Nierówności między średnimi liczbowymi1, Streszczenia z Algebra

Pobierz Nierówności między średnimi liczbowymi1 i więcej Streszczenia w PDF z Algebra tylko na Docsity! 1 Nierówności między średnimi liczbowymi i ich zastosowanie Renata Jurasińska Instytut Matematyki Uniwersytetu Rzeszowskiego III LO w Rzeszowie I. Średnie liczbowe i zaleŜności między nimi Średnie liczbowe (moŜe jedynie bez średniej kwadratowej) i nierówności między nimi uczniowie znają juŜ od pierwszej klasy szkoły średniej (a czasem nawet od gimnazjum). Przypomnę definicje tych średnich, podam twierdzenie o nierównościach między nimi, szkice dowodów, a takŜe przykłady zastosowań nierówności między średnimi do rozwiązywania róŜnorodnych zadań, prostych, trudniejszych, a nawet olimpijskich. Definicja 1. ŚREDNIA liczb
,
, … ,
 - to dowolna funkcja  , , … ,  spełniająca warunek  , , … ,    , , … ,     , , … ,  i jednocześnie niemalejąca ze względu na kaŜdą zmienną  ,   1,2 … , . Najbardziej znane średnie, to średnia arytmetyczna, geometryczna, harmoniczna i kwadratowa. Definicja 2. ŚREDNIĄ ARYTMETYCZNĄ liczb rzeczywistych
,
, … ,
 nazywamy liczbę         1   .  2 Definicja 3. ŚREDNIĄ GEOMETRYCZNĄ liczb nieujemnych
,
, … ,
 nazywamy liczbę   · · … · "  #$   % . Definicja 4. ŚREDNIĄ HARMONICZNĄ róŜnych od zera liczb rzeczywistych
,
, … ,
 nazywamy liczbę &  1  1    1  ∑ 1   . Definicja 5. ŚREDNIĄ KWADRATOWĄ liczb rzeczywistych
,
, … ,
 nazywamy liczbę (  )       #1    % . ZaleŜności pomiędzy średnimi ,  , & i ( moŜna zapisać w postaci następującego twierdzenia Twierdzenie 1. Dla dowolnych liczb dodatnich , , … , zachodzą nierówności +,-,.  ( / 01213  /  / &01213 . 4 W kaŜdej z nierówności (1), (2) i (3) równość ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy     . Środkowa nierówność (1) w Twierdzeniu 1. to słynna nierówność Cauchy’ego między średnią geometryczną i arytmetyczną. Nierówność ta dla dwóch liczb nieujemnych  52 / √ 5 5 Z kolei dla (3’) dostajemy √ 5 / 21  15 , √ 5 / 2 5  5 ,  5√ 5 / 2 5,  5 / 2√ · √5 , =√ ; √5> / 0. Znacznie ciekawsze są dowody geometryczne, przytoczę jeden z nich, inne moŜna znaleźć np. w [9]. Niech i 5 będą liczbami dodatnimi i niech ? 5. Na odcinku @A o długości a obieramy taki punkt C, Ŝe |AC|  5 (jak na rysunku) Kreślimy okrąg o średnicy @C i jego środek oznaczamy przez D. Wówczas mamy |@D|  |DC|  ; 52 , zaś |DA|  |AC|  |DC|  5  ; 52   52 . 6 Z punktu A prowadzimy styczną do górnego półokręgu i oznaczamy przez E punkt styczności. Przez F oznaczamy rzut prostokątny punktu E na odcinek @A, zaś przez G - punkt wspólny okręgu i odcinka o początku w punkcie O, prostopadłego do odcinka @A. Wyrazimy długości odcinków EA, FA i GA przez i 5. Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego DAE mamy |AE|  |AD| ; |DE|  7  52 8 ; 7 ; 52 8  5, a stąd |AE|  √ 5. Z podobieństwa trójkątów DAEi FAE mamy z kolei, Ŝe |DA||EA|  |EA||FA| , a więc  52√ 5  √ 5|FA| i po łatwych przekształceniach otrzymujemy, Ŝe |FA|  2 5  5  21  15 . Z trójkąta prostokątnego DGA mamy z kolei |GA|  |DG|  |DA|  7 ; 52 8  7  52 8   5 2 , a tym samym |GA|  )  5 2 . Pokazaliśmy więc, Ŝe długości odcinków FA, EA, DA i GA są odpowiednimi średnimi liczb i 5. Korzystając w trójkątach prostokątnych FAE, DAE i DGA z własności, Ŝe przyprostokątna jest krótsza od przeciwprostokątnej, otrzymujemy nierówności |GA| ? |DA| ? |EA| ? |FA|, a stąd )  5 2 ?  52 ? √ 5 ? 21  15 . 7 MoŜna równieŜ zauwaŜyć, Ŝe pomiędzy średnimi dwóch liczb dodatnich i 5 zachodzą równieŜ następujące ciekawe (i proste do wykazania) związki, mianowicie 1 , 5  & 71 , 158 , czyli odwrotność średniej arytmetycznej liczb dodatnich
