Pobierz Mikroekonomia - zestaw ćwiczeń i więcej Ćwiczenia w PDF z Ekonomia tylko na Docsity!
Ćwiczenia 6 Jacek Suda
Minimalizacja kosztów
- (na wykładzie) Firma genealogiczna “Korzenie” produkuje dobro y korzystając z jednego nakładu x używając funkcji produkcji f ( x ) =
x.
(a) Ile jednostek x jest potrzebnych do wyprodukowania y jednostek produktu. Jeżeli w = 10 ile będzie kosztowało wyprodukowanie 10 jednostek produkcji?
Odpowiedź: Ponieważ y =
x = ⇒ x = y^2 , do wyprodukowania y jedenostek produktu potrzeba x^2 jednostek nakładu. Jeżeli w = 10 to koszt wyprodukowania 10 jednostek wyniesie
c ( y ) = w · y^2 = ⇒ c (10) = 10 · 102 = 1000_._
(b) Ile jednostek x jest potrzebnych do wyprodukowania y jednostek produktu. Jeżeli w = 10 ile będzie kosztowało wyprodukowanie y jednostek produkcji?
Odpowiedź: Jeżeli w = 10 to koszt wyprodukowania y jednostek wyniesie
c ( y ) = 10 · y^2_._
(c) Znajdź funkcję kosztów c ( y ).
Odpowiedź: Funkcja kosztu c ( y ) = w · y^2_._
(d) Znajdź koszt przeciętny AC ( y ) = c ( yy ). Jakie korzyści skali cechują funkcję produkcji f ( x )?
Odpowiedź: Koszt przeciętny AC ( y ) = c ( y ) y
w · y^2 y
= w · y.
Korzyści skali funkcji f : f ( tx ) =
tx = t^1 /^2
x = t^1 /^2 f ( x ) Funkcja produkcji cechuje się malejącymi korzyściami skali.
Ćwiczenia 6 Jacek Suda
- Przedsiębiorca przy wykorzystaniu dwóch czynników produkcji produkuje produkt wykorzystując tech- nologię opisaną następującą funkcją produkcji f ( x 1 , x 2 ) = x^11 / 3 x^12 / 3. Koszt pierwszego czynika wynosi w 1 , a koszt drugiego czynnika produkcji w 2.
(a) Przypuśćmy, że przedsiębiorca chce wyprodukować produkt jak najtaniej. Znajdź formułę na sto- sunek x x^12 w optimum.
Odpowiedź: Problem przedsiębiorcy: min x 1 ,x 2 w 1 x 1 + w 2 x 2
przy warunku y = f ( x 1 , x 2 ). Funkcja Lagrangea dla tego problemu ma postać
L = w 1 x 1 + w 2 x 2 − λ
x^11 / 3 x^12 / 3 − y
Warunki pierwszego rzędzu ∂L x 1
= 0 = ⇒ w 1 = λ
x− 1 2 /^3 x^12 / 3 = λ
y x 1 ∂L x 2
= 0 = ⇒ w 2 = λ
x^11 / 3 x− 2 2 /^3 = λ
y x 2 ∂L λ
= 0 = ⇒ y = x^11 / 3 x^12 /^3
Dzieląc pierwsze równianie przez drugie otrzymujemy warunek na stosunek x x^12 w optimum w 2 w 1
x 1 x 2
(b) Znajdź zatrudnienie maszyn i pracy, które pozwolą w najtańszy możliwy sposób wyprodukować y jednostek produktu (warunkowe funkcje popytu na czynniki).
