O niezwykłej użyteczności logarytmu naturalnego K¹cik ..., Notatki z Matematyka

Pobierz O niezwykłej użyteczności logarytmu naturalnego K¹cik ... i więcej Notatki w PDF z Matematyka tylko na Docsity!

PISMO PGPISMO PGPISMO PGPISMO PGPISMO PG

Nr 8/2006Nr 8/2006Nr 8/2006Nr 8/2006Nr 8/

K

ażdy z nas zna ze szkoły zadania tekstowe. Są one prosty− mi ćwiczeniami z zakresu matematyki stosowanej. Nie wy− magały one jednak użycia zaawansowanego aparatu analizy matematycznej. Natomiast chcąc opisać prawidłowość pewnych zjawisk w czasie i przestrzeni, musimy sięgnąć do poważniej− szej wiedzy matematycznej. Prawa przyrody są formułowane za pomocą pewnych rów− nań. Wiążą one nie tyle podstawowe wielkości, którymi się interesujemy, lecz szybkość, z jaką wielkości te zmieniają się w czasie. Ponieważ szybkość zmiany dotyczy różnicy między rozważaną wielkością teraz a tą wielkością w chwilę później, prowadzi to do równań zwanych równaniami różniczkowymi. Tu zaś dość często spotyka się tzw. równania rzędu wykładni− czego. Rozwiązania ich są związane z dwiema funkcjami: wy− kładniczą eeeee xxxxx^ i logarytmiczną lnxlnxlnxlnxlnx, zwaną logarytmem natural− nym. Ciągle zadziwia mnie występowanie w przyrodzie liczby Eulera (e ª 2,71), a stąd funkcji eeeee xxxxx^ i trwającej z nią w nieroze− rwalnym związku funkcji lnxlnxlnxlnxlnx (lnx=a <=> x=e a). I o niej będzie moja opowieść. Zatem do dzieła.

Przykład 1 (użyteczność logarytmu naturalnego w archeologii) Jak wyznaczyć „absolutny” wiek wykopanych kości, kawał− ka obrobionego drewna czy odkrytej czaszki (p. jeden z odcin− ków serialu kryminalnego „Wzór”)? W jaki sposób archeolog może określić czas, z którego pochodzi dane znalezisko? Taka informacja wydaje się nieosiągalna i stracona. Ale tak nie jest. Z pomocą przychodzą chemia i matematyka. Chemik Willard Libby (Nagroda Nobla w 1960 r.) i jego współpracownicy dokonali wielkiego odkrycia nazwanego da− towaniem węglem. Węgiel występuje w trzech odmianach: C 12 , C 13 i C 14. Ważna jest odmiana C^14 – rzadka i „ulotna”. Jest to

izotop radioaktywny, z czasem połowicznego rozpadu około 5568 lat. Znajdujący się w biosferze węgiel C^14 pochodzi z jej górnych warstw, gdzie pod wpływem promieniowania kosmicz− nego powstaje z azotu. Następnie reaguje z tlenem i powstaje radioaktywny dwutlenek węgla. Część węgla C 14 przedostaje się ostatecznie na powierzchnię ziemi i współtworzy środowi− sko żywych organizmów. Jeśli rośliny żyją na koszt dwutlenku węgla, to wszystkie one będą zawierały pewną ilość węgla ra− dioaktywnego, i jeżeli zwierzęta żyją kosztem roślin, to też będą go miały. Jest to tzw. łańcuch pokarmowy. W konsekwencji węgiel radioaktywny jest obecny w buracz− kach, które jemy na obiad, w pelargonii na balkonie, w twoim chomiku i w prezydencie USA. Gdy organizmy „krzątają się”, podtrzymując życie, uzupeł− niają w sposób ciągły utracony węgiel C 14 , a tym samym utrzy− muje się dość stała równowaga w proporcji węgla. Natomiast gdy organizm umiera, zapas węgla przestaje być uzupełniany. Tylko węgiel znajdujący się w chwili śmierci organizmu może pozostać w tkankach na stałe. No a dalej wraz z czasem ubywa go, bo po prostu węgiel radioaktywny podlega rozpadowi pro− mieniotwórczemu. Te zaniki węgla C^14 zaczynają się w mo− mencie śmierci i trwają przez wieki, aż do dnia, gdy części organizmu (kości, czaszka) zostaną wykopane. Wówczas che− micy, wykorzystując aparaturę specjalistyczną, mogą określić zawartość węgla C 14.

