Niepewności pomiarowe w pracowni fizycznej, Prezentacje z Fizyka

Pobierz Niepewności pomiarowe w pracowni fizycznej i więcej Prezentacje w PDF z Fizyka tylko na Docsity! KATEDRA FIZYKI STOSOWANEJ __________________________________________________ P R A C O W N I A F I Z Y K I Niepewności pomiarowe w pracowni fizycznej Wielkość fizyczną można wyznaczyć w sposób bezpośredni lub pośredni [1]. W pierwszym przypadku stosujemy odpowiedni przyrząd pomiarowy, np. amperomierz do pomiaru natężenia prądu. Pomiar pośredni polega na wykorzystaniu zależności wynikającej z praw fizyki i wyrażonej wzorem, w którym występują wielkości fizyczne dające się zmierzyć bezpośrednio. Na przykład, żeby wyznaczyć opór elektryczny R opornika możemy obliczyć go z prawa Ohma R = U/I podstawiając do wzoru zmierzone wartości natężenia prądu I płynącego przez opornik i napięcia U na tym oporniku. W tym przypadku, opór elektryczny może być też zmierzony bezpośrednio omomierzem, ale wiele innych wielkości fizycznych można zmierzyć tylko pośrednio, bo nie ma odpowiednich przyrządów do ich pomiaru. Każdy pomiar wielkości fizycznej jest ograniczony w swojej dokładności, co jest skutkiem: a) skończonej dokładności użytych przyrządów pomiarowych, b) niedokładności zmysłów i działań eksperymentatora, c) zjawisk fizycznych uniemożliwiających precyzyjny pomiar, jak np. różnego typu szumy w obwodach elektrycznych czułych przyrządów powodujące losowe fluktuacje wartości mierzonej [2]. Powyższe trzy czynniki decydują, czy ograniczamy się do jednego pomiaru danej wielkości, czy też jest on powtarzany wielokrotnie. Duże znaczenie ma tu dokładność przyrządu pomiarowego, o której decyduje klasa przyrządu i rozdzielczość [2] jego skali lub wyświetlacza. Gdy jest mała, każdy kolejny pomiar daje tę samą wartość i poprzestajemy na pierwszym uzyskanym wyniku. Gdy dokładność przyrządu jest duża i wyniki są różne, pomiary powtarzamy wielokrotnie. Dla przykładu, mierząc czas trwania jakiegoś zdarzenia, np. 30 wahnięć wahadła, przy pomocy zegarka z sekundnikiem wystarczy zrobić to raz, bo każdy kolejny poprawnie wykonany pomiar da wynik mieszczący się w przedziale o szerokości 1 s. Natomiast gdy taki pomiar wykonamy przy pomocy stopera elektronicznego mierzącego czas z rozdzielczością 0,01 s, rozrzut wyników pomiarów jest dobrze widoczny i należy wykonać wiele pomiarów, z których obliczamy średnią arytmetyczną. Lepszy przyrząd i dodatkowy wysiłek włożony w wielokrotne pomiary opłaca się, gdyż tak uzyskany wynik jest bliższy rzeczywistej wartości x0 wielkości mierzonej x. Podając wynik pomiaru w sposób profesjonalny, należy zawsze podać również jego niedokładność. Dla jednokrotnych pomiarów wielkości x podajemy maksymalną/graniczną niepewność pomiaru Dx [2] (w skrócie: niepewność pomiaru1), a dla pomiarów wielokrotnych postać niepewności/odchylenia standardo- wego sx lub jego wielokrotności – najczęściej 3sx [1]. Z założenia, zarówno Dx jak i sx są wielkościami dodatnimi i mierzonymi w tych samych jednostkach co x. Często sama wartość niepewności nie daje jednak wystarczającej informacji o dokładności pomiaru co widać na przykładzie pomiaru długości i szerokości książki i samochodu z dokładnością do 1 mm. Choć wartość niepewności jest taka sama, pomiar samochodu z podaną