i I jest średnią harmoniczną odwrotności tych liczb; 1& , 5   71 , 158 , czyli odwrotność średniej harmonicznej liczb dodatnich
i I jest średnią arytmetyczną odwrotności tych liczb; 1 , 5   71 , 158 , czyli odwrotność średniej geometrycznej liczb dodatnich
i I jest średnią geometryczną odwrotności tych liczb. Dowody nierówności (1), (2) i (3) dla  liczb dodatnich są bardziej skomplikowane, podam tylko ich szkice, a zainteresowanych odsyłam np. do [3]. Dowód Cauchy’ego nierówności (1) Jeśli     , to oczywiście    . NaleŜy pokazać, Ŝe jeśli nie wszystkie spośród liczb , , … , są równe, to zachodzi nierówność ostra. Dla   2 mamy ·  7  2 8 ; J ; 2 K L 7  2 8 , gdy P , a stąd · L  2 . Dalej, dla   4 mamy ·  · 4 · Q L 7  2 8 · 7 4  Q2 8  R7  2 8 · 7 4  Q2 8S L TU  2  4  Q22 V W  7   4  Q4 8Q, jeśli nie wszystkie , , 4, Q są równe. Powtarzając to rozumowanie m razy otrzymujemy 10 oraz (5)  1 /  ∑    , czyli 1  1    1 /      , wynikająca z nierówności między średnią arytmetyczną i harmoniczną. NaleŜy równieŜ zauwaŜyć, Ŝe średnie: arytmetyczna, geometryczna, harmoniczna i kwadratowa są szczególnymi przypadkami tzw. średniej potęgowej. Definicja 6. ŚREDNIĄ POTĘGOWĄ stopnia c liczb dodatnich
,
, … ,
 nazywamy liczbę de , , … ,   fg h] e  e    e ^ e dla k P 0 · · … · " dla k  0l. Definicję tę moŜna uzupełnić dla k  m∞ następująco d\o , , … ,   min , , … , , do , , … ,   max , , … ,  . ZauwaŜmy, Ŝe mamy d  s, d  , dt   , d\  & i nierówności między średnimi przyjmują postać d / d / dt / d\ . Nierówności te moŜna udowodnić wykorzystując fakt, Ŝe dla dowolnych liczb dodatnich , , … , funkcja u v k w de , , … ,  x u jest niemalejąca 11 II. Zastosowanie nierówności między średnimi liczbowymi do rozwiązywania zadań 1. Dowodzenie nierówności Zad. 1. Udowodnić, Ŝe dla dowolnych liczb dodatnich , 5, [ zachodzi nierówność (6) 8 5[   5 5  [ [   Rozwiązanie. Z nierówności (1’) między średnią arytmetyczną i geometryczną mamy √ 5   52 , √5[  5  [2 , √[  [  2 , a więc 2√ 5   5, 2√5[  5  [, 2√[  [  . MnoŜąc stronami te nierówności otrzymujemy (6). Zad. 2. Udowodnić, Ŝe dla dowolnych liczb nieujemnych , 5, [ zachodzi nierówność (7) 5z  5 [z  [ z   5  [ . Rozwiązanie. Wykorzystując nierówność (1) dla trzech liczb nieujemnych , , 5 otrzymujemy 5z  √ · · 5z    53  2  53 . Analogicznie otrzymujemy nierówności 5 [z  25  [3 oraz [ z  2[  3 . Dodając stronami otrzymane trzy nierówności otrzymujemy (7). Zad. 3. Udowodnić, Ŝe dla dowolnych liczb dodatnich , 5, [ zachodzi nierówność (8) 4  54  [4 71  15  1[8 /  5  [ . Rozwiązanie. Przekształcając lewą stronę nierówności (8) i stosując nierówność (1) otrzymujemy 4  54  [4 71  15  1[8  12  5  [  ] 45  54 ^  ]54[  [45 ^  ][4  4[ ^   5  [  2  45  54 2 €  2 54[  [452 €  2 [4  4[2 € /  5  [  2) 45 · 54  