O niezwykłej użyteczności logarytmu naturalnegoO niezwykłej użyteczności logarytmu naturalnegoO niezwykłej użyteczności logarytmu naturalnegoO niezwykłej użyteczności logarytmu naturalnegoO niezwykłej użyteczności logarytmu naturalnego

Dla większości osób niezajmujących się matematyką, matematyka z czasów szkol− nych rzadko jawi się jako opis rzeczywistości. Wiedza o niej ogranicza się najczęściej do działań arytmetycznych (dodawania, mnożenia). Wzory, których uczono w szkole (na deltę, objętość stożka czy zależności trygonometryczne), ulatują z pamięci szybciej niż cykl rozwojowy komara. Tyle że z komarem możemy się spotkać, a z deltą nie. Matematyka jednak to nie znajomość wzorów, to umiejętność ich poszukiwania, to zdolność postrzegania w pracy umysłowej formalnych reguł. Dlatego skuteczność ma− tematyki tak zadziwia. Chcąc pokazać choć troszeczkę użyteczności matematyki w życiu i nie zanudzić Czytelników, podam tylko dwa przykłady stosowalności matematyki (omi− jając wzory na tyle, na ile jest to możliwe). Mając na uwadze, że listopad jest miesiącem szczególnym, przykłady będą miały jego klimat. Pogoda i święta w tym miesiącu stwa− rzają nastrój pełen melancholii i zadumy. Dlatego chyba częściej zastanawiamy się nad sprawami życiowymi. Może więc i podane przykłady skłonią do refleksji.

Wszechświat to wielka księga, której nie możemy zrozu− mieć, dopóki nie pojmiemy języka i nie nauczymy się czytać liter składających się na ten język. Jest zaś ona napisana w języku matematyki. Galileusz

O matematyce można myśleć w dowolnym miejscu i o dowolnej porze

K¹cik matematyczny

Nr 8/2006Nr 8/2006Nr 8/2006Nr 8/2006Nr 8/

PISMO PGPISMO PGPISMO PGPISMO PGPISMO PG

W fizyce zakłada się, że rozpadem atomów promieniotwór− czych rządzą tzw. prawa przyrostowe, co w konsekwencji pro− wadzi do odpowiednich równań różniczkowych. I tu wkracza matematyka, rozwiązując je. W wyniku tej działalności, otrzymujemy zależność: AAAAA (^) sssss = A= A= A= A= A 00000 ·e·e ·e·e·e −−−−−lllllttttt gdzie: lllll=0,693/5568, AAAAA (^) sssss – aktualny poziom radioaktywności wykopaliska, AAAAA 00000 – poziom radioaktywności aktualnie żyjącego obiektu tego samego rodzaju, ttttt – czas, który minął od śmierci badanego reliktu. Przypuśćmy, że archeolodzy wykopali fragment drewnia− nego poszycia statku. Analizy chemiczne drewna pozwoliły określić aktualny poziom radioaktywności na AAAAA (^) sssss =9,7=9,7=9,7=9,7=9,7 rozpa− dów na minutę na gram węgla. Świeżo ścięte drzewo tego sa− mego rodzaju wykazuje poziom radioaktywności AAAAA 00000 =15,3=15,3=15,3 roz−=15,3=15, padów na minutę na gram węgla. Celem jest wyznaczenie ttttt, tj. wieku wykopanego kawałka statku. Podstawiając dane warto− ści AAAAA (^) sssss , AAAAA 00000 do podanego wzoru, otrzymamy 9,7=15,3e9,7=15,3e9,7=15,3e9,7=15,3e9,7=15,3e −−−−−lllllttttt (lllll=0,693/5568=0,693/5568=0,693/5568=0,693/5568=0,693/5568), a stąd eeeeelllllttttt^ =15,3/9,7=15,3/9,7=15,3/9,7=15,3/9,7=15,3/9,7, co daje eeeeelllllttttt^ =1,577=1,577=1,577=1,577=1,577. Z zależności tej należy wyznaczyć ttttt, a to wymaga logaryt− mu naturalnego. Wówczas mamy lllllt=ln(1,577)t=ln(1,577)t=ln(1,577)t=ln(1,577)t=ln(1,577). Wartość ln(1,577)ln(1,577)ln(1,577)ln(1,577)ln(1,577) wyliczamy np. z użyciem kalkulatora, co daje ln(1,577)=0,457ln(1,577)=0,457ln(1,577)=0,457ln(1,577)=0,457ln(1,577)=0,457. Ostatecznie t=5568·0,456/0,693t=5568·0,456/0,693t=5568·0,456/0,693t=5568·0,456/0,693t=5568·0,456/0,693, a stąd t=3663,8t=3663,8t=3663,8t=3663,8t=3663,8 lat. Wyliczenia te pozwalają stwierdzić, że statek został zbudo− wany 3664 lata temu. Oczywiście jest to pewne przybliżenie, jednak gdy przyjmiemy, że było to 3700 lat temu, będzie to informacja dość wiarygodna. Łącząc wiedzę o drewnie, węglu i logarytmach, odkryliśmy sekret starożytności. Tak oto dzięki chemii i matematyce, przeszłość stała się bliż− sza.

