Metoda podstawiania rozwiązywania układów równań z ..., Notatki z Matematyka

Pobierz Metoda podstawiania rozwiązywania układów równań z ... i więcej Notatki w PDF z Matematyka tylko na Docsity!

Metoda podstawiania rozwiązywania układów

równań z dwiema niewiadomymi

Wprowadzenie Przeczytaj Animacja Sprawdź się Dla nauczyciela

Pierwsze układy równań rozwiązywali już kilka tysięcy lat temu matematycy żyjący w starożytnym Babilonie. Na znalezionych glinianych tabliczkach, archeolodzy odkryli układy równań zapisane pismem klinowym. Nie przypominają używanych przez nas symboli matematycznych, jednak metody ich rozwiązywania, używane przez starożytnych Babilończyków, są bardzo zbliżone do tych, które stosujemy obecnie.

Twoje cele

Przekształcisz układ równań tak, aby otrzymać układ równoważny. Rozwiążesz układ równań liniowych metodą podstawiania.

Źródło: Antoine Dautry, dostępny w internecie: www.unsplash.com.

Metoda podstawiania rozwiązywania układów równań

z dwiema niewiadomymi

dodanie do obu stron danego równania takiej samej liczby (tego samego wyrażenia).

Przykład 1

Rozwiążemy równanie.

Opuszczamy nawias znajdujący się po lewej stronie równania.

Redukujemy wyrażenie znajdujące się po lewej stronie równania.

Mnożymy obie strony równania przez.

Przenosimy niewiadome na lewą stronę równania, a wyrazy wolne na prawą stronę (dodajemy do obu stron równania taką samą liczbę/takie samo wyrażenie).

Dzielimy obie strony równania przez liczbę znajdującą się przy niewiadomej.

Otrzymaliśmy rozwiązanie równania.

.

Przykład 2

Aby wyznaczyć z równania jedną z kilku niewiadomych, postępujemy podobnie jak podczas rozwiązywania równań z jedną niewiadomą. Możemy zatem mnożyć lub dzielić obie strony równania przez to samo niezerowe wyrażenie, czy też przenosić wyrażenia na drugą stronę równania. Chcemy, aby wyznaczana zmienna znajdowała się po jednej stronie równania, a wszystkie pozostałe zmienne oraz liczby – po drugiej stronie.

Przekształcimy równanie liniowe z dwiema niewiadomymi tak, aby wyznaczyć z niego wskazaną niewiadomą.

Wyznaczymy niewiadomą.

Opuszczamy nawias znajdujący się po prawej stronie równania.

2 ⋅ (3 + x) + 4 = x+5 2

6 + 2x + 4 = x+5 2

2 x + 10 = x+5 2

4 x + 20 = x + 5

4 x − x = 5 − 20

3 x = −

x = −

3 x + 2y = 5 ⋅ (x + y) + 4

x

Dodajemy do obu stron równania wyrażenie.

Dodajemy do obu stron równania wyrażenie.

Dzielimy obie strony równania przez.

Wyznaczyliśmy z równania niewiadomą.

Wyznaczymy teraz niewiadomą.

Opuszczamy nawias znajdujący się po prawej stronie równania.

Dodajemy do obu stron równania wyrażenie.

Dodajemy do obu stron równania wyrażenie.

Dzielimy obie strony równania przez.

Wyznaczyliśmy z równania niewiadomą.

.

Rozwiązywanie układów równań metodą podstawiania polega na:

wyznaczeniu dowolnej niewiadomej z jednego z równań układu,

podstawieniu tak uzyskanego wyrażenia do drugiego z równań w miejsce wyznaczonej niewiadomej,

rozwiązaniu otrzymanego równania z jedną niewiadomą,

podstawieniu otrzymanej wartości niewiadomej do pierwszego równania.

3 x + 2y = 5x + 5y + 4

(−2y)

3 x = 5x + 3y + 4

(−5x)

−2x = 3y + 4

x = − 32 y − 42

x

x = − 32 y − 2

y

3 x + 2y = 5x + 5y + 4

(−5y)

3 x − 3y = 5x + 4

(−3x)

−3y = 2x + 4

y

y = − 23 x − 43

Wyznaczamy niewiadomą z drugiego równania.

Podstawiamy wyznaczone wyrażenie do pierwszego równania w miejsce niewiadomej.

