Metoda analityczno–wykreślna wyznaczania linii ugięcia belek, Poradniki, Projekty, Badania z Meccanica Dei Solidi

Pobierz Metoda analityczno–wykreślna wyznaczania linii ugięcia belek i więcej Poradniki, Projekty, Badania w PDF z Meccanica Dei Solidi tylko na Docsity! Politechnika Rzeszowska Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa Katedra Samolotów i Silników Lotniczych Pomoce dydaktyczne Wytrzymałość Materiałów Metoda analityczno–wykreślna wyznaczania linii ugięcia belek Łukasz Święch Rzeszów, 2018 Metoda analityczno-wykreślna KSiSL, WBMiL, Politechnika Rzeszowska – opracował: Łukasz Święch str. 2 1. Podstawy teoretyczne Metoda analityczno–wykreślna, zwana również metodą momentów wtórnych, stosowana jest w przypadkach gdy celowym jest wyznaczenie ugięć i kątów ugięcia tylko w konkretnych przekrojach belki. Istotą metody jest przyjęcie założenia, że rzędne wykresu momentów gnących 𝑀𝑔 stanowią obciążenie fikcyjne (wtórne) 𝑞 . Dla belki o stałym przekroju (𝐸𝐼 = const): 𝑑 𝑦 𝑑𝑥 = − 𝑴𝒈 𝐸𝐼 ⇒ 𝑑 (𝐸𝐼 𝑦) 𝑑𝑥 = −𝒒𝒇 Wiemy również, że obciążenie ciągłe jest równe pierwszej pochodnej siły tnącej, a zatem drugiej pochodnej momentu gnącego: 𝒒𝒇 = − 𝑑𝑇 𝑑𝑥 = − 𝒅𝟐𝑴𝒇 𝒅𝒙𝟐 Porównując podane zależności otrzymamy: 𝑑 (𝐸𝐼 𝑦) 𝑑𝑥 = − − 𝑑 𝑀 𝑑𝑥 ; 𝑑(𝐸𝐼 𝑦) 𝑑𝑥 = 𝑑𝑀 𝑑𝑥 + 𝐶 ; 𝐸𝐼 𝑦 = 𝑀 + C x + D Z powyższych zależności wynika, że jeżeli jesteśmy w stanie tak dobrać warunki brzegowe belki fikcyjnej aby C = 0 i D = 0, to ugięcie belki rzeczywistej obliczymy jako: 𝐸𝐼 𝑦 = 𝑀 ⇒ 𝑦 = 𝒇 = 𝑴𝒇 𝑬𝑰𝒛 kąt ugięcia belki rzeczywistej równy będzie: 𝑑(𝐸𝐼 𝑦) 𝑑𝑥 = 𝑑𝑀 𝑑𝑥 = 𝑇 ⇒ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑇 𝐸𝐼 ⇒ 𝜽 = 𝑻𝒇 𝑬𝑰𝒛 Dobór belki zastępczej: W celu wyrugowania stałych C i D, proces obliczeń prowadzi się nie dla belki rzeczywistej, a pewnej umownej belki zwanej zastępczą lub fikcyjną, która winna spełniać następujące warunki: 1. Jeżeli w pewnym punkcie belki rzeczywistej ugięcie jest równe zeru (𝑦 = 0), to w odpowiadającym mu punkcie belki zastępczej moment zastępczy musi równać się zeru 𝑀 = 0 . Natomiast jeżeli 𝑦 ≠ 0 to i 𝑀 ≠ 0. 2. Jeżeli w pewnym punkcie belki rzeczywistej kąt obrotu linii ugięcia równa się zeru (𝜃 = 0), to w odpowiadającym mu punkcie belki zastępczej siła tnąca musi być także równa zeru 𝑇 = 0 . Natomiast jeżeli 𝑦 ≠ 0 to i 𝑀 ≠ 0. Metoda analityczno-wykreślna KSiSL, WBMiL, Politechnika Rzeszowska – opracował: Łukasz Święch str. 5 Zad. 2. Stalową belkę o przekroju dwuteowym 𝐸 = 210 𝐺𝑃𝑎, 𝐼 = 1510 𝑐𝑚4 o długości 8 m obciążono w punkcie C siłą skupioną o wartości 𝑃 = 10𝑘𝑁 i podparto na obu końcach według