Pobierz Metoda obliczania ugięcia elementów wzmocnionych i więcej Notatki w PDF z Budownictwo i prefabrykacja tylko na Docsity!
Jacek KORENTZ^1 Uniwersytet Zielonogórski
METODA OBLICZANIA UGIĘCIA BELEK ŻELBETOWYCH
WZMOCNIONYCH MATERIAŁEM KOMPOZYTOWYM
STRESZCZENIE
Wzmocnienia konstrukcji materiałami kompozytowymi są coraz częściej stosowane. We wzmocnionych tą techniką belkach żelbetowych dochodzi do uplastycznia jej zbrojenia po- dłużnego. Znane metody obliczania ugięcia belek żelbetowych oparte są na dwufazowym modelu sztywności i dlatego nie uwzględniają tego faktu. Opracowany przez autora trzyli- niowy model zależności moment-krzywizna dla zginanego wzmocnionego elementu żelbeto- wego pozwolił na opracowanie metody obliczania ugięcia wzmocnionych belek żelbetowych, która jest zaprezentowana w tym opracowaniu. Uzyskane tą metodą wyniki obliczeń wykazu- ją dosyć dużą zgodność z wynikami badań doświadczalnych.
SŁOWA KLUCZOWE: belka żelbetowa, wzmocnienie, zginanie, krzywizna, ugięcie.
1. WPROWADZENIE
Nośność i odkształcalność wzmacnianych elementów żelbetowych zależy między in- nymi od techniki wzmocnienia oraz właściwości mechanicznych zastosowanych materiałów naprawczych [5,10]. Do wymiarowania wzmocnień stosowane są znane metody analityczne wynikające z analizy stanów granicznych nośności [3,7], a także gotowe programy i instruk- cje firm produkujących materiały naprawcze. Natomiast sprawdzenie stanu granicznego ugię- cia jest utrudnione. W belkach żelbetowych wzmocnionych kompozytami dochodzi do upla- stycznienia istniejącego zbrojenia, dlatego dostępne normowe metody obliczania ugięcia nie mogą być zastosowane. Znane są w literaturze przedmiotu modele obliczeniowe i metody analizy odkształceń belek żelbetowych z dodatkowym zbrojeniem zewnętrznym wykonanym z materiałów kompozytowych, w całym zakresie obciążeń [1,2,11]. Ogólnie dostępnych dla projektantów metod analizy odkształceń belek po wzmocnieniu jest niewiele, można tu wy- mienić raport techniczny fip-ceb [3]. Jednak zawarta w nim metoda obliczania ugięcia wzmacnianych belek nie uwzględnia wszystkich faz pracy przekroju wzmocnionego [6]. W niniejszym opracowaniu zaprezentowano metodę obliczania ugięcie wzmocnionych belek żelbetowych na podstawie trzyliniowego model zależności moment-krzywizna dla wzmocnionego przekroju żelbetowego zaprezentowanego przez autora w opracowaniu [8]. Metoda obliczania ugięcia belek wzmacnianych przy wstępnym poziomie wytężenia będzie zaprezentowana w oddzielnym opracowaniu.
(^1) [email protected]
2. PROPONOWANE METODY OBLICZANIA UGIĘCIA
Metoda obliczania ugięcia wzmocnionych belek żelbetowych jest zaprezentowana na przykładzie belki poddanej czteropunktowemu zginaniu. Proponowaną metodologię oblicza- nia ugięcia ilustruje rys.1.
