Metoda przemieszczń: przykład liczbowy, Opracowania z Fisica

Pobierz Metoda przemieszczń: przykład liczbowy i więcej Opracowania w PDF z Fisica tylko na Docsity! Część 2 5. METODA PRZEMIESZCZEŃ – PRZYKŁAD LICZBOWY 1 5.  5. METODA PRZEMIESZCZEŃ - PRZYKŁAD LICZBOWY 5.1. Działanie sił zewnętrznych Znaleźć wykresy rzeczywistych sił wewnętrznych w ramie o schemacie i obciążeniu podanym na rys. 5.1. EJ 5.0 8kN 0,3EJ 3.0 4.0 1.0 q = 6 kN/m [m] 0 1 2 3 Rys. 5.1. Rama płaska statycznie niewyznaczalna Zanim przyjmiemy układ podstawowy metody przemieszczeń, zauważmy, że pręt 1-3 jest elementem statycznie wyznaczalnym. Możemy zatem wyciąć ten pręt myślowo, a następnie obciążyć pozostałą część ramy siłami, które powstaną w utwierdzeniu tego pręta. 8kN 1.0 q = 6 kN/m [m] M = 8 ·1 + 6 ·1· = 11 [kNm] 12 R = 8 + 6 ·1 = 14 [kN] Rys. 5.2. Statycznie wyznaczalna część ramy Teraz przyjmujemy układ podstawowy EJ 14 kN 0,3EJ Δ q = 6 kN/m 11 kNm φ Rys. 5.3. Układ podstawowy z dodatkowym wewnętrznym utwierdzeniem oraz podporą poziomą Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater Część 2 5. METODA PRZEMIESZCZEŃ – PRZYKŁAD LICZBOWY 2 oraz związany z nim układ równań kanonicznych: {r11r12r1 P=0r21r22r2 P=0 (5.1) Konstrukcja wykonana jest z profili dwuteowych o następujących wielkościach charakterystycznych przekrojów: EJ  I140HEB h=0,14 m J x=1510 cm 4 0,3 EJ  I100HEB h=0,10 m J x=453 cm 4 Wartości momentów w poszczególnych stanach, od jednostkowych przemieszczeń obliczamy ze wzorów transformacyjnych. • Stan φ = 1: 4·0,3EJ φ=1 M 1 5 3·EJ 5 r 11 2·0,3EJ 5 r 21 Rys. 5.4. Wykres momentów w układzie podstawowym powstały od obrotu φ1 = 1 (stan I) W stanie D = 1 trzeba najpierw znaleźć kąty obrotu cięciw prętów ψ. W tym celu tworzymy łańcuch kinematyczny 5.0 3.0 4.0 [m] Ψ 01 0 1 Δ=1 2 Ψ 12 Rys. 5.5. Kąty obrotu cięciw prętów na wskutek jednostkowego przesuwu po kierunku D = 1 Z równań łańcucha wyznaczamy kąty obrotu cięciw prętów: Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater Część 2 5. METODA PRZEMIESZCZEŃ – PRZYKŁAD LICZBOWY 5 6·42 14kN 24kN M p o 12 6·42 12 11kNm r 1P r 2P Rys. 5.7. Wykres momentów w układzie podstawowym od obciążenia zewnętrznego i korzystając z równania równowagi w węźle, oraz z zasady pracy wirtualnej wyznaczamy brakujące reakcje: r1 P= 6⋅42 12 −11=−3[kNm ] W równaniu pracy wirtualnej oprócz momentów pracujących na kątach ψ trzeba uwzględnić obciążenie pracujące na przemieszczeniach: r2 P⋅124⋅ 1 2 14⋅1=0 r2 P=−26 [kN ] Mając wszystkie współczynniki możemy wyznaczyć szukane przemieszczenia węzłów z układu równań kanonicznych: {0,84 EJ⋅=30,0585 EJ⋅=26 → {=3,5714286EJ=444,4444444 