MECHANIKA KLASYCZNA, Ćwiczenia z Mechanika

Pobierz MECHANIKA KLASYCZNA i więcej Ćwiczenia w PDF z Mechanika tylko na Docsity!

MECHANIKA KLASYCZNA

Andrzej P¦kalski

• Rozdziaª 1. Wst¦p
• Rozdziaª 2. Dynamika punktu materialnego
  • 1. Prawa Newtona
  • 2. Rozwi¡zywanie równa« Newtona
  • 3. Oscylator harmoniczny
  • 4. Prawa zachowania
  • 5. Równania Lagrange'a II rodzaju.
• Rozdziaª 3. Zasada Hamiltona
  • 1. Podstawowe wiadomo±ci z rachunku wariacyjnego
  • 2. Zasada Hamiltona
• Rozdziaª 4. Prawa zachowania we wspóªrz¦dnych uogólnionych
• Rozdziaª 5. Formalizm Hamiltona
  • 1. Równania Hamiltona
  • 2. RH z zasady wariacyjnej
  • 3. Przeksztaªcenia kanoniczne
  • 4. Nawiasy Poissona
• Rozdziaª 6. Zagadnienie dwu ciaª
  • 1. Postacie siª i potencjaªów
  • 2. Prawa Keplera
• Rozdziaª 7. Bryªa sztywna
  • 1. Przeksztaªcenia ortogonalne
  • 2. Twierdzenie Eulera
  • 3. Obroty niesko«czenie maªe
  • 4. Pr¦dko±¢ zmiany wektora
  • 5. Tensor bezwªadno±ci
  • 6. Twierdzenie Steinera
  • 7. Osie gªówne tensora bezwªadno±ci
  • 8. Elipsoida bezwªadno±ci
  • 9. Równania Eulera
• Rozdziaª 8. Wprowadzenie do teorii chaosu
  • 1. Wahadªo z siª¡ wymuszaj¡c¡
  • 2. Wahadªo tªumione z siª¡ wymuszaj¡c¡
  • 3. Droga do chaosu
  • 4. Chaos 4 SPIS TRE‘CI
  • 5. Odwzorowanie logistyczne
• Rozdziaª 9. Szczególna teoria wzgl¦dno±ci
  • 1. Wydªu»enie czasu i skrócenie lorentzowskie
  • 2. Przeksztaªcenia Lorentza
  • 3. Wnioski z przeksztaªcenia Lorentza
  • 4. Przedziaªy mi¦dzy zdarzeniami i ich klasykacja
  • 5. Czterowektory i równania ruchu

SPIS TRE‘CI 5

Dzi¦kuj¦ mgr Arturowi Ankowskiemu, mgr Krzysztofowi Ko«cy oraz dr Januszowi Szwabi«skiemu za pomoc w redakcji tego wykªadu