dokładnością jest trudniejszy niż znacznie mniejszej książki. Z tego też względu warto scharakteryzować wynik pomiaru podając dodatkowo wartość niepewności względnej zdefiniowanej dla wielkości x jako dx = Dx/x lub częściej niepewności względnej procentowej dx% = (Dx/x)·100%. Czasem w sytuacji gdy używamy obydwu pojęć - niepewność Dx i niepewność względna dx - tę pierwszą nazywa się szerzej niepewnością bezwzględną dla uzyskania większej precyzji sformułowań. O wielkości niepewności (bezwzględnej) decyduje użyty sprzęt pomiarowy, ale też umiejętności i zmysły (wzrok, słuch, refleks) eksperymentatora. Czynnik sprzętowy da się precyzyjnie ocenić korzys- tając z danych producenta, informującego o dokładności lub klasie przyrządu. Czynnik ludzki szacujemy podając wartość niepewności Dx, której na pewno osoba wykonująca pomiar nie przekroczy. 1. W starszych podręcznikach [4-6] jest ona nazywana maksymalnym błędem pomiarowym. W obecnie obowiązującej nomenklaturze, przedstawionej w nowszych publikacjach [2,7], przez błąd pomiarowy rozumie się różnicę między wartością zmierzoną i wartością rzeczywistą, czyli xi – x0. Użyteczność tego pojęcia jest jednak ograniczona głównie do rozważań teoretycznych, gdyż nie znamy wartości rzeczywistej, a często nawet wartości tablicowej mierzonej wielkości. 1 I. Szacowanie maksymalnej niepewności pomiaru Niepewność pomiaru bezpośredniego wynika z dokładności zastosowanych przyrządów i dokładności osoby wykonującej pomiar. 1) Pomiar czasu Suma czasu reakcji osoby wykonującej doświadczenie, potrzebnego na włączenie (start) i zatrzymanie (stop) stopera, oraz rozdzielczości odczytu. Można przyjąć, że niepewność pomiaru czasu wynosi Dt = 0,2 s + 0,2 s + 0,01 s, jeśli czas reakcji szacujemy jako 0,2 s a rozdzielczość stopera elektronicznego wynosi 0,01 s. Czas reakcji możemy przyjąć większy, np. 0,25 lub 0,30 s, gdy chcemy mieć większą pewność, że nie przekroczymy obliczonej wartości Dt. Dokładne ustalenie czasu reakcji danej osoby jest możliwe poprzez wielokrotny pomiar czasu trwania mierzonego zdarzenia i obliczenie dla uzyskanych wartości odchylenia standardowego 3s. 2) Pomiar temperatury Wartość działki elementarnej, czyli odległości między między najbliższymi kreskami skali, np. 1 oC, 0,5 oC, a nawet 0,1 oC w zależności od dokładności wyskalowania termometru. W obliczeniach taką niepewność zapisujemy w kelwinach, np. DT = 0,5 K. 3) Pomiar masy Masa najmniejszego odważnika użytego do zrównoważenia wagi szalkowej, np. Dm = 10 mg = 10-5 kg. Przyjmujemy, że waga jest zrównoważona, gdy dodanie albo odjęcie odważnika o masie Dm skutkuje większym odchyleniem wskazówki od punktu ,,0” na skali wagi. W przypadku wagi elektronicznej, jej dokładność podana jest zwykle na przyrządzie. 4) Pomiar natężenia prądu Są dwa składniki niepewności pomiarowej: 1) niepewność podstawowa DIp związana z dokładno- ścią działania miernika, którą określa klasa podana przez producenta, 2) niepewność odczytu DIod. W przypadku mierników analogowych, podających wynik przez wychylenie wskazówki na skali, DIod zależy od wartości działki elementarnej (wartość zakresu podzielona przez liczbę działek skali) oraz współczynnika p charakteryzującego precyzję z jaką mierzący lokalizuje położenie wskazówki w obrębie działki elementarnej (początkujący przyjmują zwykle p = 1 lub 0,5, doświadczeni nawet p = 0,1). Dla mierników cyfrowych DIod przyjmowana jest najczęściej jako rozdzielczość odczytu, czyli wartości jedynki wyświetlanej na ostatnim miejscu wyświetlacza. Dla amperomierza analogowego Δ I=Δ I p+Δ I od= klasa×zakres 100 + p zakres liczba działek Dla amperomierza cyfrowego Δ I=Δ I p+Δ I od= klasa×wartość pomiaru 100 + rozdz. odczytu . 