Rys.1. Model obliczeniowy: a) zależność moment-krzywizna, b) wykres momentów zginających i rozkład krzy- wizny na długości belki
Na rys.1a przedstawiono trzyliniowy model zależności moment-krzywizna dla zginanego przekroju żelbetowego opracowany przez autora [8]. Opisują go trzy charakterystyczne punk- ty rozdzielające fazy pracy wzmocnionego przekroju zginanego. Są to: faza pracy przekroju niezarysowanego, faza pracy przekroju zarysowanego i faza pracy przekroju z uplastycznio- nym zbrojeniem belki do chwili wyczerpania nośności. Wzory do obliczeń wartości momen- tów zginających i krzywizn na granicy poszczególnych faz zamieszczone są w pracy [8]. Na rys.1b zamieszczono wykres momentów zginających w analizowanej belce i rozkład krzywi- zny na długości belki. Obliczanie ugięcia na podstawie modelu zależności moment-krzywizna opiera się na całkowaniu krzywizny na długości analizowanego elementu. Sztywności elementu niezary- sowanego BI , po zarysowaniu BII i po uplastycznieniu zbrojenia BII,y obliczane są odpowied- nio z następujących zależności:
cr
cr I
M
B
sy cr
sy cr II
M M
B
Lu sy
Lu sy IIy
M M
B
, ^ (3)
Natomiast krzywiznę elementu niezarysowanego φI , zarysowanego φII i uplastycznionego φII,L można wyznaczyć odpowiednio z zależności:
B m
M (^) cr I
I
a) (^) M b)
M
I
BI
Msy
MLu
Mcr
cr sy Lu
II II,y
BII BII,y
B
Mcr M Mcr
cr (^) I II
Msy Msy
sy II,y
P P
rl yl pl l
pl
M<Msy wówczas we wzorze (15) φII,y=0 , a jeżeli element nie ulega zarysowaniu pod wpły- wem obciążeń tj. jeżeli M<Mcr to również φII=. Dla tak określonej krzywizny strzałka ugięcia może być obliczana z zależności:
a l^2 M (17)
lub może być też określona na podstawie uśrednionej sztywności belki (15):
l^2 B
M
a M (18)
gdzie we wzorach (17,18) αM jest współczynnikiem uwzględniającym rozkład momentu zgi- nającego na długości belki. Drugi sposób obliczania ugięcia na podstawie uśrednionej krzywizny lub sztywności jest mniej pracochłonny, pozwala bowiem na korzystanie z gotowych, znanych współczynni- ków αM określających rozkład krzywizny na długości obliczanych elementów. Oczywiście strzałki ugięcia obliczone wzorem (16) będą większe niż strzałki ugięcia obliczone wzorem (11), jednak różnica w uzyskanych wynikach nie jest zbyt duża, ponieważ belki po wzmocnieniu są znacznie wytężone na całej długości w zakresie nowych obciążeń eksploatacyjnych [4,9,10].
3. WALIDACJA MODELU
Opisane wcześniej sposoby obliczania ugięcia wzmocnionych belek żelbetowych zwe- ryfikowano przez porównanie obliczonych tymi sposobami ugięć z wynikami uzyskanymi podczas badań doświadczalnych. W tablicy 1 zamieszczone są podstawowe dane geome- tryczne badanych belek oraz właściwości mechaniczne zastosowanych materiałów do ich wykonania. Belki te były przedmiotem badań eksperymentalnych różnych autorów [2,4,9]. Są to wyniki badań dla belek, które zostały wzmocnione materiałami kompozytowymi przed ich obciążeniem. W badaniach tych mierzono różne wielkości, a w ich wyniku uzyskiwano rów- nież ścieżki równowagi statycznej badanych belek w całym zakresie obciążeń, od zera do obciążenia niszczącego. We wszystkich przypadkach były to belki poddane czteropunktowe- mu zginaniu. Na rys.2 zamieszczone są zależności między całkowitym obciążeniem P a przemiesz- czeniem a badanych belek oraz zależności P-a uzyskane dwoma metodami obliczania ugięcia prezentowanymi w niniejszym opracowaniu. Ugięcie metodą dokładną obliczone było wzo- rem (11), a ugięcie metodą uproszczoną obliczono wzorem (17).
Tablica 1. Podstawowe dane analizowanych belek.
Belka
Dane geometryczne Zbrojenie podłużne Beton Taśmy FRP b (cm)
h (cm)
l (m)
pl (m)
As (cm^2 )
As (cm^2 )
fsy (MPa)
fco (MPa)
Ec (GPa)
AL (cm^2 )
EL (GPa) Bz-1 [4] 12 30 3.00 1.00 3.39 0.32 551 44.4 30.0 0.6 165 B10 [2] 15.9 30.6 2.438 0.914 2.54 0 419 41.2 30.2 7.19 11. B-08/S [9] 15 30 3.00 0.80 3.39 1.57 490 33.8 27.3 0.96 171.
Jak można zauważyć, na rys.2 zależności obciążenie-przemieszczenie obliczone dwoma prezentowanymi metodami dają bardzo zbliżone wyniki. Niezbyt duże różnice między meto- dą dokładną a metodą uproszczoną zauważalne są dopiero po uplastycznieniu zbrojenia belki.
