NSAR: sposoby i możliwości poprawy wyników projektu, Ćwiczenia z Fizyka

Pobierz NSAR: sposoby i możliwości poprawy wyników projektu i więcej Ćwiczenia w PDF z Fizyka tylko na Docsity! ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ Қ.И. Сәтбаев атындағы Қазақ Ұлттық Техникалық Зерттеу Университеті Автоматика және ақпараттық технологиялар институты «Автоматтандыру және басқару» кафедрасы А.А. Бейсембаев БЕЙСЫЗЫҚТЫ АВТОМАТТЫ РЕТТЕУ ЖҮЙЕЛЕРІ Практикалық сабақтарды өткізуге арналған әдiстемелiк нұсқаулары («Автоматтандыру және роботтандыру» оқыту бағдарламасы бойынша күндізгі бөлімнің студенттерi үшiн) Алматы 2024 КІРІСПЕ «Бейсызықты автоматты реттеу жүйелері» пәні бойынша 1 кредит қөлемінде практикалық сабақтар жоспарланған. Практикалық сабақтардың негізгі мақсаты дәріс сабақтарда өткен теориялық білімдерді практикалық есептермен бекіту. Практикалық сабақтар кезінде бейсызықты жүйелердің жұмыс істеуін жазу, бейсызықты сипаттамаларды жазу, олардан гармоникалы синусоидалды сигналдың өтуі, Ляпуновтың бірінші және екінші әдістерімен бейсызықты жүйелердің орнықтылығын зерттеу, бейсызықты жүйелердің фазалы суреттерін құрастыру, бейсызықты сигналдарды Фурье қатарына жіктеу, бейсызықты үзбелердің гармоникалы сызықтандыру коэффициенттерін табу, қоспалау әдісімен бейсызықты жүйелерді зерттеу, Михайлов критерийының негізінде құрастырылған әдістермен бейсызықты жүйелердің орнықтылығын анықтау, жиілік әдістермен бейсызықты жүйелердің орнықтылығын анықтау, бейсызықты жүйелердің абсолютті орнықтылығын анықтау есептері қарастырылады. Келтірілген есептер толық шығарылып, нәтижелері бойынша талдау өткізілген. Осы есептерді қолданып студенттер өзіндік жұмыстардың тапсырмаларын орындай алады. Есептерді осыған қоса басқа пәндер оқыған кезде және диплом жобасын (жұмысын) жазған кезінде қолдануға болады. 1) Релелі типті бейсызықты үзбелердің сипаттамалары график түрінде қандай болады? 2) Сезімтал аралығы бар релелі сипаттаманы қалай жазады? 3) Гистерезис тұзағы бар релелі сипаттаманы қалай жазады? 4) Сезімтал аралығы және гистерезис тұзағы бар релелі сипаттаманы қалай жазады? 5) Релелі сипаттамалардың негізгі қасиеті қандай? 2 практика сабағы: Типті жолақ сызықты түріндегі бейсызықты сипаттамаларды жазу мысалдары Сезімтал аралығы бар бейсызықты сипаттаманың түрі 5 – суретте қөрсетілген. Бұл бейсызықты сипаттаманың теңдеу түріндегі жазылуы мынандай болады: 𝑥2 = { 2(𝑥1 + 1), егер 𝑥1 < −1, 0, егер |𝑥1| ≤ 1, 2(𝑥1 − 1), егер 𝑥1 > 1. (8) Қанығу аралығы бар бейсызықты үзбенің түрі 6 – суретте қөрсетілген. Бұл үзбенің жазылуы келесі теңдеулер жүйсімен беріледі: 𝑥2 = { 2𝑥1, егер |𝑥1| ≤ 2, 4𝑠𝑖𝑔𝑛𝑥1, егер |𝑥1| > 2. (9) -4 4 -3 3 0 𝑥2 1 -1 𝑥1 5 – сурет. – Сезімтал аралығы бар бейсызықты сипаттамасының түрі 4 -4 -3 3 0 𝑥2 1 -1 𝑥1 6 – сурет. – Қанығу аралығы бар бейсызықты сипаттаманың түрі Қанығу және сезімтал аралықтары бар бейсызықты сипаттаманың түрі 7 – суретте қөрсетілген. Бұл бейсызықты сипттаманың жазылуы мынандай болады: 𝑥2 = { 4𝑠𝑖𝑔𝑛𝑥1, егер |𝑥1| > 3, 2(𝑥1 + 1), егер − 3 ≤ 𝑥1 ≤ −1, 0, егер |𝑥1| < 1, 2(𝑥1 − 1), егер 1 ≤ 𝑥1 ≤ 3. (10) Бақылау сұрақтары. 1) Сезімтал аралығы бар бейсызықты сипаттамасы қалай жазылады? 2) Қанығу аралығы бар бейсызықты сипаттамасы қалай жазылады? 3) Қанығу және сезімтал аралықтары бар бейсызықты сипаттамасы қалай жазылады? 4) Релелі және жолақ сызықты бейсызықты сипаттамалардың негізгі айырмашылықтары қандай? 3 – практика сабағы: Басқа жолақ сызықты түріндегі бейсызықты сипаттамалардың жазу мысалдары Гистерезис тұзағы бар бейсызықты сипаттаманың түрі 8 – суреттегідей болсын. Онда бұл бейсызықты сипаттаманы келесі теңдеумен жазуға болады 𝑑𝑥1 𝑑𝑡 < 0, 𝑥2 = { 2(𝑥 + 1), егер − 3 ≤ 𝑥1 ≤ 1, 4𝑠𝑖𝑔𝑛𝑥1, егер 𝑥1 < −3, 𝑥1 > 1, 𝑑𝑥1 𝑑𝑡 > 0, 𝑥2 = { 2(𝑥 − 1), егер − 1 ≤ 𝑥1 ≤ 3, 4𝑠𝑖𝑔𝑛𝑥1, егер 𝑥1 < −1, 𝑥1 > 3. (11) -4 4 -3 3 0 𝑥2 1 -1 𝑥1 7 – сурет. – Қанығу және сезімтал аралықтары бар бейсызықты сипаттаманың түрі Гистерезис тұзағы және сезімтал аралығы бар бейсызықты үзбенің түрі 9 – суретте қөрсетілген. Қарастырылған бейсызықты үзбенің математикалы жазылуы мынандай болады 𝑑𝑥1 𝑑𝑡 < 0, 𝑥2 = { −5, егер 𝑥1 < −3, 2(𝑥 + 1), егер − 3 ≤ 𝑥1 ≤ −1, 0, егер − 1 ≤ 𝑥1 ≤ 3, 2(𝑥 − 3), егер 3 ≤ 𝑥1 ≤ 5, 5, егер 𝑥1 > 5, 𝑑𝑥1 𝑑𝑡 > 0, 𝑥2 = { −5, егер 𝑥1 < −5, 2(𝑥 + 3), егер − 5 ≤ 𝑥1 ≤ −3, 0, егер − 3 ≤ 𝑥1 ≤ 1, 2(𝑥 − 1), егер 1 ≤ 𝑥1 ≤ 3, 5, егер 𝑥1 > 3. (12) -2 2 -4 4 3 -3 0 𝑥1 1 -1 𝑥2 8 – сурет. – Гистерезис тұзағы бар бейсызықты сипаттаманың түрі 5 -5 -4 4 -3 3 𝑥1 0 𝑥2 1 -1 9 – сурет. – Гистерезис тұзағы және сезімтал аралығы бар сипаттаманың түрі Бақылау сұрақтары. 1) Жолақ сызықты және релелі бейсызықты сипаттамалардың айырмашылықтары қандай 2) Гистерезис тұзағы бар бейсызықты сипаттамасы қалай жазылады? 3) Модуль бойынша алынатын сезімтал және қанығу аралықтары бар бейсызықты сипаттамасы қалай жазылады? 4) Люфт түріндегі бейсызықты сипаттамасы қалай жазылады? 4 практика сабағы: Бейсызықты релелі үзбелерден гармоникалы синусоидалды сигналдың өту мысалдары Сезімтал аралығы бар реле бейсызықты үзбенің сипаттамасы алынсын. Бейсызықты үзбеден 𝑥1 = 4 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 гармоникалы синусоидалды сигнал өтуін қарастырайық. Онда бейсызықты үзбенің шығаберісіндегі 𝑥2 – шығаберіс сигналды табайық. Гармоникалы синусоидалды сигналдың өтуі 15 – суретте қөрсетілген. Мұндағы 𝑥1 = 4 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 гармоникалы синусоидалды сигнал үзбенің кіреберісіне беріледі. Бейсызықты үзбенің [−2,2] сезімтал аралығына байланысты, тік төртбұрышты сигналдың түріне нөльге тең аралықтар қосылады. Тік төртбұрышты сигналдың секіріп өсу бұрыштарын теңдеуден табамыз 𝜓 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 2 4 = 𝜋 6 . (18) Онда шығаберіс сигналдың теңдеуі мынандай түрде жазылады. 