O definicji 7 z Księgi V „Elementów” Euklidesa, Ćwiczenia z Algebra

Pobierz O definicji 7 z Księgi V „Elementów” Euklidesa i więcej Ćwiczenia w PDF z Algebra tylko na Docsity!

Zagadnienia Filozoficzne w Nauce XLVI (2010), 118–

Piotr BŁASZCZYK

Instytut Matematyki, Uniwersytet Pedagogiczny, Kraków

O DEFINICJI 7 Z KSIĘGI V „ELEMENTÓW”

EUKLIDESA

WSTĘP

Klasycznym historycznym przykładem teorii aksjomatycznej jest wykład geometrii z Elementów Euklidesa. Istotnie, Księgę I otwiera seria definicji i aksjomatów, w kolejnych Księgach dopisywane są nowe definicje, a poszczególne twierdzenia zdają się być wyprowadzane z tych aksjomatów i wcześniej udowodnionych twierdzeń. Daleko tu jednak do współczesnego wzorca teorii aksjomatycznej. Już sama struk- tura dedukcyjna Elementów nie jest jasna: Euklides nie podaje żadnych komentarzy i nie wyjaśnia, które aksjomaty, czy twierdzenia są wyko- rzystywane w dowodzie, nie zawsze jasna jest różnica między definicją i aksjomatem, a wreszcie zagadką pozostaje rachunek zdań. Stąd ko- lejne wydania Elementów obrastają komentarzami, nowymi aksjoma- tami i definicjami, a rzecz wydaje się nie mieć końca; i tak do dzisiaj nie wiadomo na przykład, jaki jest matematyczny sens aksjomatu „Całość jest większa od części”, co oznacza pojęcie „wielkość”, czy Euklides stosuje prawo wyłączonego środka. Przez wieki Elementy były po prostu źródłem wiedzy matematycz- nej, w nowożytności tracąc na znaczeniu jako teoria matematyczna sta- nowiły zasadniczy korpus nauczania matematyk. W XIX zaś wieku na- rodziło nowe podejście — przedmiotem zainteresowania stała się sama

O definicji 7 z Księgi V „Elementów” Euklidesa 119

aksjomatyka geometrii Euklidesa. Do zdecydowanie wybitnych prac w tej dziedzinie zaliczamy M. Pascha Vorlesungen ¨uber neuere Geome- trie (1882), D. Hilberta Grundlagen der Geometrie (1899) oraz K. Bor- suka, W. Szmielew Podstawy geometrii (1955). W grupie tej praca Hil- berta zajmuje wyróżnioną pozycję, bo wyznaczyła standardy w badaniu teorii aksjomatycznej. W Księdze V Elementów zawarta jest aksjomatyczna teoria „wiel- kości” i, przypisywana Eudoxosowi, teoria proporcji „wielkości cią- głych”. Stanowi ona podstawę wyłożonej w Księdze VI teorii figur po- dobnych i jest stosowana dalej w Księgach X–XIII. W wykładzie Eu- klidesa spełnia ona taką rolę, jak arytmetyka liczb rzeczywistych we współczesnych wykładach geometrii. Aksjomatyczna teoria proporcji nie spotkała się z zainteresowaniem równym geometrii Euklidesa. Było tak, po części, dlatego, że rozwój geometrii aksjomatycznej splatał się z rozwojem aksjomatyki liczb rze- czywistych, a jednym z pomysłów Hilberta było wykorzystanie do bada- nia podstaw geometrii ciał uporządkowanych. Ostatecznie twierdzenia Euklidesa, w których stosowana jest teoria proporcji są dzisiaj formu- łowane z użyciem liczb rzeczywistych, a z teorii Eudoxosa pozostały jedynie słowa stosunek i proporcja. Obecnie na teorię proporcji z Księgi V można spojrzeć co najmniej z trzech perspektyw: filozoficznej, historycznej oraz matematycznej. Do idei z Księgi V sięgają tak zwani neologicy, gdzie w ramach sze- rokozakrojonego programu wprost nawiązującego do filozofii matema- tyki G. Frege, Bob Hale przedstawił koncepcję rekonstrukcji arytmetyki liczb rzeczywistych opartą na teorii proporcji Eudoxosa^1. Rozpatrując Księgę V w perspektywie historycznej można pokazać, że teoria pro- porcji doprowadziła do ukształtowania się idei grupy uporządkowanej archimedesowej. Kulminacją tego wątku są prace H. Webera Lehrbuch der Algebra (1895) oraz O. H¨oldera Die Axiome der Quantit¨at und die Lehre vom Mass (1901). Teorię proporcji można wreszcie badać jako pewną teorię dedukcyjną. Do tego nurtu zaliczamy książkę I. Muellera Philosophy of Mathematics and Deductive Structure in Euclid’s Ele-

(^1) Zob. [Hale 2000], s. 100–123.

O definicji 7 z Księgi V „Elementów” Euklidesa 121

measured by the less”^4. „Większa jest wielokrotnością mniejszej, gdy jest mierzona przez mniejszą”. B jest wielokrotnością A : B = nA , B jest mierzona przez A : B = nA.

3. “A ratio (λογος) is a sort of relation in respect of size (πηλκοτης) between two magnitudes (μεγεθος) of the same kind”^5. „Stosunek to pewna relacja z uwagi na mierzenie między wielkościami tego samego rodzaju”.

Jakkolwiek trudno jest nadać matematyczny sens tej definicji, to można wyjaśnić pojęcie „wielkości tego samego rodzaju”^6. Otóż wielkości „tego samego rodzaju” są dodawane (+) oraz porównywane z uwagi na relację „większy-mniejszy” (<). Na podstawie analizy dowodów z Księgi V przyjmujemy, że dodawanie wielkości + jest działaniem we- wnętrznym^7 , łącznym i przemiennym^8 , a porządek < jest liniowy^9. Dla- tego przyjmujemy, że wielkości tego samego rodzaju tworzą strukturę algebraiczno-porządkową M = ( M , +, <), gdzie + oraz < są scharak- teryzowane jak wyżej. To, że wielkości A , B są tego samego rodzaju zapisujemy w następujący sposób: A , B ∈ M.

4. “Magnitudes [A, B] are said to have a ratio to one another which can, when multiplied, exceed one another”^10. „O wielkościach mówimy, że jedna jest w stosunku do drugiej, gdy biorąc wielokrotność jednej można przekroczyć drugą”. ∀ A , B ∈ M ∃ n ∈ N [ nA > B ].

(^4) [Euklides, Elementy, V, def. 2]; literowe nazwy wielkości zostały dodane — P.B. (^5) [Euklides, Elementy, V, def. 3]. (^6) Zob. „Definicja stosunku podana przez Euklidesa jest matematycznie bezuży- teczna” [Mueller 1981], s. 126. (^7) Zob. Euklides, Elementy , V, passim. (^8) Zob. Euklides, Elementy , V, dowód twierdzenia 1. (^9) Przechodniość jest zakładana w dowodzie twierdzenia V.8, spójność — w dowo- dach twierdzeń V.9, V.10, V.18. (^10) [Euklides, Elementy, V, def. 4]; literowe nazwy wielkości zostały dodane — P.B.

122 Piotr Błaszczyk

Jest to tzw. aksjomat Archimedesa, chociaż odpowiedni aksjomat po- dany przez samego Archimedesa ma trochę inną postać^11.

5. “Magnitudes [A, B, C, D] are said to be in the same ratio, the first [A] to the second [B] and the third [C] to the fourth [D], when, if any equimultiples whatever be taken of the first [nA] and third [nC], and any equimultiples whatever of the second [mB] and fourth [mD], the former equimultiples alike exceed, are alike equal to, or alike fall short of, the latter equimultiples respecti- vely taken in corresponding order”^12. „O wielkościach mówimy, że są w tym samym stosunku, pierw- sza do drugiej i trzecia do czwartej, gdy biorąc dowolne wielo- krotności pierwszej i trzeciej oraz dowolne wielokrotności dru- giej i czwartej, pierwsze wielokrotności będą jednocześnie więk- sze, jednocześnie równe lub jednocześnie mniejsze od odpo- wiednio wziętych drugich wielokrotności”.