EJ Korzystając ze wzoru superpozycyjnego M P n=M PM 1⋅M 2⋅ (5.6) możemy wyliczyć wartości momentów w układzie niewyznaczalnym w poszczególnych węzłach analizowanej ramy. M 01=− 6⋅42 12 2⋅0,3 EJ 5 ⋅3,57143 EJ −6⋅0,3 EJ 20 ⋅444,44444 EJ =−80,42857−40=−47,57143 [kNm ] M 10=82⋅0,42857−40=−31,14286 [kNm ] M 12= 3 5 EJ⋅3,57143 EJ 3 5 EJ⋅ 3 20 ⋅444,44444 EJ =42,14286 [kNm ] W wykresie ostatecznym (rys. 5.8) nie wolno zapomnieć o statycznie wyznaczalnej części ramy. Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater Część 2 5. METODA PRZEMIESZCZEŃ – PRZYKŁAD LICZBOWY 6 3 0 1 2 31,143 47,571 42,143 M p (n) 11 [kNm] Rys. 5.8. Wykres momentów w układzie statycznie niewyznaczalnym Obciążając poszczególne pręty wyznaczonymi momentami określamy wartości sił tnących. R 12 42,1429 kNm 1 2 Rys. 5.9. Przęsło 1-2 Najpierw poddamy analizie przęsło 1-2. Z sumy momentów względem punktu 2 (rys. 5.9) możemy wyznaczyć reakcje R12. ∑M 2=0 R12= 42,1429 5,0 =8,42857 [kN ] Wynik ten pozwala nam na bezpośrednie wyznaczenie siły tnącej na przęśle 1-2, gdyż jest ona na tym odcinku stała (brak obciążenia ciągłego). Teraz zajmijmy się przęsłem 1-0. Aby uzyskać wynik w postaci sił tnących należy wyliczyć obie reakcje R10 i R01. q = 6 kN/m 31,1429 kNm 47,5714 kNm R01 R10 1 0 4,0 3,0 [m] 5,0 α Rys. 5.10. Przęsło 0 -1 Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater Część 2 5. METODA PRZEMIESZCZEŃ – PRZYKŁAD LICZBOWY 7 ∑M 0 : 0−47,5714−31,1429−R10⋅56⋅4⋅2=0 R10=−6,14286 [kN ] ∑M 1 : 0−47,5714−31,1429R01⋅5−6⋅4⋅2=0 R01=25,34289 [kN ] Odcinek 1-3 ramy jak zauważyliśmy wcześniej jest statycznie wyznaczalny. q = 6 kN/m 3 1 8 kN y α1-α1 α Rys. 5.11. Przęsło 1-3 Do wyznaczenia sił wewnętrznych potrzebne na będą funkcje sinus i cosinus kąta nachylenia wspornika względem poziomu. Z rysunku 5.10 odczytujemy: sin=4 5 cos=3 5 Zapiszmy równanie tnącej rzutując wszystkie siły wewnętrzne na kierunek prostopadły do osi belki. T =8⋅sin6⋅y⋅sin Z tego równania, podstawiając odpowiednio za y najpierw 0, a potem 1 uzyskujemy wartości siły tnącej na końcach przęsła. T 31=8⋅ 4 5 =6,4 [kN ] T 13=8⋅ 4 5 6⋅1⋅4 5 =11,2 [kN ] Z uzyskanych wyników możemy narysować wykres sił tnących dla całej ramy. 25,343 T p (n) 6,143 8,4286 6,411,2 + [kN] + - Rys. 5.12. Wykres sił tnących w układzie statycznie niewyznaczalnym Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater Część 2 5. METODA PRZEMIESZCZEŃ – PRZYKŁAD LICZBOWY 10 5.2. Wpływ osiadań podpór Przeanalizujmy tę samą ramę w przypadku kiedy podpory doznają przemieszczeń. 