Rozwiązujemy pierwsze równanie.

Otrzymaną wartość podstawiamy do drugiego równania.

Otrzymaliśmy parę liczb, będącą rozwiązaniem układu równań

Przykład 5

Dany jest układ równań.

Rozwiążemy ten układ stosując metodę podstawiania.

Wyznaczamy niewiadomą z pierwszego równania. (Moglibyśmy też wyznaczyć z drugiego równania. Spróbuj samodzielnie rozwiązać układ w ten sposób).

Podstawiamy wyznaczone wyrażenie do drugiego równania w miejsce niewiadomej.

Rozwiązujemy drugie równanie.

y

−3x + 2y = 5

y = −2x + 4

y

−3x + 2 ⋅ (−2x + 4) = 5

y = −2x + 4

−3x − 4x + 8 = 5

y = −2x + 4

−7x = −3 | : (−7)

y = −2x + 4

x

x = 37

y = −2 ⋅ 37 + 4

x = 37

y = 227

x − 2y = 10

5 x + y = 6

x y

x = 2y + 10

5 x + y = 6

x

x = 2y + 10

5 ⋅ (2y + 10) + y = 6

Otrzymaną wartość podstawiamy do pierwszego równania i obliczmy wartość niewiadomej.

Otrzymaliśmy parę liczb, będącą rozwiązaniem układu równań

Przykład 6

W niektórych układach równań wygodniej jest wyznaczyć wyrażenie zawierające niewiadomą (np. , ).

Rozwiążemy metodą podstawiania układ równań.

Wyznaczamy wyrażenie z pierwszego równania.

Podstawiamy wyznaczone wyrażenie do drugiego równania w miejsce wyrażenia.

Rozwiązujemy drugie równanie.

{

x = 2y + 10

10 y + 50 + y = 6

{

x = 2y + 10

11 y = −

{

x = 2y + 10

y = −

y x

{

x = 2 ⋅ (−4) + 10

y = −

{

x = 2

y = −

3 x 2 y

{

2 x + 7y = 12

4 x + 3y = 2

2 x

{

2 x = −7y + 12

2 ⋅ (2x) + 3y = 2

2 x

{

2 x = −7y + 12

2 ⋅ (−7y + 12) + 3y = 2

{

2 x = −7y + 12

−14y + 24 + 3y = 2

{

2 x = −7y + 12

−11y = −

{

2 x = −7y + 12

y = 2

Animacja

Polecenie 1

Zapoznaj się z przykładami zastosowania metody podstawiania do rozwiązywania układów równań przedstawionymi w animacji. Następnie wykonaj samodzielnie Polecenie 2.

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D5gXbKsrv

Film nawiązujący do treści lekcji dotyczący rozwiązywania układów równań liniowych metodą podstawiania.

Polecenie 2

Rozwiąż układ równań.

Wybierz takie podstawianie, aby otrzymać najprostszą postać równania z jedną niewiadomą.

{ 3 x + 5y = − x − y = 2

Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia: (^) 輸 醙 難

Ćwiczenie 1

Wskaż wszystkie zdania prawdziwe

Rozwiązując układ równań metodą podstawiania, możemy wyznaczyć niewiadomą tylko z drugiego równania.

Rozwiązując układ równań metodą podstawiania, możemy zamieniać kolejność równań.

Rozwiązując układ równań metodą podstawiania, możemy wyznaczyć dowolną niewiadomą z dowolnego równania tego układu.

Rozwiązując układ równań metodą podstawiania, możemy wyznaczyć niewiadomą tylko z pierwszego równania.

y

x

Ćwiczenie 2

Uzupełnij wyznaczone miejsca, wyznaczając z równania wskazaną niewiadomą. Wpisz poprawne liczby.

3 x + y = 2 ⇒ y = ⋅x+ 5 x + 15y = 5 ⇒ x = ⋅y+ −10x + 2y = 12 ⇒ y = ⋅x+ 1 2 x^ − 1, 5y^ = 1 ⇒^ x^ =^ ⋅y+

輸

輸

Ćwiczenie 5

Posortuj w odpowiedniej kolejności układy równań, ilustrujące rozwiązanie układu {.