ROZDZIAª 1

Wst¦p

Mechanika klasyczna, zwana tak»e teoretyczn¡ lub analityczn¡, to dziaª zyki teoretycznej zajmuj¡cy si¦ badaniem praw ruchu ciaª materialnych. Jest to mechanika Newtonowska, której podstawy zostaªy stworzone przed powstaniem mechaniki kwantowej i teorii wzgl¦dno±ci. Zagadnienia do których stosuj¡ si¦ metody rozwini¦te tutaj mo»na okre±li¢ jako zwyczajne", tzn zagadnienia dotycz¡ce ruchu ciaª o niezbyt maªych rozmiarach i poruszaj¡cych si¦ z pr¦dko±ciami maªymi w porównaniu z pr¦dko±ci¡ ±wiatªa. Pojawiaj¡ce si¦ czasem ró»nice pomi¦dzy teori¡ i do±wiadczeniem równie» i w tym zakresie zjawisk, nale»y poªo»y¢ na karb przyj¦cia zbyt prostego modelu matematycznego - zaniedbanie tarcia, zast¡pienie ciaªa spr¦»ystego przez sztywne itd. Kiedy wzgl¦dne pr¦dko±ci ciaª staj¡ si¦ porównywalne z pr¦dko±ci¡ ±wiatªa lub kiedy rozmiary ciaª s¡ rz¦du staªych atomowych, wówczas mechanika klasyczna nie opisuje ju» zjawisk w sposób poprawny. W pierwszym przypadku nale»y j¡ zast¡pi¢ przez mechanik¦ relatywistyczn¡, w drugim przez mechanik¦ kwantow¡. Aczkolwiek mechanika klasyczna znajduje dzisiaj ci¡gle jeszcze bezpo±rednie zastosowanie, np w as- tronomii, to jednak gªówna jej warto±¢ polega na tym, »e jest ona podstaw¡ caªej zyki teoretycznej. Wiele poj¦¢ np mechaniki kwantowej okre±lanych jest poprzez analogie z odpowiednimi poj¦ciami mechaniki klasycznej. W mechanice klasycznej, tak jak w caªej zyce teoretycznej, operujemy modelami matematycznymi. Zamieniamy w nich istniej¡c¡ realn¡ rzeczywisto±¢ poprzez pewien uproszczony model. Robimy tak gªównie dlatego, »e uwzgl¦dnienie wszystkich czynników wpªywaj¡cych na rzeczywist¡ sytuacj¦ nie jest ani mo»liwe, ani te» na ogóª potrzebne. Dlatego te» musimy uwzgl¦dni¢ tylko niektóre z tych czyn- ników. Takie które s¡, lub które uwa»amy za najistotniejsze. Rozwi¡zanie tak postawionego problemu powinno poprawnie opisywa¢ najwa»niejsze cechy charakterystyczne danego procesu. Generaln¡ zasad¡ jest aby pocz¡tkowo konstruowa¢ mo»liwie prosty model i dopiero po sprawdzeniu jego ogólnej przydat- no±ci wprowadza¢ dodatkowe parametry umo»liwiaj¡ce opis bardziej szczegóªowych wªasno±ci. Dlatego te» mo»e istnie¢ kilka modeli teoretycznych opisuj¡cych t¦ sam¡ rzeczywisto±¢. Poj¦ciem, którym b¦dziemy si¦ caªy czas posªugiwali jest poj¦cie punktu materialnego (PM). Rozumiemy przez to ciaªo zyczne o rozmiarach pomijalnie maªych w porównaniu i innymi rozmiarami z jakimi mamy do czynienia w rozpatrywanym zagadnieniu. B¦dzie to wi¦c punkt matematyczny, któremu zostaªa przypisana pewna masa. W tym kontek±cie PM mo»e by¢ np Ziemia, je»eli rozpatrujemy jej ruch roczny wokóª Sªo«ca. Poªo»enie PM w danym ukªadzie wspóªrz¦dnych, lub jak teraz b¦dziemy mówi¢ ukªadzie odniesienia, podawa¢ b¦dziemy przy pomocy promienia wodz¡cego ~r, o wspóªrz¦dnych (x, y, z). Jest to wektor poprowadzony z pocz¡tku ukªadu do miejsca w którym znajduje si¦ PM. Aby okre±li¢ ruch PM podajemy zale»no±¢ promienia wodz¡cego od czasu t : ~r = ~r(t). Krzyw¡ geometryczn¡ zakre±lan¡ przez PM w czasie ruchu nazywamy torem PM lub jego trajektori¡. Równanie

~r = ~r(t)

jest parametrycznym równaniem toru, przy czym parametrem jest czas t. O funkcji ~r zakªadamy, »e jest ci¡gªa i dwukrotnie ró»niczkowalna (klasy C^2 ). Zaªo»enia te usprawiedliwione s¡ poprzez zgodno±¢ otrzymanych wniosków z do±wiadczeniem.

7

8 1. WST†P

y

x

~r(t 0 )

~r(t 1 )

tor PM

Rysunek 1.1. Wektory wodz¡ce w dwu chwilach czasu.

Pr¦dko±ci¡ PM ~v, nazywamy pochodn¡ promienia wodz¡cego wzgl¦dem czasu

~v =

d~r dt

≡ ~r.˙

Przyspieszeniem PM ~a nazywamy wektor b¦d¡cy pochodn¡ wzgl¦dem czasu pr¦dko±ci

~a =

d~v dt

≡ ~v˙ ≡ ~r.¨

Kropka nad liter¡ b¦dzie zawsze oznaczaªa pochodn¡ wzgl¦dem czasu.

