Pobierz Mechanika Klasyczna wg. W.I.Arnolda. i więcej Ćwiczenia w PDF z Mechanika tylko na Docsity!
Mechanika Klasyczna wg. W.I.Arnolda.
Plan.
Poni»ej jest lista cz¦±ci ksi¡»ki, które b¦d¡ przerabiane na spotkaniach. Uwagi. Cho¢ pierwsza ksi¡»ki traktuje o mechanice w sformuªowaniu Newtona, co nie pokrywa si¦ z planem kursu Mechanika klasyczna profesora Bizonia, to wprowadzone jest w niej kilka kluczowych dla caªej ksi¡»ki koncepcji, dlatego te» jej cz¦±¢ znalazªa si¦ w planie spotka«. Gwiazdk¡ () oznaczone s¡ paragrafy których tre±¢ mo»na w caªo±ci, albo w wi¦kszo±ci, pomin¡¢ bez szkody dla dalszej cz¦±ci ksi¡»ki, jednak ze wzgl¦du na ciekawy materiaª warto rozwa»y¢ ich przerobienie w caªo±ci. Plan mo»e ulec zmianie w czasie trwania spotka«. Je»eli kto± chce zgªosi¢ zastrze»enie do tego planu prosz¦ pisa¢ na adres [email protected] Roz. I. Fakty do±wiadczalne. 1. Zasada wzgl¦dno±ci i przyczynowo±ci. 2. Grupa Galileusz i równania Newtona. Roz. II. Badanie równa« ruchu. 4. Ukªady o jednym stopniu swobody. 5. Ukªady o dwóch stopniach swobody. 11. Rozumowanie oparte na podobie«stwie. Roz. III. Zasada wariacyjna (caªo±¢). 12. Rachunek wariacyjny. 13. Równanie Lagrange'a. 14. Przeksztaªcenie Legendre'a. 15. Równania Hamiltona. 16. Twierdzenie Liouville'a. Roz. IV. Mechanika Lagrange'a na rozmaito±ciach. 17. Wi¦zy holonomiczne. 18. Rozmaito±ci ró»niczkowalne.
19. Ukªady dynamiczne Lagrange'a. 20. Twierdzenie E. Noether. Roz. V. Drgania. 22. Linearyzacja. 23. Maªe drgania. 24. O zachowaniu si¦ cz¦sto±ci wªasnych. 25. Rezonans parametryczny. Roz. VII. Formy ró»niczkowe (caªo±¢). 32. Formy zewn¦trzne. 33. Iloczyn zewn¦trzny. 34. Formy ró»niczkowe. 35. Caªkowanie form ró»niczkowych. 36. Ró»niczkowanie zewn¦trzne. Roz. VIII. Rozmaito±ci symplektyczne. 37. Struktura symplektyczna na rozmaito±ci. 38. Hamiltonowskie potoki fazowe i ich niezmienniki caªkowe. 39. Algebry Liego pól wektorowych. 40. Algebra Liego pól Hamiltona. 41. Geometria symplektyczna. 42. Rezonans parametryczny w ukªadach o wielu stopniach swobody. 43. Atlas symplektyczny. Roz. IX. Formalizm kanoniczny. 44. Niezmiennik caªkowy Poincarégo-Cartana. 45. Konsekwencje twierdzenia o niezmienniku caªkowym Poincarégo-Cartana. 46. Zasada Huygensa. 47. Metoda Jacobiego-Hamiltona caªkowania równa« kanonicznych Hamiltona. 48. Funkcje tworz¡ce. Roz. IX. Wprowadzenie do teorii zaburze«. 49. Ukªady caªkowalne. 50. Wspóªrz¦dne dziaªanie-k¡t. 51*. U±rednianie.
