, element zbioru – pojęcia pierwotne. Jeśli x należy do ( jest elementem ) zbioru A, to piszemy x∈A, jeśli y nie należy do zbioru A, piszemy y∉A. Każdy zbiór jest wyznaczony przez swoje elementy. Zbiór skończony – zbiór o skończonej liczbie elementów. Zbiór pusty ( symbol ∅ ) – zbiór, do którego nie należy żaden element. Zbiór nieskończony – zbiór, który nie jest ani skończony, ani pusty.

Równość zbiorów: A = B ⇔ (dla każdego x : x∈A ⇔ x∈B )

Zawieranie się zbiorów, podzbiory: A ⊂ B ⇔ ( dla każdego x: x∈A ⇒ x∈B )

Zbiory rozłączne - zbiory nie mające żadnego elementu wspólnego.

Suma zbiorów A ∪∪∪∪ B: x∈A ∪ B ⇔ ( x∈A lub x∈B ) Iloczyn zbiorów A ∩∩∩∩ B: x∈A ∩ B ⇔ ( x∈A i x∈B )

Różnica zbiorów A \ B: x∈A \ B ⇔ ( x∈A i x∉B )

Dopełnienie zbioru A ( symbol A’ ): Jeśli wszystkie rozpatrywane przez nas zbiory są podzbiorami ustalonego zbioru X, to zbiór X nazywamy przestrzenią. Jeśli X jest przestrzenią i A ⊂ X, to A’ = X \ A

Iloczyn kartezjański ( produkt ) zbiorów A ×××× B: Parę elementów (x,y), w której wyróżniono element x jako pierwszy nazywamy parą uporządkowaną. ( x, y )∈A×B ⇔ ( x∈A i y∈B )

Zestawienie niektórych praw rachunku zbiorów:

nazwa prawa treść prawa przemienność dodawania (^) A ∪ B = B ∪ A przemienność iloczynu (^) A ∩ B = B ∩ A łączność dodawania (^) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) łączność iloczynu (^) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) rozdzielność mnożenia względem dodawania (^) (A ∪ B) ∩ C =(A ∩ C) ∪ (B ∩ C) rozdzielność dodawania względem mnożenia (^) (A ∩ B) ∪ C =(A ∪ C) ∩ (B ∪ C) prawa de’Morgana

(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’

(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’

3. Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową ( trójmianem kwadratowym ) nazywamy funkcję f określoną wzorem postaci f(x) =ax^2 +bx+c, gdzie a, b, c ∈ R i a ≠ 0. Kanoniczną postacią trójmianu kwadratowego nazywamy postać

2 a 4 a

b f(x) a x

2 ∆  − 

= ^ + ,

gdzie ∆ =b^2 -4ac. Liczbę ∆ nazywamy wyróżnikiem trójmianu. Miejsca zerowe funkcji kwadratowej:

• funkcja kwadratowa ma dwa różne miejsca zerowe x 1 , x 2 wtedy i tylko wtedy, gdy ∆>0, wtedy

2 a

b x 1

2 a

b x (^2)

• funkcja kwadratowa ma dokładnie jedno miejsce zerowe x 1 wtedy i tylko wtedy, gdy ∆=0,

2 a

b x 1 = − ,

• funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych wtedy i tylko wtedy, gdy ∆<0. Iloczynowa postać funkcji kwadratowej:
  • jeżeli ∆>0, to trójmian kwadratowy y = ax^2 +bx+c (a≠0) można przedstawić w postaci iloczynu y = a(x-x 1 )(x-x 2 ), gdzie x 1 , x 2 oznaczają miejsca zerowe trójmianu;
• jeżeli ∆=0, to trójmian kwadratowy y= ax^2 +bx+c (a≠0) można przedstawić w postaci iloczynu y = a(x-x 1 )^2 , gdzie x 1 jest miejscem zerowym trójmianu. Wzory Viete’a Jeżeli trójmian kwadratowy y= ax^2 +bx+c (a≠0) ma miejsce zerowe (dwa lub jedno) x 1 , x 2 , to

a

b x 1 + x 2 =− ,

a

c x 1 ⋅ x 2 =.