𝑥2 = { 0, егер 0 ≤ 𝜔𝑡 ≤ 𝜋 6 , +𝐶, егер 𝜋 6 < 𝜔𝑡 < 5𝜋 6 , 0, егер 5𝜋 6 ≤ 𝜔𝑡 ≤ 7𝜋 6 , −𝐶, егер 7𝜋 6 < 𝜔𝑡 < 11𝜋 6 , 0, егер 11𝜋 6 ≤ 𝜔𝑡 < 2𝜋. (19) -2 2 -4 4 -3 3 1 0 𝑥1 -1 𝑥2 14 – сурет. – Люфт түріндегі бейсызықты сипаттаманың түрі Осы бейсызықты үзбеден гармоникалы 𝑥1 = 4 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 синусоидалды сигнал өткенде шығаберіс сигналдың түрі 16 – суреттегідей болып, ал математикалы жазылуы мынандай болады: 𝑥2 = { 4, егер 0 ≤ 𝜔𝑡 ≤ 𝜋, −4, егер 𝜋 < 𝜔𝑡 < 2𝜋. (20) Мұндағы бейсызықты үзбенің шығаберісінде 0, 𝜋, 2𝜋, 3𝜋⋯ радиан, бұрыш мәндеріне сәйкес өзгеретін тік төртбұрыш сигналы табылады. 7𝜋 6 5𝜋 6 π -4 x1 ωt 𝜋 6 5𝜋 6 11𝜋 6 4 2π 7𝜋 6 𝜋 6 x2 ωt 11𝜋 6 π 2π x1 2 -4 4 x2 -2 0 15 – сурет. – Сезімтал аралығы бар реле бейсызықты үзбеден гармоникалы синусоидалды сигналдың өтуі. Бейсызықты үзбенің түрі гистерезис тұзағы бар реле болса, үзбеден 𝑥1 = 4 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 гармоникалы синусоидалды сигнал өткенде, шығаберіс сигналдың түрі 16 – суреттегідей болады. Шығаберіс сигналдың математикалы, мынандай түрде табамыз: 𝑥2 = { 4, егер 0 ≤ 𝜔𝑡 ≤ 𝜋 6 , −4, егер 𝜋 6 < 𝜔𝑡 < 7𝜋 6 , 4, егер 7𝜋 6 ≤ 𝜔𝑡 < 2𝜋. (21) 2 -2 4 -4 0 2π π 𝑥2 ωt 16 – сурет. – Идеалды реле бейсызықты үзбеден гармоникалы синусоидалды сигналдың өткен жағдайдағы шығаберіс сигналдың түрі 7𝜋 6 𝜋 6 7𝜋 6 2π π -4 x1 ωt 𝜋 6 4 ωt x2 π 2π x1 2 -4 4 x2 -2 0 16 – сурет. – Гистерезис тұзағы бар реле бейсызықты үзбеден гармоникалы синусоидалды сигналдың өтуі. 𝑥2 = { 0, егер 0 ≤ 𝜔𝑡 ≤ 𝜋 15 , 2(5𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 − 1), егер 𝜋 15 < 𝜔𝑡 < 𝜋 5 , +𝐶, егер 𝜋 5 ≤ 𝜔𝑡 ≤ 4𝜋 5 , 2(5𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 − 1), егер 4𝜋 5 < 𝜔𝑡 < 14𝜋 15 , 0, егер 14𝜋 15 ≤ 𝜔𝑡 ≤ 16𝜋 15 , 2(5𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 + 1), егер 16𝜋 15 < 𝜔𝑡 < 6𝜋 5 , −𝐶, егер 6𝜋 5 ≤ 𝜔𝑡 ≤ 9𝜋 5 , 2(5𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 + 1), егер 9𝜋 5 < 𝜔𝑡 < 29𝜋 15 , 0, егер 29𝜋 15 ≤ 𝜔𝑡 < 2𝜋 (27) Сезімтал аралығы бар бейсызықты үзбені алсақ (, үзбеден 𝑥1 = 2 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 гармоникалы синусоидалды сигнал өткенде шығаберіс сигналдың түрі 19 – суреттегідей болады. Гармоникалы синусоидалды сигналдың өзгеру бұрышын келесі теңдеуден табамыз 𝜓 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 1 2 = 𝜋 6 . (28) Бұл бейсызықты үзбенің шығаберісіндегі сигнал келесі теңдеумен жазылады: 𝑥2 = { 0, егер 0 ≤ 𝜔𝑡 ≤ 𝜋 6 , 2(2𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 − 1), егер 𝜋 6 < 𝜔𝑡 < 5𝜋 6 , 0, егер 5𝜋 6 ≤ 𝜔𝑡 ≤ 7𝜋 6 , 2(2𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 + 1), егер 7𝜋 6 < 𝜔𝑡 < 11𝜋 6 , 0, егер 11𝜋 6 ≤ 𝜔𝑡 < 2𝜋. (29) Егер бейсызықты үзбенің түрі қанығу аралығы бар бейсызықты үзбеден 𝑥1 = 4 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 гармоникалы синусоидалды сигнал өткенде шығаберіс сигналдың түрі 20 – суреттегідей болады. 11𝜋 6 𝑥2 3 𝜋 6 -3 0 2π π ωt 5𝜋 6 7𝜋 6 19 – сурет. – Сезімтал аралығы бар бейсызықты үзбеден гармоникалы синусоидалды сигналдың өткен жағдайдағы шығаберіс сигналдың түрі Шығаберіс сигналдың математикалы жазылуын құрастырғанда мынандай болады: 𝑥2 = { 8𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡, егер 0 < 𝜔𝑡 < 𝜋 6 , +4, егер 𝜋 6 ≤ 𝜔𝑡 ≤ 5𝜋 6 , 8𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡, егер 5𝜋 6 < 𝜔𝑡 < 7𝜋 6 , −4, егер 7𝜋 6 ≤ 𝜔𝑡 ≤ 11𝜋 6 , 8𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡, егер 11𝜋 6 < 𝜔𝑡 < 2𝜋. (30) Жазылған 𝜓 гармоникалы синусоидалды сигналдың өзгеру бұрышын (26) теңдеуден табады. Бақылау сұрақтары 1) Сезімтал аралығы бар бейсызықты үзбеден гармоникалы синусоидалды сигнал өткенде шығаберіс сигнал қалай жазылады? 2) Қанығу аралығы бар бейсызықты үзбеден қалай гармоникалы синусоидалды сигнал өткенде шығаберіс сигнал қалай жазылады? 3) Қанығу және сезімтал аралықтары бар бейсызықты үзбеден қалай гармоникалы синусоидалды сигнал өткенде шығаберіс сигнал қалай жазылады? 6 – практика сабағы: Басқа жолақ сызықты түрдегі бейсызықты үзбелерден гармоникалы синусоидалды сигналдың өту мысалдары Жолақ сызықты түрдегі бейсызықты үзбелерден синусоидалды сигналдың өту мысалдарын қарастырайық. Гистерезис тұзағы және сезімтал аралығы бар бейсызықты үзбенің түрі 21 – суретте қөрсетілген. 20 – сурет. – Қанығу аралығы бар бейсызықты үзбеден гармоникалы синусоидалды сигналдың өткен жағдайдағы шығаберіс сигналдың түрі 11𝜋 6 7𝜋 6 ωt 𝜋 6 5𝜋 6 π 𝑥2 -4 4 0 2π Қарастырылған бейсызықты үзбенің математикалы жазылуы мынандай болады 𝑑𝑥1 𝑑𝑡 < 0, 𝑥2 = { −5, егер 𝑥1 < −3, 2(𝑥 + 1), егер − 3 ≤ 𝑥1 ≤ −1, 0, егер − 1 ≤ 𝑥1 ≤ 3, 2(𝑥 − 3), егер 3 ≤ 𝑥1 ≤ 5, 5, егер 𝑥1 > 5, 𝑑𝑥1 𝑑𝑡 > 0, 𝑥2 = { −5, егер 𝑥1 < −5, 2(𝑥 + 3), егер − 5 ≤ 𝑥1 ≤ −3, 0, егер − 3 ≤ 𝑥1 ≤ 1, 2(𝑥 − 1), егер 1 ≤ 𝑥1 ≤ 3, 5, егер 𝑥1 > 3. (31) . Осы үзбеден 𝑥1 = 6 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 гармоникалы синусоидалды сигналдың өтуін қарастырайық. Бейсызықты үзбеден гармоникалы синусоидалды сигналдың өтуін 22 – сурттегідей түрде табамыз. 5 -5 -4 4 -3 3 𝑥1 0 𝑥2 1 -1 21 – сурет. – Гистерезис тұзағы және сезімтал аралығы бар сипаттаманың түрі Гармоникалы синусоидалды сигналдың өзгеру бұрыштарын (36) және (37) теңдеулер арқылы табуға болады 𝜓1 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 1 6 ≈ 𝜋 19 , (39) 𝜓2 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 4 6 ≈ 𝜋 4 . (40) Бейсызықты үзбенің гармоникалы синусоидалды сигналын күшейту коэффициенті 𝑘 = 4 3 тең. Қарастырылған бейсызықты үзбеден гармоникалы синусоидалды сигнал өткенде, шығаберіс сигналдың түрі 24 – суреттегідей болады. Мұндағы синусоидалды сигнал бір жағынаң түзетілсе, екінші жағынаң синусоидалды толқын қиылып кетеді, үшінші жағынаң нөльге тең аралықтары пайда болады. Жазылған (39), (40) теңдеулермен берілген өзгеру бұрыштарының мәндерін және бейсызықты үзбенің кіреберісіне 𝑥1 = 6 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 гармоникалы синусоидалды сигнал берілгенің ескеріп, шығаберіс сигналдын түрі 24 – суреттегідей болғанына байланысты шығаберіс сигналды мынандай теңдеумен жазуға болады x1 6 -6 2π π ωt 18𝜋 19 3𝜋 4 𝜋 19 𝜋 4 7𝜋 4 37𝜋 19 5𝜋 4 20𝜋 19 x1 4 4 -1 1 -4 x2 0 x2 ωt π 2π 24 – сурет. – Сезімтал және қанығу аралықтары бар модуль бойынша алынатын бейсызықты үзбеден гармоникалы синусоидалды сигналдың өтуі. 