Rys.2. Zależności obciążenie-ugięcie: a) belka Z-1 [4], b) belka B10 [2], c) belka B-08/S [9]
Porównując wyniki badań eksperymentalnych i wyniki obliczeń, można stwierdzić, że pre- zentowane sposoby obliczania ugięcia odwzorowują wyniki badań w dostatecznym stopniu. Proponowany model obliczeniowy w jednym przypadku nie doszacowuje odkształceń belki (rys.1a), w jednym przypadku daje większe wartości ugięcia niż miało to miejsce w bada- niach (rys.1c) i w jednym przypadku wyniki obliczonych przemieszczeń w zasadzie pokrywa- ją się z wynikami eksperymentu (rys.1b). Zauważalne różnice między modelem a wynikami badań na razie są trudne do wytłu- maczenia. Najprawdopodobniej, zdaniem autora, mogą ona być spowodowane efektem skali. Badane belki miały bardzo małe wymiary przekroju poprzecznego, ich rozpiętość też nie była zbyt duża, dlatego dalszej weryfikacji modelu obliczeniowego należałoby dokonać na ele- mentach w skali naturalnej, również obciążanych w inny sposób.
4. PRZYKŁAD ZASTOSOWANIA
Zastosowanie prezentowanej metody obliczania ugięcia zilustrowano przykładem obli- czenia ugięcia belki wzmocnionej dwoma rodzajami taśm CFRP o różnych właściwościach mechanicznych, tj. taśmami wysokomodułowymi i niskomodułowymi. Na rys.3 przedstawio- no charakterystykę przekroju wzmocnionych belek, właściwości mechaniczne zastosowanych materiałów oraz schemat statyczny. Nośność belki przed wzmocnieniem wynosi 265kNm, a po wzmocnieniu dla obydwu rodzaju taśm nośność jest zwiększona o około 40% do 370kNm. Pierwszym etapem jest zbudowanie modelu zależności moment-krzywizna dla wzmoc- nionego przekroju belki, polegające na obliczeniu współrzędnych trzech charakterystycznych punktów modelu. Wzory do obliczania krzywizny i momentu zginającego zamieszczone są pracy [8]. Wyniki obliczeń współrzędnych charakterystycznych punktu modelu moment- krzywizna zamieszczone są w tablicy 2. Zakres obliczeń współrzędnych punktów tego mode- lu nie wymaga dużego nakładu pracy, jest bardzo zbliżony do określenia charakterystyk prze- kroju przy obliczaniu ugięcia belek żelbetowych.
a) b)
c)
0
20
40
60
80
100
120
140
0 0.01 0.02 0.
P (kN)
a (m)
wzór (17)
Wyniki badań
Model
wzór (11)
0
20
40
60
80
100
120
140
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.
P (kN)
a (m)
Wzór (17)
Wyniki badań
Model
Wzór (11)
0
50
100
150
200
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.
P (kN)
a (m)
Wzór (11)
Wyniki badań
Model
Wzór (17)
a 0. 0093566. 00 3. 50 cm 48
W taki sam sposób można obliczyć ugięcie belki F2, dla momentu zginającego 330kNm wy- nosi ono 4.30cm. Na podstawie prezentowanych wyników obliczeń można stwierdzić, że we wzmocnio- nych belkach mogą występować duże ugięcia 3.50cm i 4.30cm, które są większe od ugięcia maksymalnego wynoszącego 600cm/250=2.40cm. Przy określonym poziomie obciążenia (M=330kNm) zauważalna jest też duża różnica w ugięciach belek dla obu zastosowanych materiałów naprawczych. Ugięcie belki F2 wzmocnionej taśmą niskomodułową jest większe od ugięcia belki F1 wzmocnionej taśmą wysokomodułową o 0.80cm. Zakładając wzmocnienie belki żelbetowej (wykres dla belki niewzmocnionej na rys.4) po odciążeniu jej do poziomu M=132kNm prezentowanym sposobem i materiałami napraw- czymi, przyrost ugięcia po wzmocnieniu, dla nowych obciążeń (M=330kNm) będzie wynosił 2.50cm lub 3.30 cm, w zależności od zastosowanych materiałów naprawczych. W takim przypadku można jeszcze przyjąć, że przyrost ugięcia belki F1 po wzmocnieniu będzie mie- ścił się w granicach dopuszczalnego maksymalnego ugięcia.