Wykres funkcji kwadratowej y= ax^2 +bx+c, gdzie a≠0, jest krzywą zwaną parabolą. Wierzchołek

paraboli ma współrzędne: (^)  

4 a

2 a

b W.

Dla a < 0 wierzchołek paraboli jest maksimum funkcji kwadratowej, natomiast dla a > 0 wierzchołek paraboli jest minimum funkcji kwadratowej.

a > 0 a >0 a > 0 a < 0 a < 0 a < 0 ∆ < 0 ∆ = 0 ∆ > 0 ∆ < 0 ∆ = 0 ∆ > 0

4. Wielomiany Wielomianem stopnia n jednej zmiennej nazywamy funkcję W:R→R określoną wzorem

postaci:

W(x)=a 0 +a 1 x+a 2 x^2 +...+anxn,

gdzie a 0 , a 1 , a 2 , ..., an ∈ R i an≠0, n ∈ N.

Liczby a 0 , a 1 , a 2 , ..., an nazywamy współczynnikami wielomianu W.

Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia i mają równe

współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej.

Wielomian W jest podzielny przez wielomian W 1 jeśli istnieje wielomian Q taki, że

W(x) = W 1 (x)⋅Q(x) dla każdego x ∈ R.

Dla każdej pary wielomianów W i W 1 takich, że stopień wielomianu W 1 jest dodatni, istnieje

dokładnie jeden układ wielomianów Q i R, dla których W(x)=W 1 (x)⋅Q(x)+R(x) ( dla każdego

x ∈ R ) i stopień wielomianu R jest mniejszy od stopnia wielomianu W 1 lub wielomian R jest

zerowy. Wielomian R nazywa się resztą z dzielenia wielomianu W przez wielomian W 1.

Reszta z dzielenia wielomianu W przez dwumian postaci ( x – r ), gdzie r ∈ R, jest równa liczbie

W(r).

Twierdzenie Bézouta. Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy

wielomian W jest podzielny przez dwumian ( x –a ).

Jeżeli liczba wymierna q

p jest miejscem zerowym wielomianu W(x)=a 0 +a 1 x+a 2 x^2 +...+anxn, gdzie

an≠0, to q jest dzielnikiem współczynnika an, zaś p jest dzielnikiem współczynnika a 0.

6. Funkcje trygonometryczne

Jeśli α jest miarą kąta skierowanego XOP =α, P jest dowolnym punktem końcowego ramienia

tego kąta ( P ≠ O, x i y są współrzędnymi P, PO = r, to

sin (^) αααα = r

y , cos αααα = r

x (^) , tg αααα = x

y ( gdy x ≠≠≠≠ 0 ), ctg αααα = y

x (^) ( gdy y ≠≠≠≠ 0 ).

Związki między funkcjami tego samego kąta x: sin^2 x + cos^2 x = 1, dla x∈ R,

tg x = cosx

s inx , dla x ≠(2k+1)⋅ 2

Π (^) , k∈C,

ctg x = sinx

cos x , dla x ≠ kΠ, k∈C,

tg x ⋅ ctg x = 1, dla x≠k⋅ Π 2 , k∈C.

Funkcje trygonometryczne kąta podwójnego:

sin 2x = 2⋅sin x⋅cos x, cos 2x = cos^2 x - sin^2 x = 1 - 2sin^2 x = 2 cos^2 x – 1,

tg 2x = 1 tg x

2 tgx − 2 ,^ dla x≠(2k+1)⋅^4

Π (^) i x≠(2k+1)⋅ 2

Π (^) , k∈C,

ctg 2x = 2 ctgx

ctg^2 x− 1 , dla x≠k⋅ 2

Π (^) , k∈C.