5) Pomiar napięcia Dokładność odczytu napięcia DU z woltomierza oceniamy analogicznie jak w przypadku odczytu natężenia prądu z amperomierza. 6) Niepewność wartości oporu elektrycznego nastawionego na oporniku dekadowym Sumujemy wartości niepewności oporów nastawionych na poszczególnych dekadach, czyli  R=∑ i  Ri . Dla i-tej dekady wynosi ona Δ Ri= klasa dekady×wartość nastawiona 100 . Uwaga: klasa każdej dekady może być inna. 7) Pojemność lub indukcyjność (przyrząd dekadowy) DC lub DL są obliczane analogicznie jak dla opornika dekadowego. 8) Pomiar długości Wartość działki elementarnej przyrządu, np. 1 mm dla przymiaru liniowego (potocznie: linijki), 0,1 lub 0,02 mm dla suwmiarki w zależności od dokładności skali noniusza oraz 0,01 mm dla śruby mikrometrycznej. Należy zwiększyć te wartości gdy granice obiektu mierzonego linijką są nieostre i trudne do precyzyjnego zlokalizowania na skali. 2 _____________________________________________________________________________________ Przykład 2: Przyspieszenie ziemskie mierzone przy pomocy wahadła prostego można obliczyć ze wzoru: g (l ,T )= 4 π 2 l T 2 , (4) gdzie T oznacza okres wahań, a l długość wahadła będąca sumą długości nici l1 od punktu zamocowania nici do górnej części kulki oraz połowy średnicy d zawieszonej kulki, czyli l=l 1d /2. Pomiary dały wyniki: l1 = 119,4 cm, d = 2,46 cm i t = 44, 08 s dla n = 20 wahnięć. Żeby obliczyć wartość g, do wzoru (4) podstawiamy więc l = 1,194 m + 0,0246 m/2 = 1,206 m oraz okres wahań T = 44, 08 s/20 = 2,204 s g= 4π 2 ⋅1,206 m (2,204s )2 =9,804 m/s2 . W ocenie dokładności pomiaru g metodą różniczkową stosujemy postać ogólną różniczki zupełnej:  g =∣∂ g ∂ l ∣ l∣∂ g ∂T ∣ T . Po obliczeniu pochodnych cząstkowych i uproszczeniach matematycznych, otrzymujemy wzór wyrażający niepewność pomiarową wielkości mierzonej w postaci:  g= 4 2 T 2  l 8 2l T 3  T (5) Do wzoru (5) podstawiamy wartości l i T oraz ich oszacowanych niepewności pomiaru: Dl = 2,025∙10-3 m, ponieważ pomiar długości nici wahadła l1 jest wykonany z dokładnością Dl1 = 2 mm a średnicy kulki d z dokładnością Dd = 0,05 mm (dokładność suwmiarki), więc Dl = Dl1 + Dd /2 = 2 mm + 0,05 mm/2. DT = 2,55∙10-2 s, ponieważ DT = Dt /n, gdzie n oznacza liczbę pełnych wahnięć wahadła, tu n = 20, a wartość Dt oszacowana jest jako równa 0,25 s (start) + 0,25 s (stop) + 0,01 s (odczyt) = 0,51 s. Podstawiając do wzoru (5) uzyskujemy: Δ g= 4⋅3,142 (2,204 s)2⋅2,025⋅10−3 m+ 8⋅3,142 ⋅1,206 m (2,204 s)3 2,55⋅10−2 s=0,0165 m s2 +0,227 m s2 =0,243 m s2 Po dokonaniu zaokrągleń wartości mierzonej do rzędu niepewności pomiarowej (tu: pierwsze miejsce po przecinku, czyli rząd dziesiętnych), wynik pomiaru wartości przyspieszenia ziemskiego wyznaczanej w ćwiczeniu można podać w postaci g = (9,8 ± 0,25) m/s2. W tym zapisie podajemy wartość Dg = 0,25 m/s2 zamiast 0,3 m/s2, gdyż takie zaokrąglenie