10 2. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO

Prawo to nie jest uniwersalne i nie jest sªuszne np. w przypadku siª elektromagnetycznych pomi¦dzy poruszaj¡cymi si¦ ªadunkami. Zasada niezale»no±ci siª, równie» sformuªowana przez Newtona w oparciu o dane do±wiadczalne, mówi »e: Siªy dziaªaj¡ na PM niezale»nie, tzn dodanie nowej siªy nie zmienia dotychczas dziaªaj¡cych. Tak wi¦c siªy, a wi¦c i przyspieszenia, mo»emy traktowa¢ jak wektory i dodawa¢ do siebie geometrycznie.

2. Rozwi¡zywanie równa« Newtona Je±li znana jest siªa F~ dziaªaj¡ca na PM, to korzystaj¡c z równa« Newtona (2.2) lub (2.3) i caªkuj¡c je powinni±my otrzyma¢, przy zadanych warunkach pocz¡tkowych, rozwi¡zanie zagadnienia, tzn tor PM. Dla przykªadu znajdziemy tor PM pod dziaªaniem siªy ci¦»ko±ci Ziemi. Zaªó»my, »e o± Ox skierowana jest pionowo w gór¦. Mamy wtedy

Fx = −mg, Fy = 0, Fz = 0, g = const.

Równania Newtona maj¡ posta¢

(2.4) m

d^2 x dt^2

= −mg,

d^2 y dt^2

d^2 z dt^2

Jak wida¢, istotna jest tylko zale»no±¢ x od t. Dlatego te» dalej rozpatrzymy tylko pierwsze równanie. Wycaªkujmy je od pewnej pocz¡tkowej chwili czasu t 0 do chwili ko«cowej t. Otrzymamy

dx(t) dt

dx(t 0 ) dt

∫ (^) t

t 0

g dt = −g(t − t 0 ).

Po powtórnym scaªkowaniu dostaniemy

(2.5) x(t) = dx(t 0 ) dt

(t − t 0 ) + x(t 0 ) − g 2

(t − t 0 )^2.

Otrzymali±my wi¦c szukan¡ zale»no±¢ x = x(t) w postaci caªki ogólnej równania Newtona. Aby jed- nak wyznaczy¢ do ko«ca ruch PM (znale¹¢ rozwi¡zanie szczególne) nale»y zada¢ warunki pocz¡tkowe. Równanie jakie otrzymali±my powinno opisywa¢ dowoln¡ sytuacj¦ w której na PM dziaªa tylko siªa graw- itacji Ziemi. Zadanie warunków pocz¡tkowych wybiera spo±ród wszystkich mo»liwych rozwi¡za« jedno, odpowiadaj¡ce konkretnemu zagadnieniu. Niech w naszym przypadku b¦dzie nim swobodne spadanie. Tak wi¦c w chwili pocz¡tkowej t 0 PM znajduje si¦ w spoczynku na pewnej wysoko±ci h. Rachub¦ czasu rozpocznijmy od chwili t 0. Nasze warunki pocz¡tkowe b¦d¡ wi¦c miaªy posta¢

x(t 0 ) = x(0) = h, dx(t 0 ) dt

= v 0 = 0, t 0 = 0.

Podstawiaj¡c te warunki do znalezionego rozwi¡zania (2.5) dostajemy

x(t) = h −

gt^2 2

oraz

dx(t) dt

= v(t) = −gt.

Rozpatrzmy teraz rzut w gór¦. Oznacza to, »e w chwili pocz¡tkowej t 0 (= 0 dla prostoty) PM znajduje si¦ w poªo»eniu x(0) = x 0 , które te» bez straty ogólno±ci mo»emy przyj¡¢ za równe 0. Pr¦dko±¢ pocz¡tkowa jest teraz ró»na od zera, tzn dx(t 0 )/dt = v 0 > 0. Podstawiaj¡c te warunki do rozwi¡zania (2.5)dostajemy

x(t) = v 0 t −

gt^2 2

dx(t) dt

= v 0 − gt.

