YEVHENIIA VOLKOVA | NOTATKI Z WYKŁADU | FIZYKA UKŁADÓW PROSTYCH | MATEMATYKA STOSOWANA | WERSJA 11 lutego 2022
1 KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO:
1.1 Ruch w przestrzeni ~r(x, y, z )- położenie w czasie ~v(vx, vy, vz) = ˙
~r - prędkość (pochodna położenia po czasie), ~a(ax, ay, az) = ˙
~v(t) = ¨
~r - przyspieszenie (pochodna prędkości po czasie).
Dodatkowo mamy przyspieszenie styczne as=dv
dt=~a ˆvoraz przyspieszenie normalne an, dodatkowo ~a =~as+~an.
1.2 Układ współrzędnych krzywoliniowych - współczynniki Lame: zakładamy, że układ jest ortogonalny. Mamy wtedy: x=x(q1, q2, q3), y =y(q1, q2, q3), z =z(q1, q2, q3). Pierwszy
współczynnik Lame wyraża się wzorem: H1=
∂~r
∂q1
=r∂x
∂q12+∂y
∂q12+∂z
∂q12.H2, H3analogicznie (po q2iq3). Wtedy: ~v =d~r
dt = [H1˙q1, H2˙q2, H3˙g3].
2 DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO
2.1 Zasady dynamiki Newtona: a) Zasada bezwładności: ~
F= 0 ⇔~v =const;b) Druga zasada: ~
F=m~a =md~v
dt =d~p
dt ,gdzie ~p =m~v to pęd. c) Akcja - reakcja: Siły działające na dwa ciała
działają wzdłuż linii je łączącej i ~
F1(2) = ~
F2(1) = 0.
2.2 Energia, zasady zachowania a) Związek energii potencjalnej z polem sił: ~
F=−∇U=−h∂U
∂x ,∂U
∂y ,∂U
∂z i;b) Prawo zachowania dotyczą układów odosobnionych: prawo zachowania
pędu Pi=1 ~pi=const oraz prawo zachowania momentu pędu Pi=1 ~
Li=const, gdzie ~
Li=~ri×~pioraz d~
Li
dt =~τi,oraz ~τi- moment siły; c) Prawo zachowania energii mechanicznej
Pi=1 1
2miv2
i+U(~ri) = E .
3 CAŁKOWANIE RÓWNAŃ RUCHU
3.1 Ruch jednowymiarowy: (punkt materialny porusza się po osi X), układ odosobniony, punkt porusza się w polu siły centralnej, co oznacza że energia jest zachowana, całka pierwsza
E=1
2m˙x2+U(x)⇒dx
√2
m(E−U(x)) =dt ⇒t=pm
2Rdx
√E−U(x)+C.
3.2 Prawa Keplera: I prawo: ruch w polu typu ∼−α
r(α > 0) zachodzi po krzywych stożkowych (p
r= 1 + ecos(φ)); II prawo: −→
L=const ⇒w równych odstępach czasu promień wodzący
planety zakreśla równe pola, ˙
f=Lz
2m⇒˙
f=const;III prawo: T2
a3=constdla każdej planety, gdzie T- okres obiegu planety wokół Słońca, a- wielka półoś jej orbity.
3.3 Ruch w polu centralnym: kwadratury : t=pm
2Rdr
√E−Ueff (r)+C, gdzie Uef f =L2
2mr2, oraz φ=RL/r2
√2m(E−U)−L2/r2dr +C.
4 MAŁE DRGANIA
4.1 Oscylator harmoniczny: a) U(x) = 1
2kx2- energia potencjalna, k- współczynnik sprężystości; b) F(x) = −U0(x) = −k x - siła harmoniczna; c) równanie Newtona: ¨x+ 2β˙x+ω x =F(t),
gdzie ω2=k
m,2β=b
miFb=−bv - tłumienie.
4.2 Ruch bez siły wymuszającej: F(t) = 0 oraz a) gdy β > ω - brak drgań; b) gdy β=ω- drgania krytyczne; c) gdy β < ω - drgania wygasza jące się.