Przykład 2 (opowieść z mrocznego świata zbrodni i kary) W ciemną, deszczową noc wezwano o północy policję do mrożącej w żyłach krew zbrodni. W pobliskim parku znalezio− no ciało Grubego Rycha, notorycznego kryminalisty. Znany on był z rozległych powiązań ze światem przestępczym. Przybyły oficer śledczy zanotował, że temperatura powie− trza wynosiła 20O^ C, zaś ciała 29,4O^ C. O godzinie drugiej po północy, gdy zdjęto już wszystkie możliwe odciski i przesłu− chano świadków, ciało miało temperaturę 23,3O^ C. Na podsta− wie zebranych informacji, policja aresztowała Frankę, dziew− czynę Grubego Rycha. Franka spędziła wieczór w barze „Pod Upadłym Aniołem”. Piła zbyt dużo i ciągle groziła Grubemu Rychowi. Z baru wypadła pół godziny przed północą w bardzo paskudnym nastroju. Wydawało się wszystkim oczywiste, że to ona zabiła Grubego Rycha. Na szczęście Franka za dawnych, dobrych czasów chodziła do elitarnej szkoły, gdzie uczono logarytmów naturalnych. Znała też prawo Newtona, dotyczące oziębiania się ciał. Mówi ono, że szybkość ochładzania się ciała jest proporcjonalna do różnic pomiędzy temperaturą stygnącego obiektu i tempera− turą otoczenia. W języku potocznym znaczy to, że jeżeli jakiś obiekt jest dużo cieplejszy od otaczającego powietrza, to szyb− kość stygnięcia jest duża i temperatura szybko spada. Nato−

miast jeżeli ta różnica jest niewielka, obiekt stygnie wolniej. Żywy człowiek nie stygnie, bo przemiana materii utrzymu− je temperaturę ciała powiedzmy w okolicy 37OC. W ciele mar− twego człowieka nie zachodzi przemiana materii i dlatego cia− ło traci temperaturę. W celu więc przedstawienia powyższego opisu w postaci zwięzłej formuły matematycznej i dokonania obliczeń, Franka skorzystała tak z fizyki, jak i z matematyki. Ponieważ mowa jest o szybkości zmian, to zasada wyrówny− wania temperatur daje odpowiednie równanie różniczkowe. Rozwiązanie zaś tego równania wyraża się formułą: T(t) = 20T(t) = 20T(t) = 20T(t) = 20T(t) = 20 OOOOO+9,4+9,4^ +9,4+9,4+9,4 OOOOO^ ·e·e·e·e·e −−−−−lllllttttt gdzie: lllll=0,5207=0,5207=0,5207=0,5207=0,5207, T(t)T(t)T(t)T(t)T(t) – temperatura ciała ttttt godzin po północy. Istotnym wyzwaniem dla Franki było określenie, kiedy Gru− by Rycho wyzionął ducha. W tym celu musiała jakoś wyko− rzystać wzór, obliczając czas t, w którym temperatura ciała Gru− bego Rycha wynosiła jeszcze 37 OC. Od tego momentu ciało stopniowo traciło ciepłotę. Pisząc równość 37 37373737 OOOOO^ =20=20=20=20=20 OOOOO^ +9,4+9,4+9,4+9,4+9,4OOOOO^ ·e·e·e·e·e −−−−−lllllttttt^ , otrzymała eeeeelllllttttt^ =0,5555=0,5555=0,5555=0,5555=0,5555. Następnie chcąc wyliczyć ttttt, musiała użyć logarytmu naturalnego. Okazało się, że temperatura ciała Gru− bego Rycha wynosiła w chwili t=1/t=1/t=1/t=1/t=1/lllll ln(0,5555)ln(0,5555)ln(0,5555)ln(0,5555)ln(0,5555) (lllll=0,5207=0,5207=0,5207=0,5207=0,5207), co daje t=−1,13t=−1,13t=−1,13t=−1,13t=−1,13 godz. W tym przypadku ttttt (które oznacza licz− bę godzin po północy) jest ujemne. Interpretacja tego wyniku jest prosta. Ciało miało temperaturę 37O^ na 1,13 godz. przed północą. Można więc przyjąć, że Gruby Rycho zaczął stygnąć około 60 minut przed północą. To ustala z grubsza czas jego śmierci na 23.00. Jednak wtedy widziano Frankę pijącą alko− hol w barze. Miała więc żelazne alibi. Podczas procesu adwokat Franki przedstawił powyższy wywód matematyczny. Nazwał go dowodem z praw natury i logarytmu naturalnego i uzyskał uniewinnienie. Tak oto dzięki logarytmowi naturalnemu zwyciężyła sprawiedliwość. Tym też akcentem chciałabym skończyć tę niezwykłą opowieść. Podob− nych przykładów użyteczności logarytmu naturalnego można podać dużo, dużo więcej. Mam jednak nadzieję, że chociaż te dwa zwrócą na siebie uwagę, a tym samym na matematykę.

Krystyna Nowicka Studium Nauczania Matematyki Rys. z: K. Ciesielski, Z. Pogoda, „Bezmiar matematycznej wyobraźni”

Och, ta matematyka stosowana