18 x + 12y = 48

7 x − 2y = −

{

x = 0, 5

2 y = 6, 5

{

18 x + 6 ⋅ (7x + 3) = 48

2 y = 7x + 3

{

x = 0, 5

y = 3, 25

{

18 x + 6 ⋅ (2y) = 48

2 y = 7x + 3

{

60 x = 30

2 y = 7x + 3

{

18 x + 42x + 18 = 48

2 y = 7x + 3

{

x = 0, 5

2 y = 7 ⋅ 0, 5 + 3

{

18 x + 12y = 48

2 y = 7x + 3

醙

Ćwiczenie 6

Na wykresie przedstawiono ilustrację graficzną układu równań. Korzystając z metody podstawiania, znajdź współrzędne punktu przecięcia się prostych.

Ćwiczenie 7

Rozwiąż układ równań metodą podstawiania {. 4 x − 2y = 12 1, 5y + 2x = 1

Ćwiczenie 8

Wyznacz rozwiązanie układu równań { w zależności od parametru. x + y = m 2 x − y = 3 m

醙

難

難

dyskusja rozmowa nauczająca z wykorzystaniem animacji

Formy pracy:

praca całego zespołu klasowego praca w grupach praca w parach

Środki dydaktyczne:

komputery z głośnikami i dostępem do Internetu, słuchawki zasoby multimedialne zawarte w e–materiale tablica interaktywna/tablica, pisak/kreda

Przebieg lekcji

Faza wstępna:

1. Nauczyciel podaje temat i cele zajęć oraz wspólnie z uczniami ustala kryteria sukcesu.
2. Uczniowie będą pracować metodą stacji eksperckich.
3. Ośmiu uczniów tworzy cztery grupy eksperckie, które przygotowują informacje na temat metod rozwiązywania równań.
4. Eksperci prezentują w dowolnie wybranej formie, przygotowane przez siebie wiadomości. Przygotowują cztery stacje eksperckie.

Faza realizacyjna:

1. Uczniowie – eksperci kolejno prezentują przygotowane przez siebie informacje. Po prezentacji odpowiadają na pytania pozostałych uczniów i wyjaśniają wątpliwości.

I. Równoważne przekształcanie równań. Uczniowie mogą wykorzystać Przykład 1 z części „Przeczytaj”.

II. Wyznaczanie z równania wskazanej zmiennej. Uczniowie mogą wykorzystać Przykład 2 z części „Przeczytaj”.

III. Równoważne przekształcanie układów równań liniowych. Uczniowie mogą wykorzystać Przykład 3 z części „Przeczytaj”.

IV. Rozwiązywanie układów równań liniowych z dwiema niewiadomymi metodą postawiania. Uczniowie mogą wykorzystać Przykład 4 i Przykład 5 z części „Przeczytaj”.

2. Pracując w parach, uczniowie zapoznają się animacją i wykonują polecenie 2.
3. Nauczyciel dzieli uczniów na cztery grupy, które podchodzą do stacji informacyjnych. Każda z grup zadaniowych, rozwiązuje przygotowane przez ekspertów zadania.

4. Eksperci wspierają pozostałych uczniów, wyjaśniają wątpliwości. Nauczyciel nadzoruje pracę grup.
5. Po wykonaniu zadań z danego zakresu, grupy zadaniowe przechodzą do kolejnej stacji.
6. Uczniowie w parach rozwiązują zadania z ćwiczeń 1‐4. Rozwiązania zadań uczniowie zapisują w zeszycie, sprawdzając w materiale ich poprawność.

Faza podsumowująca:

1. Jako podsumowanie nauczyciel zadaje uczniom pytania dotyczące ćwiczeń. Nauczyciel i uczniowie – eksperci wyjaśniają wątpliwości.
2. Nauczyciel omawia przebieg zajęć, omawia pracę ekspertów oraz wskazuje mocne i słabe strony pracy uczniów, udzielając im tym samym informacji zwrotnej.

Praca domowa:

Uczniowie wykonują ćwiczenia interaktywne 5‐8.

Materiały pomocnicze:

Rozwiązywanie równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą Przekształcanie wzorów Układ równań liniowych

Wskazówki metodyczne:

Animacja może być wykorzystana przez uczniów do utrwalenia wiadomości z lekcji oraz podczas lekcji powtórzeniowych z działu „Układy równań liniowych”.