Metoda współczynników nieoznaczonych (metoda przewidywania) dla równań różnicowych, Schematy z Matematica Generale

Pobierz Metoda współczynników nieoznaczonych (metoda przewidywania) dla równań różnicowych i więcej Schematy w PDF z Matematica Generale tylko na Docsity! Metoda przewidywania dla równań różnicowych 1 Metoda współczynników nieoznaczonych (metoda przewidywania) dla równań różnicowych 1 Przypomnienie: równania różnicowe liniowe jednorodne o stałych współczynnikach Równanie różnicowe liniowe jednorodne o stałych współczynnikach rzędu k to (LJk) y(n+ k) + p1y(n+ k − 1) + · · ·+ pky(n) = 0, gdzie p1, . . . , pk ∈ R, pk 6= 0. Wielomian charakterystyczny równania różnicowego (LJk) to wielomian zmiennej zespolonej λ p(λ) = λk + p1λ k−1 + · · ·+ pk. Równanie charakterystyczne równania (LJk) to λk + p1λ k−1 + · · ·+ pk = 0. Układ fundamentalny równania różnicowego (LJk) to baza przestrzeni liniowej rozwiązań równania (LJk). Twierdzenie 1. Załóżmy, że λ1, . . . , λr są rzeczywistymi pierwiastkami równania charakterystycznego równania (LJk), krotności odpowiednio l1, . . . , lr, i że %1(cosϕ1 + i sinϕ1), %1(cosϕ1 − i sinϕ1), ... %s(cosϕs + i sinϕs), %s(cosϕs − i sinϕs) są rzeczywistymi pierwiastkami równania charakterystycznego równania (LJk), krotności odpowiednio m1, . . . ,ms, gdzie l1 + · · ·+ lr +2(m1 + · · ·+ms) = k. Wówczas ciągi (λ1) n, . . . , nl1−1(λ1) n, ... (λr) n, . . . , nlr−1(λr) n, (%1) n cos(ϕ1n), (%1) n sin(ϕ1n), . . . , n m1−1(%1) n cos(ϕ1n), n m1−1(%1) n sin(ϕ1n), ... (%s) n cos(ϕsn), (%s) n sin(ϕsn), . . . , n ms−1(%s) n cos(ϕsn), n ms−1(%s) n sin(ϕsn) tworzą układ fundamentalny równania (LJk). 2 Skompilował Janusz Mierczyński 2 Przewidywanie Rozważmy teraz równanie różnicowe liniowe niejednorodne o stałych współczyn- nikach (LN) y(n+ k) + p1y(n+ k − 1) + · · ·+ pky(n) = h(n), gdzie pk 6= 0, h(n) = %n ( P1(n) cos (ϕn) + P2(n) sin (ϕn) ) , % > 0, ϕ ∈ R, zaś P1 i P2 to wielomiany (przypominam, że ciąg stały różny od zera to wielomian stopnia 0, zaś ciąg stale równy zeru to wielomian stopnia −∞). Równanie różnicowe liniowe jednorodne (LJS) y(n+ k) + p1y(n+ k − 1) + · · ·+ pky(n) = 0 nazywamy równaniem różnicowym liniowym jednorodnym stowarzyszonym z równaniem (LN). Twierdzenie 2. Załóżmy, że %(cosϕ+i sinϕ) jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego równania stowarzyszonego (LJS), krotności s. Wówczas istnieje rozwiązanie yp(n) równania (LN) postaci yp(n) = n s%n ( Q1(n) cos (ϕn) +Q2(n) sin (ϕn) ) , gdzie Q1 i Q2 są wielomianami, stQ1 ≤ max{stP1, stP2}, stQ2 ≤ ≤ max{stP1, stP2}. Przy czym, jeśli %(cosϕ + i sinϕ) nie jest pierwiastkiem równania sto- warzyszonego, to umawiamy się, że jest pierwiastkiem krotności zero (i wtedy oczywiście czynnik ns we wzorze nie występuje). Liczbę %(cosϕ+ i sinϕ) nazywa sie niekiedy stałą kontrolną. 3 Przykłady Przykład 1. Znaleźć rozwiązanie ogólne równania różnicowego (1) y(n+ 2) + y(n+ 1)− 12y(n) = 18n2n. Równanie charakterystyczne równania (1) to λ2 + λ − 12 = 0, zatem jego pierwiastki to λ1 = −4 i λ2 = 3, oba krotności jeden.