Modele nieliniowe
Wybrane funkcje nieliniowe
Funkcja produkcji
Ekonometria
Model nieliniowe i funkcja produkcji
Jakub Mućk
Katedra Ekonomii Ilościowej
Jakub Mućk Ekonometria Wykład 7 Modele nieliniowe i funkcja produkcji 1 / 23
Przygotuj się do egzaminów
Studiuj dzięki licznym zasobom udostępnionym na Docsity
Otrzymaj punkty, aby pobrać
Zdobywaj punkty, pomagając innym studentom lub wykup je w ramach planu Premium
Informacje i wskazówki
Przygotuj się do egzaminów
Studiuj dzięki licznym zasobom udostępnionym na Docsity
Otrzymaj punkty, aby pobrać
Zdobywaj punkty, pomagając innym studentom lub wykup je w ramach planu Premium
Społeczność
Ranking uczelni
Odkryj najlepsze uniwersytety w twoim kraju, według użytkowników Docsity
Bezpłatne poradniki
Nasze e-booki ratujące uczniów i studentów!
Pobierz bezpłatnie nasze przewodniki na temat technik studiowania, metod panowania nad stresem, wskazówki do przygotowania do prac magisterskich opracowane przez wykładowców Docsity
Model nieliniowe i funkcja produkcji, Prezentacje z Econometria
Opracowanie z zakresu tematu
Typologia: Prezentacje
2019/2020
1 / 37
Ta strona nie jest widoczna w podglądzie
Nie przegap ważnych części!
Dokumenty powiązane
Podgląd częściowego tekstu
Pobierz Model nieliniowe i funkcja produkcji i więcej Prezentacje w PDF z Econometria tylko na Docsity!
Funkcja produkcji
Ekonometria
Model nieliniowe i funkcja produkcji
Jakub Mućk
Katedra Ekonomii Ilościowej
Funkcja produkcji
Agenda
1 Modele nieliniowe
2 Wybrane funkcje nieliniowe
3 Funkcja produkcji
Funkcja produkcji
Agenda
1 Modele nieliniowe
2 Wybrane funkcje nieliniowe
3 Funkcja produkcji
Funkcja produkcji
Outline
1 Modele nieliniowe
2 Wybrane funkcje nieliniowe
3 Funkcja produkcji
Funkcja produkcji
Modele nieliniowe
Ogólna postać:
y = g ( β, x ) + ε (1)
gdzie y to zmienna objaśniana,
β to wektor parametrów strukturalnych,
x to wektor zmiennych objaśniających,
ε to składnik losowy.
Szczególne przypadki:
Modele liniowe względem parametrów
y = β 0 + β 1 f 1 ( x 1 ) +... + β k f k ( x k ) + ε (2)
Modele liniowe względem zmiennych
Przykład:
y = β 0 + β 1 β 2 x 1 + ββ 34 x 2 + ε (3)
Problem identyfikacji strukturalnych parametrów.
Funkcja produkcji
Modele nieliniowe
Przykłady modeli nieliniowych względem zmiennych, ale liniowych
względem parametrów:
Model wielomianowy:
y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 12 +... + β k x 1 k + ε. (4)
Model hiperboliczny:
y = β 0 + β x^2
1
Model logarytmiczny:
y = β 0 + β 1 ln ( x 1 ) + ε. (6)
Model z interakcjami (iloczynami):
y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + β 3 x 1 x 2 + ε. (7)
Funkcja produkcji
Modele linearyzowane
Linearyzacja modeli Wybrane modele nieliniowe można sprowadzić do postaci liniowej. Wybrane własności logarytmu naturalnego ln(x) < ln(y) dla 0 < x < y, ln(xy) = ln(x) + ln(y) dla x , y > 0, ln(xa^ ) = a ln(x) dla x , a > 0, ln(ex^ ) = x oraz eln(x)^ = x dla x > 0. Model wykładniczy: y = eβ^0 + β^1 x^1 + ... + β k^ xk^ + ε.^ (10) Po obustronnym zlogarytmowaniu: ln ( y ) = β 0 + β 1 x 1 +... + β k x k + ε. (11) Model funkcji Cobba-Douglasa: y = β 0 xβ 1 1 ·... · xβ k k ε. (12) Po obustronnym zlogarytmowaniu: ln ( y ) = ln ( β 0 ) + β 1 ln ( x 1 ) +... + β k ln ( x k ) + ln ( ε ). (13) Uwaga: założenie ln ( ε ) ∼ N ( 0 , σ ) nie implikuje, że ε jest z rozkładu normalnego.