Z rozpatrzonego przykªadu wida¢, »e aby jednoznacznie wyznaczy¢ ruch PM trzeba byªo poda¢ dwa warunki pocz¡tkowe, dla x(t 0 ) oraz dla dx(t 0 )/dt. Wynika to st¡d, »e równania Newtona s¡ równaniami

3. OSCYLATOR HARMONICZNY 11

ró»niczkowymi drugiego rz¦du i rozwi¡zanie ogólne zawiera dwie staªe, które wyznacza si¦ (znajduje rozwi¡zanie szczególne) podaj¡c dwa warunki pocz¡tkowe. Zapiszmy teraz to samo zagadnienie w notacji wektorowej. Nie zakªadamy tu, »e wektor przyspieszenia ziemskiego skierowany jest wzdªu» jednej z osi kartezja«skiego ukªadu wspóªrz¦dnych. Mamy wtedy

F^ ~ = m~g, ~g = const~

i st¡d równanie Newtona d^2 ~r dt^2

= ~g.

Warunki pocz¡tkowe przyjmiemy w postaci

~r(t 0 ) = ~r 0 ,

d~r(t 0 ) dt = ~v 0

i po scaªkowaniu dostajemy d~r(t) dt

d~r(t 0 ) dt

= ~g(t − t 0 )

czyli

~r(t) = ~r(t 0 ) + d~r(t 0 ) dt

(t − t 0 ) + ~g 2

(t − t 0 )^2 =

= ~r 0 + ~v 0 (t − t 0 ) +

~g 2

(t − t 0 )^2.

Mo»na to te» zapisa¢ w postaci

~r(t) − ~r(t 0 ) = ~v 0 (t − t 0 ) +

~g 2

(t − t 0 )^2.

Ze wzoru tego wida¢, »e wektor ~r − ~r 0 le»y w tej samej pªaszczy¹nie co wektory ~v 0 i ~g. Poniewa» wektory te s¡ staªe, wi¦c wniosek st¡d taki, »e ruch pod wpªywem siªy przyci¡gania ziemskiego jest pªaski, tzn le»y caªy czas w pªaszczy¹nie wyznaczonej przez wektory pr¦dko±ci pocz¡tkowej i dziaªaj¡cej siªy. Jest to szczególny przypadek pewnej ogólnej zasady, któr¡ poznamy pó¹niej.

3. Oscylator harmoniczny Jako drugi przykªad caªkowania równa« Newtona rozpatrzymy oscylator harmoniczny. Jest to naj- cz¦±ciej chyba stosowany model procesu zycznego. Drgania harmoniczne wykonuje PM na który dziaªa siªa proporcjonalna do wychylenia z poªo»enia równowagi. Siª¦ t¦ mo»emy zapisa¢ jako

F^ ~ = −k^2 ~r

gdzie k jest pewn¡ staª¡. Drgania harmoniczne wykonuje np. spr¦»yna przy zaniedbaniu tarcia. Dla prostoty rozpatrzmy przypadek oscylatora liniowego, tzn 1D, gdy ruch odbywa si¦ wzdªu» jednej prostej. Wtedy

F = −k^2 x

i równanie Newtona ma posta¢

m

d^2 x dt^2

= −k^2 x,

co mo»na zapisa¢ jako

(2.6) d^2 x dt^2

• ω^2 x = 0, gdzie ω^2 = k^2 m

3. OSCYLATOR HARMONICZNY 13

3.1. Tªumiony oscylator harmoniczny. Oscylator harmoniczny jest bardzo dobrym przybli»e- niem wielu realnych sytuacji i dlatego jest jednym z najcz¦±ciej stosowanych modeli w zyce. Ma te» t¦ zalet¦, »e mo»na go ±ci±le rozwi¡za¢. Aby jednak pozosta¢ blisko rzeczywisto±ci trzeba móc uwzgl¦dni¢ fakt, »e ruch spr¦»ysty odbywa si¦ na ogóª w o±rodku, który stawia opór. Bardzo cz¦sto opór ten ro±nie wraz ze wzrostem pr¦dko±ci ruchu, a najprostszym przybli»eniem jest przyj¦cie, »e opór zale»y liniowo od pr¦dko±ci

~ρ = −ρ~v.

Równanie ruchu dla 1D oscylatora ma wtedy posta¢

(2.10) mx¨ + ρ x˙ + k^2 x = 0.

Warto mo»e zauwa»y¢ w tym miejscu, »e analogiczne równanie otrzymujemy dla obwodu elektrycznego z indukcyjno±ci¡ (L), pojemno±ci¡ (C) i oporem (R)

L q¨(t) + R q˙(t) +

C

q(t) = 0

Pr¡d to q˙(t). Powracaj¡c do zagadnienia mechanicznego, mo»emy wprowadzi¢ dwa oznaczenia dla staªych wys- t¦puj¡cych w równaniu (2.10)

(2.11) 2 β =

ρ m

, ω 0 =

k^2 /m.

β nazywane jest staª¡ tªumienia, natomiast ω 0 to cz¦sto±¢ wªasna oscylatora, a wi¦c cz¦sto±¢ z któr¡ by drgaª gdyby nie byªo tªumienia. U»ywaj¡c tych oznacze« mo»emy przepisa¢ równanie (2.10) w postaci

(2.12) x¨ + 2β x˙ + ω^20 x = 0.

Rozwi¡zania tego równania b¦dziemy szukali, jak zwykle w takich wypadkach, w postaci

(2.13) x = eαt.

Po podstawieniu do równania (2.12) dostajemy równanie charakterystyczne dla α

α^2 + 2βα + ω 02 = 0,

którego pierwiastkami s¡

(2.14) α 1 , 2 = −β ±

β^2 − ω^20.

Podstawiaj¡c znalezione warto±ci α do postulowanej postaci rozwi¡zania (2.13) dostajemy rozwi¡zanie ogólne równania (2.12)

(2.15) x(t) =

A 1 eα^1 t^ + A 2 eα^2 t : α 1 6 = α 2 , (A 1 + A 2 t) eα^1 t^ : α 1 = α 2

Rozwi¡zania te mo»emy przepisa¢, wyra»aj¡c je poprzez staªe β i ω

(2.16) x(t) =

e−βt

A 1 e

β^2 −ω^20 t (^) + A 2 e−

β^2 −ω 02 t

: β^2 − ω^20 6 = 0 e−βt^ (A 1 + A 2 t) : β^2 − ω^20 = 0

W zale»no±ci od warto±ci wyra»enia β^2 − ω 02 mo»liwe sa ró»ne zachowania tªumionego oscylatora.

(1) β^2 − ω 02 > 0 - tªumienie jest tak silne, »e oscylator d¡»y do poªo»enia równowagi (x = 0) przed wykonaniem jednego okresu. Ruch taki nazywamy aperiodycznym,

14 2. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO

0

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

X

Czas

Rysunek 2.1. Zale»no±¢ od czasu wychylenia x, dla tªumionego oscylatora w przypadku aperiodycznym. Warunki pocz¡tkowe x 0 = 0, v 0 = 0. 1 , b = 1. 2 ω 0.

-0.

-0.

-0.

0

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X

Czas

Rysunek 2.2. Zale»no±¢ od czasu wychylenia x, dla tªumionego oscylatora w przypadku periodycznym. Warunki pocz¡tkowe jak dla przypadku aperiodycznego, b = 0. 2 ω 0.

(2) β^2 − ω 02 < 0. Tªumienie jest na tyle sªabe, »e wprawdzie oscylator te» d¡»y do poªo»enia równowagi, ale zdoªa wykona¢ szereg oscylacji. Amplituda oscylacji maleje wykªadniczo e−βt. Okres takiego ruchu dany jest przez

T =

2 π ω

2 π √ ω 02 − β^2

Ruch taki nazywamy periodycznym. (3) β^2 − ω 02 = 0, jest przypadkiem po±rednim, granicznym, pomi¦dzy ruchami 1 i 2.

16 2. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO

X

Czas

Rysunek 2.3. Zale»no±¢ od czasu wychylenia x, w przypadku rezonansu. Wykres otrzy- many z równania (2.28) dla x 0 = 0, v 0 = 0. 1 , ω 0 = π.

Aby zobaczy¢ jak zachowuje si¦ oscylator w przypadku rezonansu przepiszmy (2.26) w nieco innej postaci, pozbywaj¡c si¦ nieoznaczonego wyra»enia po prawej stronie:

x(t) = x 0 cos ω 0 t +

v 0 ω 0 sin ω 0 t +

a ω 02 − ω^2

sin ωt −

ω ω 0 sin ω 0 t

= x 0 cos ω 0 t +

v 0 ω 0

sin ω 0 t +

a ω 0 + ω

ω

sin ωt ω −^

sin ω 0 t ω 0 ω − ω 0

Rozwi¡zanie w przypadku rezonansu otrzymamy bior¡c odpowiedni¡ granic¦

xr (t) = lim ω→ω 0 x(t) = x 0 cos ω 0 t +

v 0 ω 0

sin ω 0 t −

a 2 ω 0

lim ω→ω 0

sin ωt ω −^

sin ω 0 t ω 0 ω − ω 0

= x 0 cos ω 0 t + v 0 ω 0

sin ω 0 t − a 2 ω 0

lim ω→ω 0

d dω

sin ωt ω

= x 0 cos ω 0 t +

v 0 ω 0

sin ω 0 t −

a 2 ω^20

(ω 0 t cos ω 0 t − sin ω 0 t) =

x 0 −

a 2 ω 0

t

cos ω 0 t +

v 0 ω 0

a 2 ω^20

(2.28) sin ω 0 t.

Amplituda przy cosinusie zale»y liniowo od czasu, a wi¦c x(t) b¦dzie nieograniczenie wzrastaªo z czasem, jak wida¢ to na rysunku 2.3. Je»eli oscylator jest zarówno tªumiony jak i znajduje si¦ pod dziaªaniem zewn¦trznej, okresowej siªy wymuszaj¡cej, to jego równanie ruchu dane jest przez (2.18). Jest to równanie niejednorodne, a czªon odpowiedzialny za niejednorodno±¢ to siªa wymuszaj¡ca. Jak wiemy, rozwi¡zanie ogólne równania (2.18) to suma caªki ogólnej równania jednorodnego i caªki szczególnej równanie niejednorodnego. Pierwsze ju» znamy z rozpatrzonego poprzednio przypadku (równanie (2.16)), natomiast caªki szczególnej b¦dziemy

3. OSCYLATOR HARMONICZNY 17

0

1

2

3

4

5

6

7

0 10 20 30 40 50 60 70

X

Czas

Rysunek 2.4. Zale»no±¢ od czasu wychylenia x, dla tªumionego oscylatora z siª¡ wymuszaj¡c¡, otrzymana z równania (2.31) dla przypadku gdy α 1 6 = α 2.

szukali, tak jak poprzednio, w postaci podobnej do funkcji, która wprowadziªa niejednorodno±¢. B¦dzie to

(2.29) x(t) = h sin(ωt + γ).

Wstawiaj¡c t¦ funkcj¦ do równania (2.18), dostaniemy

−hω^2 sin(ωt + γ) + 2βhω cos(ωt + γ) + ω^20 h sin(ωt + γ) = a sin ωt.

Praw¡ stron¦ mo»emy uczyni¢ bardziej podobn¡ do lewej przez prost¡ operacj¦

sin ωt = sin(ωt + γ − γ) = cos γ sin(ωt + γ) − sin γ cos(ωt + γ).

Porównuj¡c teraz wspóªczynniki przy wyrazach tego samego typu po obu stronach równo±ci, dostajemy wyra»enia dla h, γ :

h = a M

, gdzie M =

(ω^2 − ω^20 )^2 + 4β^2 ω^2 ,

sin γ = −

2 β ω M

cos γ = −

ω^2 − ω 02 M

Maj¡c wyznaczone wspóªczynniki h, γ znale¹li±my rozwi¡zanie szczególne równania niejednorodnego jako sum¦ dwu rozwi¡za«

(2.31) x(t) =

C 1 eα^1 t^ + C 2 eα^2 t^ + h sin(ωt + γ) : α 1 6 = α 2 (C 1 + C 2 t) eαt^ + h sin(ωt + γ) : α 1 = α 2 α 1 , 2 = −β ±

β^2 − ω^20

Poniewa», jak wida¢, α jest niedodatnie, wi¦c z czasem drgania tªumione (pierwsze dwa wyrazy w (2.31)) b¦d¡ zanikaªy i po pewnym czasie oscylator b¦dzie wykonywaª ruch okresowy z okresem równym sile wymuszaj¡cej.

4. PRAWA ZACHOWANIA 19

Trzeci¡ zasad¡ zachowania jak¡ wyprowadzimy b¦dzie zasada zachowania energii. Punktem wyj±cia s¡ znów równania Newtona. Tym razem pomno»ymy je skalarnie przez pr¦dko±¢ :

m

d ~r˙ dt ~r˙ = F~ ~r˙

lub

~vm

d~v dt = F~ ~r.˙

Lew¡ stron¦ mo»na ªatwo przeksztaªci¢, bo

~v

d~v dt

d~v^2 dt

i wobec tego oznaczaj¡c

T =

m~v^2 ,

mo»emy napisa¢

(2.34)

dT dt = F ~~v.

Wielko±¢ T nazywamy energi¡ kinetyczn¡ PM. Jest ona wyznaczona z dokªadno±ci¡ do staªej addyty- wnej, niezale»nej od czasu, któr¡ tutaj przyjmujemy za równ¡ 0 , tak aby w spoczynku T = 0, zgodnie z przyj¦t¡ umow¡, »e energia kinetyczna jest to energia zwi¡zana z ruchem ciaªa. Równanie (2.34) mo»emy scaªkowa¢, otrzymuj¡c

T − T 0 =

∫ (^) t

t 0

F ~^ ~v dt =

∫ (^) ~r

~r 0

F d~^ ~ r

jako, »e d~r/dt = ~v. Wyra»enie

∫ (^) ~r ~r 0 F d~^ ~ r przedstawia prac¦ wykonan¡ przez siª¦ F~ na drodze od ~r 0 do ~r. Warto±¢ tej pracy zale»y na ogóª od drogi caªkowania. Je»eli jednak istnieje jednoznaczna funkcja V (~r, t), taka »e

(2.35) F~ = −

∂V

∂x

∂V

∂y

∂V

∂z

≡ −grad V,

wówczas mówimy, »e siªa F~ jest potencjalna, a sam¡ funkcj¦ V (~r, t) nazywamy potencjaªem tej siªy. Poniewa» potencjaª nie zale»y od pr¦dko±ci, wi¦c te» i siªa potencjalna mo»e by¢ co najwy»ej funkcj¡ poªo»enia i czasu. Je»eli potencjaª jest tylko funkcj¡ poªo»enia, V = V (~r), wówczas nazywamy go energi¡ potencjaln¡ PM, za± o sile (2.35), mówimy, »e jest zachowawcza lub konserwatywna lub potencjalna. Je»eli wi¦c siªa jest potencjalna, to

F d~^ ~ r = −grad V d~r = −

∂V

∂x

dx +

∂V

∂y

dy +

∂V

∂z

dz

Je»eli V = V (~r), czyli jest energi¡ potencjaln¡, to wyra»enie F d~~ r jest ró»niczk¡ zupeªn¡ dV i mamy

T − T 0 = −

∫ (^) ~r

~r 0

dV (~r) = −(V (~r) − V (~r 0 )) = −V + V 0.

A wi¦c ostatecznie

(2.36) T + V = T 0 + V 0.