2)54[ · [45  2)[4 · 4[   5  [  2 5  25[  2[   5  [ . Zad. 4. (OM Leningrad 1988) Udowodnić, Ŝe dla dowolnych liczb dodatnich , 5, [,  zachodzi nierówność (9)  5  [   71  15  4[  16 8 / 64 . Rozwiązanie. Wykorzystując nierówność (5) otrzymujemy 1  15  4[  16  1  15  2[  2[  4  4  4  4 / 8  5  2 · [2  4 · 4  64  5  [   , co po prostych przekształceniach daje (9). Zad. 5. Udowodnić, Ŝe dla dowolnych liczb dodatnich , 5, [ takich, Ŝe  5  [  1, zachodzi nierówność √2  1  √25  1  √2[  1  √15 . Rozwiązanie. Wykorzystując nierówność (4) i warunki zadania otrzymujemy =√2  1  √25  1  √2[  1>  3 „=√2  1>  =√25  1> =√2[  1> …  3 †2  5  [0112113  3‡  15 . Po spierwiastkowaniu stronami dostajemy Ŝądaną nierówność. 15 Rozwiązanie. Łatwo zauwaŜyć, Ŝe   –—˜  —˜  —– , a stąd   12   12 5’  12 [“ , czyli 2    5’  [“ . PoniewaŜ mamy oszacować iloczyn ’“, zastosujemy nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną dla liczb , 5’, [“. Otrzymujemy  5’ [“z    5’  [“ 3 , a stąd ’“    5’  [“427 5[  2427 5[  8427 5[ . Wykorzystując znany wzór na pole trójkąta   5[4• , z którego wyznaczamy 5[  4• , otrzymujemy ostatecznie ’“  8427 5[  8427 · 4•  2 27• , co kończy dowód. 2. Zadania optymalizacyjne W matematyce termin optymalizacja odnosi się do problemu znalezienia minimum lub maksimum zadanej funkcji. Praktyczne wyznaczanie optimum nie jest proste; z reguły zadania optymalizacyjne rozwiązuje się z wykorzystaniem rachunku róŜniczkowego. PokaŜę kilka zadań, do rozwiązania których wystarczy znajomość nierówności między średnimi liczbowymi. Zad. 9. Wśród prostokątów o przekątnej długości 10 wskaŜ ten, który ma największe pole. Rozwiązanie. Oznaczmy długości boków prostokąta przez i 5. Z warunków zadania i twierdzenia Pitagorasa mamy wtedy  5  100. Pole prostokąta jest równe ‘  5  √ · 5 . Stosując nierówność (1) otrzymujemy 16 ‘  · 5   5 2  1002  50 , przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy  5 , czyli gdy  5. Tak więc największe pole ma kwadrat o boku  5√2. Zad. 10. Wśród prostopadłościanów, w których suma długości wszystkich krawędzi wynosi 12 wskaŜ ten, który ma największą objętość. Rozwiązanie. Niech , 5, [ będą długościami boków prostopadłościanu, zaś ™ jego objętością. Z warunków zadania mamy 4  5  [  12 czyli  5  [  3 oraz ™  5[. Z nierówności (1) otrzymujemy √ 5[ z   5  [3 , a stąd 5[  7  5  [3 84 , czyli ™  7  5  [3 84  1 , przy czym równość ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy  5  [  1. Zatem największą objętość ma sześcian o krawędzi długości 1. Zad. 11. Jak dobrać oporności trzech oporników połączonych równolegle o łącznym oporze 10 Ω, aby opór zastępczy był największy? Rozwiązanie. Jak wiadomo opór zastępczy • oporów • , • , •4 połączonych równolegle wyraŜa się wzorem 1•  1•  1•  1•4 . Stąd mamy •  11•  1•  1•4  13 · 31•  1•  1•4 . Stosując nierówność między średnią harmoniczną i arytmetyczną otrzymujemy •  13 · 31•  1•  1•4  13 · •  •  •43  109 , 17 przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy •  •  •4  t4 . Tak więc największy opór zastępczy otrzymamy, gdy oporniki będą jednakowej oporności. 3. Równania, układy równań i nierówności Zad. 12. (OM Wielka Brytania 1975) Znaleźć wszystkie rozwiązania w liczbach rzeczywistych równania (13) 1 ;     ;       \ ;      1  1 . Rozwiązanie. RozwaŜmy liczby 1 ;  ,  ;  , … ,  \ ;  ,  . ZauwaŜmy, Ŝe 1 ;     ;       \ ;      1 , a więc średnia arytmetyczna tych liczb wynosi Z . Ta obserwacja oraz postać równania (13) sugerują zastosowanie nierówności (2) między średnią arytmetyczną i kwadratową. Otrzymujemy wtedy ) 1 ;     ;       \ ;       1 / 1 ;     ;       \ ;       1  1  1 . Po prostych przekształceniach otrzymujemy 1 ;     ;       \ ;     / 1  1 , przy czym równość zachodzi (a tym samym spełnione jest równanie (13)) wtedy i tylko wtedy, gdy 1 ;     ;       \ ;     . Oznaczając 1 ;     ;       \ ;      otrzymujemy z (13)   1  1  1 , a stąd | |  1  1 , czyli  m 1  1 . 20 Zad. 15. (OM Bułgaria 1968) Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne , dla których układ równań (21) ž        91  1    1  1 l ma rozwiązanie w liczbach rzeczywistych  ,  , … ,  . Dla kaŜdej znalezionej wartości  podać rozwiązanie. Rozwiązanie. Niech liczby  ,  , … ,  spełniają układ (21). Wtedy po pomnoŜeniu stronami obu równań otrzymujemy (22)         7 1  1    1 8  9 . WyraŜenia w nawiasach występują odpowiednio w średniej arytmetycznej i harmonicznej liczb  ,  , … ,  , co sugeruje zastosowanie nierówności między tymi średnimi. Otrzymujemy wtedy         / 1  1    1 , czyli (23)         7 1  1    1 8 /  . Z (22) i (23) wnioskujemy, Ŝe   9, czyli   3. RozwiąŜemy teraz układ dla   1,2,3. 1. Dla   1 otrzymujemy układ ž  91  1 ,l który jest oczywiście sprzeczny. 2. Dla   2 otrzymujemy układ ž    91  1  1 ,l 21 który moŜna zapisać w równowaŜnej postaci Ÿ    9   9 .l Rozwiązaniem tego układu (moŜna np. zastosować wzory Viete’a lub sprowadzić układ do równania dwukwadratowego) są pary ]9 ; 3√52 , 9  3√52 ^ , ]9  3√52 , 9 ; 3√52 ^ . Są to jedyne rozwiązania układu (21) dla   2. 3. Dla   3 otrzymujemy układ ž    4  91  1  14  1 .l Po pomnoŜeniu stronami równań otrzymamy (24)     4 7 1  1  148  9 . Z (23) mamy, Ŝe     4 7 1  1  148 / 3  9 , przy czym równość (a więc (24)) zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy     4. Po prostych rachunkach otrzymujemy, Ŝe     4  3, czyli jedynym rozwiązaniem układu (21) dla   3 jest trójka 3, 3, 3. 22 Polecana literatura 1. Witold Bednarek, Zbiór zadań dla uczniów lubiących matematykę, Gdańskie Wyd. Oświatowe, Gdańsk 1995 2. Mirosław Grabowski, Karol Szymański, Zbiór zadań dla uczniów szkół średnich o zainteresowaniach matematycznych, WSiP, Warszawa 1991 3. Lev Kourliandtchik, Wędrówki po krainie nierówności, Wydawnictwo Aksjomat, Toruń 2000 4. Lev Kourliandtchik, Powrót do krainy nierówności, Wydawnictwo Aksjomat, Toruń 2001 5. Aleksander Kubica, Tomasz Szymczyk, Nierówności, Perspektiv, Bielsko-Biała 2007 6. Henryk Pawłowski, Olimpiady i konkursy matematyczne, Oficyna Wydawnicza Tutor, Toruń 2006 7. Henryk Pawłowski, Zadania z olimpiad matematycznych z całego świata. Teoria liczb, algebra i elementy analizy matematycznej, Oficyna Wydawnicza Tutor, Toruń 2005 8. Henryk Pawłowski, Wojciech Tomalczyk, Zadania z matematyki dla olimpijczyków, Oficyna Wydawnicza Tutor, Toruń 1997 9. Miniatury matematyczne nr 22 dla szkół gimnazjalnych, Wydawnictwo Aksjomat, Toruń 2007