prowadziłoby do nadmiernego przyrostu Dg aż o (0,30- 0,243)/0,25 = 23% zamiast dopuszczalnej maksymalnej wartości 10%. Względna niepewność pomiaru wynosi δ g %= Δ g⋅100 g %= 0,25 m/s2⋅100 9,8m/s2 %=2,6 % . Zastosowanie metody różniczkowej uproszczonej w postaci zależności (3) do wzoru (4) daje formułę  g g =  l l 2  T T , która jest prostsza niż ta podana wzorem (5). Łatwiejsze są też obliczenia po podstawieniu wartości zmiennych Δ g g = 2,025⋅10−3 m 1,206 m +2 2,55⋅10−2s 2,204s =0,0017+0,0231=0,0248 , co prowadzi do wartości niepewności względnej procentowej δ g %=2,5% . ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Gdy wzór używany do obliczenia wielkości W ma postać uniemożliwiającą zastosowanie metody różniczkowej uproszczonej lub obliczenia pochodnych cząstkowych do metody różniczkowej są zbyt trudne, warto zastosować metodą różnicową. Polega ona na obliczeniu zmiany wartości funkcji W przy przyroście każdej z wielkości mierzonych bezpośrednio o wielkość jej niepewności pomiaru. Korzystając z przykładowej zależności W(x, y, z) od trzech wielkości zmierzonych x, y oraz z, niepewność pomiaru 5 wielkości W można oszacować z wzoru:  W = W x W y W  z , (6) gdzie składniki po prawej stronie równości oznaczają przyrosty wartości W następujące po zwiększeniu wartości kolejnych zmiennych o ich niepewność pomiarową. Każdy z nich obliczamy jako wartość bezwzględną różnicy – stąd nazwa metody – między wartością wielkości W dla powiększonego argumentu x, y albo z a wielkością W dla wartości zmierzonych. Na przykład, pierwszy składnik ma postać:  W x=∣W x x , y , z −W x , y , z ∣. (7) Zastosowanie tej metody jest możliwe dla dowolnej ilości wielkości mierzonych bezpośrednio i dowolnej postaci wzoru wyrażającego zmienną W. Metoda różnicowa jest zawsze zgodna ilościowo z metodą różniczkową zarówno gdy porównujemy DW jak i jej składowe (składniki prawej strony równań (1) i (6)), o ile tylko wielkości niepewności pomiarów bezpośrednich są odpowiednio małe. Gdy te niepewności są już duże i zaczynają być widoczne różnice między obliczanymi wartościami, to bardziej wiarygodne/ poprawne, jak uzasadniał to Squires [4], są wyniki dane przez metodę różnicową. _____________________________________________________________________________________ Przykład 3: Metoda różnicowa zostanie zastosowana tu do oszacowania niepewności pomiaru wielkości zależnej od dwóch wielkości mierzonych bezpośrednio. Żeby umożliwić porównanie wyników i pracochłonności trzech podanych metod, obliczenia będą wykonane dla pomiaru przyspieszenia ziemskiego z przykładu 2. Wzór (6) przyjmuje tu postać:  g= g l g T . (8) Po uwzględnieniu definicji (7) dla dwóch składników prawej strony równania (8) mamy: Δ g=|g (l+Δ l , T )−g ( l ,T )|+|g (l ,T +ΔT )−g (l ,T )|. (9) Oznacza to, że obliczenia Dg wykonujemy z zależności: Δ g=| 4π 2 (l+Δ l) T 2 − 4π 2l T 2 |+| 4 π 2 l (T +ΔT ) 2 − 4π 2 l T 2 |. (10) Obliczenia wartości Dg wykonujemy dla wartości zmiennych i ich niepewności podanych w przykła- dzie 2: l = 1,206 m, T = 2,204 s, Dl = 2,025∙10-3 m oraz DT = 2,55∙10-2 s. Podstawiając do wzoru (10) uwzględniamy, że g(l, T) = 4p2l/T2 = 9,801 m/s2, więc przyrosty/różnice podane po prawej stronie równania (10) mają wartość: Δ g+Δ l=|4 π2(1,206 m+0,002025 m) (2,204 s)2 −9,801 m/s2|=0,017 m/s2 Δ g+ΔT=| 4π2⋅1,206 m (2,204 s+0, 0255s)2 −9,801 m/s2|=0,223 m/s2 . Niepewność pomiaru g oszacowana metodą różnicową wynosi więc Dg = 0,017 m/s2 + 0,223 m/s2 = 0,240 m/s2 = 0,24 m/s2. Metoda różnicowa daje więc, jak należało oczekiwać, bardzo zbliżoną wartość niepewności i jej składników jak dwie poprzednie metody z przykładu 2. ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ II. Obliczanie odchylenia standardowego pomiarów wielokrotnych W niektórych doświadczeniach pomiar wielkości fizycznej x nie daje tej samej wartości dla kolejnych powtórzeń pomiaru, a wartości wykraczają daleko poza dokładność wskazań przyrządu. Przykładem takiej sytuacji może być wielokrotny pomiar okresu wahań wahadła prostego przy pomocy elektronicznego stopera, gdzie uzyskuje się wyniki pomiarów rozrzucone w szerokim przedziale wokół wartości rzeczywistej T0, Jest to spowodowane występowaniem czynników przypadkowych wpływających na wynik pomiaru: a) wynikających z niedokładności zmysłów i precyzji działania osoby wykonującej doświadczenie jak np. w przypadku pomiaru okresu wahań lub b) będących nieodłączną cechą zjawiska fizycznego jak np. statystyczny charakter rozpadu promieniotwórczego. Analiza wyników takich pomiarów bardzo wielu wielkości fizycznych pozwoliła stwierdzić, że prawdopodobieństwo p(x) 6 uzyskania wyniku pomiaru mieszczącego się w przedziale od x do x+Dx dane jest zależnością p(x) = f(x)Dx, gdzie f(x) jest funkcją Gaussa: f x = h  e−h 2 x− x r 2 . (11) Im większa jest wartość parametru h, nazywanego wskaźnikiem dokładności, tym pomiary leżą bliżej wartości rzeczywistej xr . Widać to na wykresie przedstawionym na rys. 2, gdzie typowy dla funkcji Gaussa kształt dzwonowaty krzywej jest zwężony w poziomie i wyraźnie wyższy w centrum dla większej wartości h. Żeby uzyskać doświadczalne potwierdzenie poprawności rozkładu pomiarów, danego wzorem (11) i nazywanego rozkładem normalnym albo rozkładem Gaussa, należy wykonać możliwie dużo pomiarów. Jak pokazuje przykład 4, o jakościowej zgodności możemy mówić zestawiając wyniki aż 100 pomiarów, kiedy histogram doświadczalnych wartości f(x) zaczyna przebiegać w miarę blisko przez punkty wskazane przez krzywą teoretyczną. Oczywiście zgodność byłaby lepsza, gdyby ilość pomiarów była jeszcze większa. Rys. 2. Wykres rozkładu Gaussa dla dużej serii pomiarów okresu wahań wahadła prostego o wartości rzeczywistej okresu Tr = 2,2 s. (a) Wpływ wskaźnika dokładności h na kształt rozkładu. (b) Zasięg wartości s i 3s dla odchylenia standardowego s = 0,20 s (h = 3,54 s-1). Obszar zakreskowany zaznacza przedział (Tśr-s, Tśr+s). Miarą rozrzutu punktów pomiarowych wielkości x jest odchylenie standardowe sxi związane z h zależnością  xi=1/2 h . Dla N pomiarów wielkości x (N ≥ ok. 15), odchylenie standardowe oblicza się z zależności:  xi=∑i=1 i=N x i−x śr 2 N−1 , (12) gdzie xi oznacza i-ty wynik pomiaru, a xśr ich średnią arytmetyczną. W przedziale 〈 xśr−xi , xśr xi〉 (patrz: rys. 2b) leży około 68,3% wszystkich wyników pomiarów, natomiast w przedziale trzykrotnie większym, tzn. wewnątrz 〈 xśr−3 xi , xśr3xi 〉 leży ich aż 99,7% (299 na 300 pomiarów), czyli w praktyce wszystkie wyniki poprawnie wykonanych pomiarów. Kryterium 3s mówi, że należy odrzucić jako błędnie wykonane te pomiary z dużej serii pomiarów, których wyniki różnią się o więcej niż 3s od wartości średniej. Niestety, kryterium to może zawodzić przy zbyt małej liczbie pomiarów np. dla N = 20, gdyż wtedy nawet jeden błędny pomiar, tzn. błąd gruby, ma znaczący wpływ na średnią i przesuwając jej wartość powiększa szerokość przedziału 3sxi tak, że obejmuje on też błędny wynik. Żeby wygodnie i bezbłędnie wykonać obliczenia odchylenia standardowego i sprawdzić, czy spełnione jest kryterium 3s, warto wykorzystać dołączony arkusz kalkulacyjny [8]. Wypełniamy go, podając wszystkie wyniki pomiarów, przy czym możemy skorzystać z arkusza zaplanowanego na 20 lub 100 danych pomiarowych. W arkuszu obliczana jest: wartość średnia xśr, odchylenie od wartości średniej (nazywane też residuum) dla poszczególnych pomiarów r i=x i−xśr , jego kwadrat ri 2 i wypisywana jest suma tych kwadratów. Po podaniu liczby pomiarów, ze wzoru (12) obliczana jest wartość odchylenia standardowego pojedynczego pomiaru sxi oraz 3sxi. Sprawdzając poprawność pomiarów w kryterium 3s, 7 gśr =0,88m/s2 /2500 = 0,018 m/s2. W tej sytuacji można podać wartość przyspieszenia ziemskiego w postaci gśr = (9,79±0,018) m/s2. Uzyskana wartość przyspieszenia ziemskiego różni się o ok. 1,2 s g sr od wartości tablicowej gtab dla Lublina wynoszącej 9,8112 m/s2 - zawiera więc wartość gtab w przedziale 3s g sr i może być dlatego uznana za poprawnie zmierzoną. Takie podejście ma jedną wadę – zakładamy, że niepewność pomiaru Dl jest na tyle mała, że nie ma istotnego wpływu na wynik obliczeń g. Niestety jest to trudno osiągnąć w pracowni. Pozbawiony tej wady i prostszy technicznie sposób określenia wartości g opiera się na wykorzystaniu wzoru (14) do którego wstawiamy wartości średnie okresów wahań: T1 śr = 2,397 s i T2 śr = 2,035 s. Uzyskujemy w ten sposób wartość gśr = 9,715 m/s2. Ocena niepewności pomiaru w tym przypadku wymaga zastosowania wzoru (13) dla dwóch wielkości mierzonych wielokrotnie: T1 oraz T2 oraz trzeciej wielkości Dl mierzonej tylko raz. Po uproszczeniach uzyskujemy w ten sposób wzór:  g śr = 42 l T 1 śr 2 −T 2 śr 2  2 T 1 T 1 śr T 1 śr 2 −T 2 śr 2  2  T1śr 2  2T 2 T 2 śr T 1 śr 2 −T 2 śr 2  2  T2śr 2   l  3 l  2 . (15) Podstawiając do wzoru (15) wartości: T 1 śr =0,0035s , T 2 śr =0,0027s i  l =0,002m otrzymujemy wynik  g śr =0,122 m/s2 . Wynik końcowy gśr = (9,72±0,13) m/s2 jest tu nieco mniej dokładny niż uzyskany powyżej innym sposobem, ale wartość tablicowa gtab zawiera się tu już nawet w przedziale o szerokości s g sr . ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ III. Aproksymacja liniowa danych pomiarowych metodą najmniejszych kwadratów Często spotykanym zadaniem w analizie danych doświadczalnych jest wykonanie wykresu zależności jednej wielkości fizycznej od drugiej, np. y od x, gdyż rysunek pozwala łatwiej dostrzec charakter tej zależności i zgodność teorii z doświadczeniem. Na przykład, może to być wykres zależności drogi hamowania samochodu od jego prędkości początkowej czy oporu elektrycznego przewodnika od jego temperatury. Na profesjonalnie wykonanym wykresie powinny zostać zaznaczone punkty pomiarowe oraz przebiegająca optymalnie między nimi gładka krzywa, najlepiej wynikająca z rozważań teoretycznych. Często spotykanym błędem, którego należy unikać, jest poprowadzenie krzywej łamanej poprzez łączenie kolejnych punktów. Żeby znaleźć optymalną krzywą, której przebieg określa funkcja liniowa, potęgowa, wielomianowa czy eksponencjalna, wystarczy skorzystać z arkusza Excel. W przypadku bardziej skomplikowanych funkcji, konieczne jest skorzystanie ze specjalnych programów do sporządzania wykresów naukowych jak np. Origin lub do analizy danych np. Statistica. Możemy jednak takie obliczenia wykonać samodzielnie i stosunkowo łatwo, gdy zależność między wielkościami y i x jest liniowa, czyli opisana równaniem y=a⋅xb , (16) gdzie wielkości a i b są współczynnikami regresji (aproksymacji) liniowej. Szczególnie proste są obliczenia w przypadku klasycznej regresji liniowej, tzn. gdy poszczególne punkty Pi(xi, yi) reprezentują wyniki pojedynczego pomiaru i nie musimy obliczać ich odchylenia standardowego. Zakładamy wtedy, że znaczenie lub ściślej waga każdego punktu w obliczeniach jest jednakowa i wynosi 1. Algorytm obliczania współczynników a i b dla N punktów na wykresie wynika z minimalizacji parametru S, będącego sumą kwadratów różnicy (patrz rys. 4) współrzędnej yi każdego z punktów i jego aproksymowanej wartości ŷ i=ax i+b obliczonej z równania linii prostej: S (a , b)=∑ i=1 i=N ( y i− ŷ i) 2 =∑ i=1 i=N [ y i−(ax i+b)] 2 . (17) 10 Rys. 4. Oddalenie w pionie N punktów pomiarowych (tu N = 5) od linii prostej aproksymującej te dane. Celem obliczeń jest znalezienie takich optymalnych wartości a i b, aby parametr S przyjmował wartość minimalną. Stąd pochodzi też nazwa - metoda najmniejszych kwadratów (MNK). Z matematycznego punktu widzenia oznacza to, że pochodne cząstkowe po a i b dla tych wartości powinny zerować się, czyli ∂ S /∂ a=0 i ∂ S /∂ b=0 . Po obliczeniu pochodnych cząstkowych równania (17) uzyskuje się układ równań: {∑i=1 i=N 2 y i−ax i−b ⋅−x i=0 ∑ i=1 i=N 2 y i−ax i−b⋅−1=0 . Da się go zapisać w postaci układu równań liniowych: {a∑ i=1 i=N x i 2 b∑ i=1 i=N x i=∑ i=1 i=N x i y i a∑ i=1 i=N x ib∑ i=1 i=N 1=∑ i=1 i=N y i , (18) gdzie niewiadomymi są a i b, a współczynnikami równania są poszczególne sumy. Rozwiązanie układu równań (18) można uzyskać poprzez obliczenie wyznaczników równania i poszczególnych niewiadomych: W =∣∑i=1 i=N x i 2 ∑ i=1 i=N x i ∑ i=1 i=N x i N ∣ , W a=∣∑i=1 i=N x i y i ∑ i=1 i=N x i ∑ i=1 i=N yi N ∣ i W b=∣∑i=1 i=N x i 2 ∑ i=1 i=N x i y i ∑ i=1 i=N x i ∑ i=1 i=N yi ∣ . (19a-c) Rozwiązaniem układu równań (18) są a i b o wartości: {a=W a /W b=W b/W . (20) Znając już optymalne wartości współczynników a i b, można narysować linię prostą y=a⋅xb aproksymującą punkty pomiarowe Pi(xi, yi). W tym celu obliczamy z równania (16) wartość y dla dwóch różnych argumentów x, najlepiej na początku i końcu przedziału zmienności, by przez tak otrzymane dwa punkty poprowadzić linię prostą. Przykład takiego wykresu jest pokazany na rysunku 4, który przedstawia zależność momentu siły niezbędnej do skręcenia pręta o dany kąt. Jak widać linia aproksymująca nie przechodzi przez każdy z punktów (uniemożliwia to rozrzut wartości pomiarów), ale przechodzi między punktami, pozostawiając dwa z nich wyraźnie wyżej, dwa niżej, a reszta punktów leży blisko prostej. Taki przebieg prostej upewnia nas, że obliczenia zostały wykonane poprawne. Gdyby narysowana prosta