Metody Ekonometryczne Metoda Najmniejszych Kwadratów, Prezentacje z Ekonometria

Pobierz Metody Ekonometryczne Metoda Najmniejszych Kwadratów i więcej Prezentacje w PDF z Ekonometria tylko na Docsity!

Metody Ekonometryczne

Metoda Najmniejszych Kwadratów

Jakub Mućk Szkoła Główna Handlowa w Warszawie

Jakub Mućk Metody Ekonometryczne Estymator MNK 1 / 43

Sprawy organizacyjne

Jakub Mućk Metody Ekonometryczne Estymator MNK Sprawy organizacyjne 2 / 43

Zaliczenie przedmiotu

Raport opisujący badanie ekonometryczne: 50%. Egzamin : 50%. Brak raportu oznacza ocenę niedostateczną.

Jakub Mućk Metody Ekonometryczne Estymator MNK Sprawy organizacyjne 4 / 43

Problematyka zajęć

(^1) Metoda najmniejszych kwadratów. (^2) Uogólniona metoda najmniejszych kwadratów. (^3) Metoda zmiennych instrumentalnych. (^4) Modele wielorównaniowe.

Jakub Mućk Metody Ekonometryczne Estymator MNK Sprawy organizacyjne 5 / 43

Czym jest ekonometria?

Ekonometria to zbiór metod statystycznych i matematycznych pozwalających na empiryczną weryfikację teorii ekonomicznej.

Inaczej

Ekonometria pozwala na pomiar siły (istotności) i kierunku zjawisk i procesów ekonomicznych.

Jakub Mućk Metody Ekonometryczne Estymator MNK Wprowadzenie 7 / 43

Model ekonometryczny

Załóżmy, że zmienna y jest funkcją x 1 , x 2 ,.. ., x k , t. że

y = F (x 1 , x 2 ,... , x k ) (1)

Zauważmy, że równanie (1) określa funkcję deterministyczną. Wprowadźmy, element losowy, tj. ε: y = f (x 1 , x 2 ,... , x k , ε) (2) Szczególnym przypadkiem (1) jest liniowa postać. Wtedy mowa o modelu regresji liniowej : y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + ... + β k x k + ε (3) gdzie: y – zmienna objaśniana. x 1 ,... , x k – zmienne objaśnianające, (egzogeniczne). β 1 ,... , β k – parametry strukturalne modelu. β 0 – wyraz wolny. ε – składnik losowy.

Jakub Mućk Metody Ekonometryczne Estymator MNK Wprowadzenie 8 / 43

Etapy prac badawczych

(^1) Sformułowanie celu badawczego i/lub hipotez badawczych. (^2) Wybór modelu ekonomicznego. (^3) Kolekcjonowanie danych i wybór odpowiednich metod ekonometrycznych lub statysty- cznych. (^4) Szacowanie nieznanych parametrów w celu odpowiedzi na kluczowe pytania badawcze lub realizacji celów badawczych. (^5) Weryfikacja zasadności założeń wykorzystanych w procesie estymacji.

Jakub Mućk Metody Ekonometryczne Estymator MNK Wprowadzenie 10 / 43

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna

Jakub Mućk Metody Ekonometryczne Estymator MNK Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 11 / 43

Zmienna losowa

Zmienna losowa ( random variable )

jest zmienną, której wartości są nieznane dopóki nie jest obserowana.

Dyskretna zmienna losowa – przyjmuje wartości z ograniczonego i przeliczalnego zbioru potencjalnych wyników. Binarna zmienna losowa – przyjmuje wyłącznie wartości 0 lub 1. Ciagła zmienna losowa – przyjmuje dowolne wartości (lub z pewnego zakresu).

Jakub Mućk Metody Ekonometryczne Estymator MNK Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 12 / 43

Funckja gęstości

Rozkład prawdopodbieństwa ( probability density function, pdf ) dla zmien- nej losowej opsiuje potencjalne wyniki oraz towarzyszące im prawdopodobieństwa. Rozkład prawdopodbieństwa pdf dla dyskretnej zmiennej losowej X :

f (x) = P (X = x), (4)

i

∑ k

i f^ (x i ) = 1. Ponieważ dla ciągłej zmiennej losowe P (X = x) = 0 pdf wykorzystuje się funkcję gęstości, która jest określona dla pewnego zbioru.

P (a ≤ X ≤ b) =

∫ b

a

f (x)dx, (5)

i

−∞ f^ (x)dx^ = 1.

Jakub Mućk Metody Ekonometryczne Estymator MNK Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 13 / 43

Rozkład łączny, brzegowy oraz warunkowy I

Rozkład łączny ( joint probability density function zawiera informacje związaną z potencjalnymi wynikami (przynjamniej dwóch) zmiennych losowych oraz towarzyszą- cym im prawdopodobieństwom. Dla zmienncyh dyskretnych:

f (x, y) = P (X = x, Y = y), (9)

i dla zmiennych ciągłych:

P (a ≤ X ≤ b, c ≤ X ≤ d) =

∫ b

a

∫ d

c

f (x, y)dydx. (10)

Rozkład brzegowy marginal distribution pozwala uzyskać informację o indy- widualnym rozkładzie prawdopodbieństwa zmiennej losowej (ponizej dla X):

f X (x) = P (X = x) =

y

f (x, y). (11)

Warunkowy rozkład prawdopodobieństwa ( conditional distribution ) jest rozkładem prawdopodbieństwa zmiennej Y w przypadku, gdy znana X jest znane:

f (x|y) = P (Y = y|X = x) =

f (x, y) f X (x)

Jakub Mućk Metody Ekonometryczne Estymator MNK Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 15 / 43

Rozkład łączny, brzegowy oraz warunkowy II

Zmienne losowe są niezależne wtedy i tylko wtedy gdy rozkłąd łączny prawdopodobieńs jest równy iloczynowi indywidualnych rozkładów prawdopodobieńśtwa pdfs. Przykład- owo, dla dwóch zmiennych losowych:

f (x, y) = f X (x)f Y (y). (13)

Jakub Mućk Metody Ekonometryczne Estymator MNK Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 16 / 43

Wartość oczekiwana II

(^2) Dla dowolnych stałych a i b : E ( aX + b ) = a E ( X ) + b. (17) (^3) Dla dowolnych stałych a 1 ,... , ak i zmiennych losowych X 1 ,... Xk :

E

( k

i

aiXi

=

∑^ k

i

ai E ( Xi ) , (18)

i jeżeli ai = 1 dla wszystkich i wtedy wartość oczekiwana sumy jest sumą wartości oczekiwanych. (^4) Dla funkcji tworzącej nową zmienną losową g (·):

E ( g ( X )) =

∑^ k

i

g ( xi ) fx ( xi ) , (19)

i w przypadku ciągłęj zmiennej losowej:

E ( g ( X )) =

−∞

g ( xi ) fx ( xi ) , (20)

Jakub Mućk Metody Ekonometryczne Estymator MNK Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 18 / 43

Wartość oczekiwana III

Warunkowa wartość oczekiwana ( conditional expected value ) jest wartością oczekiwaną X w przypadku gdy Y jest znane. Dla dyskretnych zmiennych losowych:

E(X|Y = y) =

∑^ k

i =

x i f (x i , y). (21)

Jakub Mućk Metody Ekonometryczne Estymator MNK Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 19 / 43