5.0 3.0 4.0 [m] EJ 0,3EJ 0,03 m 0,006 rad 0 1 2 3 Rys. 5.18. Rama płaska statycznie niewyznaczalna doznająca przemieszczeń w podporach Ponieważ pręt 1-3 jest elementem statycznie wyznaczalnym, osiadania podpór nie wywołają w nim sił wewnętrznych. Dlatego pominiemy go w dalszych obliczeniach i wykorzystamy wcześniejszy układ podstawowy EJ 0,3EJ 0,03 m 0,006 rad φ Δ Rys. 5.19. Układ podstawowy z dodatkowym wewnętrznym utwierdzeniem oraz podporą poziomą oraz wyznaczoną dla niego macierz sztywności. W układzie równań kanonicznych trzeba jedynie uwzględnić inne wyrazy wolne: {0,84 EJ⋅r1=00,0585 EJ⋅r2=0 W celu ich wyznaczenia obliczamy kąty obrotów cięciw prętów powstałe na skutek osiadania podpór: Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater Część 2 5. METODA PRZEMIESZCZEŃ – PRZYKŁAD LICZBOWY 11 5.0 3.0 [m] 0,006 rad 0,03 m 0 1 2 ψ12(Δ) ψ01(Δ) 4.0 Rys. 5.20. Kąty obrotu cięciw prętów od osiadania podpór 012 01 ⋅412 ⋅0=0  01 =0 012  01 ⋅312 ⋅5=0,03  12 =0,006 [rad ] oraz 0 =0,006 [rad ] Obliczone wartości podstawiamy do wzorów transformacyjnych i rysujemy wykres momentów od osiadań podpór, M Δ 3·0,006·EJ 2·0,3·0,006·EJ 4·0,3·0,006·EJ r 1Δ r2Δ 5 5 5 Rys. 5.21. Wykres momentów w układzie podstawowym od osiadania podpór a następnie, korzystając z równowagi sił w węźle oraz z zasady pracy wirtualnej określamy szukane reakcje: r1=− 3 5 EJ⋅0,006 2 5 ⋅0,3 EJ⋅0,006=−0,00432 EJ r2⋅1− 6⋅0,3 EJ 5 ⋅0,006⋅ 1 4 −3 5 EJ⋅0,006⋅− 320⋅1=0 r2=0 Znając wartości reakcji riΔ możemy wyznaczyć przemieszczenia węzłów z układu równań kanonicznych: {0,84 EJ⋅−0,00432 EJ =00,0585 EJ⋅0=0 Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater Część 2 5. METODA PRZEMIESZCZEŃ – PRZYKŁAD LICZBOWY 12 Wynoszą one: {=5,142851⋅10−3=0 Korzystając ze wzoru superpozycyjnego możemy wyliczyć wartości momentów w układzie niewyznaczalnym w poszczególnych węzłach ramy. Ponieważ jedno z przemieszczeń jest równe zero wzór superpozycyjny upraszcza się: M  n=M M 1⋅ (5.7) M Δ (n) 5,1429 8,2286 ·10 -4EJ Rys. 5.22. Wykres momentów w układzie niewyznaczalnym od osiadania podpór Wartości sił tnących wyznaczamy, podobnie jak poprzednio, analizując oddzielnie każdy pręt obciążony wyznaczonymi momentami. 1,02857 0,61714 T Δ (n) + + ·10-4EJ Rys. 5.23. Wykres sił tnących w układzie niewyznaczalnym od osiadania podpór Siłę normalną N10 wyliczymy na podstawie warunku równowagi sił w węźle 1 (rys. 5.24). 