Funkcje trygonometryczne są okresowe. Okresem zasadniczym funkcji sinus i cosinus jest 2Π, a okresem zasadniczym funkcji tangens i cotangens jest Π.

Równania trygonometryczne są to równania, w których niewiadome występują pod znakami funkcji trygonometrycznych. Tabela zawiera rozwiązania najprostszych równań trygonometrycznych:

Równanie Rozwiązanie x^0 jedyne rozwiązanie równania należące do przedziału

sin x = a, |a|<1 x = kΠ+(-1)kx 0 , k∈C ( )

2 ,^2

cos x = a, |a|<1 x = 2kΠ ± x 0 , k∈C ( 0, Π )

tg x = a, a∈R x = kΠ + x 0 , k∈C ( )

2 2

ctg x = a, a∈R x = kΠ + x 0 , k∈C ( , 0 )

2

Π

7. Funkcje wymierne. Równania i nierówności wymierne.

Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy funkcję F: ( R \ A ) → R określoną wzorem postaci:

W(x)

W(x) Fx 1

gdzie W i W 1 są wielomianami, zaś A jest zbiorem wszystkich miejsc zerowych wielomianu W 1.

Równaniem wymiernym nazywamy równanie postaci:

0 W(x)

W(x) 1

gdzie W i W 1 są wielomianami.

Rozwiązaniem równania 0 W(x)

W(x) 1

= nazywamy każdą liczbę r, dla której W 1 (r)≠0 i W(r)=0.

Nierównością wymierną nazywamy nierówność postaci

W(x)

W(x) 1

, lub 0 W(x)

W(x) 1

< , lub 0 W(x)

W(x) 1

≥ , lub 0 W(x)

W(x) 1

gdzie W i W 1 są wielomianami.

Nierówności

W(x)

W(x) 1

W(x)

W(x) 1

są równoważne odpowiednio nierównościom w postaci iloczynu:

W(x)⋅W 1 (x)>0, W(x)⋅W 1 (x)<0.

Natomiast nierówności

W(x)

W(x) 1

W(x)

W(x) 1

są równoważne odpowiednio układom:

W(x) 0

W(x) W(x) 0 1

W(x) 0

W(x) W(x) 0 1

9. Ciągi arytmetyczny i geometryczny

Ciąg arytmetyczny

Ciąg ( an ) nazywamy arytmetycznym wtedy i tylko wtedy, gdy różnica między dowolnym wyrazem ciągu a wyrazem bezpośrednio go poprzedzającym, jest stała dla danego ciągu. an+1 - an = r Dla dowolnego ciągu ( an ) przez Sn oznaczamy sumę pierwszych n wyrazów tego ciągu, tzn. Sn = a 1 + a 2 + ... + an. Jeżeli ciąg ( an ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy r, to prawdziwe są wzory:
dla każdego n∈N{0} an = a 1 + ( n – 1 ) r,

dla każdego n∈N{0} an = 2

a (^) n − 1 + an+ 1 ,

dla każdego n∈N{0} Sn = n 2

a 1 an ⋅

= n 2

2 a 1 (n 1 ) r ⋅

Ciąg geometryczny

Ciąg ( an ) nazywamy geometrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy a 1 ≠ 0 i iloraz dowolnego wyrazu tego ciągu i wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, jest dla danego ciągu stały.

n

n 1 a

a (^) + = q

Jeżeli ciąg ( an ) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q ≠ 0, to prawdziwe są wzory:
dla każdego n∈N{0} an = a 1 ⋅qn-1,
dla każdego n∈N{0} an^2 = an-1⋅an+1,

jeżeli q ≠ 1, to Sn = a 1 1 q

1 qn −

jeżeli q = 1, to Sn = n ⋅ a 1. Dla ciągu geometrycznego ( an ) spełniającego warunek q < 1 zachodzi:

lim an 0 n

n→ ∞ n

lim S 1 q

a 1 q

1 q lim a^1

n 1 n −

→ ∞ .

10. Granica funkcji. Funkcje ciągłe.
    1. Granica funkcji w punkcie Liczba g jest granicą funkcji f w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu ( xn ) takiego, że xn ∈ Df , xn ≠ x 0 i (^) n 0 n lim x = x → ∞ jest lim f(xn) g n

→ ∞

2. Granice jednostronne funkcji w punkcie a) Liczbę a nazywamy granicą lewostronną funkcji f w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu ( xn ) spełniającego warunki xn ∈ Df , xn < x 0 i (^) n 0 n lim x = x → ∞ jest lim f(xn) a n

→ ∞

b) Liczbę b nazywamy granicą prawostronną funkcji f w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu ( xn ) spełniającego warunki xn ∈ Df , xn > x 0 i (^) n 0 n lim x = x → ∞ jest lim f(xn) b n

→ ∞

c) Istnienie granic jednostronnych funkcji w punkcie x 0 i ich równość jest równoważna istnieniu granicy funkcji w punkcie x 0.

3. Granica niewłaściwa funkcji w punkcie a) Funkcja f ma w punkcie x 0 granicę niewłaściwą +∞∞∞∞ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu ( xn ) takiego, że (^) n 0 n lim x = x → ∞ , xn ∈ Df i xn ≠ x 0 jest =+∞ → ∞ lim f(xn ) n

b) Funkcja f ma w punkcie x 0 granicę niewłaściwą -∞∞∞∞ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu ( xn ) takiego, że (^) n 0 n

lim x = x → ∞

, xn ∈ Df i xn ≠ x 0 jest =−∞ → ∞

lim f(xn ) n

4. Twierdzenia o granicy funkcji w punkcie Jeżeli limf(x) a x x 0

→ i limg(x) b x x 0

→ , to:

a) lim(f(x) g(x)) x x 0

→ = a + b, b) lim(f(x) g(x)) x x 0

→ = a – b,

c) lim(f(x) g(x)) x x 0

→ = a ⋅ b, d) jeżeli b≠0, to b

a g(x)

f(x) lim x x 0

→

5. Granica funkcji w +∞ oraz w -∞ a) Mówimy, że granicą funkcji y = f(x) w +∞∞∞∞ jest liczba g wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu ( xn ) spełniającego warunki xn ∈ Df i =+∞ n→ ∞ n lim x jest lim f(xn) g n

→ ∞

b) Mówimy, że granicą funkcji y = f(x) w -∞∞∞∞ jest liczba g wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu ( xn ) spełniającego warunki xn ∈ Df i =−∞ n→ ∞ n lim x jest lim f(xn) g n

→ ∞

6. Ciągłość funkcji Funkcja f jest ciągła w punkcie x 0 ∈ Df wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica funkcji w punkcie x 0 i lim f(x) f(x 0 ) x x 0

→

Funkcja f jest ciągła w zbiorze Z ⊂ Df wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła w każdym punkcie zbioru Z. Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w punkcie x 0 , to funkcje f + g, f - g, f ⋅ g też są ciągłe w tym

punkcie, i jeżeli g(x 0 ) ≠ 0, to funkcja g

f też jest ciągła w x 0.

12. Badanie funkcji
13. Twierdzenia o monotoniczności funkcji Niech funkcja f będzie różniczkowalna w przedziale ( a, b ), wtedy dla każdego x ∈ ( a, b )
    • jeżeli f ’(x) > 0, to funkcja f jest rosnąca w przedziale ( a, b );
    • jeśli f jest rosnąca w przedziale ( a, b ), to f ’(x) ≥ 0;
    • jeżeli f ’(x) < 0, to funkcja f jest malejąca w przedziale ( a, b );
    • jeśli f jest malejąca w przedziale ( a, b ), to f ’(x) ≤ 0.
14. Ekstremum funkcji Mówimy, że funkcja ma w punkcie x 0 ∈ Df minimum ( maksimum ), jeśli dla każdego x

należącego do pewnego otoczenia punktu x 0 zawartego w dziedzinie funkcji zachodzi f(x) > f(x 0 )

( f(x) < f(x 0 ) ). Maksimum i minimum nazywamy ekstremum funkcji.