𝑥2 = { 0, егер 0 ≤ 𝜔𝑡 ≤ 𝜋 19 , 4 3 (6|𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡| − 1), егер 𝜋 19 < 𝜔𝑡 < 𝜋 4 , +4, егер 𝜋 4 ≤ 𝜔𝑡 ≤ 3𝜋 4 , 4 3 (6|𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡| − 1), егер 3𝜋 4 < 𝜔𝑡 < 18𝜋 19 , 0, егер 18𝜋 19 ≤ 𝜔𝑡 ≤ 20𝜋 19 , 4 3 (6|𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡| − 1), егер 20𝜋 19 < 𝜔𝑡 < 5𝜋 4 , −4, егер 5𝜋 4 ≤ 𝜔𝑡 ≤ 7𝜋 4 , 4 3 (6|𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡| − 1), егер 7𝜋 4 < 𝜔𝑡 < 37𝜋 19 , 0, егер 37𝜋 19 ≤ 𝜔𝑡 < 2𝜋. (41) Модуль бойынша алынатын бейсызықты үзбеден 𝑥1 = 6 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 гармоникалы синусоидалды сигнал өткенде, шығаберіс сигналдың түрі 25 – суреттегідей болады. Бейсызықты үзбенің шығаберіс сигналын мынандай теңдеумен жазуға болады 𝑥2 = |8𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡|. (42) Сезімтал аралығы бар модуль бойынша алынатын бейсызықты үзбеден 𝑥1 = 3 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 гармоникалы синусоидалды сигнал өткенде, шығаберіс сигналдың түрі 26 – суреттегідей болады. 4 8 8 𝑥2 π 0 2π ωt 25 – сурет. – Модуль бойынша алынатын бейсызықты үзбеден гармоникалы синусоидалды сигналдың өткен жағдайдағы шығаберіс сигналдың түрі Гармоникалы синусоидалды сигналдың өзгеру бұрышың (39) теңдеу арқылы табады 𝜓 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 1 3 ≈ 𝜋 9 . (43) Осыдан, жазылған (43) және бейсызықты үзбенің гармоникалы синусоидалды сигналын күшейту коэффициенті 𝑘 = 4 3 тең екенің ескеріп бейсызықты үзбенің шығаберіс сигналын мынандай теңдеумен жазуға болады 𝑥2 = { 0, егер 0 ≤ 𝜔𝑡 ≤ 𝜋 9 , 4 3 (3|𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡| − 1), егер 𝜋 9 < 𝜔𝑡 < 8𝜋 9 , 0, егер 8𝜋 9 ≤ 𝜔𝑡 ≤ 10𝜋 9 , 4 3 (4|𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡| + 1), егер 10𝜋 9 < 𝜔𝑡 < 17𝜋 9 , 0, егер 17𝜋 9 ≤ 𝜔𝑡 < 2𝜋. (44) Қанығу аралығы бар модуль бойынша алынатын үзбеден 𝑥1 = 6 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 гармоникалы синусоидалды сигнал өткенде, шығаберіс сигналдың түрі 27 – суреттегідей болады. 1 2 17𝜋 9 10𝜋 9 8𝜋 9 𝜋 9 3 𝑥2 0 2π π ωt 26 – сурет. – Сезімтал аралығы бар модуль бойынша алынатын бейсызықты үзбеден гармоникалы синусоидалды сигналдың өткен жағдайдағы шығаберіс сигналдың түрі 2 27 – сурет. – Қанығу аралығы бар модуль бойынша алынатын бейсызықты үзбеден гармоникалы синусоидалды сигналдың өткен жағдайдағы шығаберіс сигналдың түрі 11𝜋 6 7𝜋 6 𝑥2 2π ωt 0 4 π 5𝜋 6 𝜋 6 1) Қандай сипаттауыш теңдеудің түбірлері болғанда тепе-тең нүкте орнықты түйінге сәйкес келеді? 2) Қандай сипаттауыш теңдеудің түбірлері болғанда тепе-тең нүкте орнықсыз фокуска сәйкес келеді? 3) Қандай сипаттауыш теңдеудің түбірлері болғанда тепе-тең нүкте орталыққа сәйкес келеді? 8 - практика сабағы: Ляпуновтың екінші әдісімен орнықтылықты зерттеу есептерін шығару Ляпуновтың екінші әдісімен жүйенің орнықтылығын зерттеу есептерін қарастырайық. Жүйенің қобалжыған қозғалысы келесі теңдеулер жүйесімен жазылсын { ?̇?1 = 𝑥2 − 3𝑥1 3, ?̇?2 = −𝑥1 − 7𝑥2 3. (53) Ляпунов функциясын оң анық таңбалы функция қылып алайық 𝑉(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1 2 + 𝑥2 2. (54) Жүйенің қобалжыған қозғалысыныңың (53) теңдеулерін ескеріп, келесі (54) теңдеумен жазылған Ляпунов функциясының уақыт бойынша толық туындысын табайық 𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 𝜕𝑉 𝜕𝑥1 ?̇?1 + 𝜕𝑉 𝜕𝑥2 ?̇?2 = 2𝑥1(𝑥2 − 3𝑥1 3) + 2𝑥2(−𝑥1 − 7𝑥2 3) = = 2𝑥1𝑥2 − 6𝑥1 4 − 2𝑥1𝑥2 − 14𝑥2 2 = −(6𝑥1 4 + 14𝑥2 2). Табылған 𝑑𝑉 𝑑𝑡 туындысы теріс анық таңбалы функция, онда жүйенің қобалжымаған қозғалысы асимптотикалы орнықты. Келесі мысалы ретінде жүйенің қобалжыған қозғалысы мына теңдеулер жүйесімен жазылсын { ?̇?1 = 𝑥2 + 3𝑥1 2𝑥2 2 − 4𝑥1 5, ?̇?2 = −𝑥1 − 𝑥2 3 + 𝑥1 3𝑥2. (55) Ляпунов функциясын оң анық таңбалы функция түрінде алайық 𝑉(𝑥1, 𝑥2) = 1 2 (𝑥1 2 + 𝑥2 2). (56) Жүйенің қобалжыған қозғалысының (55) теңдеулерін ескеріп, келесі (56) теңдеумен жазылған Ляпунов функциясының уақыт бойынша толық туындысын табайық 𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 𝜕𝑉 𝜕𝑥1 ?̇?1 + 𝜕𝑉 𝜕𝑥2 ?̇?2 = 𝑥1(𝑥2 + 3𝑥1 2𝑥2 2 − 4𝑥1 5) + 𝑥2(−𝑥1 − 𝑥2 3 + 𝑥1 3𝑥2) = 𝑥1𝑥2 + 3𝑥1 3𝑥2 2 − 4𝑥1 6 − −𝑥1𝑥2 − 𝑥2 4 + 𝑥1 3𝑥2 2 = −4𝑥1 6 + 4𝑥1 3𝑥2 2 − 𝑥2 4 = = −((𝑥1 3)2 − 4𝑥1 3𝑥2 2 + (𝑥2 2)2) = −(𝑥1 3 − 𝑥2 2)2 Табылған 𝑑𝑉 𝑑𝑡 туындысы теріс тұрақ таңбалы функция, онда жүйенің қобалжымаған қозғалысы орнықты. Мұндағы асимптотикалы орнықтылық туралы айта алмаймыз. Жүйенің қобалжыған қозғалысы келесі теңдеулер жүйесімен жазылсын { ?̇?1 = −2𝑥2 − 𝑥1 3, ?̇?2 = 3𝑥1 − 4𝑥2 3. (57) Ляпунов функциясын оң анық таңбалы функция қылып таңдап алайық 𝑉(𝑥1, 𝑥2) = 3𝑥1 2 + 2𝑥2 2. (58) Жүйенің қобалжыған қозғалысының (57) теңдеулер жүйесін ескеріп, келесі (58) теңдеумен жазылған Ляпунов функциясының уақыт бойынша толық туындысын табайық 𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 𝜕𝑉 𝜕𝑥1 ?̇?1 + 𝜕𝑉 𝜕𝑥2 ?̇?2 = 6𝑥1(−2𝑥2 − 𝑥1 3) + 4𝑥2(3𝑥1 − 4𝑥2 3) = = −12𝑥1𝑥2 + 6𝑥1 4 + 12𝑥1𝑥2 − 16𝑥2 4 = −𝑥1𝑥2 − 𝑥2 4 + 𝑥1 3𝑥2 2 = −4𝑥1 6 + 4𝑥1 3𝑥2 2 − 𝑥2 4 = −(6𝑥1 4 + 16𝑥2 4). Табылған 𝑑𝑉 𝑑𝑡 туындысы теріс анықтаңбалы функция, онда жүйенің қобалжымаған қозғалысы асимптотиқалы орнықты. Жүйенің қобалжыған қозғалысы келесі теңдеулер жүйесімен жазылсын { ?̇?1 = 6𝑥2 + 2𝑥1 3, ?̇?2 = −3𝑥1 + 3𝑥2 3. (59) Ляпунов функциясын оң анық таңбалы функция қылып таңдап алайық 𝑉(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1 2 + 2𝑥2 2. (60) Жүйенің қобалжыған қозғалысының (59) теңдеулер жүйесін ескеріп, келесі (60) теңдеумен жазылған Ляпунов функциясының уақыт бойынша толық туындысын табайық 𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 𝜕𝑉 𝜕𝑥1 ?̇?1 + 𝜕𝑉 𝜕𝑥2 ?̇?2 = 2𝑥1(6𝑥2 + 2𝑥1 3) + 4𝑥2(−3𝑥1 + 3𝑥2 3) = = 12𝑥1𝑥2 + 4𝑥1 4 − 12𝑥1𝑥2 + 12𝑥2 4 = = 4𝑥1 4 + 12𝑥2 4. Табылған 𝑑𝑉 𝑑𝑡 туындысы оң анық таңбалы функция, онда жүйенің қобалжымаған қозғалысы орнықсыз. Бақылау сұрақтары. 1) Қалай Ляпунов функциясын құрастырады? 2) Ляпунов функциясының туындысын қалай табамыз? 3) Қандай жағдайда екінші Ляпунов әдісі бойынша жүйе орнықты болады? 9 – практика сабағы. - Бейсызықты үзбелердегі бірмәнді релелі сипаттамаларының гармоникалы сызықтандыру коэффициенттерін есептеп табу Гармоникалық сызықтандыру коэффициенттерін келесі теңдеулерден табылады { 𝑞(𝑎) = 1 𝜋𝑎 ∫ 𝐹(𝑎𝑠𝑖𝑛𝜓)𝑠𝑖𝑛𝜓𝑑𝜓 2𝜋 0 , 𝑞′(𝑎) = 1 𝜋𝑎 ∫ 𝐹(𝑎𝑠𝑖𝑛𝜓)𝑐𝑜𝑠𝜓𝑑𝜓 2𝜋 0 . (1) Типті идеалды реле бейсызықты үзбенің сипаттамасы 1 – суреттегідей болсын. Бұл бейсызықты сипаттаманың жазылуы мынандай болады: 𝑥2 = { 10, егер 𝑥1 ≥ 0, −10, егер 𝑥1 < 0, (2) немесе,) таңба белгісін қолданып қысқартып былайда жазады 𝑥2 = 10𝑠𝑖𝑔𝑛𝑥1. (3) Қарастырылып отырған бейсызықты үзбеден 𝑥1 = 𝑎𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 гармоникалы синусоидалы сигнал өткенде, 𝑥2 шығаберіс сигналдың түрі 2 – суретте қөрсетілген. -2 2 -5 5 0 10 -10 𝑥1 𝑥2 1 – сурет. – Идеалды реле бейсызықты сипаттамасы Табылған 2 – суреттегі тік төртбұрышты сигнал келесі теңдеумен жазылады: 𝑥2 = { 10, егер 0 ≤ 𝜔𝑡 ≤ 𝜋, −10, егер 𝜋 < 𝜔𝑡 < 2𝜋, (4) мұндағы бейсызықты үзбенің шығаберісінде 0, 𝜋, 2𝜋, 3𝜋⋯ радиан, бұрыш мәндеріне сәйкес өзгеретін тік төртбұрыштық сигнал табылады. Бұл жағдайда үзбенің гармоникалық сызықтандыру коэффициенттер мәндерін (1) теңдеу арқылы табайық. Онда ∫ 𝑥2(𝜓)𝑑𝜓 2𝜋 0 = 2∫ 𝑥2(𝜓)𝑑𝜓 𝜋 0 . Осыдан гармоникалы сызықтандыру коэффициентері тең 𝑞(𝑎) = 2 𝜋𝑎 ∫ 10𝑠𝑖𝑛𝜓𝑑𝜓 𝜋 0 = 20 𝜋𝑎 (−𝑐𝑜𝑠𝜓|0 𝜋) = 20 𝜋𝑎 (−𝑐𝑜𝑠𝜋 − (𝑐𝑜𝑠0)) = 40 𝜋𝑎 . (5) 𝑞′(𝑎) = 2 𝜋𝑎 ∫ 10𝑐𝑜𝑠𝜓𝑑𝜓 𝜋 0 = 20 𝜋𝑎 (𝑠𝑖𝑛𝜓|0 𝜋) = 20 𝜋𝑎 (𝑠𝑖𝑛𝜋 − 𝑠𝑖𝑛0) = 0. (6) Екінші 𝑞′(𝑎) = 0 гармоникалық сызықтандыру коэффициенті (6) теңдеу арқылы табылып нольге тең болады. Бұл жағдайда теңдеуге сәйкес гармоникалы сызықтандыру коэффициенттері тең 𝑞(𝑎) = 40 𝜋𝑎 ≈ 12.73 𝑎 , 𝑞′(𝑎) = 0. (7) Осыдан бейсызықты үзбенің беріліс функциясын былай жазуға болады 𝑊б(𝑎) = 12.73 𝑎 . (8) Сезімтал аралығы бар реле бейсызықты үзбенің сипаттамасы 3 - суретте қөрсетілген. Бейсызықты сипаттаманың жазылуы мынандай болады: -10 10 0 2π π 𝑥2 ωt 2 – сурет. – Идеалды реле түріндегі бейсызықты үзбеден гармоникалы синусоидалы сигналдың өткен жағдайдағы шығаберіс сигналдың түрі 0 𝑥2 10 -10 0.5 -0.5 𝑥1 3 – сурет. – Сезімтал аралығы бар реле бейсызықты сипаттамасы (10) теңдеудегі 𝑏 сезімтал аралығы және 𝑎 синусоидалы сигналдың амплитудасы арқылы табылады 𝜓 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 0.5 𝑎 . (12) Табылған 2 – суреттегі тік төртбұрышты сигнал келесі теңдеумен жазылады: 𝑥2 = { 𝐶, егер 0 ≤ 𝜔𝑡 ≤ 𝜋 − 𝜓, −𝐶, егер 𝜋 − 𝜓 < 𝜔𝑡 < 2𝜋 − 𝜓, 𝐶, егер 2𝜋 − 𝜓 ≤ 𝜔𝑡 < 2𝜋, (7) мұндағы бейсызықты үзбенің шығаберісінде 𝜋 − 𝜓, 2𝜋 − 𝜓, 3𝜋 − 𝜓⋯ радиан, бұрыш мәндеріне сәйкес өзгеретін тік төртбұрыштық сигнал табылады. Қарастырылып отырған бейсызықты үзбеден 𝑥1 = 𝑎𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 гармоникалы синусоидалы сигнал өткенде, 𝑥2 шығаберіс сигналдың түрі 2 – суретте қөрсетілген. Мұндағы 𝜓 мәні, (7) теңдеудегі 𝑏 сезімтал аралығы және 𝑎 синусоидалы сигналдың амплитудасы арқылы табылады 𝜓 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 𝑏 𝑎 . (8) Бұл жағдайда үзбенің гармоникалық сызықтандыру коэффициенттер мәндерін (3) теңдеу арқылы табайық. Онда ∫ 𝑥2(𝜓)𝑑𝜓 2𝜋 0 = 2∫ 𝑥2(𝜓)𝑑𝜓 𝜋+𝜓 𝜓 . Осыдан 𝑞(𝑎) = 2 𝜋𝑎 ∫ 𝐶𝑠𝑖𝑛𝜓𝑑𝜓 𝜋+𝜓 𝜓 = 2𝐶 𝜋𝑎 (−𝑐𝑜𝑠𝜓|𝜓 𝜋+𝜓 ) = 2𝐶 𝜋𝑎 (−𝑐𝑜𝑠(𝜋 + 𝜓) − (−𝑐𝑜𝑠𝜓)). Соңғы теңдеуде 𝑐𝑜𝑠(𝜋 + 𝜓) = −𝑐𝑜𝑠𝜓 тең екенің ескеріп, табамыз 𝑞(𝑎) = 2𝐶 𝜋𝑎 (−(−𝑐𝑜𝑠𝜓) + 𝑐𝑜𝑠𝜓) = 4𝐶 𝜋𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜓. (9) Бұл теңдеудегі 𝑐𝑜𝑠𝜓 мәнің былай жазуға болады 𝑐𝑜𝑠𝜓 = √1 − 𝑠𝑖𝑛2𝜓, бұл теңдеуге (8) теңдеуден 𝜓 мәнің қойып, табамыз 𝑐𝑜𝑠𝜓 = √1 − 𝑠𝑖𝑛2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 𝑏 𝑎 = √1 − 𝑏2 𝑎2 . Онда (9) теңдеу былай жазылады 2 – сурет. – Гистерезис тұзағы бар реле түріндегі бейсызықты үзбеден гармоникалы синусоидалды сигналдың өткен жағдайдағы шығаберіс сигналдың түрі 𝜋 − 𝜓 -C C 0 2π π 𝑥2 ωt 2𝜋 − 𝜓 𝑞(𝑎) = 4𝐶 𝜋𝑎 √1 − 𝑏2 𝑎2 . (10) Екінші 𝑞′(𝑎) гармоникалы сызықтандыру коэффициентінің мәнің табайық 𝑞′(𝑎) = 2 𝜋𝑎 ∫ 𝐶𝑐𝑜𝑠𝜓𝑑𝜓 𝜋+𝜓 𝜓 = 2𝐶 𝜋𝑎 (𝑠𝑖𝑛𝜓|𝜓 𝜋+𝜓 ) = 2𝐶 𝜋𝑎 (𝑠𝑖𝑛(𝜋 + 𝜓) − 𝑠𝑖𝑛𝜓), бұл теңдеуде 𝑠𝑖𝑛(𝜋 + 𝜓) = −𝑠𝑖𝑛𝜓, онда 𝑞′(𝑎) = 2𝐶 𝜋𝑎 (−𝑠𝑖𝑛𝜓 − 𝑠𝑖𝑛𝜓) = − 4𝐶 𝜋𝑎 𝑠𝑖𝑛𝜓. (11) Бұл теңдеудегі 𝑠𝑖𝑛𝜓 мәніңt (8) теңдеуден 𝜓 мәнің қойып, табамыз 𝑠𝑖𝑛 (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 𝑏 𝑎 ) = 𝑏 𝑎 , Онда (11) теңдеу былай жазылады 𝑞′(𝑎) = − 4𝑏𝐶 𝜋𝑎2 . (12) Бейсызықты үзбе гистерезис тұзағы бар реле теңдеулермен жазылсын. Онда теңдеуге сәйкес, гармоникалы сызықтандыру коэффициенттері тең { 𝑞(𝑎) = 4∙4 𝜋𝑎 √1 − 4 𝑎2 = 5.09 𝑎2 √𝑎2 − 4, 𝑞′(𝑎) = − 4∙4∙2 𝜋𝑎2 = − 32 𝜋𝑎2 ≈ 10.18 𝑎2 , 𝑎 > 2. (5) Осыдан бейсызықты үзбенің беріліс функциясын былай жазуға болады 𝑊б(𝑎) = 5.09 𝑎2 √𝑎2 − 4 − 10.18 𝑎2𝜔 𝑠 = 5.09 𝑎2 √𝑎2 − 4 − 𝑗 10.18 𝑎2 . (6) Гистерезис тұзағы және сезімтал аралығы бар реле бейсызықты үзбенің қөрсетілген. Бұл бейсызықты үзбенің сипаттамасы жазылсын. Онда теңдеуге сәйкес, гармоникалы сызықтандыру коэффициенттері тең { 𝑞(𝑎) = 2∙5 𝜋𝑎 (√1 − 16 𝑎2 +√1 − 4 𝑎2 ) ≈ 3.18 𝑎2 √𝑎2 − 16√𝑎2 − 4, 𝑞′(𝑎) = − 2∙5∙4 𝜋𝑎2 (1 − 0.5) ≈ − 6.37 𝑎2 , 𝑎 > 4. (7) Осыдан бейсызықты үзбенің беріліс функциясын былай жазуға болады 𝑊б(𝑎) = 3.18 𝑎2 √𝑎2 − 16√𝑎2 − 4 − 𝑗 6.37 𝑎2 (8) Гистерезис тұзағы және сезімтал аралығы бар реле бейсызықты үзбенің түрі 4 – суретте қөрсетілген. -5 𝑥2 𝑥1 2 4 5 0 -4 -2 4 - сурет. – Гистерезис тұзағы және сезімтал аралығы бар реле бейсызықты сипаттамасы Бейсызықты үзбенің жазылуы мынандай болады: 𝑑𝑥1 𝑑𝑡 > 0, 𝑥2 = { −5, егер 𝑥1 < −4, 0, егер – 4 ≤ 𝑥1 ≤ 2, 5, егер 𝑥1 > 2, 𝑑𝑥1 𝑑𝑡 < 0, 𝑥2 = { −5, егер 𝑥1 < −2, 0, егер – 2 ≤ 𝑥1 ≤ 4, 5, егер 𝑥1 > 4. (7) Сезімтал аралығы бар бейсызықты сипаттаманың түрі қөрсетілген. Бұл бейсызықты үзбенің сипаттамасы теңдеумен жазылсын. Онда гармоникалы сызықтандыру коэффициенттері тең 𝑞(𝑎) = 2 − 1.27 (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 1 𝑎 + 1 𝑎 √1 − 1 𝑎2 ), 𝑞′(𝑎) = 0. (9) Осыдан бейсызықты үзбенің беріліс функциясын былай жазуға болады 𝑊б(𝑎) = 2 − 1.27 (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 1 𝑎 + √𝑎2−1 𝑎2 ). (10) Қанығу аралығы бар бейсызықты үзбенің теңдеумен жазылады. Бұл үзбенің гармоникалы сызықтандыру коэффициенттерін келесі теңдеулер арқылы таба аламыз 𝑞(𝑎) = 1.27 (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 2 𝑎 + 2 𝑎 √1 − 4 𝑎2 ), 𝑞′(𝑎) = 0. (11) Бейсызықты үзбенің беріліс функциясын былай жазуға болады 𝑊б(𝑎) = 1.27 (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 2 𝑎 + 2√𝑎2−4 𝑎2 ). (12) Сезімтал және канығу аралықтары бар бейсызықты үзбенің сипаттамасы қөрсетілген. Бұл үзбенің гармоникалы сызықтандыру коэффициенттерін келесі теңдеулер арқылы таба аламыз 𝑞(𝑎) = 1.27 [𝜓2 − 𝜓1 + 1 2 𝑠𝑖𝑛2𝜓2 − 1 2 𝑠𝑖𝑛2𝜓1], 𝑞 ′(𝑎) = 0, (13) мұндағы 𝜓1 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 1 𝑎 , 𝜓2 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 3 𝑎 . Осыдан, бейсызықты үзбенің беріліс функциясын былай жазуға болады 𝑊б(𝑎) = 1.27 [𝜓2 − 𝜓1 + 1 2 𝑠𝑖𝑛2𝜓2 − 1 2 𝑠𝑖𝑛2𝜓1]. (14) Бақылау сұрақтары 1) Типті релелі бейсызықты үзбелерінің құрамында гистерезис тұзағы болмағанда, беріліс функциясының түрі қандай болады? 2) Типті релелі бейсызықты үзбелерінің құрамында гистерезис тұзағы болғанда, беріліс функциясының түрі қандай болады? 3) Типті қанығу және сезімтал аралықтары бар бейсызықты үзбелерінің беріліс функциясының түрі қандай болады? 4) Кіреберіс сигналдың амплитудасына байланысты типті бейсызықты үзбелердің беріліс функциялары қалай өзгереді? 5) Кіреберіс сигналдың амплитудасына байланысты типті релелі бейсызықты үзбелердің беріліс функциялары қалай өзгереді? 10 – практика сабағы. - Бейсызықты үзбелердегі екімәнді релелі сипаттамаларының гармоникалы сызықтандыру коэффициенттерін есептеп табу Гармоникалық сызықтандыру коэффициенттерін келесі теңдеулерден табылады Бейсызықты үзбенің жазылуы мынандай болады: 𝑥2 = { { −10, егер 𝑥1 < −0.5, 0, егер – 0.5 ≤ 𝑥1 ≤ 1, 10, егер 𝑥1 > 1, егер 𝑑𝑥1 𝑑𝑡 > 0, { −10, егер 𝑥1 < −1, 0, егер – 1 ≤ 𝑥1 ≤ 0.5, 10, егер 𝑥1 > 0.5, егер 𝑑𝑥1 𝑑𝑡 < 0, (7) Қарастырылып отырған бейсызықты үзбеден 𝑥1 = 𝑎𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 гармоникалы синусоидалы сигнал өткенде, 𝑥2 шығаберіс сигналдың түрі 4 – суретте қөрсетілген. Мұндағы 𝜓1және 𝜓2 мәндерін келесі теңдеулер арқылы табылады 𝜓1 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 1 𝑎 , 𝜓2 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 0.5 𝑎 . (8) Бұл жағдайда бейсызықты үзбенің шығаберісінде 0 ≤ 𝜔𝑡 ≤ 𝜓1, 𝜋 − 𝜓2 ≤ 𝜔𝑡 ≤ 𝜋 + 𝜓1, ⋯ радиан, бұрыш мәндеріне сәйкес өзгеретін 𝑥2 = 0, нольге тең сигналдар және 𝜓1 < 𝜔𝑡 < 𝜋 − 𝜓2, 𝜋 + 𝜓1 < 𝜔𝑡 < 2𝜋 − 𝜓2, ⋯ радиан, бұрыш мәндеріне сәйкес өзгеретін тік төртбұрыштық сигналдар табылады. Бейсызықты сипаттама симметриялы болғандықтан, келесіні жазамыз ∫ 𝑥2(𝜓)𝑑𝜓 2𝜋 0 = 2∫ 𝑥2(𝜓)𝑑𝜓 𝜋 0 , осыдан 4 – суреттен, интегралдың біреуін былай табуға болады -10 𝑥2 𝑥1 0.5 1 10 0 -1 -0.5 3 - сурет. – Гистерезис тұзағы және сезімтал аралығы бар реле бейсызықты сипаттамасы 4 – сурет. – Гистерезис тұзағы және сезімтал аралығы бар реле реле түріндегі бейсызықты үзбеден гармоникалы синусоидалы сигналдың өткен жағдайдағы шығаберіс сигналдың түрі 𝜋 + 𝜓1 -C C 0 2π π 𝑥2 ωt 𝜓1 𝜋 − 𝜓2 2𝜋 − 𝜓2 ∫ 𝑥2(𝜓)𝑑𝜓 𝜋 0 = ∫ 𝑥2(𝜓)𝑑𝜓 𝜓1 0 + ∫ 𝑥2(𝜓)𝑑𝜓 𝜋−𝜓2 𝜓1 + ∫ 𝑥2(𝜓)𝑑𝜓 𝜋 𝜋−𝜓2 . Бұл интегралдың біріншісі және үшіншісі нөлге тең болады. Осыдан гармоникалы сызықтандыру коэффициентері тең 𝑞(𝑎) = 2 𝜋𝑎 ∫ 10 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜓𝑑𝜓 𝜋−𝜓2 𝜓1 , 𝑞′(𝑎) = 2 𝜋𝑎 ∫ 10 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜓𝑑𝜓 𝜋−𝜓2 𝜓1 . Осыдан 𝑞(𝑎) = 2 𝜋𝑎 ∫ 10𝑠𝑖𝑛𝜓𝑑𝜓 𝜋−𝜓2 𝜓1 = 20 𝜋𝑎 (−𝑐𝑜𝑠𝜓|𝜓1 𝜋−𝜓2) = 20 𝜋𝑎 (−𝑐𝑜𝑠(𝜋 − 𝜓2) − (−𝑐𝑜𝑠𝜓1)). Соңғы теңдеуде 𝑐𝑜𝑠(𝜋 − 𝜓2) = −𝑐𝑜𝑠𝜓2 тең екенің ескеріп, табамыз 𝑞(𝑎) = 20 𝜋𝑎 (−(−𝑐𝑜𝑠𝜓2) + 𝑐𝑜𝑠𝜓1) = 20 𝜋𝑎 (𝑐𝑜𝑠𝜓1 + 𝑐𝑜𝑠𝜓2). (9) Бұл теңдеудегі 𝑐𝑜𝑠𝜓1 мәнің былай жазуға болады 𝑐𝑜𝑠𝜓1 = √1 − 𝑠𝑖𝑛2𝜓1, бұл теңдеуге (8) теңдеуден 𝜓1 мәнің қойып, табамыз 𝑐𝑜𝑠𝜓1 = √1 − 𝑠𝑖𝑛2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 0.5 𝑎 = √1 − 0.25 𝑎2 . Бұл теңдеудегі 𝑐𝑜𝑠𝜓2 мәнің былай жазуға болады 𝑐𝑜𝑠𝜓2 = √1 − 𝑠𝑖𝑛2𝜓2, бұл теңдеуге (8) теңдеуден 𝜓2 мәнің қойып, табамыз 𝑐𝑜𝑠𝜓2 = √1 − 𝑠𝑖𝑛2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 1 𝑎 = √1 − 1 𝑎2 . Онда (9) теңдеу былай жазылады 𝑞(𝑎) = 20 𝜋𝑎 (√1 − 0.25 𝑎2 +√1 − 1 𝑎2 ). (10) Екінші 𝑞′(𝑎) гармоникалы сызықтандыру коэффициентінің мәнің табайық 𝑞′(𝑎) = 2 𝜋𝑎 ∫ 10 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜓𝑑𝜓 𝜋−𝜓2 𝜓1 = 20 𝜋𝑎 (𝑠𝑖𝑛𝜓|𝜓1 𝜋−𝜓2) = 20 𝜋𝑎 (𝑠𝑖𝑛(𝜋 − 𝜓2) − 𝑠𝑖𝑛𝜓1), бұл теңдеуде 𝑠𝑖𝑛(𝜋 − 𝜓2) = 𝑠𝑖𝑛𝜓2 және 𝑠𝑖𝑛𝜓1 > 𝑠𝑖𝑛𝜓2 болғаның ескере отырып, келесіні жаза аламыз 𝑞′(𝑎) = − 20 𝜋𝑎 (𝑠𝑖𝑛𝜓1 − 𝑠𝑖𝑛𝜓2). (11) Бұл теңдеудегі 𝑠𝑖𝑛𝜓1 мәнің (8) теңдеуден 𝜓1 мәнің қойып, табамыз 𝑠𝑖𝑛 (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 1 𝑎 ) = 1, Ал 𝑠𝑖𝑛𝜓2 мәніңе (8) теңдеуден 𝜓2 мәнің қойып, табамыз 𝑠𝑖𝑛 (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 0.5 𝑎 ) = 0.5 𝑎 , Онда (11) теңдеу былай жазылады 𝑞′(𝑎) = − 20 𝜋𝑎 ( 1 𝑎 − 0.5 𝑎 ) = − 20∙0.5 𝜋𝑎2 ≈ − 3.18 𝑎2 . (12) Осылай екі гармоникалы сызықтандыру коэффициент мәндері табылады. Гистерезис тұзағы және сезімтал аралығы бар реле бейсызықты үзбенің қөрсетілген. Бұл бейсызықты үзбенің сипаттамасы жазылсын. Онда теңдеуге сәйкес, гармоникалы сызықтандыру коэффициенттері тең { 𝑞(𝑎) = 20 𝜋𝑎 (√1 − 0.25 𝑎2 +√1 − 1 𝑎2 ) ≈ 3.18 𝑎2 (√𝑎2 − 0.25 + √𝑎2 − 1), 𝑞′(𝑎) ≈ − 3.18 𝑎2 , 𝑎 > 1. (13) Осыдан бейсызықты үзбенің беріліс функциясын былай жазуға болады 𝑊б(𝑎) = 3.18 𝑎2 (√𝑎2 − 0.25 + √𝑎2 − 1) − 𝑗 3.18 𝑎2 (14) Осылай бейсызықты үзбенің эквивалентті беріліс функциясын табуға болады. Бақылау сұрақтары 1) Типті релелі бейсызықты үзбелерінің құрамында гистерезис тұзағы болмағанда, беріліс функциясының түрі қандай болады? 2) Типті релелі бейсызықты үзбелерінің құрамында гистерезис тұзағы болғанда, беріліс функциясының түрі қандай болады? 3) Типті қанығу және сезімтал аралықтары бар бейсызықты үзбелерінің беріліс функциясының түрі қандай болады? 4) Кіреберіс сигналдың амплитудасына байланысты типті бейсызықты үзбелердің беріліс функциялары қалай өзгереді? 5) Кіреберіс сигналдың амплитудасына байланысты типті релелі бейсызықты үзбелердің беріліс функциялары қалай өзгереді? 11 – практикалық сабақ. Гурвиц критерийы бойынша бейсызықты жүйелердегі автотербелістердің орнықтылығын зерттеу есептері Жоғарыда айтылғандай, жүйеде автотербелістер пайда болу үшін сипатауыш теңдеудің екі түбірі түйіндес таза жорамал болу тиіс. Бұл жағдайда жүйенің орнықтылығын алгебралық орнықты критерийлерін қолданып анықтауға болады. Демек, бейсызықты жүйенің дәрежесі үшке тең болса, онда гармоникалық сызықтандырылған сипаттауыш теңдеу келесі түрде жазылады: 𝑎0𝑠 3 + 𝑎1𝑠 2 + 𝑎2𝑠 + 𝑎3 = 0, (1) мұндағы коэфициенттердің мәндеріне ізделінетін автотербелістің амплитудасы 𝑎 = 𝑎п және жиілігі 𝜔 = 𝜔п кіріп түр. Гурвиц критерийы бойынша түйіндес таза жорамал түбірлердің жұбы болу үшін, келесі шарт орындалу тиіс: 𝑎1 ∙ 𝑎2 = 𝑎0 ∙ 𝑎3. (7) Бұл шарттан ізделінетін автотербелістің амплитудасы 𝑎п және жиілігі 𝜔п кіретін бір теңдеуді табамыз. Екінші теңдеуді табу үшін (6) теңдеудің шешімдері арасында екі түйіндес таза жорамал түбір 𝑠 = ±𝑗𝜔п бар дейік, онда (𝑠2 + 𝜔п 2) ∙ (𝑎0𝑠 + 𝑏) = 0. (8) Табылған теңдеудің жакшасын ашып, оның коэффициенттерін (8) теңдеудің коэффициенттеріне теңестіріп, табамыз 𝑎0𝜔п 2 = 𝑎2. (9) Жоғарыда жазылған (7) және (9) теңдеулерден белгісіз автотербелістің амплитудасы 𝑎п және жиілігі 𝜔п анықтауға болады. Табылған параметрлер бойынша пайда болған автотербелістің 𝑎п амплитудасы және 𝜔п бұрыш жиіліктігі анықталады және ол периодикалы шешім деп аталады, оның жазылуы мынандай болады 𝑥п = 𝑎п ∙ 𝐶𝑜𝑠𝜔п𝑡. (10) Пайда болған автотербелістің орнықтылығын анықтай үшін автотербелістің амплитудасына ауытқулар беріледі, онда амплидудасы былай жазылады 𝑎п + ∆, немесе 𝑎п − ∆. Автотербелістің орнықтылығын бұл жағдайды келесі тұжырымдар арқылы анықтайды. Егер автотербелістің амплитудасын 𝑎п + ∆ өзгерткен кезде зерттеліп жатқан жүйе орнықты болса, ал 𝑎п − ∆ өзгертсе, жүйе орнықсыз болса, онда автотербеліс орнықты болады (1a – сурет). Келесі жағдайда автотербелістің амплитудасын 𝑎п + ∆ өзгерткен кезде зерттеліп жатқан жүйе орнықсыз болса, ал 𝑎п − ∆ өзгертсе, жүйе орнықты болса, онда Бақылау сұрақтары 1) Бейсызықты жүйенің дифференциалды теңдеуі қалай құрастырылады? 2) Бейсызықты сипаттаманың гармоникалы сызықтандыру коэффициенттерін қалай табады? 3) Бейсызықты жүйеде периодты шешім болу шартын Гурвиц критерийы бойынша қалай анықтайды? 4) Периодикалы шешімнің орнықтылығын Гурвиц критерийы бойынша қалай зерттейді? 5) Периодикалы шешімдер бірнеше болғанда, олардың арасында қалай орнықты периодикалы шешімді табады? 12 – практика сабағы: Сезімтал аралығы бар реле құрамында бар бейсызықты жүйенің периодикалы шешімдерінінің орнықтылығын Михайлов критерийы бойынша зерттеу мысалдары Бейсызықты жүйе сызықты және бейсызықты бөліктерге жіктелсін. Сызықты бөліктін беріліс функциясы мынандай болсын 𝑠=10𝑠(1+0.1𝑠)(1+0.2𝑠) . Бейсызықты бөлігінің сипаттамасының түрі сезімтал аралығы бар реле сияқты алынсын. Бұл сипаттаманың параметрлері мынандай болсын: b=2, C=10. Бейсызықты жүйенің тұйықталған сызықтандырылған теңдеуін табайық 𝑠3+0.3𝑠2+𝑠+104𝐶𝜋𝑎2𝑎2−4𝑥1=0. Бұл дифференциалды теңдеуге келесі сипаттауыш теңдеу сәйкес келеді 𝑠3+0.3𝑠2+𝑠+400𝜋𝑎2𝑎2−4=0. Ж а з ы л ғ а н т е ң д е у д е г і 𝑥1=𝐴𝑠𝑖𝑛𝛺𝑡 периодикалы шешімнің табылу шартын Михайлов критерий арқылы іздейік. О л ү ш і н с и 𝑗𝜔=−𝑗0,02𝜔3−0.3𝜔2+𝑗𝜔+400𝜋𝑎2𝑎2−4. Табылған Михалов функциясының нақты және жорамал Михайлов функцияларын табайық { 𝑋(𝜔) = ( 400 𝜋𝑎2 √𝑎2 − 4) − 0.3𝜔2, 𝑌(𝜔) = 𝜔 − 0.02𝜔3, 𝑎 > 2. Т а б ы л ғ а н т е ң д е у л е р ж ү й 𝜔п2=0. О с ы д 𝜔п=50≈7.07. Табылған периодикалы шешімнің бұрыш жиілігінің мәнің айтылған теңдеулер жүйесінің бірінші теңдеуіне қойып, периодикалы шешімнің амплитудасын табуға болады. Онда келесіні жаза аламыз 𝜋𝑎2𝑎п2−4=0.3∙50, емесе 𝑎п2−4=15𝜋𝑎п2. Т а б ы л ғ а н т е ң д 𝜔п2=0. О с ы д 𝜔п=50≈7.07. Табылған периодикалы шешімнің бұрыш жиілігінің мәнің айтылған теңдеулер жүйесінің бірінші теңдеуіне қойып, периодикалы шешімнің амплитудасын табуға болады. Онда келесіні жаза аламыз 𝜋𝑎2𝑎п2−4=0.3∙50, емесе 𝑎п2−4=15𝜋𝑎п2. Сонғы теңдеудің екі жағын квадраттап табамыз 𝑎п2−4=225𝜋2𝑎п4, осыдан 𝑎п4−160000𝑎п2+640000=0. Т а б ы л ғ а н т е ң д е у д і ң к о э ф ф и ц и е н т е р і н б ө л і п 𝑎п2=𝑥 деп алып, келесі квадратты теңдеуді табамыз 𝑥2−72𝑥+288=0. Жазылған квадратты теңдеудің екі шешімі тең 𝑥1,2=72±5184−11522, о с ы д а н 𝑥1=72+63.52=67.7, 𝑥2=72−63.52=4.25. Онда периодикалы шешімнің екі амплитуда мәні болу мүмкін 𝑎п1=67.7≈8.23, 𝑎п2=4.25≈2.06. Осыдан екі периодикалы шешімді табуға болады 𝑥1=8.23𝑠𝑖𝑛7.07𝑡, 𝑥2=2.06𝑠𝑖𝑛7.07𝑡. Табылған периодикалы шешімдердің орнықтылығын Михайлов критерийы бойынша а н ы қ т а й ы к . О л ү ш і н П и о д и к а л ы ш е ш і м н і ң Айтылған әдіс бойынша ең алдымен пайда болған тербелістердің бірінші периодикалы шешімнің амплитудасын 𝑎 = 𝑎п1 ≈ 8.23. Онда 𝑌(𝜔) жорамал Михайлов функциясының мәні өзгермейді, ал нақты Михайлов функциясының мәні мынандай болады 𝜔=400𝜋∙8.2328.232−4−0.3𝜔2=400∙7.98212.681−0.3𝜔2, осыдан 𝜔=15−0.3𝜔2. Енді табылға екінші периодикалы шешімнің амплитудасын периодикалы шешім мәңіне тең қылып алайық 𝑎 = 𝑎п1 ≈ 2.06, онда нақты Михайлов функциясы тең 𝜔=400𝜋2.0622.062−4−0.3𝜔2=400∙0.513.324−0.3𝜔2, осыдан 𝜔=15−0.3𝜔2. Екі периодикалы шешімге бірдей нақты Михайлов функциясы сәйкес келді. Осы жағдайға сәйкес келетін Михайлов годографының графигін табайық. Ол үшін бұл мәнге сәйкес келетін теңдеулер жүйесін жазайық 𝑋𝜔=15−0.3𝜔2,𝑌𝜔=𝜔1−0.02𝜔2,𝑎>2. Ең алдымен Михайлов годографы нақты және жорамал осьтарын қиып өтетін н ү к т е л е р і н е с ә й к 𝜔22=0, осыдан 𝜔2=150.3≈7.07. Ж о а м а л 𝜔=0 теңестіріп нақты осін қиып өтетін нүктелер алдыңғы есепте табылған, олардың мәндері тең 𝜔1=0, 𝜔3=10.02≈7.07. Бұрыш жиілігінің 𝜔 мәнің 0 ден бастап ∞ өзгертіп (нақты және жорамал Михайлов ф у н к ц и я = 5 = 0 =15−0.3∙4=13.8, 𝑌2=2−0.02∙8=1.84, =15−0.3∙16=10.2, 𝑌4=4−0.02∙64=2.72, =15−0.3∙33.33=5, =5.77−0.02∙192.1=1.93, =15−0.3∙36=4.2, =6−0.02∙216=1.68, =15−0.3∙42.25=2.325, =6.5−0.02∙274.62=1, =15−0.3∙50=−5, =7.07−0.02∙353.4=0, =15−0.3∙64=−4.2, 𝑌8=8−0.02∙512=−2.24, Осы мәндерге сүйеніп нақты және жорамал Михайлов функцияларының мәндерінең 1 1 – кесте. - Периодикалы шешім 𝑥1 = 8.23𝑠𝑖𝑛7.07𝑡 тең болғандағы, нақты және жорамал Михайлов функцияларының мәндері ω 0 2 4 5.77 6 6.5 7.07 8 ∞ X(ω) 15 13.8 10.2 5 4.2 2.325 0 -4.2 -∞ Y(ω) 0 1.84 2.72 1.93 1.68 1 0 -2.24 -∞ Құрастырылған 1 – кестенің мәндерін қоладанып, периодикалы шешім 𝑥1 = 8.23𝑠𝑖𝑛7.07𝑡 тең болған жағдайға сәйкес келетін михайлов годографының графигі 1 – суретте қөрсетілген. Табылған график бойынша келесі тұжырым жасауға болады, Михайлов годографының графигі координат басын қиып өтіп үшінші шіректе шексізідікке ұмтылады, сол себептен тұйықталған жүйе орнықтылықтың шеқарасында деп айтуға болады. Бұл жағдайда тұйықталған жүйеде автотербеліс орын алады. Пайда болған автотербелістің орнықтылығын зерттеу керек. 𝜔 = 6 𝑋(𝜔) 𝜔 = 0 0 1 𝜔 = 5.77 𝑌(𝜔) 𝜔 = 7.07 10 15 5 -5 3 𝜔 = 2 𝜔 = 4 𝜔 = 6.5 𝜔 = 8 -2 -1 -3 2 1 – сурет. - Периодикалы шешім 𝑥1 = 8.23𝑠𝑖𝑛7.07𝑡 тең болғандағы Михайлов годографы =8−0.02∙512=−2.24, Осы мәндерге сүйеніп нақты және жорамал Михайлов функцияларының мәндерінең 3 – кестені құрастыруға болады. 3 – кесте. - Периодикалы шешім 𝑥1 = 7𝑠𝑖𝑛7.07𝑡 тең болғандағы, нақты және жорамал Михайлов функцияларының мәндері ω 0 2 4 6 7.07 7.62 8 ∞ X(ω) 17.44 16.23 12.64 6.64 2,44 0 -1.76 -∞ Y(ω) 0 1.84 2.72 1.68 0 -1.23 -2.24 -∞ Құрастырылған 3 – кестенің мәндерін қоладанып, периодикалы шешім 𝑥1 = 7𝑠𝑖𝑛7.07𝑡 тең болған жағдайға сәйкес келетін михайлов годографының графигі 3 – суретте қөрсетілген. Бұл график бойынша келесі тұжырымды жасауға болады. Годограф координат басын қамтымай өтеді. Сол себептен тұйықталған жүйе орнықсыз екені қөрініп тур. О с ы д а н б і р і н ш і п е р и о Е н д 𝑥2=2.06𝑠𝑖𝑛7.07𝑡 екінші периодикалы шешімнің орнықтылығын анықтайык. Тербеліс амплитудасының мәні периодикалы шешімнің амплитудасынаң үлкен болған жағдайда жүйе орнықсыз болып табылды (3 – сурет). Ары қарай тербеліс амплитудасын периодикалы шешімнің амплитудасынаң төмен қылып берейік. Мысалы тербеліс амплитудасыны мәнің a=2.04 тең болсын. Бұл жағдайда Михайлов фу кциялар келесі теңдеулер жүйесімен жазылад 𝑋𝜔=12.3−0.3𝜔2,𝑌𝜔=𝜔−0.02𝜔3, 𝑎>2. Ең алдымен Михайлов годографы нақты және жорамал осьтарын қиып өтетін нүктелеріне сәйкес келетін бұрыш жиіліктерінің мәндерін табайық. Ол үшін 𝑋(𝜔) = 0 теңестіріп жорамал осін қиып өтетін нүктеге сәйкес келетін жиілікті былай табуға болады 𝜔 = 6 𝑋(𝜔) 𝜔 = 0 𝑌(𝜔) 𝜔 = 7.07 10 5 5 3 𝜔 = 2 𝜔 = 4 𝜔 = 7.62 𝜔 = 8 -2 -1 -3 2 3 – сурет. - Периодикалы шешім 𝑥1 = 7𝑠𝑖𝑛7.07𝑡 тең болғандағы Михайлов годографы 𝜔22=0, осыдан 𝜔2=12.30.3≈6.4. Ж о р а м а л 𝜔=0 теңестіріп нақты осін қиып өтетін нүктелер алдыңғы есепте табылған, олардың мәндері тең 𝜔1=0, 𝜔3=10.02≈7.07. Бұрыш жиілігінің 𝜔 мәнің 0 ден бастап ∞ өзгертіп нақты және жорамал Михайлов ф у н к ц и я л а р ы н ы ң қ а ж е т т і м ә н д е р і н т а б а м ы з . Т а б ы л ғ = 3 = 0 =12.3−0.3∙4=11.1, 𝑌2=2−0.02∙8=1.84, =12.3−0.3∙16=7.5, 𝑌4=4−0.02∙64=2.72, =12.3−0.3∙36=1.5, =6−0.02∙216=1.68, =12.3−0.3∙40.96=0, =6.4−0.02∙268.336=1.08, =12.3−0.3∙46.24=−1.57, =6.8−0.02∙314.432=0.51, =12.3−0.3∙50=−2.7, =7.07−0.02∙353.4=0, =12.3−0.3∙64=−6.9, =8−0.02∙512=−2.24, Осы мәндерге сүйеніп нақты және жорамал Михайлов функцияларының мәндерінең 4 4 – кесте. - Периодикалы шешім 𝑥1 = 2.04𝑠𝑖𝑛7.07𝑡 тең болғандағы, нақты және жорамал Михайлов функцияларының мәндері ω 0 2 4 6 6.45 6.8 7.07 8 ∞ X(ω) 12.3 11.1 7.5 1.5 0 -1.57 -2.7 -6.9 -∞ Y(ω) 0 1.84 2.72 1.68 1.08 0.51 0 -2.24 -∞ Құрастырылған 4 – кестенің мәндерін қоладанып, периодикалы шешім 𝑥1 = 2.04𝑠𝑖𝑛7.07𝑡 тең болған жағдайға сәйкес келетін михайлов годографының графигі 4 – суретте қөрсетілген. Бұл график бойынша келесі тұжырымды жасауға болады. Годограф координат басын қамтып үшінші шіректе шексіздікке ұмтылады. Сол себептен тұйықталған жүйе орнықты екені қөрініп тур. Осыдан екінші периодикалы шешімнің орнықсыз автотербеліске сәйкес деп деп тұжырым жасауға болады. Оның себебі тербеліс амплитудасы периодикалы шешімнің амплитудасынаң үлкен болған жағдайда жүйе орнықсыз, ал керісінше кішкене болған ж а ғ д а й д а о р н ы қ т ы б о л ы п к е т т і . О с ы Бақылау сұрақтары. 1) Михайлов критерийы арқылы үшінші ретті жүйедегі периодикалық шешімінің орнықтылық шартын жазыныз? 2) ) Михайлов критерийы арқылы төртінші ретті жүйедегі периодикалық шешімінің орнықтылық шартын жазыныз? 3) Периодикалы шешімнің орнықтылығын зерттеу үшін 𝑎 = 𝑎п амплитудаға кішкене шамалы ∆𝑎 өсімшені бергенде Михайлов годографы қалай өзгереді? 4) Периодикалы шешімнің орнықтылығын зерттеу үшін аналитикалық теңдеудің түрін жазыныз? 13 – практика сабағы: Бейсызықты жүйенің құрамында идеалды реле болғанда автотербелістер орнықтылығын Гольдфарб әдісімен анықтау. Бейсызықты жүйе сызықты және бейсызықты бөліктерге жіктелсін. Сызықты бөліктін беріліс функциясы мынандай болсын 𝑊(𝑠) = 10 𝑠(1+0.1𝑠)(1+0.2𝑠) (1) Жазылған (1) беріліс функциясына сәйкес 𝑠 ≡ 𝑗𝜔 айырбастап, жиілік беріліс функциясын табамыз 𝑊с(𝑗𝜔) = 10 𝑗𝜔(1+𝑗0.1𝜔)(1+𝑗0.2𝜔) (2) Табылған (2) жиілік беріліс функция теңдеунің нақты және жорамал бөліктерінің теңдеулерін табайык. Ол үшін жиілік беріліс функцияның бөлімі мен алымын бөлімінің комплексті түйіндесіне қөбейту қажет 𝜔 = 6.8 𝑋(𝜔) 𝜔 = 0 𝜔 = 6 𝑌(𝜔) 𝜔 = 7.07 10 5 3 𝜔 = 2 𝜔 = 4 𝜔 = 6.45 𝜔 = 8 -2 -1 -3 2 4 – сурет. - Периодикалы шешім 𝑥1 = 2.04𝑠𝑖𝑛7.07𝑡 тең болғандағы Михайлов годографы 1) Сызықты бөлігінің амплитуда фаза жиілік сипаттамасының графигін қалай құрастырады? 2) Бейсызықты үзбенің кері амплитуда фаза жиілік сипаттамасын қалай құрастырады? 3) Бейсызықты жүйедегі периодикалы шешімді қалай табады? 4) Периодикалы шешімнің орнықтылығын қалай анықтайды? 14 – практика сабағы: Бейсызықты жүйенің құрамында сезімтал аралығы бар реле болғанда автотербелістер орнықтылығын Гольдфарб әдісімен анықтау. Бейсызықты жүйе сызықты және бейсызықты бөліктерге жіктелсін. Сызықты бөліктін беріліс функциясы мынандай болсын 𝑊(𝑠) = 10 𝑠(1+0.1𝑠)(1+0.2𝑠) (1) Жазылған (1) беріліс функциясына сәйкес 𝑠 ≡ 𝑗𝜔 айырбастап, жиілік беріліс функциясын табамыз 𝑊с(𝑗𝜔) = 10 𝑗𝜔(1+𝑗0.1𝜔)(1+𝑗0.2𝜔) (2) Табылған (2) жиілік беріліс функция теңдеунің нақты және жорамал бөліктерінің теңдеулерін табайык. Ол үшін жиілік беріліс функцияның бөлімі мен алымын бөлімінің комплексті түйіндесіне қөбейту қажет 𝑊с(𝑗𝜔) = 10𝑗𝜔(1−𝑗0.1𝜔)(1−𝑗0.2𝜔) 𝑗𝜔(1+𝑗0.1𝜔)(1+𝑗0.2𝜔)𝑗𝜔(1−𝑗0.1𝜔)(1−𝑗0.2𝜔) = = 10𝑗𝜔(1−𝑗0.1𝜔−𝑗0.2𝜔−0.02𝜔2) −𝜔2(1+0.01𝜔2)(1+0.04𝜔2) = 10(𝑗𝜔+0.3𝜔2−𝑗0.02𝜔3) −𝜔2(1+0.01𝜔2)(1+0.04𝜔2) = = − 3𝜔2 𝜔2(1+0.01𝜔2)(1+0.04𝜔2) − 𝑗 10(𝜔−0.02𝜔3) 𝜔2(1+0.01𝜔2)(1+0.04𝜔2) . Осыдан { 𝑈(𝜔) = − 3 (1+0.01𝜔2)(1+0.04𝜔2) , 𝑉(𝜔) = − 10(1−0.02𝜔2) 𝜔(1+0.01𝜔2)(1+0.04𝜔2) . (3) Амплитуда фаза жиілік сипаттамасының графигін құрастыру үшін, оның нақты осін қиып өту нүктесін табайық. Бұл нүктеде 𝑉(𝜔к) = 0. Осыдан 1 − 0.02𝜔к 2 = 0, немесе 𝜔к = √50 ≈ 7.07. Табылған 𝜔к ≈ 7.07 мәні бұрыш жиілікті 0 ден ∞ өзгерту аралығының мәндер өлшемін қөрсетеді. Бұрыш жиілігін 0 ден ∞ өзгертіп, теңдеулер жүйесінің нақты және жорамал бөліктерінің мәндерін есептеп табайық: 𝑈(0) = − 3 (1+0.01∙0)(1+0.04∙0) = −3, 𝑉(0) = − 10(1−0.02∙0) 0∙(1+0.01∙0)(1+0.04∙0) → −∞, 𝑈(4) = − 3 (1+0.01∙16)(1+0.04∙16) = − 3 1.9024 ≈ −1.577, 𝑉(4) = − 10(1−0.02∙16) 4∙(1+0.01∙16)(1+0.04∙16) = − 6.8 7.61 ≈ −0.9, 𝑈(5) = − 3 (1+0.01∙25)(1+0.04∙25) = − 3 2.5 = −1.2, 𝑉(5) = − 10(1−0.02∙25) 5∙(1+0.01∙25)(1+0.04∙25) = − 5 12.5 = −0.4, 𝑈(6) = − 3 (1+0.01∙36)(1+0.04∙36) = − 3 3.3184 ≈ −0.904, 𝑉(6) = − 10(1−0.02∙36) 6∙(1+0.01∙36)(1+0.04∙36) = − 2.8 19.9104 ≈ −0.14, 𝑈(√50) = − 3 (1+0.01∙50)(1+0.04∙50) = 3 4.5 = −0.666, 𝑉(√50) = − 10(1−0.02∙50) √50∙(1+0.01∙50)(1+0.04∙50) = 0, 𝑈(10) = − 3 (1+0.01∙100)(1+0.04∙100) = − 3 10 = −0.3, 𝑉(10) = − 10(1−0.02∙100) 10∙(1+0.01∙100)(1+0.04∙100) = 10 100 = 0.1, 𝑈(∞) = 0, 𝑉(∞) = 0. Табылған мәндер арқылы 1 – кестені құрастыра аламыз. Құрастырылған 1 – кестенің мәндеріне сүйеніп, сызықты бөлігінің амплитуда фаза жиілік сипаттамасының графигін құрастыруға болады (1 – сурет). 1 – кесте. – Амплитуда фаза жиілік сипаттаманың мәндері. ω 0 4 5 6 √50 10 ∞ U(ω) -3 -1.577 -1.2 -0.904 -0.666 -0.3 0 V(ω) −∞ -0.9 -0.4 -0.14 0 0.1 0 Қарастырылған бейсызықты жүйеде орнықты автотербеліс орын алу үшін шарт орындалу тиіс. Осы шарттың құрамындағы сызықтандырылған бейсызықты үзбенің кері беріліс фунциясын табайық. Бейсызықты сипаттаманың түрі суреттегідей болады, ал оның гармоникалы сызықтандыру коэффициенттері теңдеумен анықталады 𝑞(𝑎) = 4𝑐 𝜋𝑎 √1 − 𝑏2 𝑎2 = 40 𝜋𝑎 √1 − 4 𝑎2 , 𝑞′(𝑎) = 0, 𝑎 > 2. (4) Осыдан, бейсызықты үзбенің кері беріліс функциясы тең −𝑀б(𝑎) = − 𝜋𝑎2 40 1 √𝑎2−4 . (5) Бейсызықты жүйеде периодикалы шешім (тербелістер) пайда болу үшін шарт орындалу тиіс, ол үшін −𝑀б(𝑎) бейсызықты үзбенің кері амплитуда фаза жиілік сипаттамасының графигін құрастыру қажет. 1 – сурет. – Сызықты бөлігінің және бейсызықты үзбенің жиілік сипаттамалары Ол үшін a амплитуда мәнің 𝑎 = 𝑏 = 2 тен ∞ дейін өзгертіп, бейсызықты үзбенің −𝑀б(𝑎) бірініші гармоникасы бойынша табылған кері амплитуда фаза жиілік сипаттамасының графигін табамыз. Бұл жағдайда табылған график теріс таңбалы жартыосімен бірдей болып, екі бұтақтан құрастырылады. Айтылған −𝑀б(𝑎) сипаттаманың модулі бойынша минималды мәні 𝑎 = √2 ∙ 𝑏 = √2 ∙ 2 ≈ 2.828 тең болғанда алынады, онда (4), (5) теңдеулерден табамыз |𝑀б(𝑎)|𝑚𝑖𝑛 = 𝜋𝑏 2𝑐 = 𝜋∙2 20 ≈ 0.314. Табылған екі сипаттаманың қиылысу нүктесінде келесі теңдік орын алады − 𝜋𝑎2 40 1 √𝑎2−4 = −0.666, осыдан табамыз 𝜋𝑎2 = 26.64√𝑎2 − 4. Сонғы теңдеудің екі жағынаң квадратын алғансон, келесі теңдеу табылады 9.869𝑎4 − 709.6896𝑎2 + 2838.7584 = 0. Т а б ы л ғ а н т е ң д е у д і ң к о э ф ф и ц и е н т е р і н 9 𝑦2−72𝑦+288=0. Жазылған квадратты теңдеудің екі шешімі тең 𝑦1,2=72±5184−11522, о с ы д а н 𝑦1=72+63.52=67.7, 𝑦2=72−63.52=4.25. Онда периодикалы шешімнің екі амплитуда мәні болу мүмкін 𝑎п1=67.7≈8.23, 𝑎п2=4.25≈2.06. Осыдан екі периодикалы шешімді табуға болады 𝑥1=8.23𝑠𝑖𝑛50𝑡, 𝑥2=2.06𝑠𝑖𝑛50𝑡. Периодикалы шешім орнықты болу үшін, 𝑊с(𝑗𝜔) сызықты бөлігінің амплитуда фаза жиілік сипаттамасы −𝑀б(𝑎) бірініші гармоникасы бойынша табылған кері амплитуда фаза жиілік сипаттамасының кішкене амплитудаларын қамту тиіс. Бұл шарт жазылған екінші периодикалы шешімге орындалады, сол себептен жүйеде 𝑥1 = 8.23𝑠𝑖𝑛√50𝑡 орнықты тербеліс орын алады. Бақылау сұрақтары 1) Сызықты бөлігінің амплитуда фаза жиілік сипаттамасының графигін қалай құрастырады? 2) Бейсызықты үзбенің кері амплитуда фаза жиілік сипаттамасын қалай құрастырады? 3) Бейсызықты жүйедегі периодикалы шешімді қалай табады? 4) Периодикалы шешімнің орнықтылығын қалай анықтайды? 15 – практика сабағы: Бейсызықты релелі жүйелердің абсолютті орнықтылығын зерттеу есептерін шығару Бейсызықты жүйенің құрылым схемасы суреттегідей болсын. Оның сызықты бөлігінің беріліс функциясы теңдеумен жазылсын. Қарастырылған жүйенің В.М. Попов әдісімен абсолютті орнықтылығын зерттейік. Ол үшін ең алдымен сызықты бөлігінің амплитуда фаза жиілік сипаттамасын құрастыру қажет. Жиілік беріліс функциясы теңдеулермен жазылсын. Табылған жиілік беріліс функция теңдеунің нақты және жорамал бөліктерінің теңдеулері теңдеулер жүйесімен берілсін.