E. Hairer, S. P. Nørsett, G. Warner, Solving Ordinary Dierential Equations (SODEs), Springer Link. Monumentalne dzieªo o tym jak analitycznie, a przede wszystkim numerycznie rozwi¡za¢ dane równanie. Rachunek wariacyjny. I. M. Gelfand, S. V. Fomin, Rachunek wariacyjny (GF), wi¦kszo±¢ bibliotek, np. NKFu i FAISu. Standardowy wykªad klasycznych osi¡gni¦¢ rachunku wariacyjnego. J. Jost, X. Li-Jost, Calculus of Variations (JLJ), BWMiI. Podr¦cznik zawieraj¡cy wprowadzenie do wspóªczesnych metod w rachunku wariacyjnym. M. Giaquinta, St. Hildebrandt, Calculus of Variations (GHCoV), Springer Link. Monogra a stara- j¡ca si¦ da¢ mo»liwie wyczerpuj¡cy opis wspóªczesnych metod. Geometria ró»niczkowa. J. Gancarzewicz, Zarys wspóªczesnej geometrii ró»niczkowej (ZWGR). Abstrakcyjna, dªuga i niepo- zbawiona sporych bª¦dów, jednak bardzo dobra pozycja dla ±rednio zaawansowanych. R. Sulanke, P. Wintgen, Geometria ró»niczkowa i teoria wi¡zek (SW), BWMiI. Pozycja wprowa- dzaj¡ca, zawieraj¡ca dobre wprowadzenie do teorii to»samo±ci geometryczno-caªkowych na rozma- ito±ciach. Teoria form. L. Schwartz, Kurs analizy matematycznej, tom II (LSII), BWMiI. Bez znajomo±ci teorii caªki z I tomu, prawie nie do zrozumienia. S. G. Krantz, H. R. Parks, Geometric Integration Theory (GIT), Springer Link. Zawiera wprowa- dzenie do teorii pr¡dów, pozwalaj¡cej rozwa»a¢ formy o warto±ciach w dystrybucjach. Geometria symplektyczna i mechanika. P. Libermann, Ch.-M. Marle, Symplectic Geometry and Analytical Mechanics (SGAM), BWMiI, Springer Link. Wykªad geometrii syplektycznej ilustrowany zastosowaniami w mechanice. Ukªady nieholonomiczne. J. I. Nejmark, N. A. Fufajew, Dynamika ukªadów nieholonomicznych (DUN), Allegro^2. Podstawowe, w dobry sposób staro±wieckie, dzieªo w tej dziedzinie. E. Massa, E. Paganim A new look at classical mechanics of constrained systems (EMEP), https://eudml.org/doc/76747. Nowoczesna próba zmierzenia si¦ z zagadnieniem wi¦zów nieho- lonomicnzych. Do±¢ trudna pozycja. H. Geiges Contact geometry (HGCM), arXiv:math/0307242v2 [math.SG] http://arxiv.org/abs/ math/0307242. Mo»na tu znale¹¢ dobre, jak na ten dziaª matematyki, wprowadzenie w teori¦ rozmaito±ci kontaktowych, podstaw¦ matematycznego opisu ukªadów nieholonomicznych. Geometria ró»niczkowa poza mechanik¡. G. Svetlichny, Preparation for Gauge Theory (PGT), arXiv:math-ph/9902027v3 http://arxiv. org/abs/math-ph/9902027. Czasami troch¦ zbyt zwi¦zªy, lecz merytorycznie bardzo dobry, wy- kªad na temat zastosowania geometrii ró»niczkowej, i pochodnych dziaªów matematyki, do opisu klasycznych teorii pola z cechowaniem, takich jak elektrodynamika, czy pola Yanga-Millesa. (^2) Prostszy sposób nie jest znany.
Wa»ne: Dla prawdziwego matematyka, jest du»o wa»niejsze by wiedzie¢ jakie problemy nie zostaªy wci¡» rozwi¡zane i gdzie znane obecnie metody okazaªy si¦ niewystarczaj¡ce, ni» pami¦ta¢ wszystkie liczby których iloczyny udaªo si¦ do tej pory uzyska¢, czy orientowa¢ si¦ w ocenianie literatury stworzonej na przestrzeni ostatnich 20 tysi¦cy lat. W. Arnold w przedmowie do ksi¡»ki Arnold's Problems, Springer Link, tªumaczenie swobodne.
Zauwa»yli±my bowiem, »e dla pocz¡tkuj¡cych sªuchaczy du»¡ przeszkod¦ w zdobywaniu tej nauki stanowi¡ dzieªa ró»nych teologów: ju» to dlatego, »e s¡ nadmiernie przeªadowane bez- u»ytecznymi zagadnieniami, artykuªami i dowodami, ju» to dlatego, »e zagadnienia, z jakimi owi pocz¡tkuj¡cy winni koniecznie si¦ zapozna¢, nie s¡ podane systematycznie: wedªug upo- rz¡dkowanej kolejno±ci nauk czy traktatów, ale omawiane s¡ albo w zwi¡zku z komentowaniem dzieª, albo z okazji dysputy; ju» to wreszcie dlatego, »e cz¦ste waªkowanie tego samego budziªo w ich umysªach nud¦ i zam¦t. Ufni w pomoc Bo»¡ i staraj¡c si¦ unikn¡¢ tych i podobnych niedoci¡gni¦¢, b¦dziemy usiªowali krótko i jasno - o ile na to sama rzecz pozwoli - wyªo»y¢ wszystko, co zakresem swoim obejmuje nauka ±wi¦ta. w. Tomasz z Akwinu we wst¦pie do Sumy Teologicznej, http://www.katedra.uksw.edu.pl/suma/suma_ 1.pdf.