A : B :: C : D ↔ d f ∀ m , n ∈ N [( nA > 1 mB → nC > 2 mD ) ∧ ∧ ( nA = mB → nC = mD ) ∧ ( nA < 1 mB → nC < 2 mD ),

gdzie A , B ∈ M 1 = ( M 1 , + 1 , < 1 ), C , D ∈ M 2 = ( M 2 , + 2 , < 2 ). Proporcja jest zatem relacją między dwoma parami wielkości ( A , B ), ( C , D ). W każdej z par wielkości muszą być tego samego rodzaju, dla- tego piszemy A , B ∈ M 1 , C , D ∈ M 2. Ale wielkości z różnych par, np. A oraz C , mogą być różnego rodzaju. Doskonale ilustruje to twierdzenie VI, 1:

“Triangles [... ] which are under the same hight are to one ano- ther as their bases”^13. „Trójkąty [... ] o tych samych wysokościach mają się tak do sie- bie, jak ich podstawy”.

(^11) Zob. “Of unequal lines, unequal surfaces, and unequal solids, the greater exceeds the less by such a magnitude as, when added to itself, can be made to exceed any as- signed magnitude among those which are comparable with [it and with] another one” [Archimedes], Księga I, s. 4; symbolicznie: A < B → ∃ n [ n ( B − A ) > B , n ( B − A ) > A ]. (^12) [Euklides, Elementy, V, def. 5]; literowe nazwy wielkości zostały dodane — P.B. (^13) Euklides, Elementy , VI, 1.

124 Piotr Błaszczyk

(E2) A > C → ∃ E [ C + E = A ], (E3) A > C → A + B > C + B , (E4) ∀ A ∀ n ∈ N ∃ B [ nB = A ], (E5) ∀ A , B , C ∃ X [ A : B :: C : X ], gdzie A , B , C , E , X ∈ M,

można wyprowadzić wszystkie twierdzenia Księgi V.

W zdecydowanej większości komentarzy nie wyszczególnia się za- łożeń dotyczących działania + oraz porządku <, gdy zaś idzie o aksjo- maty, to komentatorzy wymieniają jedynie (E1), Bourbaki zaś obok (E1) podaje jeszcze (E2)^17. Zupełnie wyjątkowy natomiast pod tym względem jest artykuł [Beckmann 1967]. Otóż Beckmann skrupulat- nie wylicza założenia dotyczące struktury M. Gdy zaś idzie o aksjo- maty, to nie podaje on (E3), a obok (E1), (E2), (E4) i (E5) wypisuje wiele innych, o których można pokazać, że wynikają albo z (E3), albo z (E1), (E2), (E3), (E5). Jednak podstawowa różnica między zapropo- nowaną wyżej aksjomatyką, a tą, którą podaje Beckmann, polega na tym, że Beckmann przyjmuje, iż porządek < jest definiowany równo- ważnością A > C ↔ ∃ E [ C + E = A ]^18 , ale żaden fragment Elementów nie usprawiedliwia takiego rozstrzygnięcia. Tym samym opracowanie Beckmanna nie może być uznane za rekonstrukcję warstwy dedukcyjnej Księgi V. Beckmann zresztą sam przyznaje, że „stosuje swój własny sys- tem aksjomatów, ustanowiony w ścisłej zgodności z Euklidesem, który pozwala wyprowadzić wszystkie definicje i twierdzenia euklidesowej teorii wielkości (zwłaszcza te z Księgi V oraz VI)”. W żadnym ze znanych nam opracowań nie rozważa się niezależ- ności aksjomatów. Łatwo można pokazać, że (E4) wynika z (E5). Można też pokazać, że aksjomaty (E1), (E2), (E3), (E5) są niezależne. Można wreszcie pokazać, że z aksjomatów (E1), (E2), (E3), (E5) istot- nie wynika liniowość porządku stosunków ≻ zadanego definicją V, 7, ale można też pokazać, i to jest celem niniejszego artykułu, że do wy- kazania liniowości porządku ≻ nie wystarczy jedynie (E1). W dalszym

(^17) Zob. [Bourbaki 1966]. (^18) Zob. [Beckmann 1966], s. 51, definicja D.0.

O definicji 7 z Księgi V „Elementów” Euklidesa 125

ciągu odnosimy się zatem tylko do tych opracowań, które o strukturze wielkości M zakładają jedynie aksjomat Archimedesa.

2. EUKLIDES, „ELEMENTY”, KSIĘGA V, TWIERDZENIA 8–

Przedstawimy teraz trzy twierdzenia z Księgi V, które będą przywo- łane w dalszej części artykułu.

“Proposition 8. Of unequal magnitudes [ AB , C ], the greater [ AB ] has to the same [ D ] a greater ratio than the less [ C ] has; and the same has to the less a greater ratio than it has to the greater”^19. „Spośród nierównych wielkości, większa jest do tej samej w większym stosunku niż mniejsza. I stosunek tej samej do mniejszej jest większy od jej stosunku do większej”.

Symbolicznie:

AB > C → AB : D ≻ C : D , AB > C → D : C ≻ D : AB.

“Proposition 9. Magnitudes which have the same ratio to the same equal one another; and magnitudes to which the same has the same ratio are equal. For let each of the magnitudes A and B have the same ratio to C. I say that A is equal to B. For, otherwise, each of the magnitudes A , B would not have the same ratio to C ; but it has; therefore A is equal to B. [...]”^20. „Twierdzenie 9. Wielkości, które są w tym samym stosunku do tej samej są sobie równe. I wielkości, do których ta sama jest w tym samym stosunku są sobie równe. Niech każda z wielkości A i B będzie w tym samym stosunku do C. Twierdzę, że A jest równe B. W przeciwnym razie, wielkości A i B nie byłaby w tym samym stosunku do C , ale tak jest, dlatego A jest równe B. [...]”.

(^19) [Euklides, V, 8]; oznaczenia literowe zostały dodane — P.B.; są to dokładnie takie oznaczenie, jakich użyto w dowodzie Euklidesa, w szczególności AB oznacza tu jedną wielkość. (^20) [Euklides, V.9].

O definicji 7 z Księgi V „Elementów” Euklidesa 127

is not equal to B ; for in that case each of the magnitudes A and B would have the same ratio to C ; but they have not, therefore A is not equal to B. Nor again is A less than B ; for in that case A would have to C a less ratio than B has to C , but it has not; therefore A is not less than B. [...]”^21. „Z wielkości będących w stosunku do danej wielkości ta, która ma większy stosunek jest większa; natomiast ta, do której dana wielkość ma większy stosunek, jest mniejsza. Niech stosunek A do C będzie większy niż B do C. Twierdzę, że [wielkość — P.B.] A jest większa od B. Jeśli nie, wtedy A jest równa B , bądź jest od niej mniejsza. A nie jest równa B , ponieważ w takim przypadku każda z wielkości A i B miałaby taki sam stosunek do C , a tak nie jest; dlatego A nie jest równa B. A nie jest też mniejsza od B , bo wtedy jej stosunek do C byłby mniejszy niż stosunek B do C , ale tak nie jest, dlatego A nie jest mniejsza od B ”.

Symbolicznie twierdzenie 10 można więc tak przedstawić:

A : C ≻ B : C → A > B , C : B ≻ C : A → A > B ,

a dowód jest ewidentnie dowodem nie wprost: Gdy A = B , to:

( A : C :: B : C ) ∧ ( A : C ≻ B : C ).

Można przyjąć, że na tym właśnie polega sprzeczność, lub poprowa- dzić myśl dalej tak, jak to zrobiliśmy wyżej, by dojść do sprzeczności z liniowością porządku < w strukturze M. Gdy A < B , to:

( A : C ≺ B : C ) ∧ ( A : C ≻ B : C ).

Można przyjąć, że na tym właśnie polega sprzeczność lub poprowadzić myśl dalej. Wówczas z A : C ≻ B : C dostajemy, że dla pewnych p , q jest: ( qA > pC ) ∧ ( pC > qB ),

(^21) [Euklides, V, 10 ].

128 Piotr Błaszczyk

a stąd qA > qB. Z założenia A < B , na mocy ( E 3), dostajemy qA < qB. Ostatecznie: ( qA < qB ) ∧ ( qA > qB ),

co jest sprzeczne z liniowością porządku w strukturze M. Q.E.D.

3. INTERPRETACJE DEFINICJI V, 7

1. Roger Penrose (2004)

Pierwszym krokiem w teorii Eudoksosa było ustalenie kryte- rium, co to znaczy, że jakiś stosunek długości a : b miałby być większy niż stosunek innych długości, c : d. Kryterium to jest następujące: stosunek a : b jest większy od stosunku c : d , jeśli istnieją dwie liczby naturalne M i N takie, że jeżeli a dodamy do siebie M razy i długość ta będzie większa od długości, jaką otrzymamy po dodaniu do siebie b N razy, to d dodane do siebie N razy będzie dłuższe od c dodanego do siebie M razy. Ana- logiczne kryterium formułuje warunek, żeby stosunek a : b był mniejszy od stosunku c : d. Warunkiem równości tych stosun- ków jest niespełnienie żadnego z tych dwu kryteriów. W ten spo- sób dzięki pomysłowemu rozwiązaniu problemu równości dwu stosunków Eudoksos otrzymał w rezultacie abstrakcyjne pojęcie «liczby rzeczywistej» wyrażone przez stosunki długości^22.

W ujęciu tym definicja V, 7 wyrażona jest formułą:

a : b ≻ c : d ↔ ∃ M , N [( Ma > Nb ) ∧ ( Mc < Nd )],

zaś definicja V, 5 formułą:

a : b = c : d ↔ ¬( a : b ≻ c : d ) ∧ ¬( a : b ≺ c : d ).

Przyjmując tautologię ( a : b = c : d ) ∨ ( a : b 6 = c : d ), dostajemy:

( a : b ≺ c : d ) ∨ ( a : b = c : d ) ∨ ( a : b ≻ c : d ).

2. Fabio Acerbi (2003)

(^22) [Penrose 2004], s. 56–57.

130 Piotr Błaszczyk

Stąd, podobnie jak wyżej, dostajemy:

( a : b ≺ c : d ) ∨ ( a : b = c : d ) ∨ ( a : b ≻ c : d ).

4. David E. Joyce (1997)

W odniesieniu do stosunków prawo trychotomii orzeka, że dla dowolnych dwóch stosunków w : x oraz y : z zachodzi dokład- nie jeden z warunków: w : x < y : z lub w : x = y : z , lub w : x > y : z. Euklides nie zamieścił wśród aksjomatów prawa trychotomii dla wielkości i nie uczynił tego także w odniesieniu do stosunków. Ta część owego prawa, która orzeka, że zacho- dzi co najwyżej jeden z przypadków jest użyta po raz pierwszy w twierdzeniu V, 9, natomiast ta część, która orzeka, że zacho- dzi przynajmniej jeden z warunków występuje po raz pierwszy w twierdzeniu V, 10^25

W poprzednim paragrafie przedstawiliśmy naszą interpretację twier- dzeń V, 9 oraz V, 10. Ciekawe jest jednak to, że w dalszej części omó- wienia Księgi V Joyce podaje dowód prawa trychotomii dla stosunków. Otóż definicje V, 5 oraz V, 7 Joyce zapisuje tak, jak to uczyniliśmy wyżej w §1, a w komentarzu do definicji V, 7 pisze:

Z samych definicji [V, 5 i V, 7 — P.B.] jasno wynika, że zdania w : x > y : z oraz w : x = y : z są sprzeczne. [...]. Przyjmując przechodniość [porządku stosunków — P.B.], można pokazać, że sprzeczne są też zdania w : x > y : z oraz w : x < y : z [...]. (Są też dowody, które nie zależą od przechodniości.) Drugą stronę prawa trychotomii, mówiącą o tym, że zachodzi przynaj- mniej jeden z tych trzech przypadków, trudniej jest wykazać, a dowód zależy od potraktowania definicji V.4 jako aksjomatu porównywania. W istocie, bez niego rozumowanie to jest fał- szywe^26.

Następnie, przyjmując aksjomat Archimedesa, Joyce podaje dowodzi, że zachodzi przynajmniej jeden ze składników alternatywy:

( w : x < y : z ) ∨ ( w : x = y : z ) ∨ ( w : x > y : z ).

(^25) [Joyce 1997]. (^26) [Joyce 1997].

O definicji 7 z Księgi V „Elementów” Euklidesa 131

5. Wilbur R. Knorr (1975)

Definicja 3. Gdy dane są dwie pary wielkości homogenicz- nych A , B oraz C , D , gdy dla dowolnych liczb naturalnych m , n nierówność mA > nB pociąga za sobą nierówność mC < nD , równość mA = nB pociąga za sobą równość mC = nB , a nierów- ność mA < nB pociąga za sobą mC > nD , wtedy A : B = C : D. Jest to definicja Euklidesa (V, def. 5) powszechnie przypisy- wana Eudoksosowi^27. Definicja 5. Dla dwóch par wielkości A , B oraz C , D , jeżeli istnieją takie liczby naturalne m , n , że mA > nB , ale mC 6 nD , wtedy A : B > C : D. Jest to Euklidesa definicja «większego stosunku» (V, Def. 7); odwracając w niej każdą z nierówności dostajemy warunek na «mniejszy stosunek»^28.

Dalej czytamy: „Twierdzenie 6. Gdy dla wielkości A , B , C jest A : C = B : C , wtedy A = B ( Elementy V.9)”^29. Na kolejnej zaś karcie Knorr podaje dowód tego twierdzenia:

Niech A : C = B : C i niech A > B. Wówczas, na podstawie V, def 4, istnieje taka wielokrotność A − B , powiedzmy m , która przekracza C. Niech p będzie pierwszą wielokrotnością C , która jest równa lub przekracza mB , tj. pC > mB > ( p − 1) C. Doda- jąc to do poprzedniej nierówności dostajemy, że mA > pC oraz mB 6 pC. Stąd, na podstawie Def. 5, A : C > B : C , co jest sprzeczne z wyjściowym założeniem^30.

W ujęciu tym definicje V, 5 oraz V, 7 są wyrażone tak, jak to uczyniliśmy wyżej w §1, ale w przytoczonym dowodzie Knorr zakłada, że nie może być tak, iż ( A : C = B : C ) ∧ ( A : C ≻ B : C ). Takie założenie – jak pokazaliśmy wyżej – u samego Euklidesa nie jest explicite zapisane.

6. Bartel L. van der Waerden (1954) Po zacytowaniu definicji V, 7 van der Waerden pisze:

(^27) [Knorr 1975], s. 333. (^28) [Knorr 1975], s. 334. (^29) [Knorr 1975], s. 338. (^30) [Knorr 1975], s. 339.

O definicji 7 z Księgi V „Elementów” Euklidesa 133

David E. Joyce podaje nawet dowód tej własności. W następnym pa- ragrafie zdefiniujemy strukturę wielkości M = ( M , +, <), w której rela- cja proporcji nie jest spójna. W strukturze tej dodawanie jest działaniem wewnętrznym, łącznym i przemiennym, a porządek < jest liniowy. Po- nadto spełnione są aksjomaty ( E 1) oraz ( E 3). Odpowiada to więc temu, co o wielkościach jest wprost powiedziane w Elementach oraz temu, co explicite przyjmują wymieni wyżej autorzy.

5. KONTRPRZYKŁAD

Model 1. Zanim przejdziemy do zdefiniowania modelu, podamy kilka wstępnych informacji. Niech (R, +, ·, 0 , 1 , <) będzie ciałem liczb rzeczywistych. W ciele tym spełniony jest aksjomat Archimedesa w na- stępującej postaci:

∀ x , y ∈ R ∃ n ∈ N [0 < x < y → nx > y ];

z tego faktu skorzystamy niżej. Niech F będzie ultrafiltrem na zbiorze N zawierającym zbiór (filtr Frecheta):

{ A ⊂ N : N \ A — jest zbiorem skończonym}^34.

Relacja: ( rn ) ≡ ( sn ) ↔ d f { n ∈ N : rn = sn } ∈ F

jest równoważnością na zbiorze RN. Zbiór liczb hiperrealnych R∗^ jest definiowany jako zbiór ilorazowy, R∗^ = d f RN/≡. W R∗^ definiowane jest dodawanie, mnożenie oraz porządek:

[( rn )] ⊕ [( sn )] = d f [( rn + sn )], [( rn )] ⊗ [( sn )] = d f [( rn · sn )],

[( rn )] ⋖ [( sn )] ↔ d f { n ∈ N : rn < sn } ∈ F.

(^34) Rodzina F podzbiorów zbioru N jest filtrem gdy: (1) A , B ∈ F → A ∩ B ∈ F , (2) A ∈ F ∧ A ⊂ B → B ∈ F , (3) ∅ ∈ F/. Gdy F jest filtrem i (4) ∀ A ⊂ N [ A ∈ F ∨ N\ A ∈ F ], to F jest ultrafiltrem. Korzystając z aksjomatu wyboru dowodzi się, że każdy filtr jest zawarty w pewnym ultrafiltrze.

134 Piotr Błaszczyk

Standardowa liczba rzeczywista r jest identyfikowana z klasą równo- ważności r ∗^ ciągu stałego ( r , r , ...), tj. r ∗^ = d f [( r , r , ...)]^35.

Twierdzenie (R∗, ⊕, ⊗, 0 ∗, 1 ∗, ⋖) jest ciałem uporządkowanym, niear- chimedesowym.

Zbiór nieskończenie małych liczb hiperrealnych Ω dany jest defini- cją: x ∈ Ω ↔ d f ∀θ ∈ R+ [| x | ⋖ θ∗]. W zbiorze R∗^ definiujemy relację: x ≈ y ↔ d f x − y ∈ Ω.

Zbiór ograniczonych liczb hiperrealnych L dany jest definicją:

x ∈ L ↔ d f ∃θ ∈ R+ [| x | ⋖ θ∗].

Bezpośrednim rachunkiem sprawdzamy, że (Ω, ⊕, 0 ∗, ⋖) oraz (L, ⊕, 0 ∗, ⋖) są grupami uporządkowanymi.

Twierdzenie o części standardowej : ∀ x ∈ L ∃! r ∈ R [ r ∗^ ≈ x ].

Część standardową ograniczonej liczby hiperrealnej x oznaczamy jako st ( x ), czyli ( st ( x ))∗^ ≈ x. Łatwo widać, że częścią standardową dowolnej liczby nieskończe- nie małej jest zero, tj. ∀ x ∈ Ω [ x ≈ 0 ∗]. Przechodzimy do definicji modelu. Przyjmujemy:

M = d f { x ∈ L : st ( x ) > 0 }

Zbiór M można też tak opisać M = { x ∈ L : x ⋗ 0 ∗} \ Ω; do M należą więc te ograniczone i dodatnie liczby hiperrealne, które nie są nieskoń- czenie małe. Przyjmujemy M 1 = ( M , ⊕, ⋖), gdzie ⊕ oraz ⋖ to dodawanie i porzą- dek liczb hiperrealnych zacieśnione do zbioru M. Stąd od razu otrzy- mujemy, że dodawanie ⊕ jest łączne i przemienne, a porządek ⋖ jest liniowy oraz to, że spełniony jest aksjomat ( E 3).

(^35) Opis tej konstrukcji można znaleźć w: [Goldblatt 1998].

136 Piotr Błaszczyk

Model 2. Przyjmijmy M = { z ∈ C : Re ( z ) > 0 } oraz: z ⋖ w ↔ d f Re ( z ) < Re ( w ) ∨

Re ( z ) = Re ( w ) ∧ Im ( z ) < Im ( w )

gdzie C to zbiór liczb zespolonych, Re ( z ) – część rzeczywista liczby z , Im ( z ) — część urojona liczby z. Przyjmijmy następnie, że M 2 = ( M , +, ⋖), gdzie + to „zwykłe” dodawanie liczb zespolonych. Dodawa- nie w strukturze M 2 jest łączne i przemienne, porządek ⋖ jest liniowy, ponadto spełnione są aksjomaty ( E 1) oraz ( E 3). Przyjmując A = 3 − i , B = 2, C = 3, D = 2 dostajemy:

¬( A : B ≺ C : D ) ∧ ¬( A : B :: C : D ) ∧ ¬( A : B ≻ C : D ).

Mamy bowiem:

nA ⋗ mB ↔ nC ⋗ mD , nA ⋖ mB ↔ nC ⋖ mD ,

co znaczy, że ani A : B ≺ C : D , ani A : B ≻ C : D. Następnie:

(2 A ⋖ 3 B ) ∧ 2 C = 3 D ,

co znaczy, że ¬( A : B :: C : D ).

6. RÓŻNE ZAPISY DEFINICJI V, 7

Definicja V, 5 w różnych komentarzach jest różnie zapisywana^38. Można jednak pokazać, że przyjmując wyżej podane założenia o struk- turze wielkości M, funkcjonujące w literaturze jej formalne zapisy są równoważne definicji, którą przedstawiliśmy w §1. Sam tekst defini- cji V, 7 wydaje się natomiast jednoznaczny i autorzy opierający swoje analizy na tekście greckim podają taką samą definicję, jak ta zaprezen- towana przez nas w § 139. We fragmentach (1) i (6) oraz (3) cytowanych w §3. znajdujemy jednak odmienne zapisy definicji V, 7. Z kolei Muel- ler dowodzi, że definicję V, 7 w wersji:

A : B ≻ C : D ↔ d f ∃ m , n ∈ N [ nA > 1 mB , nC 62 mD ],

(^38) Zob. [Błaszczyk 2006]. (^39) Zob. [Beckmann 1967], s. 36, [Knorr 1975], s. 334 , [Mueller 1981], s. 125.

O definicji 7 z Księgi V „Elementów” Euklidesa 137

w sposób równoważny można wyrazić formułami:

∃ m , n ∈ N [ nA > 1 mB , nC < 2 mD ], (V, 7b)

∃ m , n ∈ N[ nA > 1 mB , nC < 2 mD ]. (V, 7c)

W przedstawionym dowodzie Mueller przywołuje jedynie aksjomat (E1). Pokażemy, że dowód ten nie może być poprawny. Wróćmy do Modelu 1. Niech będzie A = 3 + ε, B = 2 , C = 3 , D =

2. Wówczas 2 A > 3 B , 2 C 6 3 D , co znaczy, że A : B ≻ C : D w myśl przyjętej przez nas definicji. Jednocześnie łatwo widać, że nie istnieją takie liczby naturalne n , m , aby było nA > mB , nC < mD , co znaczy, że ¬( A : B ≻ C : D ) w myśl definicji zaproponowanych we fragmentach (1), (3) oraz definicji V, 7b. Podobnie dla tych samych wielkości jest ¬( A : B ≻ C : D ) w myśl definicji z fragmenu (6) oraz definicji V, 7c.

ZAKOŃCZENIE

Niech (R, +, ·, 0 , 1 , <) będzie ciałem liczb rzeczywistych, niech R+ oznacza zbiór dodatnich liczb rzeczywistych. Struktura (R, +, <) jest modelem struktury wielkości, tj. + jest działaniem wewnętrznym, łącz- nym i przemiennym, porządek < jest liniowy, a ponadto spełnione są aksjomaty ( E 1) − ( E 5). Relacja proporcji :: jest tu interpretowana jako równość dwóch stosunków, gdzie stosunek jest rozumiany jako iloraz, tzn. A : B :: C : D oznacza A / B = C / D , dla A , B , CD ∈ R. W tym modelu porządek stosunków wiąże się z ośrodkowością osi liczb rze- czywistych, tj.:

A / B ≻ C / D ↔ ∃ m , n [ A / B > m / n > C / D ].

Porządek stosunków ≻ istotnie jest liniowy, bo rzecz sprowadza się do liniowości porządku liczb rzeczywistych >^40. Najprawdopodobniej

(^40) Analogiczne rozumowanie można przeprowadzić dla dowolnego podciała ciała (R, +, ·, 0 , 1 , <).