1,0285714 0 0,617143 N10 1 Rys. 5.24. Siły działające w węźle 1 Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater Część 2 5. METODA PRZEMIESZCZEŃ – PRZYKŁAD LICZBOWY 15 0 1 2 0,3·40·EJ·α t 1,5·20·EJ·α t M Δt r 1Δt r 2Δt -0,3·40·EJ·α t 0,1 0,14 0,1 Rys. 5.29. Wykres momentów w układzie podstawowym od różnicy temperatur Dt Korzystając z równowagi w węźle oraz z zasady pracy wirtualnej wyznaczamy reakcje: r1 t= 0,3⋅40 0,1 EJ⋅t 3 2 ⋅ 20 0,14 EJ⋅t=334,285714 EJ⋅t r2 t⋅10⋅ 1 4  3 2 ⋅ 20 0,14 EJ⋅t⋅− 320⋅1=0 r2 t=32,142857 EJ⋅t Drugim przypadkiem obciążenia jest równomierne działanie temperatury. Temperaturę w prętach układu obliczamy jako różnicę pomiędzy temperaturą średnią i temperaturą montażu: t= t gt d 2 −tm (5.9) Przyjmując t m=10 C o otrzymujemy: EJ 0,3EJ t 10 =-10˚C 2 1 0 t 12 =20˚C φ Δ Rys. 5.30. Układ podstawowy obciążony temperaturą t W celu wyznaczenia kątów obrotów cięciw prętów tworzymy łańcuch kinematyczny uwzględniający wydłużenia prętów na wskutek równomiernego ogrzania konstrukcji: Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater Część 2 5. METODA PRZEMIESZCZEŃ – PRZYKŁAD LICZBOWY 16 5.0 3.0 4.0 [m] 0 1 2 ψ12(t) ψ01(t) Rys. 5.31. Kąty obrotu cięciw prętów od równomiernego ogrzania 012 01  t ⋅4t⋅−10 Co ⋅312t ⋅0t⋅20 Co ⋅5=0  01t =−17,5⋅t 012  01 t ⋅3−t⋅−10 Co ⋅412t ⋅5=0  12t =2,5⋅t Dysponując kątami ik t  możemy narysować wykres momentów (rys. 5.32) 6·0,3·17,5·EJ·α t M t r 1t r 2t 6·0,3·17,5·EJ·α t 3·2,5·EJ·α t 5 5 5 0 1 2 Rys. 5.32. Wykres momentów w układzie podstawowym od temperatury to a następnie wyznaczyć reakcje powstałe przy równomiernym ogrzaniu: r1 t= 6⋅0,3⋅17,5⋅EJ⋅t 5 − 3 5 ⋅2,5⋅EJ⋅t=6,3−1,5 ⋅EJ⋅t=4,8 EJ⋅t r2 t⋅12⋅6,3⋅EJ⋅t⋅ 1 4 −1,5⋅EJ⋅t⋅− 320 =0 r2 t=−3,375 EJ⋅t Po zsumowaniu otrzymanych reakcji od t i Δt tworzymy układu równań kanonicznych: {0,84 EJ⋅334,2857144,8  EJ⋅t=00,0585 EJ⋅32,142857−3,375  EJ⋅t=0 i wyznaczamy wartości przemieszczeń w ramie obciążonej temperaturą: Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater Część 2 5. METODA PRZEMIESZCZEŃ – PRZYKŁAD LICZBOWY 17 {=−4,844081633⋅10−3=−5,901098901⋅10−3 Korzystając z wzoru superpozycyjnego (5.10) wyliczamy wartości momentów w układzie niewyznaczalnym w poszczególnych węzłach ramy. M T n=M  tM tM 1⋅M 2⋅ (5.10) M 10= 4 5 ⋅0,3 EJ⋅−6⋅0,3 EJ 5⋅4 ⋅0,3⋅40 0,1 EJ⋅t 6⋅0,3 5 ⋅17,5 EJ⋅t M 10=−3,59876511,644016654,457520,2340198=2,73679135 [kNm ] M 01= 2⋅0,3 5 EJ⋅−6⋅0,3 EJ 5⋅4 ⋅−0,3⋅40 0,1 EJ⋅t 6⋅0,3 5 ⋅17,5 EJ⋅t M 01=−1,799382561,64401665−4,457520,2340198=−4,37886611 [kNm ] M 12= 3 5 EJ⋅3 5 EJ⋅ 3 20 ⋅3 2 ⋅ 20 0,14 EJ⋅t− 3 5 ⋅2,5 EJ⋅t M 12=−8,9969128−1,64401667,9598571−0,055719=−2,7367913 [kNm ] M T (n) -4,379 -2,737 2,737 [kNm] Rys. 5.33. Wykres momentów w układzie niewyznaczalnym od temperatury Podobnie jak poprzednio tworzymy wykres sił tnących 0,547359 0,328415 T T (n) + + [kN] Rys. 5.34. Wykres sił tnących w układzie niewyznaczalnym oraz sił normalnych (równoważąc węzeł 1): Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater