Pobierz Obliczanie pochodnych: zadania i więcej Zadania w PDF z Matematica Generale tylko na Docsity!
Lista zada« nr 14: Obliczanie pochodnych
(1) Udowodnij indukcyjnie, »e dla n ≥ 1 pochodn¡ funkcji f (t) = tn^ jest f (t) = ntn−^1 (gdzie wyj¡tkowo przyjmujemy, »e 00 = 1). (2) Uzasadnij podane na wykªadzie wzory na pochodne funkcji arccos, arctg i loga (gdzie a > 0 , a 6 = 1). (3) Wyznacz pochodne prawostronne w 0 funkcji f (t) = arcsin(1−t), g(t) = arcsin(1− t^2 ) oraz h(t) = arcsin(1 − t^3 ). (4) Oblicz pochodne funkcji t^2 + t + 1 (1 + t^2 )^9
, et^ sin(t), et^ sin(t),
ln(1 + et) 1 − et^
ln(1 + x^3 ), arcsin(sin(t)).
(5) Oblicz pochodne funkcji f (t) = tt, g(t) = t
t oraz h(t) = ttt. (6) Dla jakich liczb a funkcja f (t) = |t|a^ ma pochodn¡ w 0? (7) Dobierz parametry a i b tak, aby funkcja
f (t) =
e−t^ dla t ≥ 0 , a cos(t) + b sin(t) dla t < 0 byªa ró»niczkowalna w 0. (8) Oblicz pochodne funkcji sinh, cosh i tgh, a nast¦pnie wyznacz pochodne funkcji arsinh, arcosh oraz artgh. (9) Niech g b¦dzie funkcj¡ odwrotn¡ do f (t) = tt^ na przedziale [1, ∞). Wyznacz g +′(1) oraz g′(4). (10) Niech g b¦dzie funkcj¡ odwrotn¡ do f (t) = tet^ na przedziale (0, ∞) (tj. funkcj¡ W 0 Lamberta). Wyznacz g′(e). (11) Wiadomo, »e f jest ±ci±le monotoniczn¡ funkcj¡ ci¡gª¡ na przedziale zawieraj¡- cym ustalony punkt t, f ′(t) = 0 oraz g jest funkcj¡ odwrotn¡ do f. Co mo»na powiedzie¢ o g′(x) dla x = f (t)? (12) Udowodnij, »e pochodn¡ funkcji parzystej jest funkcja nieparzysta, funkcji nie- parzystej parzysta, funkcji okresowej okresowa. Czy zachodz¡ twierdzenia przeciwne? (13) Dobierz parametr a i b tak, aby wykresy funkcji f (t) = cos(t) i g(t) = a − bt^2 byªy styczne w punkcie (π 2 , 0). (14) Niech f (t) = 3t^6 − 25 t^4 + 60t^2. Znajd¹ wszystkie styczne do wykresu funkcji f , które przechodz¡ przez punkt (0, 0). (15) Dla ustalonego a > 0 dobierz parametr r > 0 tak, aby okr¡g o ±rodku (0, a) i promieniu r byª styczny do wykresu y = x^2. (16) Wyznacz f (n)(0) gdy: (a) f (t) = aktk^ + ak− 1 tk−^1 +... + a 1 t + a 0 jest wielomianem; (b) f (t) = at^ dla pewnego a > 0 ; (c) f (t) = (1 − t)−a^ dla pewnego a ∈ R.
Zadania do samodzielnego rozwi¡zania przed ¢wiczeniami
(i) Zapisz kilkana±cie wybranych funkcji elementarnych i wyznacz ich pochodne. (ii) Wyznacz pochodne jednostronne (wªa±ciwe lub niewªa±ciwe) funkcji f (t) = btc oraz g(t) = dte w punkcie 1. (iii) Sprawd¹, »e funkcje dane wzorami sin(t), t, tg(t), arcsin(t) oraz arctg(t) s¡ styczne w punkcie (0, 0) (tj. maj¡ w tym punkcie wspóln¡ prost¡ styczn¡). (iv) Jak przy pomocy pochodnych zapisa¢ warunek: prosta x = t jest styczna do wykresu funkcji f w punkcie (t, f (t))?
Zadania dodatkowe
(A) Znajd¹ wielomian f mo»liwie najni»szego stopnia, ale ró»ny od funkcji liniowej, o nast¦puj¡cej wªasno±ci: styczne do y = f (x) w punktach (0, f (0)), (1, f (1)), (2, f (2)) i (3, f (3)) maj¡ punkt wspólny. Czy potra sz uogólni¢ to zadanie? (B) Niech
f (t) =
e−^1 /t^ dla t > 0 , 0 dla t ≤ 0 Udowodnij, »e pochodna f (n)(t) istnieje dla t 6 = 0 i jest postaci Pn(^1 t )f (t), gdzie Pn jest pewnym wielomianem. Nast¦pnie udowodnij, »e f jest dowolnie wiele razy ró»niczkowalna w zerze i f (n)(0) = 0. Zauwa», »e funkcja g(t) = f (t)/(f (t) + f (1 − t)) jest dowolnie wiele razy ró»- niczkowalna, równa 0 w (−∞, 0] i równa 1 w [1, +∞). Oznacza to, »e funk- cja h(t) = g(2 + t)g(2 − t) jest dowolnie wiele razy ró»niczkowalna, równa 0 w (−∞, −2] ∪ [2, +∞) i równa 1 w [− 1 , 1]. (C) Udowodnij, »e we wzorze okre±laj¡cym warto±¢ f (t) funkcji elementarnej f (w my±l de nicji podanej na wykªadzie) nie wyst¦puje pierwiastkowanie zera ani arcsin lub arccos warto±ci 1 lub − 1 , to f jest ró»niczkowalna w t. (D) Udowodnij wzór Faà di Bruno: pochodna f ◦ g rz¦du n w punkcie t jest dana wzorem:
(f ◦ g)(n)(t) =
∑ (^) n! k 1 !k 2!... kn!
f (k^1 +k^2 +...+kn)(g(t))
∏^ n
j=
g(j)(t) j!
)kj ,
gdzie suma rozci¡ga si¦ na wszystkie ukªady liczb naturalnych k 1 , k 2 ,... , kn takich, »e k 1 + 2k 2 + 3k 3 +... + nkn = n.