Odpowiedź: Korzystając z powyższego warunku optimum
w 1 x 1 = w 2 x 2 lub x 2 =
w 1 w 2
x 1_._
Wstawiając to do funkcji produkcji otrzymujemy
y = x^11 / 3 x^12 / 3 = x^11 /^3
w 1 w 2
x 1
= x^21 /^3
w 1 w 2
x 1 = y^3 /^2
w 2 w 1
co jest warunkową funkcją popytu na x 1
x 1 ( y, w 1 , w 2 ) = y^3 /^2
w 2 w 1
Warunkowa funkcja popytu na x 2 to
x 2 ( y, w 1 , w 2 ) =
w 1 w 2
x 1 = y^3 /^2
w 1 w 2
Ćwiczenia 6 Jacek Suda
- Boguchwał ma szklarnie w której dogląda tulipanów. Jego sekret, który pozwala mu wyprodukować duże ilości tulipanów jest następujący. Produkcja t tulipanów wymaga dwa razy więcej światła l niż wody o i dana jest funkcją t = min {l, 2 o}. Koszt wody i światła wynosi odpowiednio wo i wl.
(a) Znajdź warunkowe funkcje popytu na czynniki produkcji, tj. wodę i światło.
Odpowiedź: Aby wyprodukować (jak najtaniej) t tulipanów Boguchwał potrzebuje l jednostek światła i 2 o jednostek wody. Warunkowy popyt na wodę i światło to
l ( t ) = t, o ( t ) =
t 2
(b) Znajdź funkcję kosztów c ( t ).
Odpowiedź: Koszt wyprodukowania jednego tulipana to wl + 2 · wo. Koszt wyprodukowania t tuplianów
c ( t ) = t ( wl + 2 wo )
Ćwiczenia 6 Jacek Suda
Krzywe kosztów
- Rosława zamierza otworzyć kwiaciarnię w nowym centrum handlowym. Ma do wyboru trzy różne powierzchnie handlowe: 200 m^2 , 500 m^2 i 1000 m^2. Miesięczny czynsz wynosi 1 PLN za m^2. Rosława szacuje, że jeżeli dysponuje powierzchnią F m^2 i sprzedaje y bukietów kwiatów miesięcznie jej koszt zmienny będzie wynosił cv ( y ) = y^2 /F.
(a) Zapisz jej AC i M C jeżeli F = 200. Jakie y minimalizuje AC? Ile wówczas wynosi AC?
Odpowiedź: Dla powierzchni F całkowity koszt sprzedaży y bukietów kwiatów wynosi
c ( y ) = F + cv ( y ) = F +
y^2 F Dla F = 200
c ( y ) =200 +
y^2 200 AC ( y ) =
c ( y ) y
y
y 200
M C ( y ) =
∂c ( y ) ∂y
y 100 Warunek minimalnego AC ( y ) to min y
y
y 200 lub M C ( y ) = AC ( y ). Rozwiązanie problemu minimalizacji to
−
y^2
= 0 = ⇒ y^2 = 200^2 = ⇒ y = 200_._
Rozwiązanie AC ( y ) = M C ( y ) jest dane przez 200 y
y 200
y 100
y
y 200 = ⇒ y = 200_._
Średni koszt produkcji kwiatów wynosi wtedy
AC (200) =
(b) Zapisz jej AC i M C jeżeli F = 500. Jakie y minimalizuje AC? Ile wynosi AC w tym przypadku?
Odpowiedź: Dla F = 500
c ( y ) =500 +
y^2 500 AC ( y ) =
c ( y ) y
y
y 500
M C ( y ) =
∂c ( y ) ∂y
y 250
Ćwiczenia 6 Jacek Suda
(d) Narysuj wszystkie krzywe AC i M C na jednym rysunku. Na tym samym rysunku narysuj krzywe LRAC i LRM C.
Odpowiedź:
AC 200 HyL
AC 500 HyL
AC 1000 HyL
500 1000 1500 2000
5
10
15
Ćwiczenia 6 Jacek Suda
Podaż firmy
- Mirosława produkuje sakiewki. Jej funkcja kosztów ma postać c ( y ) = y^3 − 8 y^2 + 30 y + 5.