Warunek konieczny ekstremum. Jeżeli funkcja f ma ekstremum w punkcie x 0 ∈ ( a, b ) i jest w tym punkcie różniczkowalna, to f ’(x 0 ) = 0. Warunek wystarczający ekstremum. Jeżeli funkcja f ma pochodną w pewnym otoczeniu punktu x 0 , przy czym f ’(x) > 0 gdy x < x 0 i f ’(x) < 0 gdy x > x 0 to w punkcie x 0 funkcja f ma maksimum; jeżeli natomiast f ’(x) < 0 gdy x < x 0 i f ’(x) > 0 gdy x > x 0 to w punkcie x 0 funkcja f ma minimum.

3. Najmniejsza i największa wartość funkcji w przedziale Mówimy, że funkcja f określona w przedziale < a, b > osiąga w tym przedziale wartość największą ( najmniejszą ), jeśli istnieje punkt x 0 ∈ < a, b > taki, że dla każdego x ∈ < a, b > i x ≠ x 0 spełniony jest warunek f(x) ≤ f(x 0 ) ( f(x) ≥ f(x 0 ) ). Aby wyznaczyć największą ( najmniejszą ) wartość funkcji w przedziale < a, b >, należy znaleźć wszystkie maksima ( minima ) lokalne w tym przedziale oraz obliczyć f(a) i f(b); największa ( najmniejsza ) z tych liczb jest liczbą poszukiwaną.
4. Asymptoty wykresu funkcji Prostą, której odległość od wykresu danej funkcji f zmierza do zera w nieskończoności nazywamy

asymptotą wykresu funkcji f.

Prostą o równaniu x = a nazywamy asymptotą pionową wykresu funkcji f, jeżeli funkcja f jest określona przynajmniej z jednej strony punktu a oraz (^) + =±∞ → limf(x ) x a albo (^) − =±∞ → limf(x ) x a

Jeżeli istnieją skończone granice m x

f(x ) lim x

→ ±∞ oraz lim[f(x) mx] b x

→ ±∞ , to prostą o równaniu

y = mx+b nazywamy asymptotą ukośną ( albo poziomą przy m = 0 ) wykresu funkcji f.

12. Badanie funkcji cd.
13. Schemat badania funkcji 5.1 Wyznaczamy dziedzinę funkcji 5.2 Obliczamy granice na końcach dziedziny 5.3 Wyznaczamy asymptoty wykresu funkcji 5.4 Wyznaczamy pierwszą pochodną i jej dziedzinę 5.5 Obliczamy miejsca zerowe pierwszej pochodnej 5.6 Określamy znak pierwszej pochodnej, wyznaczamy przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji 5.7 Wyznaczamy punkty przecięcia wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych i wartości funkcji w punktach wyznaczonych w 5.5, 5. 5.8 Zbieramy wyniki z poprzednich punktów w tabeli 5.9 Szkicujemy wykres funkcji

14. Geometria analityczna – wektory, proste Współrzędnymi wektora u r w prostokątnym układzie współrzędnych XOY nazywamy miary jego składowych. Jeżeli punkt A( xA, yA ) jest początkiem, a punkt B( xB, yB ) jest końcem wektora u r , to współrzędnymi wektora u r są liczby: a = xB - xA , b = yB - yA. Zapisujemy to symbolicznie: u r [ a, b ] lub u r = [ a, b ].

Jeżeli wektor u r = [ a, b ], to długość wektora u r wyraża się wzorem: u = a^2 +b^2 r .