5. PODSUMOWANIE
Niektóre konstrukcje wymagają wzmocnień, aby przywrócić im pierwotną nośność albo zwiększyć ich nośność ze względu na zamianę przeznaczenia obiektu. W tym celu stosowane są różne techniki wzmocnienia i materiały naprawcze o bardzo zróżnicowanych cechach me- chanicznych. Ostatnio bardzo często stosowane są kompozyty węglowe ze względu na ich wysoką wytrzymałość. Kompozytami można zwiększyć nośność elementu w znacznym stop- niu, ale zwiększenie sztywności wzmocnionego elementu jest nieduże. Stąd mogą pojawić się problemy z nadmiernymi ugięciami wzmacnianych elementów od nowoprojektowanych od- działywań. Ponad to istniejące zbrojenie we wzmacnianych belkach może ulec uplastycznie- niu w zakresie obciążeń eksploatacyjnych i pojawiają się wtedy w belce odkształcenia trwałe. O ile wymiarowanie zbrojenia wzmacniającego nie stanowi większego problemu, to oblicza- nie ugięcia może sprawić trudność, ponieważ znane normowe metody obliczania odkształceń konstrukcji żelbetowych oparte są na modelach dwufazowych, w których nie uwzględnia się uplastycznienie zbrojenia. Opracowany przez autora model zależności moment-krzywizna dla przekroju wzmoc- nionego, a na jego podstawie metoda obliczania ugięcia pozwala na ocenę odkształceń wzmocnionych belek żelbetowych w całym zakresie obciążeń. Uzyskane tą metodą wyniki obliczeń wykazują dosyć dobrą zgodność z wynikami badań doświadczalnych. Przedstawiona metoda obliczania ugięcia dotyczy jedynie belek wzmocnionych przed obciążeniem. W praktyce wzmacnia się elementy już istniejące. eksploatowane od wielu lat, trwale zdeformowane i wstępnie wytężone przed wzmocnieniem. Dlatego konieczna jest opracowanie metody do obliczania odkształceń wzmacnianych belek trwale zdeformowanych i wstępnie wytężonych. To zagadnie będzie przedmiotem odrębnego opracowania autora.
Piśmiennictwo
[1] Charkas H., Rasheed M., Melhem M., Simplified load-deflection calculations of FRP strengthened RC beams based on a rigorous approach, Proc. 15th ASCE Engineering Mechanics Conference, June 2-5, 2002, Columbia University, New York [2] El-Mihilmy M.T., Tedesco J.W., Deflection of reinforced concrete beams strengthened with fiber-reinforced polymer (FRP) plates, ACI Structural Journal, Vol.97, No.5, 2000,
[3] Externally bonded FRP reinforcement for RC structures, Technical Report, Fib Biulletin, No 14, Lausanne, 2001 [4] Jankowiak I., Wzmacnianie taśmami CFRP belek żelbetowych przy różnych poziomach obciążenia - badania laboratoryjne, Trwałość i skuteczność napraw obiektów budowla- nych, III konferencja naukowa. Rydzyna-Poznań, 2010, [5], CD-ROM [5] Korentz J., Efektywność technik wzmacniania belek żelbetowych, Renowacja budynków i obszarów zabudowanych, t.5, 2009, 301- [6] Korentz J., Obliczanie ugięcia wzmacnianych belek żelbetowych wg zaleceń fip-ceb, Przegląd Budowlany, Nr 4, 2011, 131- [7] Korentz J., Wymiarowanie wzmocnień belek żelbetowych, Wiadomości Projektanta Bu- downictwa, 2010, Nr 11 (238) [8] Korentz J., Model zależności momenty-krzywizna dla wzmocnionych przekrojów zgina- nych, Konstrukcje zespolone, t.9, Zielona Góra, 2011, w druku [9] Kotynia R., Kamińska M.E., Odkształcalność i sposób zniszczenia żelbetowych belek wzmocnionych na zginanie materiałami kompozytowymi CFRP, Zeszyt 9, Wydawnictwo Katedry Budownictwa Betonowego Politechniki Łódzkiej, Łódź, 2000 [10] Kotynia R., Kamińska M.E., Odkształcalność i sposób zniszczenia żelbetowych belek wzmocnionych na zginanie materiałami kompozytowymi CFRP, Zeszyt 13, Wydawnic- two Katedry Budownictwa Betonowego Politechniki Łódzkiej, Łódź, 2003 [11] Said H., Deflection prediction for FRP-strengthened concrete beams, Journal of Compo- sites for Construction, Vol.14, No.2, 2010, 244-
A METHOD THE DEFLECTION CALCULATIONS OF FRP STRENGTHENED
REINFORCED CONCRETE BEAMS
Summary
The external FRP flexural strengthening of reinforced concrete beams is well- established practice for structural rehabilitation and upgrade. Unlike conventional reinforced concrete structures, FRP strengthened members can exhibit additional flexural capacity in the postyielding stage. This makes RC models for predicting deflection inapplicable in case of FRP strengthened structures. Two method, based on a trilinear moment-curvature model, for calculating the deflection of RFP strengthened reinforced concrete beams is proposed. The deflections calculated using the proposed simplified expressions were found to correlate well with the measured the deflection in laboratory beam tests.