Funkcja produkcji
Modele linearyzowane
Linearyzacja modeli Wybrane modele nieliniowe można sprowadzić do postaci liniowej. Wybrane własności logarytmu naturalnego ln(x) < ln(y) dla 0 < x < y, ln(xy) = ln(x) + ln(y) dla x , y > 0, ln(xa^ ) = a ln(x) dla x , a > 0, ln(ex^ ) = x oraz eln(x)^ = x dla x > 0. Model wykładniczy: y = eβ^0 + β^1 x^1 + ... + β k^ xk^ + ε.^ (10) Po obustronnym zlogarytmowaniu: ln ( y ) = β 0 + β 1 x 1 +... + β k x k + ε. (11) Model funkcji Cobba-Douglasa: y = β 0 xβ 1 1 ·... · xβ k k ε. (12) Po obustronnym zlogarytmowaniu: ln ( y ) = ln ( β 0 ) + β 1 ln ( x 1 ) +... + β k ln ( x k ) + ln ( ε ). (13) Uwaga: założenie ln ( ε ) ∼ N ( 0 , σ ) nie implikuje, że ε jest z rozkładu normalnego.
Funkcja produkcji
Modele linearyzowane
Linearyzacja modeli Wybrane modele nieliniowe można sprowadzić do postaci liniowej. Wybrane własności logarytmu naturalnego ln(x) < ln(y) dla 0 < x < y, ln(xy) = ln(x) + ln(y) dla x , y > 0, ln(xa^ ) = a ln(x) dla x , a > 0, ln(ex^ ) = x oraz eln(x)^ = x dla x > 0. Model wykładniczy: y = eβ^0 + β^1 x^1 + ... + β k^ xk^ + ε.^ (10) Po obustronnym zlogarytmowaniu: ln ( y ) = β 0 + β 1 x 1 +... + β k x k + ε. (11) Model funkcji Cobba-Douglasa: y = β 0 xβ 1 1 ·... · xβ k k ε. (12) Po obustronnym zlogarytmowaniu: ln ( y ) = ln ( β 0 ) + β 1 ln ( x 1 ) +... + β k ln ( x k ) + ln ( ε ). (13) Uwaga: założenie ln ( ε ) ∼ N ( 0 , σ ) nie implikuje, że ε jest z rozkładu normalnego.
Funkcja produkcji
Interpretacja przekształceń logarytmicznych
(^1) Relacja typu poziom - poziom , tj. y = α + βx. (14) Wzrost x o jednostkę odpowiada wzrostowi y o β jednostek. (^2) Relacja typu poziom - logarytm , tj. y = α + β ln x. (15) Wzrost x o 1% odpowiada wzrostowi y o 100 β jednostek. (^3) Relacja typu logarytm - poziom , tj. ln y = α + βx. (16) Wzrost x o jednostkę odpowiada wzrostowi y o 100 β % jednostek. (^4) Relacja typu logarytm - logarytm , tj. ln y = α + β ln x. (17) Wzrost x o 1% odpowiada wzrostowi y o β % jednostek.
Funkcja produkcji
Identyfikacja nieliniowości w modelu nieliniowym
Test poprawnej specyfikacji RESET.
Problem autokorelacji/ heteroskedastyczności składnika losowego może wska-
zywać na błędną specyfikację modelu.
Test liniowych restrykcji Walda:
Uwzględnienie kwadratów, sześcianów czy interakcji zmiennych objaśniających oraz testowanie ich łącznej istotności. Przykład: y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + β 3 x^21 + β 4 x^22 + β 5 x 1 x 2 + ε, (19) i hipoteza zerowa H 0 : β 3 = β 4 = β 5 = 0_._ (20)
Funkcja produkcji
Outline
1 Modele nieliniowe
2 Wybrane funkcje nieliniowe
3 Funkcja produkcji
Funkcja produkcji
Transformacja Boxa-Coxa
Model Boxa-Coxa jest przykładem funkcji ściśle nieliniowej:
y = β 0 + β 1
xλ^ − 1
gdzie y to zmienna objaśniana, x to zmienna objaśniająca, β 0 , β 1 , λ to para-
metry strukturalne, a ε to składnik losowy.
Kluczowym parameterem jest λ.
Szczególne przypadki:
λ → 1 to wtedy model liniowy: λ → 0 to wtedy model liniowy typu poziom-logarytm. λ → −1 to wtedy model hiperboliczny.
Funkcja produkcji
Transformacja Boxa-Coxa
Model Boxa-Coxa jest przykładem funkcji ściśle nieliniowej:
y = β 0 + β 1
xλ^ − 1
gdzie y to zmienna objaśniana, x to zmienna objaśniająca, β 0 , β 1 , λ to para-
metry strukturalne, a ε to składnik losowy.
Kluczowym parameterem jest λ.
Szczególne przypadki:
λ → 1 to wtedy model liniowy: λ → 0 to wtedy model liniowy typu poziom-logarytm. λ → −1 to wtedy model hiperboliczny.