Jeżeli punkt A( xA, yA ) i punkt B( xB, yB ), to środek S odcinka AB ma współrzędne: xS = 2

x (^) B + xA , yS = 2

y (^) B + yA .

Jeśli α jest miarą kąta skierowanego uporządkowanej pary niezerowych wektorów ( u

r , v

r ) współrzędnych u

r = [ a 1 , a 2 ], v

r = [b 1 , b 2 ], to: cos α = u v

a 1 b 1 a 2 b 2 r r ⋅

, sin α = u v

a 1 b 2 a 2 b 1 r r ⋅

− .

Jeżeli wektory u

r i v

r mają współrzędne u

r = [ a 1 , a 2 ], v

r = [b 1 , b 2 ], to ich iloczyn skalarny wyraża się wzorem u

r ⋅ v

r = a 1 ⋅ b 1 + a 2 ⋅ b 2. Wyznacznikiem niezerowej pary wektorów u

r i v

r o współrzędnych u

r = [ a 1 , a 2 ], v

r = [b 1 , b 2 ]

nazywamy liczbę d( u

r , v

r ) = 1 2

1 2 b b

a a = a 1 ⋅ b 2 - a 2 ⋅ b 1.

Jeżeli punkty A( xA, yA ), B( xB, yB ) i C( xC, yC ) są wierzchołkami trójkąta, to pole trójkąta ∆ABC wyraża się wzorami:

P = 21 d(AB,AC)= 21 d(BA,BC)= 21 d(CA,CB),

P = 21 (x (^) AyB− xByA)+(xByC−xCyB)+(xCyA−xAyC).

Współczynnikiem kierunkowym prostej nieprostopadłej do osi OX nazywamy tangens kąta nachylenia tej prostej do osi OX. Równaniem kierunkowym prostej l nieprostopadłej do osi OX nazywamy równanie postaci y = ax+b, gdzie a oznacza współczynnik kierunkowy prostej l, zaś b rzędną punktu, w którym l przecina oś OY. Jeżeli punkty A( xA, yA ) i B( xB, yB ) należą do prostej l, to równanie prostej l ma postać: y - yA = A B

A B x x

y y −

− ( x – xA ), gdy xA ≠ xB , lub

( y - yA )⋅( xA – xB ) – ( yA – yB )⋅( x – xA ) = 0. Każde równanie postaci Ax+By+C = 0, gdzie A^2 +B^2 ≠ 0 jest równaniem ogólnym prostej. Wektor u r = [ A, B ] jest wektorem prostopadłym do tej prostej. Odległość punktu P ( x 0 , y 0 ) od prostej o równaniu Ax+By+C = 0 wyraża się wzorem:

d = (^0202) A B

Ax By C

.

Warunki równoległości prostych Dwie proste o równaniach y = a 1 x +b 1 i y = a 2 x +b 2 są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy a 1 = a 2. Dwie proste o równaniach Ax+By+C = 0 i A 1 x+B 1 y+C 1 = 0 są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy AB 1 – BA 1 = 0. Warunki prostopadłości prostych Dwie proste o równaniach y = a 1 x +b 1 i y = a 2 x +b 2 są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy a 1 ⋅ a 2 = -1. Dwie proste o równaniach Ax+By+C = 0 i A 1 x+B 1 y+C 1 = 0 są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy AA 1 + BB 1 = 0.

15. Geometria analityczna – krzywe stopnia drugiego Okrąg Równanie okręgu o środku ( a, b ) i promieniu r ma postać ( x – a )^2 + ( y – b )^2 = r 2. Równanie postaci x^2 + y^2 -2ax – 2by + c = 0 przedstawia okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy a^2 +b^2 – c > 0,

promieniem okręgu jest r = a 2 + b^2 −c, zaś środkiem punkt ( a, b ). Równanie stycznej do okręgu o środku ( a, b ) i promieniu r w punkcie ( x 0 , y 0 ) należącym do okręgu, ma postać ( x 0 – a )( x – a )+( y 0 – b )( y – b ) = r 2.