Wielko±¢ T + V = E nazywamy energi¡ caªkowit¡ PM. Ze wzoru (2.36) wynika, »e wielko±¢ ta nie ulega zmianie w czasie ruchu o ile siªy dziaªaj¡ce na PM s¡ zachowawcze. Otrzymali±my w ten sposób zasad¦ zachowania energii. Z denicji wida¢ wprost, »e energia potencjalna wyznaczona jest przez

20 2. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO

siª¦ F~ z dokªadno±ci¡ do staªej addytywnej, tym razem niezale»nej od poªo»enia. Umo»liwia to upra- szczanie szeregu zagadnie« przez przyjmowanie odpowiedniej warto±ci tej staªej. Jest to równowa»ne po prostu przesuwaniu pocz¡tku skali wg której mierzymy energi¦ potencjaln¡. Powierzchnie V (~r) = const nazywamy powierzchniami ekwipotencjalnymi. Ze wzgl¦du na zwi¡zek F~ = −grad V (~r), pole siªy F^ ~ jest wsz¦dzie prostopadªe do powierzchni równego potencjaªu, grad V (~r) wskazuje bowiem kierunek zmian pola V (~r). Prostopadªo±¢ F~ oraz powierzchni V (~r) = const mo»na pokaza¢ z zerowania si¦

iloczynu skalarnego F~ oraz przesuni¦cia d~r równolegªego do powierzchni ekwipotencjalnej. Bior¡c bowiem ró»niczk¦ zupeªn¡ równania powierzchni staªego potencjaªu V (~r) = const mamy

dV = 0 =

∂V

∂x

dx +

∂V

∂y

dy +

∂V

∂z

dz = grad V d~r.

Podobnie jak w wypadku momentu p¦du, wyra»enie (2.36) nazywamy caªk¡ energii. Jest to caªka pierwsza równa« Newtona gdy F~ = −grad V (~r). Jako przykªad znajdowania potencjaªu obliczymy potencjaª jednorodnego pola grawitacyjnego. Roz- patrzmy PM w pobli»u Ziemi, a wi¦c ~g = const.~ i siªa ma posta¢ F~ = m~g. Poniewa»

F^ ~ = − dV d~r

= −∇ V ≡ grad V wi¦c V (~r) = V (~r 0 ) −

∫ (^) ~r

~r 0

F d~^ ~ r.

W przypadku siªy grawitacyjnej mamy wi¦c

V (~r) = V (~r 0 ) −

∫ (^) ~r

~r 0

m~g · d~r = V (~r 0 ) − m~g · ~r + m~g · ~r 0.

Je»eli o± Oz b¦dzie zgodna z kierunkiem dziaªania siªy grawitacyjnej, wówczas problem staje si¦ jedno- wymiarowy i dla potencjaªu mamy V (z) = −mgz + const.

Staª¡ mo»emy przyj¡¢ za równ¡ zeru i ostatecznie energia potencjalna PM w polu grawitacyjnym jest równa V (z) = −mgz. 4.1. Ukªad punktów materialnych. Osi¡gni¦te do tej pory wyniki mo»na prosto uogólni¢ na ukªad wielu PM. Rozró»nia¢ teraz b¦dziemy siªy zewn¦trzne F~ (^) iz oraz wewn¦trzne. Te ostatnie to siªy z jakimi dany PM dziaªa na pozostaªe PM ukªadu. Równanie ruchu (Newtona) dla i-tego PM ma teraz posta¢

(2.37) F~ (^) iz +

j

F^ ~ij = ~p˙i,

gdzie F~ij to siªa oddziaªywania i-tego PM na j-ty. Poniewa» PM nie oddziaªuje sam na siebie, wi¦c F~ii = 0. Do siª wewn¦trznych stosuje si¦ III prawo Newtona, st¡d sumuj¡c (2.37) po wszystkich punktach ukªadu otrzymujemy ∑

i

F^ ~ (^) iz +

ij

F^ ~ij =

i

~p^ ˙i = d dt

i

~pi,

a st¡d ∑

i

F^ ~ (^) iz = d dt

i

~pi,

∑ i F~^ z i oznacza sumaryczn¡ siª¦ zewn¦trzn¡ dziaªaj¡c¡ na ukªad PM. Dla ukªadu PM mo»na wyprowadzi¢, analogicznie jak dla pojedynczego PM, zasady zachowania. B¦d¡ one dotyczy¢ caªkowitej masy ukªadu oraz promienia wodz¡cego ±rodka masy ukªadu.