schematu przedstawionego na rys. 2a. Wyznaczyć ugięcie i kąt ugięcia belki w punkcie B. Z warunków równowagi statycznej belki rzeczywistej wyznaczyć należy wartości reakcji: 𝑅 = 1 4 𝑃; 𝑅 = 3 4 𝑃 Moment gnący w belce rzeczywistej (rys. 2b): 𝑀𝑔(𝑥 ) = 𝑅 ∙ 𝑥 ; gdzie 𝑥 𝜖(0, 6𝑙) [𝑝𝑘𝑡 𝐴 → 𝐶] 𝑀𝑔(𝑥 ) = 𝑅 ∙ 𝑥 ; gdzie 𝑥 𝜖(0, 2𝑙) [𝑝𝑘𝑡 𝐷 → 𝐶] Belkę fikcyjną (rys. 2c) stworzyć należy według opisanych wyżej zasad (tab. 1) oraz obciążyć wydatkiem o przebiegu 𝑀𝑔(𝑥) dla belki rzeczywistej. Ugięcie i kąt ugięcia w punkcie B belki wyznacza się jako: f = 𝑀𝑔 𝐸𝐼 ; Θ = 𝑇 𝐸𝐼 gdzie, zgodnie z rys. 2d: 𝑇 = 𝑅 − 𝑄 𝑀𝑔 = 𝑅 ∙ 2𝑙 − 𝑄 ∙ 𝑥 W celu wyznaczenia powyższych wielkości niezbędnym jest określenie, z warunków równowagi belki fikcyjnej reakcji w punkcie A: Σ𝑀𝑓( ) = 0 ⇔ −𝑅 ∙ 8𝑙 + 𝑄 ∙ 𝑥 = 0 ⟹ 𝑅 = 𝑄 ∙ 𝑥 8𝑙 gdzie zgodnie z tablicą 2: 𝑄 = 1 2 ∙ 8𝑙 ∙ 3 2 𝑃𝑙 = 6𝑃𝑙 ; 𝑥 = 8𝑙 − 1 3 ∙ (2 ∙ 8𝑙 − 2𝑙) = 10 3 𝑙 Rys. 2. Metoda analityczno-wykreślna KSiSL, WBMiL, Politechnika Rzeszowska – opracował: Łukasz Święch str. 6 Reakcja fikcyjna w punkcie A wyniesi zatem: 𝑅 = 6𝑃𝑙 ∙ 10 3 𝑙 8𝑙 = 5 2 𝑃𝑙 Wypadkowa obciążenia wtórnego na odcinku pomiędzy punktami A i B: 𝑄 = 1 2 ∙ 2𝑙 ∙ 𝑀𝑔(𝑥 ) = 1 2 ∙ 2𝑙 ∙ 1 2 𝑃𝑙 = 1 2 𝑃𝑙 ; 𝑥 = 1 3 𝑙 Siła tnąca i moment gnący w punkcie B: 𝑇 = 𝑅 − 𝑄 = 5 2 𝑃𝑙 − 1 2 𝑃𝑙 = 2 𝑃𝑙 𝑀𝑔 = 𝑅 ∙ 2𝑙 − 𝑄 ∙ 𝑥 = 1 3 𝑃𝑙 ∙ 2𝑙 − 1 2 𝑃𝑙 ∙ 1 3 𝑙 = 1 2 𝑃𝑙 Kąt ugięcia w punkcie B jest zatem równy: Θ = 2 𝑃𝑙 𝐸𝐼 = 0,0063 ≈ 0,36° Ugięcie w punkcie B wynosi: f = 1 2 𝑃𝑙 𝐸𝐼 = 1,58 𝑚𝑚 Metoda analityczno-wykreślna KSiSL, WBMiL, Politechnika Rzeszowska – opracował: Łukasz Święch str. 7 Zad 3 Wyznaczyć strzałkę ugięcia oraz kąt ugięcia w przegubie (pkt. B) belki przedstawionej na rysunku 3.1. Rys. 3.1. Schemat belki Sposób podparcia belki skutkuje istnieniem w układzie trzech niezerowych wartości sił i momentów podporowych. W celu ich wyznaczenia należy myślowo podzielić belkę na dwie części, przy założeniu, że w punkcie B (przegub) moment równy jest zeru. Rys. 3. 2. Myślowy podział belki na dwa układy statycznie wyznaczalne Równania równowagi statycznej dla części lewej: Σ𝑀( ) = 0 ⇔ 𝑇 ∙ 2𝑙 − 𝑞 ∙ 2𝑙 ∙ 𝑙 − 𝑀 = 0 Σ𝑀( ) = 0 ⇔ −𝑀 − 𝑅 ∙ 2𝑙 + 𝑞 ∙ 2𝑙 ∙ 𝑙 = 0 Równania równowagi statycznej dla części prawej: Σ𝑀( ) = 0 ⇔ 𝑅 ∙ 𝑙 − 2𝑞𝑙 = 0 Σ𝑀( ) = 0 ⇔ 𝑇 ∙ 𝑙 − 2𝑞𝑙 = 0 Po rozwiązaniu powyższego układu równań otrzymamy: 𝑀 = 2𝑞𝑙 , 𝑅 = 0, 𝑅 = 2𝑞𝑙, 𝑇 = 2𝑞𝑙 Znając wartości reakcji możliwym staje się wyznaczenie rozkładu momentu gnącego wzdłuż rozpiętości belki: 𝑀𝑔(𝑥 ) = 𝑀 + 𝑅 ∙ 𝑥 − 𝑞 𝑥 2 ; 𝑥 𝜖(0, 2𝑙) [𝑝𝑘𝑡 𝐴 → 𝐵] 𝑀𝑔(𝑥 ) = 𝑀 + 𝑅 ∙ (2𝑙 + 𝑥 ) − 𝑞 ∙ 2𝑙 ∙ (𝑙 + 𝑥 ); 𝑥 𝜖(0, 𝑙) [𝑝𝑘𝑡 𝐵 → 𝐶]