Elipsa Niech dane będą dwa punkty F 1 , F 2 oraz liczba dodatnia a taka, że 2a > F 1 ⋅F 2. Elipsą nazywamy zbiór tych wszystkich punktów P płaszczyzny, dla których PF 1 + PF 2 = 2a.

Jeśli punkty F 1 , F 2 należą do osi OX, zaś początek układu współrzędnych jest środkiem odcinka F 1 F 2 , to

równanie elipsy ma postać 1 b

y a

x 2

2 2

2 ++++ ==== , gdzie b^2 = a^2 – c^2 i |c| = OF 1. Elipsa ta ma środek symetrii w punkcie ( 0, 0 ) i dwie osie symetrii proste OX i OY. Równanie stycznej do elipsy w punkcie ( x 0 , y 0 ) należącym do elipsy, ma postać: 1 b

y y a

x x 2

0 2

(^0) ++++ ====.

Punkty F 1 , F 2 nazywamy ogniskami elipsy. Cięciwą elipsy nazywamy każdy odcinek, którego końce należą do elipsy. Średnicą elipsy nazywamy każdą cięciwę, do której należy środek symetrii elipsy. Osią wielką nazywamy najdłuższą z jej średnic. Osią małą nazywamy najkrótszą z jej średnic. Wierzchołkami elipsy nazywamy punkty wspólne elipsy i jej osi symetrii.

Mimośrodem elipsy nazywamy liczbę e = a

c , zaś kierownicami elipsy proste o równaniach:

x = c

a 2 i x = - c

a 2 .

Hiperbola Niech dane będą dwa punkty F 1 , F 2 oraz liczba dodatnia a taka, że 2a < F 1 ⋅F 2. Hiperbolą nazywamy zbiór tych wszystkich punktów P płaszczyzny, dla których PF 1 - PF 2 = 2a.

Jeśli punkty F 1 , F 2 należą do osi OX, zaś początek układu współrzędnych jest środkiem odcinka F 1 F 2 , to

równanie hiperboli ma postać 1 b

y a

x 2

2 2

2 −−−− == == , gdzie b^2 = c^2 – a^2 i |c| = OF 1.

Hiperbola ta ma środek symetrii w punkcie ( 0, 0 ) i dwie osie symetrii proste OX i OY. Równanie stycznej do hiperboli w punkcie ( x 0 , y 0 ) należącym do hiperboli, ma postać: 1 b

y y a

x x 2

0 2

(^0) −−−− (^) ====.

Punkty F 1 , F 2 nazywamy ogniskami hiperboli. Asymptotami hiperboli są elipsy proste o równaniach: y = a

b ⋅x i y = - a

b ⋅x.

Parabola Jest to krzywa, która w pewnym układzie XOY ma równanie y^2 = 2px, gdzie p ≠ 0, 2p jest parametrem

paraboli. Punkt F = (^)  

  

 (^) , 0 a

b jest ogniskiem paraboli. Prosta o równaniu x = - 2

p jest kierownicą paraboli.

Punkt ( 0, 0 ) jest wierzchołkiem paraboli. Parabola jest zbiorem wszystkich punktów płaszczyzny równo odległych od jej ogniska i od jej kierownicy. Jedyną osią symetrii paraboli jest prosta OX. Równanie stycznej do paraboli y^2 = 2px w punkcie ( x 0 , y 0 ) należącym do paraboli, ma postać: y ⋅⋅⋅⋅ y 0 = p⋅⋅⋅⋅ ( x + x 0 ).

16. Planimetria - własności podstawowych figur planimetrycznych cd. Najważniejsze wiadomości o wielokątach. Czworokąt – wielokąt o czterech bokach. Suma miar kątów wewnętrznych dowolnego czworokąta jest równa 360O. Trapez – czworokąt mający przynajmniej dwa boki równoległe. Trapez równoramienny – trapez mający dwa boki przeciwległe nierównoległe i równe. Jeżeli w trapezie dwa przeciwległe boki nie są równoległe, to
    1. suma kątów wewnętrznych leżących przy każdym z tych boków jest kątem półpełnym,
    2. odcinek łączący środki tych boków jest równoległy do podstaw (tzn. boków równoległych), a jego długość równa się połowie sumy długości obu podstaw. W trapezie równoramiennym kąty przy każdej podstawie są przystające. Trapez równoramienny ma jedną oś symetrii.

Czworokąt wpisany w okrąg i czworokąt opisany w kręgu. Czworokąt wypukły można wpisać w krąg ⇔ sumy miar kątów przeciwległych w tym czworokącie są równe(każda z nich jest równa 180o). Czworokąt wypukły można opisać na kręgu ⇔ sumy długości boków przeciwległych w tym czworokącie są równe.

Odcinki, proste i kąty w związku z okręgiem Kąt między cięciwą i styczną Kąt ostry między cięciwą i styczną przechodzą przez koniec cięciwy jest równy połowie kąta środkowego opowiadającego cięciwie. Kąt środkowy i kąty wpisane oparte na tym samym łuku Wszystkie kąty wpisane okrąg i oparte na tym samym łuku są równe każdy z nich jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym łuku Kąt wpisany w półokrąg (oparty na średnicy) jest prosty.

17. Rachunek prawdopodobieństwa Kombinatoryka Permutacje – każdy n - wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów n elementowego zbioru. P = n!

Kombinacje – każdy k - elementowy podzbiór n - elementowego zbioru. k!(n k)!

n! k

n Ckn −

Wariacje bez powtórzeń – każdy k - wyrazowy ciąg utworzony z różnych elementów n -

elementowego zbioru. (n k)!

n! Vnk −

Wariacje z powtórzeniami – każdy k - wyrazowy ciąg utworzony z elementów n - elementowego

zbioru. Wn k =nk

Własności prawdopodobieństwa P(A) ≥ 0, P(∅) = 0, P(Ω) = 1, jeżeli A ⊂ B to P(A) ≤ P(B), dla każdego A ⊂ Ω jest P(A) ≤1, P(A’) = 1- P(A), P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B).

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Jeżeli wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne to prawdopodobieństwo każdego zdarzenia A jest ilorazem liczby zdarzeń sprzyjających temu zdarzeniu przez liczbę

wszystkich zdarzeń elementarnych. P(A) = Ω

A

gdzie A - liczba zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A, Ω - liczba wszystkich zdarzeń elementarnych.

Prawdopodobieństwo warunkowe Prawdopodobieństwo zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B jest to liczba

P(A / B) = P(B)

P (A∩B)

Prawdopodobieństwo całkowite ( zupełne ) Jeśli B 1 , B 2 , ... ,Bn są zdarzeniami wyłączającymi się parami oraz ich suma jest zdarzeniem pewnym, to dla dowolnego zdarzenia A zachodzi wzór: P(A) = P(A / B 1 ) ⋅ P(B 1 ) + P(A / B 2 ) ⋅ P(B 2 ) + ... + P(A / Bn) ⋅ P(Bn)

Niezależność zdarzeń Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeżeli P(A∩B) = P(A) ⋅ P(B). W przeciwnym przypadku mówimy, że zdarzenia A i B są zależne.

Schemat Bernoulliego – ciąg powtórzeń tego samego doświadczenia Prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie k sukcesów w n próbach Bernoulliego wynosi:

Pn(k) = (^)  

k

n ⋅pk⋅qn-k,

gdzie p – prawdopodobieństwo sukcesu, q = 1- p - prawdopodobieństwo porażki, k = 0, 1, ... ,n.