aproksymująca biegła wyraźnie poza obszarem danych doświadczalnych lub pod innym kątem do osi X, oznaczałoby to, że popełniliśmy błąd w obliczeniach a i b lub podczas rysowania prostej. Stopień odchylenia punktów doświadczalnych od aproksymującej linii prostej ma wpływ na niepewność 11 uzyskanych wartości współczynników a i b – im jest on większy tym wartości odchylenia standardowego sa i sb są większe. Obliczenie ich wartości umożliwiają dwa poniższe wzory: a= N ∑ i=1 i=N  yi−ax i−b 2 N−2⋅W σb=√(∑i=1 i=N x i 2)∑i=1 i=N ( yi−ax i−b) 2 (N−2)⋅W (21a, b) Dopasowanie linii prostej do punktów pomiarowych na wykresie ocenia się też w profesjonalnych opracowaniach wyników podając jedną liczbę - współczynnik determinacji oznaczony R2 i zdefiniowany następująco ∑ i=1 i=N ( y i− y ) 2 /∑ i=1 i=N ( ŷ i− y ) 2 , gdzie y jest wartością średnią współrzędnych y punktów. Parametr R2 przyjmuje wartość z przedziału (0; 1), przy czym im jego wartość jest bliższa jedności, tym stopień dopasowania funkcji aproksymującej do danych doświadczalnych jest lepszy. _ ____________________________________________________________________________________ Przykład 7: W celu zademonstrowania metody najmniejszych kwadratów dokonano analizy wyników doświadczenia polegającego na skręceniu naprężonego druta mosiężnego pod wpływem momentu siły przyłożonego do jednego z jego końców. Moment siły był dobrze mierzalny, gdyż jest równy iloczynowi ciężaru szalki o masie 27,1 g obciążanej dodatkowo ciężarkami o maksymalnej masie 275 g i ramienia działania tej siły o wartości R = 13,25 cm. Kąt skręcenia był mierzony z dokładnością do 1o względem początkowego położenia. W programie MNK_KFS.xls [9] w arkuszu o nazwie MNK-pret jako zmienna x podany jest kąt skręcenia, a jako zmienna y wartość momentu siły powodującego takie skręcenie. W wierszu 16 podane są wartości sum niezbędne do obliczenia wyznaczników ze wzorów (19a-c), wartości a i b ze wzoru (20) oraz ich niepewności ze wzoru (21a,b). Dla takiego wykresu tangens kąta nachylenia uzyskanej linii prostej, równy współczynnikowi a, jest tożsamy z momentem kierującym pręta D. Zgodnie z wynikami z arkusza, wynosi on 0,00473 Nm/deg, czyli 0,271 Nm/rad. Niepewność pomiaru DD = Da = 6,85 10-5 Nm/deg, co stanowi zaledwie 1,4% wartości D. Pomiar D jest więc dość dokładny, co wynika ze starannego wykonania pomiarów i zastosowania metody najmniejszych kwadratów. Gdyby natomiast obliczać moment kierujący dla kolejnych punktów pomiarowych, przyjmując pierwszy punkt P(0 Nm; 0 rad) jako punkt odniesienia, to wartości D zmieniałyby się w szerokim przedziale od 0,0090 Nm/deg do 0,0048 Nm/deg, a więc byłyby znacznie mniej dokładne. Rys. 5. Wykres danych pomiarowych i linii prostej aproksymującej te dane, uzyskanej metodą najmniejszych kwadratów, dla pręta mosiężnego poddanego działaniu skrętnego momentu siły. ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ IV. Literatura i materiały pomocnicze [1] J. Arendarski, Niepewność pomiarów, Oficyna Wydawnicza Politechniki Lubelskiej, Warszawa 2013. [2] A. Zięba, Analiza danych w naukach ścisłych i technice, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2013. [3] J. R. Taylor, Wstęp do analizy błędu pomiarowego, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1995. 12