(a) Znajdź AC , AV C , i M C. Odpowiedź:
Zauważ, że w naszym przypadku c ( y ) = cv ( y ) + F ma postać
cv ( y ) = y^3 − 8 y^2 + 30 y F = 5_._
Wtedy,
AC ( y ) =
c ( y ) y
y^3 − 8 y^2 + 30 y + 5 y
= y^2 − 8 y + 30 +
y
AV C ( y ) = cv ( y ) y
y^3 − 8 y^2 + 30 y y
= y^2 − 8 y + 30
AF C ( y ) =
F
y
y
M C ( y ) =
∂c ( y ) ∂y = c′ ( y ) = 3 y^2 − 16 y + 30
(b) Krótki okres. Jeżeli cena naprawy samochodu wynosi 14 PLN, to ile sakiewek wyprodukuje Miro- sława?( Wskazówka : 3 y^2 − 16 y + 16 = (3 y − 4)( y − 4))) Ile, jeżeli cena wynosi 9 PLN? ( Wskazówka : 3 y^2 − 16 y + 21 = (3 y − 7)( y − 3)) Odpowiedź:
Warunek maksymalizacji zysku dany jest przez max y {py − c ( y ) } , który oznacza dla y > 0
p = M C ( y )
i spełnienie warunku drugiego rzędu M C′ ( y ) > 0. Dodatkowo, dla y > 0 musi zachodzić p > AV C ( y ). Dla p = 14 warunek p = M C ( y ) możemy zapisać jako
14 = 3 y^2 − 16 y + 30 = ⇒ 3 y^2 − 16 y + 16 = 0_._
Zgodnie ze wskazówką, 3 y^2 − 16 y + 16 = (3 y − 4)( y − 4) co oznacza, że równanie ma dwa rozwiązania: y = 4 / 3 i y = 4. Warunek drugiego rzędu, M C′ ( y ) > 0, jest spełniony dla M C′ ( y ) = 6 y − 16 > 0 = ⇒ y >
Oznacza, że zysk jest maksymalizowany dla y = 4. Ponieważ AV C (4) = 4^2 − 8 · 4+30 = 14 ¬ 14 = p , wielkość produkcji sakiewek w wysokości y = 4 maksymalizuje zysk Mirosławy (i pokrywa koszt zmienny).
Dla p = 9 warunek p = M C ( y ) oznacza
9 = 3 y^2 − 16 y + 30 = ⇒ 3 y^2 − 16 y + 21 = 0_._
Ćwiczenia 6 Jacek Suda
(e) Znajdź i pokaż na rysunku krzywą podaży Mirosławy w krótkim okresie. (f) Znajdź i pokaż na rysunku krzywą podaży Mirosławy w długim okresie. ( Wskazówka : 2 y^3 − 8 y^2 − 5 = 0 dla y ≈ 4 , 146.)
Ćwiczenia 6 Jacek Suda
Podaż gałęzi
- Znajdź rynkowe krzywe podaży w następujących przypadkach:
(a) S 1 ( p ) = p , S 2 ( p ) = 2 p , S 3 ( p ) = 3 p ,
Odpowiedź:
S ( p ) =
∑^3
i =
Si ( p ) = 6 p
(b) S 1 ( p ) = 2 p , S 2 ( p ) = p − 1.
Odpowiedź:
S ( p ) =
∑^2
i =
Si ( p ) =
2 p dla 0 ¬ p < 1 , 3 p − 1 dla p 1 ,
Ćwiczenia 6 Jacek Suda
MCHyL
DHpL
MRHyL
pM^ = 9
pP = 8
yM^ = 3 = y
P
6
2 4 6 8 10 12
5
10
15
Wielkość pustej straty to pole trójkąta
Strata =
(d) Przepuśćmy, że monopolista może doskonale dyskryminować cenowo (sprzedawać każdy produkt po jego cenie granicznej). Ile wynosi produkcja i strata pusta? Odpowiedź:
Produkcja wynosi 4 a pusta strata społeczna wyniesie 0.