4.3 Drgania wymuszone w obecności tarcia: ¨x+ 2β˙x+ω2x=f
mcos(γt) = F(t)
m. Rozwiązując równanie, otrzymujemy x(t) = xjed(t) + f
m√(ω2−γ2)2+4β2γ2cos(γt +δ).
4.4 Analiza energii przy braku tarcia: F(t)=0VE=1
2m˙x2+1
2kx2=const, F (t)6= 0 ⇒E6=const iEwłożona do układu: E=1
2m
R∞
−∞ F(t)e−ωtdt
.
4.5 Układ dwóch atomów - sprzężone oscylatory: mamy F1=−kx1+k(x2−x1)iF2=−kx2−k(x2−x1)oraz równania Newtona ¨x1=ω2
0(x1−2x2).Definiujemy wektor (x1, x2),
przechodzimy na postać macierzową i szukamy wektorów własnych macierzy oraz rozwiązana postaci ~x =~ω sin(ωt).Otrzymujemy, że x(t) = α(1
1) sin(ω0t+φ1) + β1
−1sin(√3ω0t+φ2).
5 RUCH FALOWY
5.1 Równanie falowe: równanie Newtona ∂2U(x,t)
∂x2−1
v2
∂2u(x,t)
∂t2= 0 dla v2=T
ρ- równanie hiperboliczne, drugiego rzędu.
5.2 Fale biegnące: u(x, t) = f(x±vt),gdzie fto dowolna funkcja, a vprędkość fali oraz fala płaska u(x, t) = Asin(kx −ωt).Porównując oba wyrażenia dostajemy: v=ω
k, T =2π
ω- okres
drgań, λ=2π
k- długość fali.
5.3 Formula d’Alamberta: zagadnienie Cauchy’ego dla równania falowego nieskończonej struny: utt =c2uxx ,warunki początkowe: u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x).Rozwiązując powyższe
zagadnienie otrzymujemy: u(x, t) = 1
2[f(x−ct) + f(x+ct)] + 1
2cRx+ct
x−ct g(ξ)dξ.
5.4 Drgania skończonej struny(unieruchomione końce):utt =c2uxx,(0 <x<L,0< t),warunki brzegowe: u(0, t)=0, u(L, t)=0,warunki początkowe: u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x).
Dostajemy funkcje własne Xn(x) = Asin(nπx
L)iTn(t) = Csin(βnct) + Dcos(βnsct).
5.4 Drgania: a) belki: utt +α2uxxxx = 0,kształt jak dla struny, częstość βn=ωn=nπc
L2,gdzie ωn=n2ω1;b) membrany: utt=c2∆u, gdzie Delta =∂2
∂x2+∂2
∂y2,kształt: f. Bessela, częstości:
zera f. Bessela.
6 SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI
6.1 Zasada względności Einsteina: "Prawa przyrody jednakowe we wszystkich układach odniesienia." i"Prędkość rozchodzenia się światła skończona, nie zależy od ruchu obserwatora." Czas
nie jest bezwzględny. Principia Newtona: czas ma charakter matematyczny, nie zależy od tego co się wokół dzieje.
6.2 Transformacja Galileusza: x0=x−vt, y0=y , t0=t, równania Newtona są niezmiennicze, ale elektrodynamika nie.
6.3 Interwał czasoprzestrzenny : (∆s)2= (c∆t)2−(∆x)2−(∆y)2−(∆z)2, gdzie np. ∆t=t2−t1.Wartości (ds)2jednakowe w każdym układzie inercjalnym: (ds)2= (ds0)2.
6.4 Transformacja Lorentza: x0= (x−vt)γ, y0=y,z0=z , t0= (t−vx
c2)γ, gdzie γ=1
1−β2, β =v
c. Jeśli v << c ⇒tr. Galileusza.
6.5 Efekty relatywistyczne: a) skrócenie Lorentza: ∆x0=L0= (∆x−v∆t)γ, ∆t= 0, L =L0p1−β2dla (L < L0); b) jedno czasność: ∆t0= 0,∆x0= 0,∆t=v
c2γ∆x0⇒∆t6= 0,dwa
1
